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2025届高三数学等比数列-一轮复习1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比常用字母q 表示(显然q ≠0),定义的表达式为a na n -1=q (n ∈N *,n ≥2)或a n+1a n =q (n ∈N *).(2)等比中项:若三个数a ,G ,b 成等比数列,则G 叫做a 与b 的等比中项,且有 .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n = (n ∈N *);(2)前n 项和公式:S n ={na 1,q =1, ,q ≠1或S n ={na 1,q =1, ,q ≠1.3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m (n ,m ∈N *).(2)若数列{a n }为等比数列,且m +n =p +q ,则a m a n =a p a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若数列{a n }是等比数列,公比为q ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公比为q m 的等比数列.(4)如果等比数列{a n }的前n 项和为S n ,那么(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),如果公比q ≠-1或虽q =-1但n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列.不能认为在任何等比数列中,都有S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列（5）当等比数列{a n }的项数为偶数,公比为q 时,S 偶S 奇=q . 4、等比数列的单调性 当q >1,a 1>0或0<q <1,a 1<0时,{a n }是递增数列;当q >1,a 1<0或0<q <1,a 1>0时,{a n }是递减数列;当q =1时,{a n }是常数列;当q <0时,{a n }是摆动数列.常用结论 1.若数列{a n },{b n }为等比数列,则{λa n }(λ≠0),{|a n |},⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1,{a n 2},{a n b n },⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 仍为等比数列.2.若数列{a n }为公比不为1的等比数列,其前n 项和S n =A ·q n +B (A ≠0,B ≠0,q ≠0,q ≠1),则必有A +B =0;反之,若某一非常数列的前n 项和S n =A ·q n -A (A ≠0,q ≠0,q ≠1),则数列{a n }必为等比数列.3.若非零数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =ka n +b (k ≠0,k ≠1),则数列{a n }必为等比数列.题型一等比数列基本量的运算【例1】设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64【对点1】在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.【对点2】已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【对点3】若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+......+ln a20=.【对点4】等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=7,4 ,则a8=.S6=634题型二等比数列的性质【例2】(1)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=()A.120B.85C.-85D.-120(2)已知正项等比数列{a n}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.【对点1】已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=_________. 【对点2】记S n为等比数列{a n}的前n项和,且1Sλ,则=5a=n⋅3-n___________.【对点3】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若6845,,3a a a 成等差数列，则=+6510a a S ___________. 【对点4】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,且436=S S ，则=69S S ___________.题型三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1) 证明:{a n +b n }是等比数列【对点1】在数列{a n }中,a 1=1,且a n +1=2a n +n -1.（1）证明:数列{a n +n }为等比数列,并求出a n ;【对点2】已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式;。
等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的定义及通项公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式.③了解等比数列与指数函数的关系2018课标全国Ⅰ,17,12分等比数列判定及通项公式递推公式★★★2017课标全国Ⅱ,17,12分等比数列基本量计算等差数列基本量计算等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2015课标Ⅱ,9,5分等比数列下标和定理等比数列通项公式★★☆等比数列的前n项和掌握等比数列的前n项和公式2016课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和等差数列基本量计算★★★2018课标全国Ⅲ,17,12分等比数列前n项和公式等比数列通项公式2017课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和计算等差数列的判定2015课标Ⅰ,13,5分等比数列前n项和计算等比数列定义分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.破考点【考点集训】考点一等比数列的定义及通项公式1.(2019届某某某某模拟,6)已知等比数列{a n}各项均为正数,满足a1+a3=3,a3+a5=6,则a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=( )A.62B.62√2C.61D.61√2答案 A2.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}是等比数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n)=22(a n-2a n-1)=…=2n(a2-2a1)≠0,∴a a+2-2a a+1a a+1-2a a=2,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴a a+12a+1-a a2a=12,∴{a a2a}是首项为12,公差为12的等差数列,∴a a2a=a2,则a n=n·2n-1.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某马某某第二次教学质量监测,5)已知等比数列{a n}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( )A.2B.4C.92D.6答案 B2.(2019届某某某某新华区模拟,9)已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是( )A.2√3B.2√2C.8D.6答案 A考点三等比数列的前n项和1.(2018某某某某教学质量检测(二),16)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=3-2a+32a,n∈N*,则a1+a2+…+a n=.答案1-12a2.(2019届某某某某模拟,15)设等比数列{a n}的前n项和为S n,8a2-a5=0,则公比q的值为,若-a a2a有最大值-2,则a1的值为.答案2;43.(2018某某(长郡中学、某某八中)、某某(某某二中)等十四校第二次联考,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=2a3+2.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)若{a aa a}的前n 项和为S n ,求证:S n <2.解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{2a =2(1+a ),2a 2=2(1+2d)+2,解得{a =1,a =2或{a =-1,a =0(舍), ∴a n =n,b n =2n. (2)证明:由(1)知a a a a =a2a, ∴S n =12+222+323+…+a -12a -1+a2a, 则12S n =122+223+324+…+a -22a -1+a -12a+a 2a +1,两式相减得12S n =12+122+123+…+12a -a2a +1=12[1-(12)a ]1-12-a2a +1,∴S n =2-(12)a -1-a2a ,∴S n <2.炼技法 【方法集训】方法 等比数列的判定方法1.(2019届某某某某模拟,15)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形两直角边上再连接正方形,……,如此继续下去,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为√2,则最小正方形的边长为.答案 1162.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值X 围是. 答案 (1,+∞)过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a aa. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(a +1)aa n .将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a a +1a +1=2a aa,即b n+1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a a a=2n-1,所以a n =n·2n-1.2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.解析 设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1. 由a 2+b 2=2得d+q=3①. (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2=6②. 联立①和②解得{a =3,a =0(舍去),或{a =1,a =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q-20=0. 解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6.考点二 等比数列的性质及其应用(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2B.1C.12D.18答案 C考点三 等比数列的前n 项和1.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n=. 答案 62.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.3.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +a 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n. (2)由(1)可得S n =a 1(1-a a )1-a =-23+(-1)n·2a +13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2a +3-2a +23=2[-23+(-1)a·2a +13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223f C.√2512fD.√2712f答案 D2.(2014某某,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,……,A 5A 6=a 7,则a 7=.答案 14考点二 等比数列的性质及其应用(2015某某,13,5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b=. 答案 1考点三 等比数列的前n 项和1.(2017某某,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 答案 32解析 设等比数列{a n }的公比为q. 当q=1时,S 3=3a 1,S 6=6a 1=2S 3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得{a 1(1-a 3)1-a =74,a 1(1-a 6)1-a=634,解得{a 1=14,a =2,∴a 8=a 1q 7=14×27=32.2.(2018某某,18,13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.解析 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n =1-2a1-2=2n-1.设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4. 由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n, 所以,S n =a (a +1)2.(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+ (2))-n=2×(1-2a )1-2-n=2n+1-n-2.由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得a (a +1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n 的值为4.3.(2016,15,13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和. 解析 (1)等比数列{b n }的公比q=a 3a 2=93=3,(1分)所以b 1=a 2a=1,b 4=b 3q=27.(3分)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2.(5分) 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此=a n +b n =2n-1+3n-1.(8分)从而数列{}的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n-1=a (1+2a -1)2+1-3a1-3=n 2+3a -12.(13分)C 组 教师专用题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2014某某,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1a 4=81,解得{a 1=1,a =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =a (a 1+a a )2=a 2-n2.2.(2014,15,13分)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意得 d=a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n -a n }的公比为q,由题意得 q 3=a 4-a 4a 1-a 1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n-1=2n-1. 从而b n =3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n =3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n 项和为1×1-2a1-2=2n-1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n(n+1)+2n-1.3.(2013某某,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和S n=3a-12.4.(2013某某,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明S n+1a a ≤136(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=32×(-12)a-1=(-1)n-1·32a.(2)证明:S n=1-(-12)a,S n+1a a=1-(-12)a+11-(-12)a={2+12a(2a+1),n为奇数,2+12a(2a-1),n为偶数.当n为奇数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S1+1a1=136.当n为偶数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S2+1a2=2512.故对于n∈N*,有S n+1a a ≤136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 B2.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64答案 C3.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和1.(2013课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )3A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n答案 D2.(2013某某,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 63.(2013,11,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-24.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和为T n,求T n.(2)设数列{1a a解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a a=12a .所以T n =12+122+…+12a =12[1-(12)a ]1-12=1-12a .5.(2015某某,16,13分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公差为d,则由已知条件得 a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12, 故通项公式a n =1+a -12,即a n =a +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q,则q 3=a 4a 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =a 1(1-a a )1-a =1×(1-2a )1-2=2n-1.6.(2014某某,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,点(a n ,b n )在函数f(x)=2x的图象上(n∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n a a 2}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可知,b n =2a a >0, 当n≥1时,a a +1a a=2a a +1-a a =2d, 所以数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(x-a 2)2a 2ln 2,该切线在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意知,a 2-1ln2=2-1ln2,解得a 2=2. 所以d=a 2-a 1=1,a n =n,b n =2n,a n a a 2=n·4n.于是,S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n-1+n×4n,4S n =1×42+2×43+…+(n -1)×4n +n×4n+1, 因此S n -4S n =4+42+ (4)-n×4n+1=4a +1-43-n×4n+1=(1-3a )4a +1-43.所以S n =(3a -1)4a +1+49.7.(2013某某,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q≠0.由题意得{a 2-a 4=a 3-a 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1a 2-a 1a 3=a 1a 2,a 1q(1+q +a 2)=-18, 解得{a 1=3,a =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1. (2)由(1)有S n =3·[1-(-2)a]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N ,k≥5}.【三年模拟】 时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018某某某某一模,3)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=3,S 6=63,则S 5=( ) A.-33 B.15 C.31 D.-33或31 答案 D2.(2018某某某某调研,4)已知等比数列{a n }的公比为正数,前n 项和为S n ,a 1+a 2=2,a 3+a 4=6,则S 8等于( ) A.81-27√3 B.54C.38-1D.80 答案 D3.(2019届某某模拟,6)设数列{(n 2+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为( )A.1415B.1516C.1617D.1718答案 B4.(2019届某某渝中区模拟,7)已知各项均为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为√2,则a 42+a 62的最小值是( ) A.1B.2C.4D.8答案 C5.(2019届某某双台子区模拟,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且满足:a 1+3a 3=72,S 3=73,则a 4=( ) A.14B.18C.4D.8答案 A6.(2019届某某杨浦区模拟,11)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=64,且数列{a a +1a a}是等比数列,其公比q=-12,则数列{a n }的最大项等于( ) A.a 7B.a 8C.a 6或a 9D.a 10答案 C二、填空题(共5分)7.(2019届某某某某模拟,15)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n+r,则a 3-r=,若数列{a (a +4)(23)a}的最大项是第k 项,则k=. 答案 19;4三、解答题(共20分)8.(2018某某福安一中考试,17)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=4,a 3+a 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的前n 项和S n =n 2+n+2n+1-2(n∈N *),求证:数列{a n -b n }是等差数列. 解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0. 因为{a 2=4,a 3+a 4=24,所以{a 1q =4,a 1a 2+a 1a 3=24,两式相除得q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a 1=a2a =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4;当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,∴b n=2n+2n(n∈N*).设=a n-b n,则=-2n,当n≥2时,--1=-2,∴{}即{a n-b n}是等差数列.9.(2019届某某模拟,18)已知等比数列{a n}的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n lo g12a n,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.解析(1)由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2).因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以{a1q+a1a3=20,a1a2=8,解得{a1=2,a=2,或{a1=32,a=12.又q>1,所以{a n}为递增数列. 所以a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)b n=a n lo g12a n=2n·log122n=-n·2n.S n=b1+b2+…+b n=-(1×2+2×22+…+n×2n)①,则2S n=-(1×22+2×23+…+n×2n+1)②,②-①,得S n=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 即数列{b n}的前n项和S n=2n+1-2-n·2n+1,由S n+n·2n+1=2n+1-2>62,得n>5,所以正整数n的最小值为6.。
_____A组统一命题•课标卷题组1.______________________________________________________ （2014课标II,16,5分,0.358）数列｛偽｝满足如=匚》，如2,则仆______________________ .答案f解析解法一:由如尸亠，得存1 •丄，1 _ a n %]^8=2, /.6Z7=l-y = y,6/6=1- —=-1,«5=1- —=2, ..... ,a i a6•°・｛為｝是以3为周期的数列,・'・ai=a7= *・解法二:根据如二丄递推得妒丄 =—=1 ■丄=l—i- =6/5=J_=—1— =1丄=1・1_% 1_吗1———么6 —1_4 1———色1-^6 I 1_偽]=a2=],因为俶=2,所以绚=丄•~j~~ W 22.（2016课标全国III,17,12分）已知各项都为正数的数列｛偽｝满足gl,唸（2如・1）奸2如产0.（1）求他妬；（2）求｛偽｝的通项公式.解析⑴由题意得02=*,偽=扌・（5分）⑵由“；・（2偽+厂1M厂2偽+1=0得2為+i（a”+1 ）=偽（偽+1）.因为｛如的各项都为正数，所以如勺2故｛如是首项为1,公比为土的等比数列，因此如土p （12分）思路分析⑴根据数列的递推公式，由⑷可求出◎由冷求出心.⑵把递推公式因式分解得出｛切是等比数列，求出其通项公式.3.(2014大纲全国,17,10分)数列｛如满足心,砖(1)设g”,证明｛%｝是等差数列；(2)求｛偽｝的通项公式.解析⑴证明:由偽+尸2如・偽+2得, 偽+2・d“+i=a”+i・d”+2,即b n+i=b n+2.又Z?l=d2・d|=l.所以｛如是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由⑴得b 产1 +2“ 1),即a ll+i-a n=2n-1.于是另(@+1 -色)=H(2k— 1),A=1 A=1所以偽即又存1,所以｛偽｝的通项公式为a…=n2-2n+2.时2=2a时2.B组自主命题•省(区、市)卷题组考点数列的概念及其表示(2014湖＜16,12分)已知数列｛a n］的前刃项和S尸乞子卫e N*.(1)求数列｛為｝的通项公式；(2)设人=2“" +(・1)”如求数列｛人｝的前加项和.解析(1)当〃=1 时9a t=Si=l;当”工2时,“”=S”-S”尸中("T)；Z)=”.当刃=1时，⑷=1也适合上式,故数列｛偽｝的通项公式为a n=n(n^).(2)由(1)知血2“+(・])S,记数列｛伉｝的前2”项和为耳，则r2n=(2,+22+- • ■+22n)+(-1 +2-3+4- - - -+2n). iBA=2,+22+-・・ +22n,B=-1 +2-3+4-・・・+2M ,贝l|A= 2(1--2--=22n+1-2,B=(-1 +2)+(-3+4)+- ■•+[-(2n-1 )+2n]=n.故数列｛b n｝的前 2 刃项和T2n=A+B=22n+i+n-2.1 — 2评析本题考查数列的前〃项和与通项的关系，数列求和等知识，含有(・1)”的数列求和要注意运用分组求和的方法.C组教师专用题组Q 2(2014江西,17,12分)己知数列｛如的前刃项和S F七工护WhT.(1)求数列｛為｝的通项公式；⑵证明:对任意的Q1,都存在m G 得级心成等比数列.解析(1)由5=^2 "，得G=S严1,当n^2 H\f* ,a n=S n~S n. i=3 n-2.所以数列｛如的通项公式为為=3刃2⑵证明:要使“皿皿”成等比数列,只需要尤即(3n-2)2=l-(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时加W N*,且m>n,所以对任意的Q1,都存在加WN：使得4,偽如成等比数列.三年模拟A 组2016—2018年高考模拟•基础题组（时间：15分钟 分值:30分）一、选择题（每小题5分，共20分）1.（2018河南郑州毕业班第二次质量预测,11）己矢叽力二 (2r/-l)x + 4(x<l),a x (x > 1), 数列｛ct…｝（n W N*）满足為 且｛如是递增数列，则&的取值范围是（）C.(l,3)D.(3,+8)答案D 因为｛如是递增数列,所以 a > 1, a 2 >2°-1 + 4,则。
§6.4数列的综合应用
考纲解读
考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度
1.数列的通项公式及前n项和的求法掌握数列的通项公式及求和方法Ⅱ
2017课标全国Ⅲ,17;
2017北京,15;
2016天津,18;
2015山东,19
解答题★★★
2.数列的综合应用能综合应用等差、等比数列解决
相应问题
Ⅲ
2017天津,18;
2016浙江,17;
2016四川,19
选择题、
解答题
★★★
分析解读
综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常选考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.
五年高考
考点一数列的通项公式及前n项和的求法
1.(2017山东,19,12分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b n
a n
}的前n项和T n. 解析(1)设{a n}的公比为q,
由题意知:a1(1+q)=6,a12q=a1q2,
又a n>0,解得a1=2,q=2,所以a n=2n.
(2)由题意知:S2n+1=(2n+1)(b1+b2n+1)
2=(2n+1)b n+1,。
3.3 等比数列●知识梳理数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：a n =a 1q n －1， 推广形式：a n =a m q n －m .变式：q =mn mna a -（n 、m ∈N *）. n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--=).10(11)1(),1(111q q q qa a q q a q na n n 或注：q ≠1时，m n S S =mnq q --11.4.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为q a 、a 、aq ，四个数可设为3qa、qa、aq 、aq 3为好. 6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数；（2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . ●点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是215-215-251-251-解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B2.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于10B.2201615解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220. 答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为B.10解析：由题意列式（1－20%）n ＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈n ≥14.答案：C4.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 11 3 3 1 1 4 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .答案：2n －2n ●典例剖析【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n . 剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a 解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n .评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a 2和q 来表示其他的量好解吗？该题的{a n }若成等差数列呢？【例2】 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1， ∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a n k 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.【例3】 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.① 又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列， ∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.② 由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得 a n +1=1+⋅n n b b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n .∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立. ∴a n =2)1(+n n . 评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.特别提示1.{a n }为等比数列是a n +12=a n ·a n +2的充分但不必要条件.2.若证{a n }不是等比数列，只需证a k 2≠a k －1a k +1（k 为常数，k ∈N ，且k ≥2）. ●闯关训练 夯实基础1.若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8B.S 8a 9＜S 9a 8 C.S 8a 9=S 9a 8解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S 8·a 9－S 9·a 8=－q q a --1)1(81·a 1q 3－qq a --1)1(91·a 1q 7 =q a q q q a ----1)]()[(16716821=qq q a --1)(7821=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8. 答案：Ar ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于A.1)1(3-+rB.31［（1+r ）3－1］C.（1+r ）3－1D.r解析：由题意得（1+r ）3＜1+3q ，故q ＞31［（1+r ）3－1］. 答案：B3.（2003年某某，8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=___________.解析：由题意知q q a n --1)1(1＜qa-11且|q |＜1对n ∈N 都成立，∴a 1＞0，0＜q ＜1.答案：（1，21）（a 1＞0，0＜q ＜1的一组数） 4.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =___________________.解析：分解因式可得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即n n a a 1+=1+n n .又a 1=1，由累积法可得a n =n1. 答案：n1“*”对于任意非零自然数n 满足以下运算性质： （1）1*1=1；（2）（n +1）*1=3（n *1）. 试求n *1关于n 的代数式.解：“n *1”是一个整体，联想数列通项形式，设n *1=a n ，则a 1=1，a n +1=3a n ，得a n =3n－1，即n *1=3n －1.6.等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .解：设公比为q ，∵S 2n －S n =6480＞S n ， ∴qa n =a 1q n －1（∵a n ＞0）.①又S n =q q a n --1)1(1=80，②S 2n =qq a n --1)1(21=6560，③由①②③解得a 1=2，q =3，则（1）前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －1. 培养能力7.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1，b n =a n －a n －1（n ≥2），若a n +S n =n . （1）设=a n －1，求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.（1）证明：∵a 1=S 1，a n +S n =n ，∴a 1+S 1=1，得a 1=21. 又a n +1+S n +1=n +1，两式相减得2（a n +1－1）=a n －1，即111--+n n a a =21，也即n n c c 1+=21，故数列{}是等比数列.（2）解：∵c 1=a 1－1=－21， ∴=－n 21，a n =+1=1－n 21，a n －1=1－121-n . 故当n ≥2时，b n =a n －a n －1=121-n －n 21=n 21.又b 1=a 1=21，即b n =n 21（n ∈N *）.8.设数列｛a n ｝、｛b n ｝（b n ＞0，n ∈Ｎ*），满足a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++（n ∈Ｎ*），证明：｛a n ｝为等差数列的充要条件是｛b n ｝为等比数列.证明：充分性：若｛b n ｝为等比数列，设公比为q ，则a n ＝n q q q b n n )lg(lg 121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+＝nq b n n n 2)1(1lg lg -+＝lg b 1＋（n －1）lg q 21，a n ＋1－a n ＝lg q 21为常数，∴｛a n ｝为等差数列. 必要性：由a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，（n ＋1）a n ＋1＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n （a n ＋1－a n ）＋a n ＋1＝lg b n ＋1. 若｛a n ｝为等差数列，设公差为d ， 则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1，∴b n ＋1＝10nd a 21+，b n ＝10d n a )1(21-+. ∴nn b b 1+＝102d 为常数. ∴｛b n ｝为等比数列. 探究创新 9.有点难度哟！ 设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列； （2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n . （1）证明：∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31， ∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列. （2）解：∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.（3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31)+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯. ●思悟小结1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2.运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明1-n na a （n ≥2）为常数； （2）利用等比中项，即证明a n 2=a n －1·a n +1（n ≥2）. ●教师下载中心 教学点睛1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a 1、a n 、n 、q 、S n 可以“知三求二”； （2）分类讨论的思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列，当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.“基本量”是解决问题的基本方法. 拓展题例【例1】 数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 解：由a n =21a n －1+1，得a n －2=21（a n －1－2）. 令b n =a n －2，则b n －1=a n －1－2，∴有b n =21b n －1. ∴b n =21b n －1=21·21b n －2=21·21·21b n －3 =…=b 1=（21）n －1·b 1. ∵a 1=1，∴b 1=a 1－2=－1. ∴b n =－（21）n －1.∴a n =2－121-n .【例2】 已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a，…，a n +1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式. 分析：由数列{log 2（a n +1－3n a）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a n +1与a n的一个递推关系式①；由数列{a n +1－2n a}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a n +1与a n 的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出a n .解：∵数列{log 2（a n +1－3na ）}是公差为－1的等差数列， ∴log 2（a n +1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n +1=－（n +1），于是有a n +1－3n a =2－（n +1）.① 又∵数列{a n +1－21a n }是公比为31的等比数列，∴a n +1－21a n =（a 2－21a 1）·3－（n －1）=（3619－21×65）·3－（n －1）=3－（n +1）.于是有a n +1－21a n =3－（n +1）.②由①－②可得61a n =2－（n +1）－3－（n +1），∴a n =n 23－n 32.。
§6.4 数列的综合应用挖命题 【考情探究】考点 内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列求和 掌握数列的求和方法 2014课标Ⅰ,17,12分 数列求和(错位相减法) 等差数列通项公式★★★ 2017课标全国Ⅲ,17,12分 数列求和(裂项相消法) 由S n 求a n 数列的综 合应用能综合应用等差、等比数列解决相应问题2016课标全国Ⅰ,17,12分数列通项公式及求和等差数列的判定★★★分析解读 综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.破考点 【考点集训】考点一 数列求和1.(2017湖南湘潭三模,9)已知T n 为数列{2n +12n}的前n 项和,若m>T 10+1 013恒成立,则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023 答案 C2.(2017福建福州八中第六次质检,17)在等比数列{a n }中,公比q ≠1,等差数列{b n }满足b 1=a 1=3,b 4=a 2,b 13=a3. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记c n =(-1)n b n +a n ,求数列{c n }的前2n 项和S 2n . 解析 (1)设等差数列{b n }的公差为d.则有{3+3d =3q,3+12d =3q 2,解得{q =3,d =2或{q =1,d =0(舍去), 所以a n =3n ,b n =2n+1.(2)由(1)知c n =(-1)n (2n+1)+3n , 则S 2n =(3+32+33+ (32))+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=3(1-32n )1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=32n+1-32+2n.3.(2017湖南郴州二模,17)已知等差数列{a n }满足:a n+1>a n (n ∈N *),a 1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n +2log 2b n =-1. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)设d 为等差数列{a n }的公差,则d>0. 由a 1=1,a 2=1+d,a 3=1+2d 分别加上1,1,3后成等比数列, 得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2(舍负),所以a n =1+(n-1)×2=2n-1(n ∈N *), 又因为a n +2log 2b n =-1,所以log 2b n =-n,则b n =12n (n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n =(2n-1)·12n , 则T n =121+322+523+…+2n -12n①,12T n =122+323+524+…+2n -12n+1②, ①-②,得12T n =12+2×(122+123+124+…+12n )-2n -12n+1.∴12T n =12+2×14(1-12n -1)1-12-2n -12n+1, ∴T n =1+2-22n -1-2n -12n=3-4+2n -12n =3-3+2n2n .考点二 数列的综合应用1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项均为1,公差与公比均为3,则a b 1+a b 2+a b 3=( ) A.64 B.32C.38D.33答案 D2.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1-a n ≥2(n ∈N *),且S n 为{a n }的前n 项和,则( ) A.a n ≥2n+1 B.S n ≥n 2 C.a n ≥2n-1 D.S n ≥2n-1 答案 B3.(2018福建福州八校联考,17)已知公差不为0的等差数列{a n }的前三项和为6,且a 2,a 4,a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n+1,数列{b n }的前n 项和为S n ,求使S n <1415的n 的最大值.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d(d ≠0),依题意可得 {a 1+a 2+a 3=6,a 42=a 2a 8,即{a 1+d =2,d 2-a 1d =0, ∵d ≠0,∴a 1=1,d=1,∴a n =n. (2)由(1)可得b n =1n(n+1)=1n -1n+1. ∴S n =(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1. 令1-1n+1<1415,得n<14,∴n 的最大值为13.4.(2018广东佛山一中期中考试,17)在等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n ,等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,公比为q,且b 2+S 2=12,q=S 2b 2. (1)求a n 与b n ;(2)证明:13≤1S 1+1S 2+…+1S n <23. 解析 (1)设数列{a n }的公差为d. 因为{b 2+S 2=12,b 1=1,q =S 2b 2,所以{q +6+d =12,q =6+d q .解得q=3或q=-4(舍),d=3. 故a n =3+3(n-1)=3n,b n =3n-1. (2)证明:因为S n =n(3+3n)2, 所以1S n =2n(3+3n)=23(1n -1n+1).故1S 1+1S 2+…+1S n=23[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n -1n+1)]=23(1-1n+1).因为n ≥1,所以0<1n+1≤12,所以12≤1-1n+1<1, 所以13≤23(1-1n+1)<23, 即13≤1S 1+1S 2+…+1S n <23.炼技法 【方法集训】方法 数列求和的方法1.(2018河南中原名校11月联考,10)设函数f(x)满足f(n+1)=2f(n)+n2(n ∈N *),且f(1)=2,则f(40)=( )A.95B.97C.105D.392答案 D2.(2019届吉林长春模拟,7)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n,则数列{1a n ·a n+1}的前6项和为( )A.215B.415C.511D.1011答案 A3.(2018广东珠海二中期中,18)已知数列{a n }与{b n }满足a n+1-a n =2(b n+1-b n ),n ∈N *,b n =2n-1,且a 1=2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设c n =a nn b nn -1,T n 为数列{c n }的前n 项和,求T n .解析 (1)因为a n+1-a n =2(b n+1-b n ),b n =2n-1,所以a n+1-a n =2(b n+1-b n )=2(2n+1-2n+1)=4,所以{a n }是等差数列,首项a 1=2,公差为4,所以a n =4n-2. (2)c n =a n nb nn -1=(4n -2)n(2n -1)n -1=(2n-1)·2n .∴T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n ①, 2T n =1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1②, ①-②得-T n =1×2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n-1)·2n+1=2+2×4(1-2n -1)1-2-(2n-1)·2n+1=-6-(2n-3)·2n+1, ∴T n =6+(2n-3)·2n+1.4.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n,S n )在函数f(x)=x 2+Bx+C-1(B,C ∈R )的图象上,且a 1=C. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =a n (a 2n -1+1),求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d, 则S n =na 1+n(n -1)2d=d 2n 2+(a 1-d2)n, 又S n =n 2+Bn+C-1,两式对照得{d2=1,C -1=0,解得{d =2,C =1,又因为a 1=C,所以a 1=1,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)由(1)知b n =(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n , 则T n =1×2+3×22+…+(2n-1)·2n , 2T n =1×22+3×23+…+(2n-3)·2n +(2n-1)·2n+1, 两式相减得T n =(2n-1)·2n+1-2(22+23+…+2n )-2 =(2n-1)·2n+1-2×22(1-2n -1)1-2-2 =(2n-3)·2n+1+6.过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 数列求和1.(2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{a n2n+1}的前n 项和.解析 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n, 故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)a n =2. 所以a n =22n -1(n ≥2). 又由题设可得a 1=2, 从而{a n }的通项公式为a n =22n -1(n ∈N *). (2)记{a n2n+1}的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n+1=2(2n+1)(2n -1)=12n -1-12n+1. 则S n =11-13+13-15+…+12n -1-12n+1=2n 2n+1.2.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{an 2n }的前n 项和.解析 (1)方程x 2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a 2=2,a 4=3. 设数列{a n }的公差为d,则a 4-a 2=2d,故d=12,从而a 1=32. 所以{a n }的通项公式为a n =12n+1.(2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ,由(1)知a n 2n =n+22n+1,则S n =322+423+…+n+12n +n+22n+1,12S n =323+424+…+n+12n+1+n+22n+2. 两式相减得12S n =34+(123+…+12n+1)-n+22n+2=34+14(1-12n -1)-n+22n+2.所以S n =2-n+42n+1.考点二 数列的综合应用(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.解析 (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分)所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分) (2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=b n 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分) 记{b n }的前n 项和为S n , 则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 数列求和1.(2018浙江,20,15分)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式.解析 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28, 解得a 4=8.由a 3+a 5=20得8(q +1q)=20, 解得q=2或q=12,因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }的前n 项和为S n . 由c n ={S 1, n =1,S n -S n -1,n ≥2,解得c n =4n-1.由(1)可知a n =2n-1, 所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)n -1, 故b n -b n-1=(4n-5)·(12)n -2,n ≥2,b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1) =(4n-5)·(12)n -2+(4n-9)·(12)n -3+…+7·12+3. 设T n =3+7·12+11·(12)2+…+(4n-5)·(12)n -2,n ≥2, 12T n =3·12+7·(12)2+…+(4n-9)·(12)n -2+(4n-5)·(12)n -1(n ≥2), 所以12T n =3+4·12+4·(12)2+…+4·(12)n -2-(4n-5)·(12)n -1(n ≥2), 因此T n =14-(4n+3)·(12)n -2,n ≥2, 又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)n -2.2.(2017山东,19,12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n+1=b n b n+1,求数列{bn a n}的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题意知:a 1(1+q)=6,a 12q=a 1q 2,又a n >0,解得a 1=2,q=2,所以a n =2n . (2)由题意知:S 2n+1=(2n+1)(b 1+b 2n+1)2=(2n+1)b n+1,又S 2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,所以b n =2n+1. 令c n =b n a n,则c n =2n+12n. 因此T n =c 1+c 2+…+c n =32+522+723+…+2n -12n -1+2n+12n , 又12T n =322+523+724+…+2n -12n +2n+12n+1, 两式相减得12T n =32+(12+122+…+12n -1)-2n+12n+1,所以T n =5-2n+52n.3.(2017北京,15,13分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 2+a 4=10,所以2a 1+4d=10. 解得d=2. 所以a n =2n-1.(2)设等比数列{b n }的公比为q. 因为b 2b 4=a 5,所以b 1qb 1q 3=9. 解得q 2=3.所以b 2n-1=b 1q 2n-2=3n-1.从而b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1=1+3+32+…+3n-1=3n -12.4.(2016天津,18,13分)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1-1a 2=2a 3,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n b n2}的前2n 项和. 解析 (1)设数列{a n }的公比为q.由已知,有1a 1-1a 1q =2a 1q2,解得q=2,或q=-1.又由S 6=a 1·1-q 61-q=63,知q ≠-1,所以a 1·1-261-2=63,得a 1=1.所以a n =2n-1. (2)由题意,得b n =12(log 2a n +log 2a n+1)=12(log 22n-1+log 22n )=n-12, 即{b n }是首项为12,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n b n 2}的前n 项和为T n,则 T 2n =(-b 12+b 22)+(-b 32+b 42)+…+(-b 2n -12+b 2n 2)=b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n-1+b 2n =2n(b 1+b 2n )2=2n 2.考点二 数列的综合应用1.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 答案 272.(2018北京,15,13分)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n . 解析 (1)设{a n }的公差为d. 因为a 2+a 3=5ln 2, 所以2a 1+3d=5ln 2. 又a 1=ln 2,所以d=ln 2. 所以a n =a 1+(n-1)d=nln 2. (2)因为e a 1=e ln 2=2,e a ne a n -1=e a n -a n -1=e ln 2=2, 所以{e a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 所以e a 1+e a 2+…+e a n =2×1-2n1-2=2(2n -1). 3.(2017天津,18,13分)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *).解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12, 而b 1=2,所以q 2+q-6=0. 又因为q>0,解得q=2.所以,b n =2n .由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8①. 由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16②, 联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,{a n }的通项公式为a n =3n-2,{b n }的通项公式为b n =2n .(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,有T n =4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n , 2T n =4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n +(6n-2)×2n+1, 上述两式相减,得 -T n =4×2+6×22+6×23+…+6×2n -(6n-2)×2n+1=12×(1-2n )1-2-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得T n =(3n-4)2n+2+16.所以,数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n-4)2n+2+16.4.(2016浙江,17,15分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.解析 (1)由题意得{a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,则{a 1=1,a 2=3.又当n ≥2时,由a n+1-a n =(2S n +1)-(2S n-1+1)=2a n ,得a n+1=3a n .又因为a 2=3=3a 1,所以数列{a n }是首项为1,公比为3的等比数列. 所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *. (2)设b n =|3n-1-n-2|,n ∈N *,则b 1=2,b 2=1. 当n ≥3时,由于3n-1>n+2,故b n =3n-1-n-2,n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3. 当n ≥3时,T n =3+9(1-3n -2)1-3-(n+7)(n -2)2=3n -n 2-5n+112,经检验,n=2时也符合.所以T n ={2, n =1,3n -n 2-5n+112,n ≥2,n ∈N *.C 组 教师专用题组考点一 数列求和1.(2015湖北,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q.已知b 1=a 1,b 2=2,q=d,S 10=100. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d>1时,记c n =an b n,求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有,{10a 1+45d =100,a 1d =2,即{2a 1+9d =20,a 1d =2,解得{a 1=1,d =2,或{a 1=9,d =29.故{a n =2n -1,b n =2n -1,或{a n =19(2n +79),b n=9·(29)n -1. (2)由d>1,知a n =2n-1,b n =2n-1,故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .② ①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n+32n , 故T n =6-2n+32n -1.2.(2015安徽,18,12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题设知a 1·a 4=a 2·a 3=8,又a 1+a 4=9,可解得{a 1=1,a 4=8或{a 1=8,a 4=1(舍去).由a 4=a 1q 3得公比为q=2,故a n =a 1q n-1=2n-1. (2)S n =a 1(1-q n )1-q =2n -1,又b n =a n+1S n S n+1=S n+1-S n S n S n+1=1S n -1S n+1,所以T n =b 1+b 2+…+b n =(1S 1-1S 2)+(1S 2-1S 3)+…+(1S n -1S n+1)=1S 1-1S n+1=1-12n+1-1.3.(2015山东,19,12分)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d. 令n=1,得1a 1a 2=13, 所以a 1a 2=3. 令n=2,得1a 1a 2+1a 2a 3=25, 所以a 2a 3=15. 解得a 1=1,d=2,所以a n =2n-1.(2)由(1)知b n =2n ·22n-1=n ·4n , 所以T n =1·41+2·42+…+n ·4n , 所以4T n =1·42+2·43+…+n ·4n+1, 两式相减,得-3T n =41+42+…+4n -n ·4n+1 =4(1-4n )1-4-n ·4n+1 =1-3n 3×4n+1-43. 所以T n =3n -19×4n+1+49=4+(3n -1)4n+19. 4.(2014湖北,19,12分)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;当d=4时,a n =2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n-2. (2)当a n =2时,S n =2n.显然2n<60n+800, 此时不存在正整数n,使得S n >60n+800成立. 当a n =4n-2时,S n =n[2+(4n -2)]2=2n 2. 令2n 2>60n+800,即n 2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n >60n+800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n;当a n =4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.5.(2014安徽,18,12分)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *. (1)证明:数列{an n}是等差数列;(2)设b n =3n ·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可得a n+1n+1=a n n +1,即a n+1n+1-an n=1. 所以{a n n}是以a 11=1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得a n n=1+(n-1)·1=n,所以a n =n 2. 从而b n =n ·3n .∴S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n ,① 3S n =1·32+2·33+…+(n-1)·3n +n ·3n+1.② ①-②得-2S n =31+32+…+3n -n ·3n+1 =3·(1-3n )1-3-n ·3n+1=(1-2n)·3n+1-32. 所以S n =(2n -1)·3n+1+34.6.(2014山东,19,12分)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n(n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)n b n ,求T n .解析 (1)由题意知(a 1+d)2=a 1(a 1+3d), 即(a 1+2)2=a 1(a 1+6),解得a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n. (2)由题意知b n =a n(n+1)2=n(n+1).所以b n+1-b n =2(n+1), 所以当n 为偶数时,T n =(-b 1+b 2)+(-b 3+b 4)+…+(-b n-1+b n ) =4+8+12+…+2n =n2(4+2n)2=n(n+2)2,当n 为奇数时,若n=1,则T 1=-b 1=-2, 若n>1,则T n =T n-1+(-b n ) =(n -1)(n+1)2-n(n+1) =-(n+1)22,n=1时,满足上式. 所以T n ={-(n+1)22,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数. 7.(2013重庆,16,13分)设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=3a n ,n ∈N +.(1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ;(2)已知{b n }是等差数列,T n 为其前n 项和,且b 1=a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,求T 20. 解析 (1)由题设知{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1,S n =1-3n 1-3=12(3n-1). (2)b 1=a 2=3,b 3=1+3+9=13,b 3-b 1=10=2d,所以公差d=5, 故T 20=20×3+20×192×5=1 010. 8.(2013安徽,19,13分)设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N *,函数f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cos x-a n+2sin x 满足 f '(π2)=0. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =2(a n +12a n),求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)由题设可得, f '(x)=a n -a n+1+a n+2-a n+1sin x-a n+2·cos x. 对任意n ∈N *,f '(π2)=a n -a n+1+a n+2-a n+1=0, 即a n+1-a n =a n+2-a n+1,故{a n }为等差数列.由a 1=2,a 2+a 4=8,解得{a n }的公差d=1,所以a n =2+1·(n-1)=n+1. (2)由b n =2(a n +12a n )=2(n+1+12n+1)=2n+12n +2知,S n =b 1+b 2+…+b n =2n+2·n(n+1)2+12[1-(12)n]1-12=n 2+3n+1-12n .9.(2013湖南,19,13分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n -a 1=S 1·S n ,n ∈N *. (1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解析 (1)令n=1,得2a 1-a 1=a 12,即a 1=a 12.因为a 1≠0, 所以a 1=1. 令n=2,得2a 2-1=S 2=1+a 2.解得a 2=2.当n ≥2时,2a n -1=S n ,2a n-1-1=S n-1,两式相减得2a n -2a n-1=a n .即a n =2a n-1. 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列. 因此,a n =2n-1.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)由(1)知na n =n ·2n-1.记数列{n ·2n-1}的前n 项和为B n ,于是 B n =1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n =1×2+2×22+3×23+…+n×2n .②①-②得-B n =1+2+22+…+2n-1-n ·2n =2n -1-n ·2n . 从而B n =1+(n-1)·2n .考点二 数列的综合应用1.(2018江苏,20,16分)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1,√2m],证明:存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)由条件知a n =(n-1)d,b n =2n-1. 因为|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立. 即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得73≤d ≤52. 因此,d 的取值范围为[73,52]. (2)由条件知:a n =b 1+(n-1)d,b n =b 1q n-1.若存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b 1+(n-1)d-b 1q n-1|≤b 1(n=2,3,…,m+1). 即当n=2,3,…,m+1时,d 满足q n -1-2n -1b 1≤d ≤q n -1n -1b 1. 因为q ∈(1,√2m], 所以1<q n-1≤q m ≤2, 从而q n -1-2n -1b 1≤0,q n -1n -1b 1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.因此,取d=0时,|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立. 下面讨论数列{q n -1-2n -1}的最大值和数列{q n -1n -1}的最小值(n=2,3,…,m+1). ①当2≤n ≤m 时,q n -2n -q n -1-2n -1=nq n -q n -nq n -1+2n(n -1)=n(q n -q n -1)-q n +2n(n -1),当1<q ≤21m 时,有q n ≤q m ≤2, 从而n(q n -q n-1)-q n +2>0. 因此,当2≤n ≤m+1时, 数列{q n -1-2n -1}单调递增, 故数列{q n -1-2n -1}的最大值为q m -2m. ②设f(x)=2x (1-x),当x>0时,f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x <0. 所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1. 当2≤n ≤m 时,q n n q n -1n -1=q(n -1)n ≤21n (1-1n )=f (1n )<1. 因此,当2≤n ≤m+1时,数列{q n -1n -1}单调递减, 故数列{q n -1n -1}的最小值为q mm.因此,d 的取值范围为[b 1(q m -2)m ,b 1q mm].2.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n }满足:a n-k +a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k =2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n }是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P(3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n }是等差数列. 证明 (1)证明:因为{a n }是等差数列,设其公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,从而,当n ≥4时,a n-k +a n+k =a 1+(n-k-1)d+a 1+(n+k-1)d=2a 1+2(n-1)d=2a n ,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n , 因此等差数列{a n }是“P(3)数列”.(2)数列{a n }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n ≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n ,① 当n ≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n .② 由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n +a n+1),③ a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n ).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n ,其中n ≥4, 所以a 3,a 4,a 5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4,所以a 2=a 3-d', 在①中,取n=3,则a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3,所以a 1=a 3-2d', 所以数列{a n }是等差数列.3.(2016四川,19,12分)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *. (1)若a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率为e n ,且e 2=2,求e 12+e 22+…+e n2. 解析 (1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3, 所以a 3=2a 2,故q=2. 所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率e n =√1+a n2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=2解得q=√3.所以,e 12+e 22+…+e n2 =(1+1)+(1+q 2)+…+[1+q 2(n-1)] =n+[1+q 2+…+q 2(n-1)] =n+q 2n -1q 2-1 =n+12(3n -1).4.(2015天津,18,13分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =a n b n ,n ∈N *,求数列{c n }的前n 项和.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,数列{b n }的公差为d,由题意知q>0.由已知,有{2q 2-3d =2,q 4-3d =10,消去d,整理得q 4-2q 2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,n ∈N *;数列{b n }的通项公式为b n =2n-1,n ∈N *. (2)由(1)有c n =(2n-1)·2n-1,设{c n }的前n 项和为S n ,则 S n =1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n =1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n , 上述两式相减,得-S n =1+22+23+…+2n -(2n-1)×2n =2n+1-3-(2n-1)×2n =-(2n-3)×2n -3, 所以,S n =(2n-3)·2n +3,n ∈N *.5.(2015浙江,17,15分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+ (1)b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n . 解析 (1)由a 1=2,a n+1=2a n ,得a n =2n (n ∈N *). 由题意知,当n=1时,b 1=b 2-1,故b 2=2. 当n ≥2时,1n b n =b n+1-b n ,整理得b n+1n+1=b nn, 所以b n =n(n ∈N *).(2)由(1)知a n b n =n ·2n ,因此T n =2+2·22+3·23+…+n ·2n , 2T n =22+2·23+3·24+…+n ·2n+1,所以T n -2T n =2+22+23+…+2n -n ·2n+1. 故T n =(n-1)2n+1+2(n ∈N *).6.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足S n 2-(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0,n ∈N *.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)<13.解析 (1)∵S n 2-(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0,∴令n=1,得a 12+a 1-6=0,解得a 1=2或a 1=-3. 又a n >0,∴a 1=2.(2)由S n 2-(n 2+n-3)S n-3(n 2+n)=0, 得[S n -(n 2+n)](S n +3)=0, 又a n >0,所以S n +3≠0,所以S n =n 2+n,所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-[(n-1)2+n-1]=2n, 又由(1)知,a 1=2,符合上式, 所以a n =2n. (3)证明:由(2)知,1a n (a n +1)=12n(2n+1),所以1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)=12×3+14×5+…+12n(2n+1)<12×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1) =16+12[(13-15)+(15-17)+…+(12n -1-12n+1)]=16+12(13-12n+1)<16+12×13=13.7.(2013课标Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.解析 (1)设{a n }的公差为d.由题意得,a 112=a 1a 13,即(a 1+10d)2=a 1(a 1+12d). 于是d(2a 1+25d)=0.又a 1=25,所以d=0(舍去)或d=-2. 故a n =-2n+27.(2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.由(1)知a 3n-2=-6n+31,故{a 3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而 S n =n2(a 1+a 3n-2)=n2(-6n+56) =-3n 2+28n.8.(2013山东,20,12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+…+b n a n=1-12n ,n ∈N *,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得{4a 1+6d =8a 1+4d,a 1+(2n-1)d =2a 1+2(n-1)d +1,解得a 1=1,d=2. 因此a n =2n-1,n ∈N *.(2)由已知b 1a 1+b 2a 2+…+b n a n=1-12n ,n ∈N *,得 当n=1时,b 1a 1=12; 当n ≥2时,b n a n=1-12n -(1-12n -1)=12n .所以b n a n =12n ,n ∈N *. 由(1)知,a n =2n-1,n ∈N *, 所以b n =2n -12n,n ∈N *, 又T n =12+322+523+…+2n -12n, 12T n =122+323+…+2n -32n +2n -12n+1,两式相减得12T n =12+(222+223+…+22n )-2n -12n+1=32-12n -1-2n -12n+1,所以T n =3-2n+32n.【三年模拟】时间:50分钟 分值:65分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018福建厦门第一学期期末质检,7)已知数列{a n }满足a n+1+(-1)n+1a n =2,则其前100项和为( ) A.250 B.200 C.150D.100答案 D2.(2017山西孝义模考,9)已知数列{a n },{b n },其中{a n }是首项为3,公差为整数的等差数列,且a 3>a 1+3,a 4<a 2+5,a n =log 2b n ,则{b n }的前n 项和S n 为( ) A.8(2n -1) B.4(3n -1) C.83(4n -1) D.43(3n -1) 答案 C3.(2017陕西渭南二模,9)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2=3,S 5=25,若{1a n a n+1}的前n 项和为1 0082 017,则n 的值为( )A.504B.1 008C.1 009D.2 017 答案 B4.(2018河北衡水中学八模,8)已知函数f(x)=a x +b(a>0,且a ≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n ∈N *时,a n =f(n)-1f(n)·f(n+1),记数列{a n }的前n项和为S n ,当S n =1033时,n 的值为( ) A.7 B.6 C.5D.4答案 D5.(2019届河南信阳模拟,6)已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1+m,且a 1,a 4,a 5-2成等差数列,b n =a n(a n -1)(a n+1+1),数列{b n }的前n 项和为T n ,则满足T n >2 0172 018的最小正整数n 的值为( )A.11B.10C.9D.8答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2019届江苏南京模拟,15)已知数列{a n }的通项公式为a n ={1n(n+2),n 为奇数,n -7,n 为偶数,则数列{a n }前15项和S 15的值为 .答案 127177.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n },{b n }满足a n b n =1,a n =n 2+3n+2,则{b n }的前2 018项和为 . 答案 1 0092 020三、解答题(共30分)8.(2019届广东模拟,17)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 5=40,a 4=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =n a n,S n 是数列{b n }的前n 项和,对任意正整数n,不等式S n +n 2n >(-1)n ·a 恒成立,求a 的取值范围. 解析 (1)由{a 3+a 5=40,a 4=16,得{a 3(1+q 2)=40,a 3·q =16,因为等比数列{a n }的公比q>1,所以q=2,a 3=8,所以a n =a 3·q n-3=2n . (2)由于a n =2n ,b n =n a n, 所以b n =n a n =n 2n ,则S n =121+222+323+…+n2n ①,12S n =122+223+324+…+n2n+1②, ①-②得12S n =(121+122+…+12n )-n 2n+1, 所以S n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =1-12n 1-12-n 2n =2-2+n2n ,所以S n +n 2n >(-1)n ·a 即2-22n >(-1)n ·a. 设f(n)=2-22n (n ∈N *), 由于f(n)=2-22n 单调递增,故当n 为奇数时,f(1)=1为最小值,所以-a<1,则a>-1, 当n 为偶数时,f(2)=32为最小值,所以a<32. 所以a 的取值范围为(-1,32).9.(2018云南昆明一中调研,17)在等差数列{a n }中,公差d ≠0,前5项和S 5=15,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求a 2+a 8+a 26+…+a 3k -1(k ∈N *)的值. 解析 (1)根据题意得{5a 1+5×42d =15,(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d),解得{a 1=32,d =34.所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d=34n+34. (2)解法一:由(1)得a 3n -1=34(3n -1)+34=34×3n , 所以a 2+a 8+a 26+…+a 3k -1 =34×(31+32+33+…+3k )=34×3(1-3k )1-3=98(3k-1).解法二:设b n =a 3n -1=34(3n -1)+34=34×3n , 则b n+1b n=3(n ∈N *). 所以数列{b n }是首项为94,公比为3的等比数列,所以数列{b n }的前k 项和T k =94(1-3k )1-3=98(3k -1).10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,17)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,a 1=b 1=1,且b 3S 3=36,b 2S 2=8(n ∈N *). (1)求a n 和b n ; (2)若a n <a n+1,求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{q 2(3+3d)=36,q(2+d)=8.解得{d =2,q =2,或{d =-23,q =6. ∴a n =2n-1,b n =2n-1或a n =13(5-2n),b n =6n-1. (2)若a n <a n+1,由(1)知a n =2n-1, 则1a n a n+1=1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴T n =12(1-13+13-15+…+12n -1-12n+1)=n2n+1.。
第六章 数列第一部分 五年高考体题荟萃第二节 数列的应用 2009年高考题一、选择题1.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2n D. 2(1)n -【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.答案 C2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69SS = A. 2 B.73 C. 83D.3 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++ 【答案】B3.（2009宁夏海南卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。
若1a =1，则4s =( )A.7B.8C.15D.16 【解析】41a ，22a ，3a 成等差数列，22132111444,44,440,215a a a a a q a q q q q ∴+=+=∴-+=∴==即，S ,选C.【答案】 C4.（2009湖北卷文）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，[215+],215+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B【解析】可分别求得=⎪⎪⎩⎭，1=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
