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停留在黑砖上的概率教学设计教学设计思想：本节内容需一课时讲授；教师通过有趣的问题，使学生直观体验一种重要的概率模型——几何概型。
然后通过有趣的活动展示小猫跳砖的课件，体验一类事件发生的概率.在教学中教师应强调随机性〔地砖除颜色外一模一样，小猫自由自在地行走〕.教师再添加课上随堂练习，使学生对知识加以稳固.一、教学目标〔一〕知识与技能1.在具体情景中进一步体会概率的意义，知道概率是描述不确定现象的数学模型.2.掌握一类事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算.3.能设计符合要求的简单概率模型.〔二〕过程与方法1.体会事件发生的不确定性，建立初步的随机观念.2.进一步体会“数学就在我们身边〞，开展学生“用数学〞的意识和能力.〔三〕情感、态度与价值观1.进一步培养学生公平、公正的态度，使学生形成正确的人生观.2.提高学生之间的合作交流能力和学习数学的兴趣.二、教学重难点〔一〕教学重点1.进一步体会概率是描述不确定现象的数学模型.2.了解另一类〔几何概率〕事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算.3.能设计符合要求的简单数学模型.〔二〕教学难点1.了解另一类〔几何概率〕事件发生概率的计算方法.2.设计符合要求的简单数学模型.三、教具准备投影片、电脑.四、教学方法讨论法.五、教学安排2课时.六、教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］我手中有两个不透明的袋子，一个袋子中装有8个黑球，2个白球；另一个袋子里装有2个黑球，8个白球.这些球除颜色外完全相同.在哪一个袋子里随意摸出一球，摸到黑球的概率较大？为什么？［生］在第一个袋子里摸到黑球的概率较大.这是因为，在第一个袋子里，P 〔摸到黑球〕=108=54；而在第二个袋子里，P 〔摸到黑球〕=51102 . ［师］现在，我们把两个袋子换成两个房间——卧室和书房，把袋子中的黑白球换成黑白相间的地板砖，示意图4－7如下：图4－7图4－7中的每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大呢？〔板书课题：停留在黑砖上的概率〕Ⅱ.讲授新课——讨论停留在黑砖上的概率1.议一议［师］我们首先观察卧室和书房的地板图，你会发现什么？［生］卧室中黑地板的面积大，书房中白色地板的面积大.［生］每块方砖除颜色不同外完全相同，小猫自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，具有随机性.［师］很好.这位同学已经能用随机观念，去解释我们所研究的事件.由此可知小猫停留在任意一块方砖上的可能性是相同的.［生］老师，我知道了，卧室和书房面积是相等的，而卧室中黑砖的面积大于书房中黑砖的面积，故小猫在卧室里自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，其中停留在黑砖上的概率较大.［师］那么，小猫在卧室里自由地走来走去，停留在黑砖上的概率为多少呢？如何计算呢？下面我们看课件——小猫跳砖.图4－8［议一议］假设小猫在如图4－8所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？〔图中每一块除颜色外完全相同〕〔通过讨论，借助经验，学生可以意识到小猫在方砖上自由地走来走去的随机性，从而计算出最终停留在黑砖上的概率〕.［生］方砖除颜色外完全相同，小猫自由自在地走来走去，并随意停留在某块方砖上，那么小猫停留在任意一块方砖上的概率都相同.因此P 〔小猫最终停留在黑色方砖上〕=41164=. ［师］你是怎样想到计算小猫最终停留在黑色方砖上概率用164的. ［生］我是这样想的，这16块方砖，就像16个小球〔除颜色外完全相同〕，其中4块黑砖相当于4个黑球，12个白砖相当于12个白球，小猫随意在地板上自由地走来走去，相当于把这16个球在袋子中充分搅匀，而最终小猫停留在黑砖上，相当于从袋子中随意摸出一球是黑球，因此我们推测P 〔小猫最终停留在黑砖上〕=41164=. ［师］很好.有没有不同解释呢？［生］我们组是这样想的：小猫最终停留在黑砖上的概率，与面积大小有关系.此事件的概率等于小猫最终停留在黑砖上所有可能结果组成的图形面积即4块方砖的面积，除以小猫最终停留在方砖上的所有可能结果组成的图形即16块方砖的面积.所以P 〔小猫最终停留在黑砖上〕=41164=个方砖面积个方砖面积. ［师］同学们的推测都是很有道理的.接下来我们来看课本P 110两个问题.2.想一想〔1〕小猫在上图所示的地板上自由地走来走去，它最终停留在白色方砖上的概率是多少？〔2〕你同意〔1〕的结果与下面事件发生的概率相等吗？袋中有12个黑球和4个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一球是黑球.［生］〔1〕P 〔小猫最终停留在白色方砖上〕=431612=；〔2〕这两个事件发生的概率是相同的，都是43. ［师］你还能举出了一些不确定事件，使它们发生的概率也为43吗？〔给同学们一定的思考的时间〕［生］如上节课我们玩的摸球游戏，盒子中装有12个红球，4个白球，摸到红球的概率也是43.［生］例如，我手中有16张卡片，每张卡片上分别标有1~16这些数字，充分“洗 〞过后，随意抽出一张，抽到卡片上的数字不大于12的概率为431612=. ［生］例如一个转盘被分成16个相等的扇形，其中12个扇形涂成红色，其余4个涂成黄色，让转盘自由转动，那么指针落在红色区域的概率为431612=. ［师］同学们举出了一些不确定事件，它们发生的概率都为43.其实这样的事件举不胜举.我们不难发现，这些事件虽表达不同，但它们的实质是相同的.Ⅲ.应用深化1.例题［师］日常生活中有许多形式的抽奖游戏，我们可以利用概率的知识计算某些游戏获奖的概率.下面我们就来看这样的例子.图4－9［例1］某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购置100元的商品，就能获得一次转动转盘的时机.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券〔转盘被分成20个相等的扇形〕.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？〔可先由学生独立思考，然后进行交流.〕［师］日常生活中的抽奖游戏要保证对每个参加抽奖者公平，此题是如何保证的？［生］转盘被等分成20个扇形，并且每一个顾客自由转动转盘，说明指针落在每个区域的概率相同，对于参加转动转盘的顾客来说，每转动一次转盘，获得购物券的概率相同，获得100元、50元、20元购物券的概率也相同，因此游戏是公平的.［师］你是如何计算的？［生］解：根据题意，甲顾客的消费额在100元到200元之间，因此可以获得一次转动转盘的时机.转盘被等分成20个扇形，其中1个红色、2个黄色、4个绿色，因此，对于甲顾客来说，P 〔获得购物券〕=20720421=++； P 〔获得100元购物券〕=201； P 〔获得50元购物券〕=101202=； P 〔获得20元购物券〕=51204=. ［师］很好.特别指出的是转盘被等分成假设干份，并且自由转动的情况下，才可用上面的方法计算.2.随堂练习［师］图4－10如图4－10所示，转盘被等分成16个扇形.请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为83.你还能举出一个不确定事件，它发生的概率也是83吗？〔由学生以小组为单位讨论完成，教师可看情况参与到学生的讨论中，注意发现学生错误，及时予以指导.这是一个开放性问题，答案不唯一，只要红色区域占6份即可.鼓励学生多举概率为83的事件，以使他们体会概率模型的思想.〕3.补充练习一张写有密码的纸片被随意地埋在下面矩形区域内〔每个方格大小一样〕 〔1〕埋在哪个区域的可能性大？〔2〕分别计算出埋在三个区域内的概率；〔3〕埋在哪两个区域的概率相同.图4－11〔由学生板演完成〕解：〔1〕埋在“2〞号区域的可能性大.〔2〕P 〔埋在“1〞号区域〕=41； P 〔埋在“2”号区域〕=2142 ；P 〔埋在“3”号区域〕=41.〔3〕埋在“1〞和“3〞区域的概率相同.Ⅳ.课时小结［师］同学们，我们一块来谈一下这节课的收获.［生］我们学会了计算小猫最终停留在黑砖上的概率.［生］我们还学会了设计概率相同的不确定事件.由此我们发现概率相同的不确定事件可以看作是由一个统一的概率模型演变来的.［生］我们还了解了日常生活中的抽奖游戏，还可以计算出获奖的概率. ［师］看来，同学们的收获还真不小！Ⅴ.课后作业1.习题4.4 1、2.2.课本P 111读一读，学会理智地看待中大奖这一情况，可课后展开讨论.3.调查当地的某项抽奖活动，并试着计算抽奖者获奖的概率.Ⅵ.活动与探究图4－12如图4－12是一个转盘，它被等分成6个扇形.你能否在转盘上涂上适当的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，分别满足以下的条件：〔1〕指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同；〔2〕指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率.你能设计一个方案，使得以上两个条件同时满足吗？［过程］因为这个转盘被等分成6个扇形，并且能够自由转动，因此指针落在6个区域的可能性即概率相同.根据概率的计算公式就可得出结论.此题是一个开放题，答案不唯一.［结论］〔1〕只需涂红色和涂黄色的区域的面积相同即可；〔2〕只需涂蓝色区域面积大于涂红色的即可.假设要以上两个条件同时满足，那么需涂红色和涂黄色区域面积相同，且小于涂蓝色区域的面积即可.七、板书设计§4.3 停留在黑砖上的概率一、提出问题：在哪一个房间，小猫停留在黑砖上概率大？二、联系学过的知识、经验、分析解决问题1；1.议一议：P〔小猫最终停留在黑色方砖上〕=43的不确定2.想一想：建立概率模型：举例说明概率为4事件.三、应用、深化1.例题〔抽奖游戏〕2.练习〔由学生口答〕1.8 完全平方公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.●教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.●教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.●教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)第三张：例题，记作(§1.8.1 C)第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)［生］我能帮这位爷爷.［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1－25［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.Ⅱ.讲授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？(出示投影片§1.8.1 A)想一想：(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)［生］用多项式乘法法那么可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.［师生共析］(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2↓↓↓↓ ↓ ↓(a +b)2=a2+2·a ·b + b2=a2－2ab+b2.于是，我们得到又一个公式：(a－b)2=a2－2ab+b2(2)［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(§1.8.1 B)［例1］利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn－a)2.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.解：(1)方法一：［例2］利用完全平方公式计算(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2=4y2－4xy+x2；方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)=4xy.方法二：(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=4xy.(5)(2x －3y)2(2x+3y)2=［(2x －3y)(2x+3y)］2=［4x 2－9y 2］2=16x 4－72x 2y 2+81y 4.Ⅲ.随堂练习课本1.计算： (1)(21x －2y)2;(2)(2xy+51x)2; (3)(n+1)2－n 2.解：(1)(21x －2y)2=(21x)2－2·21x·2y+(2y)2=41x 2－2xy+4y 2 (2)(2xy+51x)2=(2xy)2+2·2xy·51x+(51x)2=4x 2y 2+54x 2y+251x 2(3)方法一：(n+1)2－n 2=n 2+2n+1－n 2=2n+1.方法二：(n+1)2－n 2=［(n+1)+n ］［(n+1)－n ］=2n+1.Ⅳ.课后作业1.课本习题1.13的第1、2、3题.2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.Ⅴ.活动与探究甲、乙两人合养了n 头牛，而每头牛的卖价恰为n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？［过程］因牛n 头，每头卖n 元，故共卖得n 2元.令a 表示n 的十位以前的数字，b 表示n 的个位数字.即n=10a+b,于是n 2=(10a+b)2=100a 2+20ab+b 2=10×2a(5a+b)+b 2.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n 2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b 2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b 2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.●板书设计1.8. 完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①a2+2ab+b2②(a+b)2比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2二、代数推导(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a－b)2=［a+(－b)］2=a2－2ab+b2三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn－a)2四、随堂练习(略)●备课资料一、杨辉杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。
七年级数学科导学案
执教人_____思考下列问题：
交流后派代表说出自己的分析思路和答案，
思考下列问题，由小组讨论得出结论并交流.互相补充完善，并派代表回小球停留在方砖上所有可能出现的结果有几种？停留在黑砖上可能出现的结
A.P1＞P2
B.P1＜P2
C.P1＝P2
D.以上都有可能
2.一位汽车司机准备去商场购物，然后他随意把汽车停在某个停车场内，停车场内一个停车位置正好占一个格且每个格除颜色外完全一样，则汽车停在蓝色区域（阴影表示）的概率 .
如图是一个可自由转动的转盘，转动转盘，停止后，指针指向
.
如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，
.
下面是两个可以自由转动的转盘，转动转盘，分别计算转盘停止后，指
个扇形，请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为
1。
图②图③图① 课题: 停留在黑砖上的概率教学重点: 进一步了解概率的意义,会计算一类事件〔几何概型〕发生的概率教学目标: 1.在具体情景中进一步了解概率的意义,体会概率是描述不确定现象的数学模型;2.了解一类事件发生概率的计算方法并能进行简单的计算;3.能设计符合要求的简单概率模型;4.进一步体会“数学就在我们身边〞,开展“用数学的意识和能力〞; 教学难点: 设计符合要求的简单概率模型教学方法: 引导学生自主探索合作交流教学用具: 试卷教学活动设计:一. 创设情景,进一步了解概率1. 超市的柜台上混合摆放着2个白色,3个黄色,6个红色的文具盒,(这些文具盒除颜色外其余完全相同),小丽对三种颜色都很喜欢,她一时不能决定要哪种颜色便闭上眼睛随便拿了一个。
你认为她拿中哪种颜色文具盒的概率最大？这个概率是多少？说说你的理由。
2. 如图①是一个正方形的飞镖游戏板，小明每次都能击中镖板，试求：P (击中白色正方形)＝P (击中黑色正方形)＝3.小狗在如图②所示的方砖上自由的走来走去，最终停留在条形方砖上的概率为〔 〕A. 1/8B. 7/9C. 2/9D.7/10本组练习可让学生自由发言，互相补充，目的使学生进一步了解概率的意义，并会进行简单的计算。
二. 自主探索合作交流，树立建模思想1.某电视台每周六播放“幸运888〞栏目，游戏方法是：如图③是一个由50个正方形翻板组成。
50个正方形正面是50家企业的商标〔它们除商标内容不同外，大小形状都相同〕并且划分红、黄、蓝、绿四个区域，有一个区域内的某一家商标翻板的反面标有“1万元〞标记，参与者翻到该板即可得到万元大奖。
问：〔1〕“1万元〞 大奖的标记翻板写在哪个区域内的概率最大？〔2〕“1万元〞 大奖的标记写在四个区域内的概率分别是多少？说说你的理由。
在学生自主探究的根底上小组合作完成，在解决问题的过程中体会面积法确定概率的大小是常见的方法。
2.〔见课本P 110例1〕有了以上的学习经历，可放手让学生板演，充分暴露思维过程，教师适时引导使之完善。
