人教版八年级数学下册《勾股定理的实际运用》PPT课件下载(第2课时)

人教版 数学八年级下册
17.1.2 勾股定理
（勾股定理的实际运用）
知识回顾 ：
勾股定理:
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，
B b，斜边长为c，那么 a2 b2 c2 .
c a
b
C
A
知识回忆 ：
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = ������ ������ ;
B
c a
30°
C
b
A
（5）∵ ∠A=30°， ∴ c =2a
设a =x，则c = 2x ∵������������ + ������������ = ������������ ∴������������ + ������������ = (������������)������ 解得： ������ = ������ ������ ∴ ������ = ������ ������，������ = ������ ������
A
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC= ������������������ + ������������������= ������������������ + ������������=13cm
答：吸管至少要做 13+4.6=17.6cm．
C
Hale Waihona Puke B练习提高6. 如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同 时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5小时后相距30海里， 问乙船每小时航行多少海里？
30 24
练习提高
7．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的底端B外移了2米，那么梯子的顶端A沿墙下滑了多少米？

勾股定理 已知一边，其它两边
的关系，求未知边
2由m题,所意以得木AC板=能8米从，门B框C内=8通-2过=6. (米)，
已知两边，求第三边 B在.Rt△AOB中，根据勾股定理，得
分2．析在：利可用以勾看股出定木理板解横决着实，际竖生着活都问不题能的通过过程，中只，能能斜从着实. 际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长．
进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的
勾股定理有关， 将实际问题转化
为数学问题
新知 讲解
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方
形薄木板能否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都
D
C
不能通过，只能斜着.门框AC的长
度是斜着能通过的最大长度，只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
1、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少. (注：图中的三角形均为直角三角形)
解：如图所示 (1) A=289-64=225
(3) B=172-82=289-64=225
新知 讲解
知识点 勾股定理的应用
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门
的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿
解：可以看出BD=OD-OB 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
AO =2.4米 AB=2.6米
OB2=AB2-OA2=2-2=1．
AC=0.5米
OB=1．
在Rt△COD中，根据勾股定理，得
OD2=CD2-OC2=2-(2.4-0.5)2=3.15．
OD=
≈1.77,BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.

1
+2·
2
ab =
即：在Rt△ABC 中，∠C=90 °
c2 = a2 + b2
1 2
c +ab
2
伽
菲
尔
德
证
法
归纳小结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实
了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平
方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
谢谢观看
哲学家、数学家、天文学家
新知探究
思考
图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？等腰
直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a
b
c
C
图17.1-2
三个正方形A、
B、C的面积有
什么关系？
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他
直角三角形是否也有这个性质？
C
A
B
C'
图1
A'
B'
图17.1-3
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
了解勾股定理文化背景，体验勾股定理的探究过
程。
理解不同勾股定理的证明方法，能够分析
它们的异同。
能够用勾股定理解决直角三角形的相关学习
3
和解决生活中的实际问题。
情景导入
图17.1-1
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前

创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股” 章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵 地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图所 示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC
AC= 5 ≈2.24．
因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板 能从门框内通过．
若木板长3 m，宽2.5 m能通过吗？ AC小于木板的宽，不能通过.
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典型例题
【例2】如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的 墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？
尺中的的正一方个形问，题在，水原池正文中是央：有今一有根方芦池苇一，它
高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边
丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴
的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的
深岸度，与适这与根芦岸苇齐的，长水度深分、别葭是长多各少几？何？
B
C
A
思考
勾股定理
(1)水的深度与芦苇的长度有什么关系？ 水池的深度1芦苇的长度
(2)水的深度、半个水池长与芦苇的长度有什么关系？
构成一个直角三角形
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合作探究
译：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它 高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边 的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的 深度与这根芦苇的长度分别是多少？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业

中点，它的顶端恰好到达池边的
水面.这个水池的深度与这根芦
苇的长度分别是多少？
A
巩固练习
解：设AB=x,则AC=x+1， 有 AB2+BC2=AC2，
B
C
可列方程，得 x2+52=（x＋1）2 ，
解方程得x=12.
因此x+1=13
答：这个水池的深度是12尺，
这根芦苇的长度是13尺.
A
链接中考
1.如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁
2.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的
长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
解：(1) 在Rt△ ABC 中，
A
别踩我，我怕疼! 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
A
5
4
3
C
2B
1
x
-4 -3 -2 --11 O 1 2 3
AB AC2 BC2 5.
问题：如果知道平面直角坐标 系坐标轴上任意两点的坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求 这两点之间的距离吗？
总结
(x1，y1) y A C
O
(x2，y2)
B x
两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
实际问题 解决
勾股定理
转化 利用
数学问题 建构 直角三角形
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画 出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定 理解决实际问题的一般思路.

梢，问小鸟至少飞行______1_0_____米．
5.如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，
AC＝6，BC＝8，CD＝______3______．
图2
图3
当堂检测
6.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A，∠B，∠C的对边分别 是a，b，c. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； a 5
人教版八年级下册 第十七章《勾股定理》
知识回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
如图，在Rt△ ABC中，若∠C=90°, 那么
B
a
a2 b2 c2
C
结 c2 a2 b2 c a2 b2
论 变
a2 c2 b2 a c2 b2
形 b2 c2 a2 b c2 a2
求BC、AB的长.
B
2x
x
C
A
提示：在直角三角形中知道一条边及另两边关系， 利用勾股定理列方程解决.
知识点2：知一求二（知道一条边及另两边关系）
变式 已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，AC=3,
求BC、AB的长.
B
2x
x
C
A
知识点2：知一求二
练习 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发 现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.
知识点1：知二求一
练习2、已知直角三角形两边长为3、4， 则另一条边长是____5或___7_．
温馨提示：在利用勾股定理求边长时，要分清楚直 角边和斜边，若没有说明，则需分类讨论.
知识点1：知二求一
例2 一位工人师傅装修房子，需要
一块长3m、宽2.1m的薄木板，

想一想，说一说：
谈谈你认识的直角三角形。 你是如何判断一个三角形是直角三角形？
A
5m ？
C
┏ B 4m
已知遮阳板宽4米，固定联杆长5米，安 装此遮阳板时，要在板上方多少米处打膨胀
螺钉固定联杆？
已知遮阳板BC宽4米，固定联
杆AC长5米，安装此遮阳板时，
要在板上方多少米处打膨胀螺钉
固定解联：根杆据？题意得：
题。
共勉： 我们要热爱生活，善于发现，
勇于探索，有所发明，有所创造.
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。

1如1图．，有厂一房个屋水顶池人，字水形面钢与架水的池跨形度成B一C个＝边12长m为，1A0尺B＝的A正C方＝形9 m，，在求水中池柱正A中D央的有长一(D根为芦底苇边，BC它的高中出点水)面. 1尺．如果把这根芦苇拉向水池的 一已边知，它如的图顶，端折恰叠好长到方达形池(四边个的角水都面是．直问角水，的对深边度相与等这)的根一芦边苇A的D长，度使分点别D落是在多B少C？边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的 如 长图．，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12 m，AB＝AC＝9 m，求中柱AD的长(D为底边BC的中点). 已如知图，如厂图房，屋折顶叠人长字方形形钢架(四的个跨角度都B是C直＝角12，m对，边AB相＝等A)C的＝一9边mA，D求，中使柱点ADD落的在长B(CD边为的底点边FB处C，的已中知点A).B＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的 长如．图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12 m，AB＝AC＝9 m，求中柱AD的长(D为底边BC的中点). 一已根知竹 ，子如高图8，m折，叠折长断方后形竹(四子个顶角端都C是落直在角距，离对竹边子相底等端)A的的一4边mA处D，，折使断点处DB落离在地B面C边的的高点度FA处B是，多已少知？AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的 如长图．，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12 m，AB＝AC＝9 m，求中柱AD的长(D为底边BC的中点). 一11根．竹有子一高个8水m池，，折水断面后与竹水子池顶形端成C一落个在边距长离为竹1子0尺底的端正A的方4形m，处在，水折池断正处中B央离有地一面根的芦高苇度，AB它是高多出少水？面1尺．如果把这根芦苇拉向水池的 1一2边．，如它图的，顶在端高恰为好3米到，达斜池坡边长的为水5面米．的问楼水梯的表深面度铺与地这毯根，芦则苇地的毯长的度长分度别至是少多需少要？多少米？若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这 块一地根毯 竹需子花高多8 m少，元折？断后竹子顶端C落在距离竹子底端A的4 m处，折断处B离地面的高度AB是多少？

2 2 2
18．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，已知∠QPN＝30°，点A处 有一所小学，AP＝160米，假使拖拉机行驶时，周围100米内受到噪音的 影响，那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？ 若受影响，假使拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为多
少？
解：过 A 作 AB⊥PN，在△PAB 中，∠QPN＝30°，PA＝160 米，∴ AB＝80 米＜100 米， ∴学校受噪音影响， 设拖拉机到 C 处开始受影响，
17．如图，将长方形ABCD沿过C点的直线折叠，使D的对应点F落在
AB边上，已知AD＝6，CD＝10，设折痕交AD于点E.求DE的长．
解：在 Rt△BCF 中，BF＝ 102－62＝8，∴AF＝2.设 DE＝EF＝x ， 10 10 则 AE＝6－x，由(6－x) ＋2 ＝x ，得 x＝ 3 ，故 DE 的长为 3
如图：
则 CA＝100 米，则 BC2＝CA2－BA2ห้องสมุดไป่ตู้∴BC
＝60 米，拖拉机行到 D 处后恰好不影响学校，则 BC＝BD，CD＝120 18×1000 米，所受影响时间为 120÷ ＝24(秒) 3600
2
16．如图，一架3 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的
距离为2.5 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m．那么梯子底端B也外移
0.5 m吗？
解： ∵在 Rt△AOB 中， OB2＝AB2－AO2＝32－2.52＝2.75， ∴OB＝ 2.75 ≈1.658(m)．又∵在 Rt△COD 中，OD2＝CD2－CO2＝32－22＝5，∴OD ＝ 5≈2.236(m)，∴BD＝OD－OB≈2.236－1.658＝0.578(m)．∴梯子的 顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，梯子底端 B 外移约 0.578 m

（1）求△ABD的面积； （2）求点E的坐标. y
A
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E
O
D
B
x
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如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D
B
C
M
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变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C的坐 标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2， 求点B的坐标.
y
C B
O
A
x
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例7（1）直角三角形中，斜边与一直角边相 差8，另一直角边为12，求斜边的长.
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例7（2）如图，有一块直角三角形纸片，两
直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直
A
6 Cx
6 10
E
x
4
D 8-x B 8
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变式练习：如图，在直角坐标系中， △ABC 的顶点A为（0，6），B为（8，0），AD平分 ∠BAC交x轴于点D， DE⊥AB于E.