高等数学公式辑录

大学高等数学公式大全（珍藏
版）
大学高等数学公式大全
01
导数公式
021
基本积分表
031
三角函数的有理式积分
041
一些初等函数及极限
0501
三角函数公式
0601
高阶导数公式——莱布尼茨公式
07
中值定理与导数应用
08
曲率
09
定积分的近似计算
10
定积分应用相关公式
11
空间解析几何和向量代数12
多元函数微分法及应用1301
方向导数与梯度
14
多元函数的极值及其求法1501
重积分及其应用
16
柱面坐标和球面坐标
17
曲线积分
1801
曲面积分
1901
高斯公式
2001
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系2101
常数项级数
2201
级数审敛法
23
绝对收敛与条件收敛
24
幂级数
2501
函数展开成幂级数
26
一些函数展开成幂级数
2701
欧拉公式
28
三角级数
29
傅里叶级数
30
微分方程
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发布于 2023-02-22 14:50・IP 属地江西。

大学高等数学公式·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－co tαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

全部高等数学计算公式高等数学是数学的一个分支，包括微积分、线性代数、数理方程、概率论、复分析等多个内容。

每个分支都有大量的计算公式，下面将分别介绍这些分支中一些经典的计算公式。

一、微积分公式1.极限公式：(1)函数极限公式：$lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)$$lim(f(x)g(x))=limf(x)·limg(x)$$lim\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{limf(x)}}{{limg(x)}}$(2)常见函数极限：$lim\frac{{sinx}}{{x}}=1$$lim(1+\frac{1}{{n}})^n=e$$lim(1+\frac{1}{{n}})^{n(p-q)}=e^{(p-q)}$2.导数公式：(1)基本导数公式：$(c)'=0$$(x^n)'=nx^{n-1}$$(e^x)'=e^x$$(a^x)'=a^xlna$$(lnx)'=\frac{1}{{x}}$$(sinx)'=cosx$$(cosx)'=-sinx$$(tanx)'=sec^2x$(2)导数的四则运算：$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$(3)链式法则：$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$3.积分公式：(1)基本积分公式：$\int{cx^n}dx=\frac{{cx^{n+1}}}{{n+1}}+C$$\int{e^x}dx=e^x+C$$\int{a^x}dx=\frac{{a^x}}{{lna}}+C$$\int{\frac{{1}}{{x}}}dx=ln，x，+C$$\int{sinx}dx=-cosx+C$$\int{cosx}dx=sinx+C$$\int{sec^2x}dx=tanx+C$(2)常用积分公式：$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$\int{sin^2x}dx=\frac{{x}}{2}-\frac{{sin2x}}{4}+C$$\int{cos^2x}dx=\frac{{x}}{2}+\frac{{sin2x}}{4}+C$4.泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2+...+\frac{{f^{(n)}}}{{n!}}(x-a)^n+R_n(x)$二、线性代数公式1.行列式公式：(1)二阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$(2)三阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+c dh-ceg-afh-bdi$2.矩阵运算公式：(1)两个矩阵的和：$A+B=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix }+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{2 2}\end{bmatrix}$(2)两个矩阵的乘积：$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{ 21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}$3.特征值与特征向量公式：$A-\lambda I=0$其中，A为矩阵，$\lambda$为特征值，I为单位矩阵。

高等数学宝典（上篇）——公式大全（含微分方程、复变函数）一. 初等数学1. 三角函数 (1) 相互联系,1cos sin 22=+x x ,sec 1tan 22x x =+ .csc 1cot 22x x =+ ,1csc sin =⋅x x ,1sec cos =⋅x x .1cot tan =⋅x x ,tan cos sin x x x = .cot sin cos x xx= 奇变偶不变, 符号看象限:⎩⎨⎧±±=±±±=±=+,3 ,1 ,0 )(,4 ,2 ,0 )()2(n cof n f nf αααπ其中“±”号由角)2(απ+n 所处的象限确定. (2) 和角公式,sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±,sin sin cos cos )cos(βαβαβα∓=±tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα∓±=±(3) 积化和差)],sin()[sin(21cos sin βαβαβα−++= )],cos()[cos(21cos cos βαβαβα−++=)].cos()[cos(21sin sin βαβαβα−−+−=(4) 和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα−+=+ 2sin2cos2sin sin βαβαβα−+=−,2cos 2cos 2cos cos βαβαβα−+=+ .2sin 2sin 2cos cos βαβαβα−+−=−(5) 降幂公式22cos 1sin 2αα−=.22cos 1cos 2αα+= (6) 半角公式, ,1cos sin tansin 1cos αααα−==+, 1cos sin cot sin 1cos αααα+==−.2. 复数(1) 代数表示 z = a +b i(2) 三角表示 z = r (cos θ +i sin θ), 其中r = |a + b i| = , a = r cos θ, b = r sin θ. (3) 指数表示 a + b i = re i θ (欧拉公式: e i θ = cos θ +i sin θ ).3. 一些常见的曲线(1) 圆222a y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos θθa y a x极坐标方程为ρ = a (θ∈[0, 2π) );(2) 圆222)(a a y x =−+的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin ,cos t a a y t a x (t ∈[0, 2π) ) 极坐标方程为ρ = 2a sin θ (θ∈[0, π) ) ;(3)圆222)(a y a x =+−的参数方程为⎩⎨⎧=+=,sin ,cos t a y t a a x (t ∈[0, 2π) )极坐标方程为ρ = 2a cos θ )]2,2((ππθ−∈ ;(4) 圆222)(a y a x =++的参数方程为⎩⎨⎧=+−=,sin ,cos t a y t a a x (t ∈[0, 2π) ) 极坐标方程为ρ = -2a cos θ ))23,2[(ππθ∈;(5) 圆222)(a a y x =++的参数方程为⎩⎨⎧+−==,sin ,cos t a a y t a x (t ∈[0, 2π) ) 极坐标方程为ρ = -2a sin θ (θ∈[π, 2π) );(6) 椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x (t ∈[0, 2π) );(7) 空间螺线⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos bt z t a y t a x (t;(8) 笛卡儿叶线x 3+y 3=3axy的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313t at y t at x ;(9) 星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ; (10) 摆线(圆滚线) 22)1arcsin(y ay aya x −−−=的参数方程为⎩⎨⎧−=−=)cos 1()sin (t a y tt ax;(11) 心形线)(2222x y x a y x −+=+的极坐标方程为ρ = a (1-cos θ);(12) 心形线)(2222x y x a y x ++=+的极坐标方程为ρ = a (1+cos θ);(13) 双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2)的极坐标方程为ρ2 = a 2cos2θ ;(14) 双纽线(x 2+y 2)2=2a 2xy的极坐标方程为ρ2 = a 2sin2θ ;(15) 阿基米德螺线xya y x arctan 22=+的极坐标方程为ρ = a θ(16) 不经过原点的直线ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0)⇒ a ρcos θ + b ρsin θ + c = 0⇒.sin cos θθρb a c+=例如: x = a (a > 0) ⇒2,2(cos ππθθρ−∈=ax = a (a <0) ⇒23,2(cos ππθθρ∈=a y = a (a >0) ⇒);,0(sin πθθρ∈=ay = a (a <0) ⇒);2,(sin ππθθρ∈=ay = x − a (a > 0) ⇒43,4(sin cos ππθθθρ−∈+=a 二. 极限1. |q |<1, nn q ∞→lim = 0. 2. n n n ∞→lim =1.3. 设数列{a n }与{b n }都收敛, a a n n =∞→lim , b b n n =∞→lim , 则n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim )(lim = a ±b ; )lim )(lim ()(lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→== ab ;n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim =b a (b ≠0). 4. 设x n =m m ll n b n b b n a n a a ++++++ 1010, 其中a l ≠0, b m ≠0, l ≤m , 则∞→n lim x n =⎩⎨⎧<=m l m l a m l 0. 5. ∞→n lim (p 1+22p+…+n p n ) =2)1(−p p , 其中p >1. 6. ()nn n 11lim +∞→= e. 7. 设)(lim 0x f x x →=A , )(lim 0x g x x →=B . 则)(lim )(lim )()([lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±= A ±B;)](lim )][(lim [)]()([lim 0x g x f x g x f n n x x ∞→∞→→== AB ; )(lim )(lim )()(lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→==B A(B ≠0).8. 设y = f (u )与u = g (x )的复合函数f [g (x )]在x 0的某去心邻域)(0x N内有定义.若)(lim 0x g x x →=u 0, )(lim 0u f u u →=A , 且∀x ∈)(0x N, 有g (x )≠u 0, 其中x 0, u 0为有限值.则复合函数f [g (x )]当x →x 0时也有极限, 且)]([lim 0x g f x x →=)(lim 0u f u u →=A .9. x x x sin lim 0→=1. xx x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim = e.10. 常用的等价无穷小:sin x ～tan x ～arcsin x ～arctan x ～ x (x →0); (1- cos x )～221x (x →0) ln(1+x )～x (x →0) (e x -1)～x (x →0) (n x +1-1)～nx (x →0); [α)1(x +-1]～αx (x →0). 三. 导数与微分1. 导数定义: 0000000)()(lim )()(lim lim)(0x x x f x f x x f x x f x yx f x x x x −−=∆−∆+=∆∆=′→→∆→∆.2. 函数四则运算的求导法则).()(])()([x v x u x v x u ′±′=′± ).()()()(])()([x v x u x v x u x v x u ′+′=′⋅.)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u ′−′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡/3. 反函数的求导法则设定义在区间I 上的严格单调连续函数x = f ( y )在点y 处可导, 且0)(≠′y f , 则其反函数y = f -1(x )在对应的点x 处可导, 且)(1)()(1y f x f′=′−即yx x y d d 1d d =. 4. 复合函数的求导法则设函数)(x u ϕ=在点x 处可导, 函数y = f (u )在对应的点)(x u ϕ=处可导, 则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处可导, 且),()(d d x u f xyϕ′′=即x u u y x y d d d d d d ⋅=. 5. 设函数y = f (x )由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定. ),(t x ϕ= )(t y ψ=在区间],[βα上可导, 函数)(t x ϕ= 具有连续的严格单调的反函数),(1x t −=ϕ且,0)(≠′t ϕ则)).(()(1x t y −==ϕψψ函数y = f (x )的导函数由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧′′=′=)()()(t x t y y t x ϕ确定.6. 基本求导公式(1) (x α)′ = αx α−1. (2)(a x )′ = a x ln a . (3) (e x )′ = e x . (4) (log a x )′ =1ln x a . (5) (ln x )′ =1x. (6) (sin x )′ = cos x . (7) (cos x )′ = −sin x . (8) (tan x )′ = sec 2x . (9)(cot x )′ = −csc 2x . (10) (sec x )′ = sec x ⋅tan x . (11) (csc x )′ = −csc x ⋅cot x . (12) (arcsin x )′=(arccos x )′ =(14) (arctan x )′ =211x +. (15) (arccot x )′ = −211x +. 7. 一些简单函数的高阶导数(n , k 为正整数) (1)⎪⎩⎪⎨⎧>=<+−−⋅=−,0,!,)1()1()()(n k n k n n k x k n n n x k n k n(2) ,)1()1()1()()(k n k k n x k n n n x −−−−++⋅−= (3) ,)1()1(])1[()(k k x k x −+−−⋅=+ααααα (4) ),(ln )()(a a a k x k x = 特别的, ,)()(x k x e e =(5) ,)!1()1()(ln 1)(kk k x k x −−=− (6) )1()!1()1()]1[ln(1)(k k k x k x +−−=+−(7)),2sin()(sin )(πk x x k += (8) 2cos()(cos )(πk x x k +=(9) ()()()0()nn k n k k n k uv C u v −==∑ ()(1)(2)()()()(1)(1)(1)2!!n n n n k k n n n n n n k u v nu v u v u v uv k −−−−−−+′′′=++++++8. 微分四则运算法则: ,d d )(d v u v u ±=± ,d d )(d v u u v uv += ).0(d d d 2≠−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛v v vu u v v u 9. 微分复合运算法则(一阶微分形式不变性)设函数y = f [g(x )]由可微函数y = f (u )与u = g (x )复合而成, 则有,d )(d u u f y ′= ,d )(d x x g u ′= 另一方面, d y =().d )(d )()(d )]([u u f x x g u f x x g f ′=′′=′10. 拉格朗日中值定理:设函数f (x )满足下列条件: (1) f (x )∈C [a , b ], (2) f (x )在(a , b )内可导. 则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得f (b ) − f (a ) = f ′(ξ)(b −a ). 11. 柯西中值定理:设函数f (x ), g (x )满足下列条件:(1) f , g ∈C [a , b ], (2) f , g 在(a , b )内可导, (3) g ′(x )≠0 ∀x ∈(a , b ).则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ′′=−−13. 洛必达法则设函数f (x )在区间(x 0, x 0+δ)(δ>0)内满足下列条件: (1) ,0)(lim )(lim 0==++→→x g x f x x x x (2) f , g 在(x 0, x 0+δ)内可导, 且,0)(≠′x g (3) A x g x f x x =′′+→)()(lim 0(A 为有限数或∞). 则.)()(lim )()(lim 00A x g x f x g x f x x x x =′′=++→→ 设函数f (x )在区间(x 0, x 0+δ)(δ>0)内满足下列条件: (1) ,)(lim )(lim 0∞==++→→x g x f x x x x (2) f , g 在(x 0, x 0+δ)内可导, 且,0)(≠′x g (3)A x g x f x x =′′+→)()(lim 0(A 为有限数或∞). 则.)()(lim )()(lim 00A x g x f x g x f x x x x =′′=++→→ 不可用洛必达法则的情形.(1) 21lim 1++→x x x , (2) xx x x sin lim +∞→, (3) x x xx x e e e e −−+∞→+−lim .事实上, 21lim 1++→x x x =32, xx x x sin lim +∞→=sin 1(lim x xx +∞→=1, x x x x x e e e e −−+∞→+−lim =x x x e e 2211lim −−+∞→+−=1. 14. 带皮亚诺余项的泰勒公式设函数f (x )在x 0处n 阶可导, 则f (x )=k nk k x x k x f )!)(000)(−∑=+ o((x -x 0)n ). 15. 几个初等函数的麦克劳林公式(1) e x =1+x +21x 2+61x 3+…+!1n x n+ o(x n ).(2) sin x = x -!31x 3+!51x 5-…+(-1)n )!12(1+n x 2n +1 + o(x 2n +1). (3) cos x = 1-!21x 2+!41x 4-…+(-1)n )!2(1n x 2n + o(x 2n ).(4) ln(1+x ) = x -21x 2+31x 3-…+(-1)n -1n 1x n + o(x n ).(5) α)1(x +=n x n n x x !)1()1(!2)1(12+−−++−++αααααα + o(x n ).(6) sin 2x =22cos 1x −=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−+−−n nn x n x x x 2242)2(o )!2()2()1(!4)2(!2)2(12121=)(o !)!12(!2)1(3221142n n n n x x n n x x +−−++−−+ .(7) cos 2x =1- sin 2x = 1-)(o !)!12(!2)1(322142n n n nx x n n x x +−−+−+− .16. 带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(],[)(n b a C x f ∈, 且)1(),()(+∈n b a C x f , 则],[,0b a x x ∈∀, 有 f (x )=knk k x x k x f )!)(000)(−∑=+10)1()()!1()(++−+n n x x n f ξ, 其中ξ介于x 与x 0之间. 17. 几个初等函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式(1) e x=1+x +21x 2+61x 3+…+!1n x n+1)!1(++n x x n e θ (x ∈R , 0<θ<1).(2) sin x = x -!31x 3+!51x 5-…+(-1)n -1)!12(1−n x 2n -1 +12)!12(cos )1(++−n n x n x θ (x ∈R , 0<θ<1). (3) cos x = 1-!21x 2+!41x 4-…+(-1)n )!2(1n x 2n +221)!22(cos )1(+++−n n x n x θ (x ∈R , 0<θ<1). (4) ln(1+x ) = x -21x 2+31x 3-…+(-1)n -1n 1x n+)1(1)1)(1()1(++++−n n n x n x θ (x ∈R , 0<θ<1). (5) α)1(x +=n x n n x x !)1()1(!2)1(12+−−++−++αααααα +11)1)!1()()1(+−−++−−n n x x n n αθααα (x ∈R , 0<θ<1). 18. 曲率(1) 设曲线C 在直角坐标系中的方程为y = y (x )且y (x )具有二阶导数. 则K =232])(1[y y ′+′′.(2) 设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y y t x x , 则K =2322])()[(t t t t t t y x y x y x ′+′′′′−′′′. 四. 一元积分1. 定积分的性质(1) 若f , g 在[a , b ]上可积, k 1, k 2∈R , 则∫+bax x g k x f k )]d ()([21.)d (d )(21∫∫+=babax x g k x x f k(2) 若f 在某区间I 上可积, 则f 在I 的任一子区间上可积, 且∀a , b , c ∈I ,∫bax x f d )(.)d (d )(∫∫+=bcc ax x f x x f(3) 若f , g 在[a , b ]上可积, 且∀x ∈[a , b ], f (x )≤g (x ), 则∫bax x f d )(≤.d )(∫bax x g(4) 若f 在[a , b ]上可积, 且∀x ∈[a , b ], f (x )≥0, 则∫bax x f d )(≥0.(5) 若f 在[a , b ]上可积, 则∫bax x f d )(≤.d )(∫bax x f(6) 若f 在[a , b ]上可积, 且∀x ∈[a , b ], m ≤f (x )≤M , 则m (b -a )≤∫bax x f d )(≤M (b -a ).(7) 若f ∈C [a , b ], 则至少存在一点ξ∈[a , b ]使∫bax x f d )(= f (ξ)(b -a ).2. 变上限积分所定义的函数的性质设f (x )∈C[a , b ], 则函数∫=Φxat t f x d )()(在区间[a , x ]上可导, 且Φ′(x )= f (x ).3. 微积分学基本公式若f (x )∈C[a , b ], F (x )为f (x )在区间[a , b ]上的一个原函数, 则∫bax x f d )(= F (b )-F (a ).4. 不定积分的性质(1) ),(]d )([x f x x f =′∫,d )(]d )([d x x f x x f =∫,)(d )(C x f x x f +=′∫ .)()(d C x f x f +=∫(2) 设f (x ), g (x )有原函数, k 1, k 2∈R , 则.d )(d )(d )]()([2121∫∫∫+=+x x g k x x f k x x g k x f k5. 基本积分表(1) d k x kx C =+∫ (k 是常数). (2) 1d 1x x x C ααα+=++∫ (α ≠−1)(3) 1d ln ||x x C x =+∫. (4) 21d arctan 1x x C x =++∫.(5)arcsin x x C =+. (6) cos d sin x x x C =+∫. (7) sin d cos x x x C =−+∫. (8) 221d sec d tan cos x x x x C x==+∫∫. (9) 221d csc d cot sin x x x x C x==−+∫∫. (10) sec tan d sec x x x x C =+∫. (11) csc cot d csc x x x x C =−+∫. (12) d x xe x e C =+∫.(13) d ln xxa a x C a=+∫. (14) sh d ch x x x C =+∫. (15)ch d sh x x x C =+∫. (16) tan d ln |cos |x x x C =−+∫.(17) cot d ln |sin |x x x C =+∫ (18) sec d ln |sec tan |x x x x C =++∫.(19)csc d ln |csc cot |x x x x C =−+∫ (20)2211d arctan xx C a x a a=++∫. (21) 2211d ln 2x a x C x a a x a −=+−+∫. (22) 2211d ln 2a x x C a x a a x −=+−−∫.(23)C +∫. (24) ln(x x C =++∫.(25) 2ln ||2a x x C =±+∫.(26) 2arcsin 2a x x C a =+∫. (27) /20sin d n n I x x π=∫=/20cos d nx x π∫=21n n I n−−.6. 换元积分法(1) 第一类换元积分法: 设函数u =ϕ (x )可微, F (u )为f (u )的一个原函数. 则∫′x x x f d )()]([ϕϕ∫=u u f d )(C u F +=)(.)]([C x F +=ϕ(2) 常见的凑微分法①)(d 1d b ax ax +=(a , b 为常数且a ≠0) ②)(d )1(1d 1b ax an x x n n++=+(a , b 为常数且a ≠0, n ≠-1)③),(ln d 1x x x= ④),(d d xx e x e = ⑤),(cos d d sin x x x −= ⑥),(tan d d sec 2x x x = ⑦),(arctan d d 112x x x =+ ⑧∫+x x a 122∫+++++=x x a x a x x a x d )(222222∫++++=)(d 12222x a x x a x , ⑨∫−x a x d 122∫−−+−+=x a x a x x a x x d )(222222∫−+−+=)(d 12222a x x a x x ,⑩∫−+x x x d 112=∫−x x 112∫−+x x x d 12∫−−−=)1(d 1121arcsin 22x x x .(3) 第二类换元积分法: 设函数f (x ) 连续, 函数x = ϕ (u )有连续的导数, ϕ '(u )≠0, 且∫′u u u f d )()]([ϕϕ.)(C u F +=则∫x x f d )(∫′=u u u f d )()]([ϕϕC u F +=)(.)]([1C x F +=−ϕ (4) 常见的第二类换元法①令u b ax n =+(a , b 为常数且a ≠0) ②令nd cx bax ++= t (其中ac ≠0, b , d 不同时为零) ③令,1u x =④令u = tan 2x , 则sin x =221u u +, cos x =2211u u −+, d x =22d 1uu +.⑤令x = a sin t , = a cos x , d x = a cos t d t , 其中a > 0, t ∈ [0, π/2].⑥令x = a sec t , a tan x , d x = a sec t tan t d t , 其中a > 0, t ∈ (0, π/2).⑦令x = a tan t , a sec x , d x = a sec 2x d t , 其中a > 0, t ∈ (0, π/2).7. 分部积分法(1) 不定积分的分部积分法∫u (x )d v (x ) = u (x )v (x ) - ∫v (x )d u (x )(2) 分部积分法中u (x ), v (x )的常见选取方法① P (x )sin x d x = -P (x )d(cos x ), P (x )cos x d x = P (x )d(sin x ). ② P (x )e x d x = P (x )d(e x ).③ P (x ) ln x d x = ln x d(∫P (x )d x ).④ e ax cos(bx )d x =a 1cos(bx )d(e ax ) =b 1e ax d(sin(bx )), e ax sin(bx )d x =a 1sin(bx )d(e ax ) =b1−e ax d(cos(bx )).(3) 定积分的分部积分法∫′bax x v x u d )()(∫=bax v x u )(d )(.)(d )()()(∫−=babax u x v x v x u8. 平面曲线的弧长(1) 在直角坐标系中: y = f (x ), x ∈[a , b ], 其中,C )()1(],[b a x f ∈取d s =,)d ()d (22y x +则∆s -d s = o(∆x ) (∆x →0), 于是.d )(12∫′+=bax y s(2) 参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ t ∈[α, β], 其中,C )(),()1(],[βαψϕ∈t td s =22)d ()d (y x+,t =于是.d )]([])([22∫′+′=βαψϕt t t s(3) 极坐标系中: ρ = ρ (θ), θ∈[α, β], 则⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x , .d )]([)(22∫′+=βαθθρθρs 9. 空间曲线的弧长设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ∈[α, β], 其中(1)[,](),(),()C ,x t y t z t αβ∈则d s,t = 于是L的长度为.s t βα=∫10. 平面图形的面积(1) 直角坐标系中① y = f (x ) 与 y = g (x )以及x = a , x = b 所围成的图形的面积(其中f (x )≥ g (x )).d )]()([∫−=bax x g x f A② x = ϕ(y ) 与 x = ψ(y )以及y = c , y = d 所围成的图形的面积(其中ψ(y )≥ ϕ(y )).d )]()([∫−=dcy y y A ϕψ(2) 极坐标系中ρ = a θ, θ∈[α, β], ,d )(21d 2θθρ=A .d )(212∫=βαθθρA 11. 空间立体的体积(1) 平行截面面积A (x )已知的立体(a ≤ x ≤ b ): d V = A (x )d x , .d )(∫=bax x A V(2) 旋转体的体积① y = f (x ) (x ∈[a , b ])绕x 轴旋转一周(其中f (x )≥0), A (x ) = π f 2(x ), 故.d )(2∫=b a x x f V π② x = g (y ) (y ∈[c , d ])绕y 轴旋转一周(其中g (y )≥0), A (y ) = πg 2(y ), 故.d )(2∫=dcy y g V π五. 微分方程1. 一阶可分离变量的微分方程:),()(d d y g x f xy=其中f (x ), g (y )连续. )()(d d y g x f x y =x x f y g y d )()(d =⇒∫∫=⇒x x f y g yd )()(d .)()(C x F y G +=⇒ (其中g (y )≠0, )(1)(y g y G =′ F ′ (x ) = f (x ), C 为任意常数) 2. 一阶线性微分方程: ),()(d d x q y x p xy=+其中p (x ), q (x )连续.(1) 对于,0)(d d =+y x p x y分离变量得:,d )(d x x p yy −= ∫=−x x p Ce y d )(( C 为任意常数). (2) 对于),()(d d x q y x p xy=+ ∫=−x x p e x C y d )()(得].d )([d )(d )(C x e x q e y x x p x x p +∫∫=∫− 3. 可经变量代换化为已知类型的几类一阶微分方程 (1) 齐次方程:),,(d d y x f xy= 其中f (tx , ty ) = f (x , y ), .0≠∀t①将原方程化为),(d d x yx y ϕ= ②令x y u =得,ux y = 从而d d d d x u x u x y +=代入原方程并整理得,)(d d u u xux −=ϕ③分离变量, 得,d )(d xxu u u =−ϕ ④两边积分,⑤以xy代替u . (2) 伯努里方程: ,)()(d d αy x q y x p x y=+其中.1,0≠α①两边同除以αy 得),()(d d 1x q y x p xy y =+−−αα②令,1α−=y z 则,d d )1(d d x y y xz αα−−= 原方程化为),()1()()1(d d x q z x p x z αα−=−+ ③解上述关于z 的一阶线性非齐次微分方程,④ 以α−1y 代替z .4. 可降阶的高阶微分方程 (1) )()(x f yn =型(2) 不显含未知函数y 的方程:).,(y x f y ′=′′令,z y =′ 则).,(d d z x f xz= 若解之得),,(1C x z ϕ= 则.d ),(21∫+=C x C x y ϕ (3) 不显含自变量x 的方程: ).,(y y f y ′=′′改取y 为自变量, 令),(y z y z =′= 则.d d d d d d d d yz z x y y z x z y ⋅=⋅==′′ 于是原方程化为).,(d d z y f y zz= 这是关于z (y )的一阶微分方程, 若解之得: ),,(1C y z ϕ= 即),,(d d 1C y x y ϕ= 则.),(d 21∫+=C C y yx ϕ5. 设a 1(x ), a 2(x ) f (x ) ∈ C I , 则∀x ∈I 及任给的初始条件y (x 0) = y 0, y ′(x 0) = y 1, 初值问题⎩⎨⎧=′==+′+′′,)(,)(),()()(100021y x y y x y x f y x a y x a y 存在定义于区间I 上的唯一解y = y (x ).6. 设y 1(x ), y 2(x )是线性齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0的两个解, 1212()()()()()y x y x W x y x y x =′′, 则(1) y 1(x ), y 2(x )在区间I 上线性相关 ⇔ ∃x 0∈I 使它们的Wronski 行列式W (x 0) = 0.(2) y 1(x ), y 2(x )在区间I 上线性无关⇔∀x ∈I , 它们的Wronski 行列式W (x ) ≠ 0. 7. 线性齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0必存在两个线性无关的解.8. 设y 1(x ), y 2(x )是线性齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0的两个线性无关的解, 则该线性齐次方程的解集S 是y 1(x ), y 2(x )生成的一个二维线性空间{}112212|,.y c y c y c c =+为任意常数9. 设y *(x )是二阶线性非齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = f (x ) ①的一个特解, y 1(x ), y 2(x )是对应的齐次方程 y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0 ②的两个线性无关的解, 则y = c 1y 1(x ) + c 2y 2(x ) + y *(x )为非齐次方程①的通解. 10. 设)(*x y i 是方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = f i (x ) (i = 1, 2, …, n )的特解,则)()(**1x y x y n ++ 是方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = f 1(x ) + … + f n (x )的特解. 11. 二阶线性常系数齐次方程的解法(1) 特征方程ar 2+br +c = 0有两个相异实根r 1, r 2, 则通解.2121xr xr e c e c y += (2) 特征方程有两个相等实根r 1 = r 2 = r , 则通解.)(21rx e x c c y +=(3) 特征方程有一对共轭复根r = α ± i β, 则通解).sin cos (21x c x c e y xββα+= 12. 二阶线性常系数非齐次方程的解法(1) 待定系数法求ay ″+by ′+cy = f (x ) (a ≠0, b , c 为常数)的特解.① f (x ) = P n (x )e α x .若α不是ar 2+br +c = 0的根, 则令y * = (b 0x n +b 1x n -1 +…+ b n -1x + b n )e α x . 若α是ar 2+br +c =0的单根, 则令y * = x (b 0x n +b 1x n -1 +…+ b n -1x + b n )e α x . 若α是ar 2+br +c =0的重根, 则令y * = x 2(b 0x n +b 1x n -1 +…+ b n -1x + b n )e α x . 再代入原方程, 通过比较系数确定b 0, b 1, …, b n . ② f (x ) = P n (x )e α x cos βx 或f (x ) = P n (x )e α x sin βx .先求ay ″+by ′+cy = P n (x )e α x [cos βx + isin βx ] = P n (x )e (α+i β)x 的特解Y *.则原方程的特解互取为⎪⎩⎪⎨⎧===xe x P xf Y xe x P xf Y y xn xn ββααsin )()( *,Im cos )()( *,Re * (2) 常数变易法13. n 阶Euler 方程: a 0x n y (n ) + a 1x n -1y (n -1) +…+ a n -1xy ′ + a n y = f (x ) (其中a 0, a 1, …, a n 为常数). 14. 二阶Euler 方程的解法.令x = e t, 则ax 2y ′′ + bxy ′ + cy = f (x )化为).(d d )(d d 22te f cy ty a b t y a =+−+这是一个线性常系数微分方程, 求出其通解后将t 换为ln x 即得原方程的解.六. 多元函数微分学1. 偏导数定义00(,)x y zx ∂∂ = z x (x 0, y 0) = f x (x 0, y 0) = x y x f y x x f x ∆−∆+→∆),(),(lim 00000.00(,)x y zy ∂∂ = z y (x 0, y 0) = f y (x 0, y 0) = y y x f y y x f y ∆−∆+→∆),(),(lim 00000.),,()(2222y x f xfx z x z x xx =∂∂=∂∂=∂∂∂∂ ),,()(22y x f y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂∂),,()(22y x f x y fx y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂∂ ),,()(2222y x f y f y z y z y yy =∂∂=∂∂=∂∂∂∂2. 可微的必要条件:若函数f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处可微, 则 ① f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处连续;② f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处存在偏导数, 且.d ),(d ),(d 0000),(00y y x f x y x f z y x y x+=3. 全微分的运算法则d[f (x , y ) ± g (x , y )] = d f (x , y ) ± d g (x , y );d[f (x , y )g (x , y )] = g (x , y )d f (x , y ) + f (x , y )d g (x , y );),(),(d ),(),(d ),(),(),(d2y x g y x g y x f y x f y x g y x g y x f −= (g (x , y ) ≠ 0). 4. 方向导数(1) z = f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处沿着向量l 的方向导数00(,)x y z ∂∂lty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim00000−++→βα,其中向量l 的方向余弦为cos α, cos β.(2) 若函数f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处可微, 则f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处沿任一方向l 的方向导数都存在,且有.cos ),(cos ),(0000),(00βαy x f y x f zy x y x +=∂∂l5. 梯度grad f (x 0, y 0)j.),(i ),(0000y x f y x f y x +=6. 复合函数微分法(1) 设函数u = ϕ(x ), v = ψ(x )在点x 处可导, 而z = f (u , v )在对应的点(u , v )处可微,则复合函数z = f (ϕ(x ), ψ(x ))在点处可导, 且x vv z x u u z x z d d d d d d ∂∂+∂∂=d d grad {,}.d d u v z x x=⋅ (2) 设函数u = ϕ(x , y ), v = ψ(x , y )在点(x , y )处可偏导, 而z = f (u , v )在对应的点(u , v )处可微,则复合函数z = f (ϕ(x , y ), ψ(x , y ))在点(x , y )处存在偏导数, 且xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂},,{grad x v x u z ∂∂∂∂⋅= y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂},,{grad yv y u z ∂∂∂∂⋅= 7. 隐函数微分法(1) 设二元函数F (x , y )满足下列条件:①F x (x , y ), F y (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续. ②F (x 0, y 0) = 0, ③F y (x 0, y 0) ≠ 0.则存在点x 0的一个邻域N (x 0, δ )以及在N (x 0, δ )内定义的唯一的函数y = y (x )满足: (i) y 0 = y (x 0), F (x , y (x )) ≡ 0, ∀x ∈N (x 0, δ ).(ii) 在N (x 0, δ )中, 函数y = y (x )有连续的导数, 且yxF F y −=′ (2) 设n +1元函数F (x 1, x 2, …, x n , y )满足下列条件:①),,,,(21y x x x F n x i (i = 1, 2, …, n ), F y (x 1, x 2, …, x n , y )在点M 0的某邻域内连续. ②F (M 0, y 0) = 0, ③F y (M 0, y 0) ≠ 0.则存在点M 0的一个邻域N (M 0, δ )以及在N (M 0, δ )内定义的唯一的一个n 元函数 y = y (x 1, x 2, …, x n )满足: (i) y 0 = y (M 0),且F (x 1, x 2, …, x n , y (x 1, x 2, …, x n )) ≡ 0, ∀( x 1, x 2, …, x n )∈N (M 0, δ ). (ii) y = y (x 1, x 2, …, x n )在N (M 0, δ )中有一阶连续偏导数, 且y x iF F x yi −=∂∂(i = 1, 2, …, n ).(3) 设三元函数F (x , y , z ), G (x , y , z )满足下列条件:①F x , F y , F z , G x , G y , G z 在点M 0(x 0, y 0, z 0)的某邻域内连续.②F (x 0, y 0, z 0) = 0, G (x 0, y 0, z 0) = 0, ③.00≠M zy z y G G F F则存在点x 0的一个邻域N (x 0, δ )以及在N (x 0, δ )内定义的唯一的一组函数⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 满足:(i) y 0 = y (x 0), z 0 = z (x 0), 且⎩⎨⎧≡≡0))(),(,(0))(),(,(x z x y x F x z x y x F ∀x ∈N (x 0, δ ).(ii) y = y (x ), z = z (x )在N (x 0, δ )中均有连续的导数,且,),(),(),(),(d d z y G F x z G F x y ∂∂∂∂=,),(),(),(),(d d z y G F y x G F x z ∂∂∂∂=其中,),(),(x z x z G G F F x z G F =∂∂,),(),(zy zy G G F F z y G F =∂∂.),(),(yx yx G G F F y x G F =∂∂8. 切线方程与法平面方程(1) 设曲线Γ的参数方程为(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩ M 0, M 的坐标分别为(x (t 0), y (t 0), z (t 0)), 则切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x x ′−=′−=′− 故切向量为a = {x ′(t 0), y ′(t 0), z ′(t 0)}, 法平面的方程为x ′(t 0)(x -x 0) + y ′(t 0) (y -y 0) + z ′(t 0)(z -z 0) = 0. (2) 设曲线Γ的方程为⎩⎨⎧==),(),(x z z x y y 则点))(),(,(0000x z x y x M 处的切线方程为)()()()(100000x z x z z x y x y y x x ′−=′−=− 法平面方程为:(x -x 0) + y ′(x 0) (y -y (x 0)) + z ′(t 0)(z -z (x 0)) = 0.(3) 设曲线Γ的方程为⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 它确定⎩⎨⎧==),(),(x z z x y y 则点M 0处的切线方程为:00),(),(),(),(),(),(000M M M y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂−=∂∂−=∂∂−法平面方程为:.0)(),(),()(),(),()(),(),(000000=−∂∂+−∂∂+−∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F M M M9. 切平面方程与法线方程(1) Σ: F (x , y , z ) = 0在点M 0(x 0, y 0, z 0)处的切平面方程为,0))(())(())((000000=−+−+−z z M F y y M F x x M F z y x法线方程为)()()(000000M F z z M F y y M F x x z y x −=−=−(2) Σ: z = f (x , y )在点M 0(x 0, y 0, z 0)处的切平面方程为,0)())(,())(,(0000000=−−−+−z z y y y x f x x y x f y x法线方程为1),(),(0000000−−=−=−z z y x f y y y x f x x y x10. 多元函数的Taylor 公式设二元函数f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)的某邻域N (M 0)内有n +1阶连续偏导数. 则 ∀M (x 0+∆x , y 0+∆y )∈N (M 0), 有),(00y y x x f ∆+∆+),()(),(0000y x f y y x x y x f ∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+= +∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+),((!21002y x f yy x x),()(!100y x f y y xx n n ∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+),()()!1(1001y y x x f y y x x n n ∆+∆+∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+++θθ 其中0<θ <1.上式称为二元函数f (x , y )在点M 0处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 公式. 特殊情形 (1) 中值公式),(00y y x x f ∆+∆+y y y x x f x y y x x f y x f y x ∆∆+∆++∆∆+∆++=),(),(),(000000θθθθ其中0<θ <1.(2) 一阶Taylor 公式),(00y y x x f ∆+∆+),((),(0000y x f y y xx y x f ∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+=),()(21002y y x x f yy x x ∆+∆+∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+θθ0],[),(00M y x f f y x y x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆∆+y x M H y x f )(],[21*其中M *(x 0+θ∆x , y 0+θ∆y ), 0<θ <1, H f (M )为f 在点M (x , y )处的Hessian 矩阵.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡yy xy xy xx f f f f(3) Maclaurin 公式f (x , y ) = f (0, 0)∑=∂∂+∂∂⋅+nk k f y y x x k 1)0,0()(!1),(()!1(11y x f y y x x n n ∆∆∂∂⋅+∂∂⋅+++θθ, 其中0<θ <1.七. 数量函数积分1. 数量函数积分的定义 ∫Ω f (M )d Ω = 01lim()nkk d k f M→=∆Ω∑.2. 数量函数积分的性质(1) ∫Ω [a f (M ) + b g (M )]d Ω = a ∫Ω f (M )d Ω + b ∫Ω g (M )d Ω, 其中a , b 为常数.(2) ∫Ω f (M )d Ω = ∫Ω1 f (M )d Ω + ∫Ω2 f (M )d Ω, 其中Ω = Ω1∪Ω2, 且Ω1与Ω2无公共内点. (3) f (M ) ≤ g (M ) (∀M ∈Ω) ⇒ ∫Ω f (M )d Ω ≤ ∫Ω g (M )d Ω. (4) |∫Ω f (M ) d Ω| ≤ ∫Ω | f (M )|d Ω.(5) a ≤ f (M ) ≤ b (∀M ∈Ω) ⇒ aV ≤ ∫Ω f (M )d Ω ≤ bV , 其中V 为Ω的度量. (6) f (M ) ∈ C Ω ⇒ ∃M ∗∈Ω s.t. ∫Ω f (M )d Ω = f (M ∗)V , 其中V 为Ω的度量. 3. 直角坐标系下的二重积分的计算(1) D = {(x , y ) | a ≤ x ≤ b , ϕ1(x ) ≤ y ≤ ϕ2(x )}, 则∫∫D f (x , y )d σ =21()()d (,)d bx ax x f x y y ϕϕ∫∫.(2) D = {(x , y ) | c ≤ y ≤ d , ψ1(y ) ≤ x ≤ ψ2(y )}, 则∫∫D f (x , y )d σ =21()()d (,)d dy cy y f x y x ψψ∫∫.4. 二重积分换元法设函数f (x , y )在有界闭区域D 上连续, x = ϕ(u , v ) 和 y = ψ(u , v )有一阶连续偏导数, 且Jacobi 行列式J (u , v ) =(,)(,)x y u v ∂∂=u vu vϕϕψψ≠ 0,则 ∫∫D f (x , y )d x d y = ∫∫D f (ϕ(u , v ), ψ(u , v ))|J (u , v )|d u d v .5. 极坐标系下二重积分的计算令x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ, 则∫∫D f (x , y )d x d y = ∫∫D f (ρcos ϕ, ρsin ϕ)ρd ρd ϕ. (1) 极点O 在D 的外部D = {(ϕ, ρ) | α ≤ ϕ ≤ β, ρ1(ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2(ϕ)}, 则∫∫D f (x , y )d x d y =21()()d (cos ,sin )d f βρϕαρϕϕρϕρϕρρ∫∫.(2) 极点O 在D 的边界曲线上D = {(ϕ, ρ) | α ≤ ϕ ≤ β, 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)}, 则∫∫D f (x , y )d x d y =()d (cos ,sin )d f βρϕαρϕρϕρϕρ∫∫.(3) 极点O 在D 的内部D = {(ϕ, ρ) | 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)}, 则∫∫D f (x , y )d x d y =2()d (cos ,sin )d f πρϕϕρϕρρρϕ∫∫.6. 广义极坐标变换令x = a ρcos ϕ, y = b ρsin ϕ, 则∫∫D f (x , y )d x d y = ∫∫D f (a ρcos ϕ, b ρsin ϕ)ab ρd ρd ϕ. 7. 直角坐标系下三重积分的计算(1) Ω = {(x , y , z ) | (x , y ) ∈ D xy , z 1(x , y ) ≤ z ≤ z 2(x , y )}, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =21(,)(,)[(,,)d ]d d xyz x y z x y D f x y z z x y ∫∫∫. (2) Ω = {(x , y , z ) | (y , z ) ∈ D yz , x 1(y , z ) ≤ x ≤ x 2(y , z )}, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =21(,)(,)[(,,)d ]d d yzx y z x y z D f x y z x y z ∫∫∫.(3) Ω = {(x , y , z ) | (z , x ) ∈ D zx , y 1(z , x ) ≤ y ≤ y 2(z , x )}, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =21(,)(,)[(,,)d ]d d zxy z x y z x D f x y z y z x ∫∫∫.(4) Ω = {(x , y , z ) | (x , y ) ∈ D (z ), p ≤ z ≤ q }, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =()[(,,)d d ]d qpD z f x y z x y z ∫∫∫. (5) Ω = {(x , y , z ) | (y , z ) ∈ D (x ), a ≤ x ≤ b }, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =()[(,,)d d ]d ba D x f x y z y z x ∫∫∫. (6) Ω = {(x , y , z ) | (z , x ) ∈ D (y ), c ≤ y ≤ d }, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =()[(,,)d d ]d d cD y f x y z z x y ∫∫∫.8. 柱面坐标系下三重积分的计算令x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ, z = z , 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v = ∫∫∫Ω f (ρcos ϕ, ρsin ϕ, z )ρd ϕd ρd z . 9. 球面坐标系下三重积分的计算令x = r sin θcos ϕ, y = r sin θsin ϕ, z = r cos θ,则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v = ∫∫∫Ω f (r sin θcos ϕ, r sin θsin ϕ, r cos θ)r 2sin θd r d θd ϕ. 10. 广义球坐标系下三重积分的计算令x = ar sin θcos ϕ, y = br sin θsin ϕ, z = cr cos θ,则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v = ∫∫∫Ω f (ar sin θcos ϕ, br sin θsin ϕ, cr cos θ)abcr 2sin θd r d θd ϕ.11. 第一型曲线积分的计算(1) L : y = y (x ) ∈(1)[,]C,a b 则 ∫L f (x , y )d s=(,(baf x y x x ∫.(2) L : x = x (y ) ∈(1)[,]C ,c d 则 ∫L f (x , y )d s=((),dcf x y y y ∫.(3) L : x = x (t ), y = y (t ) ∈(1)[,]C ,αβ 则 ∫L f (x , y )d s=((),(f x t y t t βα∫.(4) L : ρ = ρ(ϕ) ∈(1)[,]C,αβ 则 ∫L f (x , y )d s=(()sin ,()cos f βαρϕϕρϕϕϕ∫.(5) L : x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) ∈(1)[,]C ,αβ 则∫L f (x , y , z )d s=((),(),(.f x t y t z t t βα∫12. 第一型曲面积分的计算(1) 设Σ: z = z (x , y )分片光滑, f 在Σ上连续, Σ在xOy 平面上的投影区域为D xy ,则∫∫Σ f (x , y , z )d A=(,,(,d xyD f x y z x y x y ∫∫.(2) 设Σ: y = y (z , x )分片光滑, f 在Σ上连续, Σ在zOx 平面上的投影区域为D zx ,则∫∫Σ f (x , y , z )d A=(,(,),d zxD f x y z x z z x ∫∫.(3) 设Σ: x = x (y , z )分片光滑, f 在Σ上连续, Σ在yOz 平面上的投影区域为D yz ,则∫∫Σ f (x , y , z )d A=((,),,d yzD f x y z y z y z ∫∫.13. 线密度为µ(x , y )的平面曲线段L 的质心坐标(x ,y )(,)d (,)d LLx x y s x x y s µµ=∫∫,(,)d (,)d LLy x y s y x y sµµ=∫∫.14. 面密度为µ(x , y )的平面薄片D 的质心坐标(x ,y )(,)d d (,)d d DDx y x y x x y x y x µµ=∫∫∫∫,(,)d d (,)d d DDx y x y y x y x yy µµ=∫∫∫∫. 15. 密度为µ(x , y , z )的空间立体Ω的质心坐标(x ,y ,z )(,,)d d d (,,)d d d x y z x y z x x y z x y x z µµΩΩ=∫∫∫∫∫∫,(,,)d d d (,,)d d d x y z x y z y x y z x y y z µµΩΩ=∫∫∫∫∫∫, (,,)d d d (,,)d d d x y z x y z z x y z x y z zµµΩΩ=∫∫∫∫∫∫.16. 线密度为µ(x , y )的平面曲线段L 对x 轴的转动惯量I x = ∫L y 2µd s , 对y 轴的转动惯量I y = ∫L x 2µd s . 17. 面密度为µ(x , y )的平面薄片D 对x 轴的转动惯量I x = ∫∫D y 2µd σ, 对y 轴的转动惯量I y = ∫∫D x 2µd σ. 18. 密度为µ(x , y , z )的空间立体Ω关于x 轴, y 轴, z 轴的转动惯量I x , I y , I z .I x = ∫∫∫Ω (y 2+ z 2)µd x d y d z , I y = ∫∫∫Ω (z 2+ x 2)µd x d y d z , I z = ∫∫∫Ω (x 2+ y 2)µd x d y d z .19. 线密度为µ(x , y )的平面曲线段 L 对位于L 外的点M 0(x 0, y 0)处的单位质点的引力F 的两个分量F x =03()(,)d L k x x x y s r µ−∫, F y =03()(,)d L k y y x y s rµ−∫, 其中k 为引力常数, r20. 面密度为µ(x , y , z )的曲面块Σ对Σ外的一点M 0(x 0, y 0, z 0)处单位质点的引力F 的三个分量F x =03()d k x x A r µΣ−∫∫, F y =03()d k y y A r µΣ−∫∫, F z =03()d k z z A rµΣ−∫∫,。

大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。

2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。

幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。

指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。

对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。

三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。

3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。

例如，f''(x)表示二阶导数。

二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。

2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。

幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。

指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。

对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。

三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。

3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。

积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。

积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。

高等数学常用公式大全1.微分学公式：- 导数的定义：若函数y=f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)=lim(x→x0)⁡(f(x)-f(x0))/(x-x0)-基本导数公式：- (1) 常数函数的导数：d(C)/dx = 0，其中C为常数- (2) 幂函数的导数：d(x^n)/dx = n*x^(n-1)，其中n为实数- (3) 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x- (4) 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x- (5) 三角函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，d(cot(x))/dx = -csc^2(x)，d(sec(x))/dx = sec(x)*tan(x)，d(csc(x))/dx = -csc(x)* cot(x)2.积分学公式：- 不定积分的性质：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx，∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中f(x)和g(x)是可积函数，k是常数-基本积分公式：- (1) 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C，其中n不等于-1- (2) 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数- (3) 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C- (4) 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C，∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C，∫sec(x) dx = ln，sec(x)+tan(x)， + C，∫csc(x) dx = ln，csc(x)-cot(x)， + C3.微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，分别称为系数函数和非齐次项函数。

关于高等数学公式大全几乎包含了所有一、微分学公式1. 线性函数的导数：(kx)' = k2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)3.e^x的导数：(e^x)'=e^x4. sinx 的导数：(sinx)' = cosx5. cosx 的导数：(cosx)' = -sinx6. tanx 的导数：(tanx)' = sec^2x7. cotx 的导数：(cotx)' = -csc^2x8. ln(x) 的导数：(ln(x))' = 1/x9. a^x 的导数：(a^x)' = ln(a) * a^x二、积分学公式1. 线性函数的积分：∫(kx)dx = (k/2)x^2 + C2. 幂函数的积分：∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C, (n≠-1)3. e^x 的积分：∫e^xdx = e^x + C4. sinx 的积分：∫sinxdx = -cosx + C5. cosx 的积分：∫cosxdx = sinx + C6. tanx 的积分：∫tanxdx = -ln，cosx， + C7. cotx 的积分：∫cotxdx = l n，sinx， + C8. 1/(x+a) 的积分：∫(1/(x+a))dx = ln，x+a， + C9. 1/(x^2+a^2) 的积分：∫(1/(x^2+a^2))dx = (1/a)arctan(x/a) + C三、级数和序列的公式1.等差数列的前n项和：Sn = n(a1+an)/22.等比数列的前n项和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)3.等差级数的和：S = (n/2)(a1+an)4.等比级数的和：S=a1/(1-q),，q，<15.幂级数的和：S=a/(1-r),，r，<16.泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)/1!+(x-a)^2f''(a)/2!+...四、微分方程的公式1. 一阶常微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = C∫(e^(-∫P(x)dx))Q(x)dx2. 二阶常系数非齐次线性微分方程：ay''+by'+cy=g(x)，其中非齐次解为 y = yc + yp3. 欧拉方程：x^n*d^n(y)/dx^n + a_(n-1)*x^(n-1)*d^(n-1)(y)/dx^(n-1) +...+ a_1*x*d(y)/dx + a_0*y = 0以上只是高等数学公式的一部分，包括微分学、积分学、级数和序列以及微分方程等方面的公式。

高等数学公式大全
1.极限运算法则：lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)，
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)，
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)，
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)。

2.导数公式：包括求导的四则运算法则、复合函数的求导法
则、高阶导数等。

3.导数的应用：包括极值与拐点、曲线的凹凸性和拐点、函
数图形的描绘等。

4.不定积分：包括不定积分的性质和运算法则、基本积分公
式、积分的方法等。

5.定积分：包括定积分的性质和运算法则、微积分基本定理
等。

6.多重积分：包括二重积分、三重积分等。

7.微分方程：包括一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分
方程等。

8.空间解析几何：包括向量的表示与运算、向量的数量积、
向量积等。

9.多元函数的微分学：包括偏导数与高阶偏导数、全微分、
方向导数等。

10.重积分：包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面
积分等。

高中数学公式大全（最整理新版）一、代数1. 一元一次方程：ax + b = 0，其中a ≠ 0。

解为 x = b/a。

2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

解为 x =[b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。

3. 一元三次方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。

解为x = [b ± sqrt(b^2 3ac)] / 3a。

4. 一元四次方程：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中 a≠ 0。

解为x = [b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。

5. 分式方程：分子和分母均为多项式。

解法为将方程两边乘以分母的乘积，得到一个等价的整式方程，然后求解。

6. 二元一次方程组：由两个一元一次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

7. 二元二次方程组：由两个一元二次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

8. 三元一次方程组：由三个一元一次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

9. 等差数列：首项为 a1，公差为 d。

第 n 项为 an = a1 + (n 1)d。

前 n 项和为 Sn = n/2(a1 + an)。

10. 等比数列：首项为 a1，公比为 q。

第 n 项为 an = a1q^(n 1)。

前 n 项和为 Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中q ≠ 1。

二、几何1. 平面几何（1）直线：两点确定一条直线，直线方程为 y = mx + b，其中m 是斜率，b 是截距。

（2）圆：圆心为 (a, b)，半径为 r。

圆的方程为 (x a)^2 +(y b)^2 = r^2。

（3）椭圆：中心为 (a, b)，长轴为 2a，短轴为 2b。

椭圆的方程为 (x a)^2 / a^2 + (y b)^2 / b^2 = 1。

（4）双曲线：中心为 (a, b)，实轴为 2a，虚轴为 2b。