苏教版数学高二-2016版高中数学苏教版选修2-1导学案 椭圆的标准方程

人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义；2、椭圆的两类标准方程；3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。

三、教学目标1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。

能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。

让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。

四、教学重点、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。

五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。

六、教学媒体幻灯片、黑板。

七、教学过程（一）创设情境，导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。

此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。

这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。

（二）问题探究老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。

然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。

x a
2 2
y M
F1
0
F2
x

y b
2 2
1(a b 0)
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为：
x
2
根据题意:2a=3, 2c=2.4,
2.25

y
2
0.81
1
示例5、将圆 x 2 y 2 4 上的点的横坐标保 持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线。
x
2
依定义知,点A 的轨迹为双曲线(除去顶点)方程为：
4

y
2
12
1 （ y≠0）
请同学们思考：
1.椭圆的两个焦点分别是F1(-8，0)和F2(8，0)，且 椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆 方程是_____________。 2.△ABC中，三边a、c、b成等差数列，且a>c>b， 若A（-1，0），B（1，0），则动点C的轨迹方程 为____________。 3. 椭圆 A.5
堂小结(1) 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？



(1)平面上----这是大前提; (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是 常数 2a; (3)常数 2a 要大于焦距 2c;
MF1 MF2 2 a 2 c
4
椭圆的标准方程(1)
x a
2 2

y b
2 2
2 2
×



2
y b
2 2
1( a , b 0)的焦点坐标为
2
( a b , 0)
×
9
Ex3写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2.探究点一 椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二 椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，21=，则21PF F ∆的面积为（ ） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是 ，它的方程是 4． 椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。

师：能否美化结论的形象？
2 2 2 2 2 a c0 ， ， a c 0，令 a c b
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则： b ． x a x a b
22 22 22
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生： （回答，教师板书） 师： a ， b ， c 之间存在一个什么关系？
2 2 2 生： a b c
师：如何判断椭圆的焦点的位置？ 生：在分母较大的对应轴上． 三、数学运用 例 1 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4 m，外轮廓 线上的点到两个焦点的距离和为 3 m，求这个椭圆的标准方程． 例 2 将圆 x y 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得到的曲线
师：大家还记得圆的方程是怎样建立的吗？（个别提问） 生： （回答问题，教师加以引导）得出圆的标准方程的基本步骤：建坐标系、设点、列等式、 代坐标、化简． 师：那么大家觉得这种方法是否适用于椭圆呢？ 生：可以． 师：那么请大家来研究一下椭圆的方程是什么？ 生： （研究探索椭圆的方程，教师适时加以引导） 二、建构数学 （1）如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； （一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴． ） ①建立适当的直角坐标系： 以直线 F 1 F 2 为 x 轴，线段 F 1 F 2 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示坐标系．
师：由直线方程的截距式是否可以得到启发？
椭圆方程为：

∴|AB|+|AC|=12>|BC|,
∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆 (除去与x轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得
a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是
(y≠0).
x2 y2 1 36 20
定义法
练习：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、 AB、CB的长成等差数列，则点C的 轨迹方程是___x_2/_4_+y_2_/3_=_1___.
y2
1
10 6
课堂练习2：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x2 (1)
y2
1
25 16
(2) 3x2 2 y 2 1
x2
y2
(3
x2 m2
y2 m2 1
1
(4)9x2 25 y 2 225 0
? (6) x2 y2 1 24 k 16 k
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
Y
M (x,y)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面
分析二：设方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)
x2/15+y2/5=1
• (2)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点 (3,0)的椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程学习目标：1、通过本节的学习了解椭圆的定义、几何图形和标准方程，了解椭圆的实际背景和它在解决实际问题中的作用.2、理解椭圆标准方程中参数a 、b 、c 之间的关系，灵活地运用定义去思考问题并切实地解决问题.学习重点：椭圆的定义和标准方程学习难点：椭圆标准方程的推导一、新课引入：椭圆的定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

思考：如何把数学语言转化为代数式或者方程呢？方法：坐标化原则：简洁对称步骤：建系、取点；列式(几何、代数)；代换；化简；证明(可省)要求条理清晰） 分析：从定义（几何性质）入手突出：1、如何建系：（让学生从美的原则出发感受轴对称、中心对称的完美性，处理问题时要保持完美性协调，忌破坏。

）以焦点F 1,F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴，则F 1(-c,0),F 2(c,0) 设椭圆上一点P(x,y)。

2、如何求椭圆的标准方程：（暂且不提标准二字，纯粹从求方程开始）1）明确几何关系：|PF 1|+|PF 2|=2a22a =分析方程的结构及所显示的几何意义（揭示出|F 1F 2|>2a 原因），强调为什么要化简——美化，让学生感受化简的必要性。

3）化简关系：(让学生讨论如何化简，突出化简的目的—去根号)常规方法：平方法2222222)()(44)(y c x y c x a a y c x +-++--=++2a cx -=22222222-()a c x a y a a c +=-（）222221x y a a c+=- 注：在化简的过程中，时时注意拓展学生思维，帮助学生学会科学地思考。

化简可以从其它两个方面思考：一、分子有理化（有理化的意识）；二、等差中项（数学式子的结构意识）注：①若2a=2c 时，化简所得方程与其图形的对比 ②平方法后得：c a x a -=能说明什么？ )()(222x c a a c y c x -=+- →a c x ca y c x =-+-222)( 4）标准方程（分析为什么标准化，它的必要性）结合椭圆的图形分析b 的引入的科学性二、例题分析学习椭圆要分两步走，第一，用方程表示椭圆；第二，通过方程探究椭圆的性质，其中，在各种条件下求出椭圆的方程是学好椭圆的必由之路. 例1 判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标． （1）22110064x y +=； （2）221925x y +=； （3）224520x y +=． 解：（1）因为10064>，所以焦点在x 轴上；又因为2221006436c a b =-=-=，故焦距212c =，从而焦点坐标为(6,0)-、(6,0)．（2）因为925<，所以焦点在y 轴上；又因为22225916c a b =-=-=，故焦距)0(12222>>=+b a by a x28c =，从而焦点坐标为(0,4)-、(0,4)．（3）方程可化为22154x y +=，因为54>，所以焦点在x 轴上；又因为222c a b =-=5-4=1，所以焦距2c=1，从而焦点坐标为（1,0）、（-1，0）．注意：第（3）题和前两题的区别，分母上的数是和通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求焦点坐标、焦距等基本量（在求解之前要将方程先化成标准式），学习时采用在教师引导下学生自主完成的方法．例2：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程． 解：以两焦点1F 、2F 所在直线为x 轴，线段1F 2F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系x O y ，则这个椭圆的标准方程可设为()222210x y a b a b += >>． 根据题意知23a =，2 2.4c =，即1.5a =， 1.2c =，故222221.51.20.81b ac =-=-=，因此，这个椭圆的标准方程为2212.250.81x y +=． 说明：进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即“定型”和“定量”，培养学生运用知识解决问题的能力.三、巩固练习1. 求下列椭圆的焦点坐标：（1）22194x y +=； （2）22167112x y +=．2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a =c =（2）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(；（3）焦距为6，1a b -=；（4）经过两点35(,)22A -，B . 四、本节小结：理解椭圆的标准方程的求法。

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。

从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。

因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。

二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

教学手段：计算机课件辅助教学。

五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。

2.1.1椭圆的定义与标准方程主备人：许玉霞 复备人：许月珠、蔡素晗、蔡慧鸿、高二备课组 授课班级：高二（18）班 第 1 课时（总2课时）课型新授课授课教材 课前准备 学生课前预习、教师阅读数学课程标准、研读课本，收集资料，制作多媒体课件学习目标1.掌握椭圆的定义及其标准方程的推导.2.初步学会用坐标法解决几何问题.3.通过观察、联想、类比，体会分类讨论及数形结合的数学思想方法，逐步培养数学应用建模的意识.湘教版 《数学选修2-1》 《2.1.1椭圆的定义与标准方程》重点、难点 教学重点：椭圆的定义和标准方程.教学难点：椭圆标准方程的推导.学情分析学习者特征：学生是高二（18）班的学生，选科是史政地组合。

本班共有55人，其中选体音美的学生共有22人.学生的基础非常薄弱，但是对于数学新内容的学习有较大的兴趣和较强的积极性，不过探究问题的能力，数学建模、数学运算等核心素养有待提高.初始能力：学生已具备了圆的知识并初步掌握求轨迹方程的方法；初步学会了用坐标法解决平面几何问题，学生学习的障碍在于实际问题抽象成数学问题的能力有待进一步提高.导学过程教学过程 学生活动教师指导 信息技术融合情况目标提示1.掌握椭圆的定义及其标准方程的推导.2.初步学会用坐标法解决几何问题.简单讲解教师借助 PPT 课件强调本节学习目标.自学检测 判断下列方程是否表示椭圆？ 124)3(134)2(144)1(222222=+=-=+y x y x y x 核对答案,反馈完成情况.学生借助移动终端进行答题， 教师借助智慧课堂统计答题情况.一.椭圆的定义1.实验演示取一条长度一定且没有弹性的细绳,如果把细绳的两端拉开一交流讨论段距离，分别固定在图板的两点处(标记为F1，F2)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？2.椭圆的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.①两个定点F1、F2——椭圆的焦点;②12FF——焦距,记为2c（c>0).③定值记为.022),(2>>>caaa讨论:为什么这个定值要大于|F1F2| ?结论：若定值大于|F1F2|，则点M的轨迹是（）若定值等于|F1F2|，则点M的轨迹是（）若定值小于|F1F2|，则点M的轨迹是（）总结演示实验得到的轨迹，引出椭圆的定义；引导学生交流讨论，辩中得真知，并总结归纳.教师借助PPT 课件展示椭圆的形成过程,引导学生归纳椭圆的定义.教师借助智慧课堂反馈讨论情况.释疑解难二.椭圆的标准方程的推导焦点在x轴上:)0(12222>>=+babyax焦点在y轴上:)0(12222>>=+babxay标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标a、b、c 的关系焦点在x轴上焦点在y轴上yxMOF1F2归纳求动点轨迹方程的一般步骤：(坐标法)（1）建立适当的坐标系;（2）设M的坐标（x,y）表示曲线上任意一点;（3）写出限制条件 P（M） ;（4）把坐标代入条件P（M），列出方程 ;（5）化方程为最简形式.引导学生如何建系，推导标准方程，让学生体会数形结合的重要性.教师借助PPT 课件展示椭圆的定义；教师引导学生如何建系，推导标准方程，让学生体会数形结合的重要性.典例精析例:判断下列方程是否表示椭圆？若是，写出它的焦点坐标.)0(14)6(1234)5(1244124)3(134)2(144)1(222222222222>=+=+=+=+=-=+nnyxyxyxyxyxyx）（探究：先由自学检测入手，再进一步求椭圆的焦点坐标.通过实例分析，帮助学生梳理知识，突出本节的重点.训练学生观察能力，培养学生化归与转化能力，运算能力.教师借助PPT课件展示例题，讲解题目，突出重点，指出易错点，巩固概念.教师借助智慧课堂反馈学生的探究情况.当堂训练抢答：,1351.2222=+yx则=a，=b；,1642.2222=+yx则=a，=b；,1693.22=+yx则=a，=b；,1474.22=+yx则=a，=b.由学生完成，老师点拨.巩固所学的知识，并提升能力.教师借助PPT 课件展示，讲解题目，突出重点，指出易错点，巩固概念．课堂小结一个概念：|MF1|+|MF2|=2a（2a>2c>0）二个方程：三个意识：求美意识;求简意识;建模意识思想方法：数形结合；分类讨论；化归与转化引导学生进行反思小结，教师再做补充.教师借助PPT 课件归纳本节课的学习内容和方法，突出重点，突破难点.作业延伸一．必做题1.校本作业2.《同步导学》p19——213.推导焦点在y轴上椭圆的标准方程.二．选做题：1.方程219x ym-=表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．学生课后自主完成，促进知识的巩固和提升.教师借助PPT 课件向全班同学推送作业，课后实时查看、批改作业.圆？满足什么条件时表示椭中方程nmnyx,1m22=+1byax2222=+()0ba1bxay2222>>=+2.椭圆1422=+ny x 的焦距为2，求n 的值.板书设计椭圆的定义与标准方程1.定义 例题2.标准方程。

2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标1.掌握椭圆的定义及其标准方程；2.理解椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。

基础感知预习教材，完成下列问题：（1）平面内的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点之间的距离叫做椭圆的（2）椭圆的标准方程：当焦点在x轴时，标准方程为；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为（3）集合语言：点集P=｛M｜|MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|｝当2a=|F1F2|时，轨迹是当2a<|F1F2|时，轨迹是合作学习例 1.已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0）（2,0），并且经过点（2.5,-1.5）,求它的标准方程。

例2.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x 轴的垂线段PD,D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？例3.设点A、B的坐标分别为（-5,0）（5,0）,直线AM、BM相交于点M,且他们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程？当堂检测课后练习2.2.2 椭圆的简单几何性质 班级 姓名 小组学习目标1.掌握椭圆的几何性质2.椭圆的几何性质的实际应用 基础感知合作学习例1.求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴长、离心率、焦点、顶点坐标例2.点M （x,y ）与定点F （4,0）的距离和它到直线425x 的距离之比是常数54,求点M 的轨迹方程当堂检测《师说》随堂自测限时训练（1）班级姓名小组1.焦点在x轴上，a=6,c=1的椭圆的标准方程为:2.已知椭圆的方程为m2x2+16y2=16m2,焦点在x轴上，则m的取值范围:3.过点（-3,2）且与4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆方程为:4.已知椭圆的方程是25x2+a2y2=25a2,它的两个焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1，则三角形ABF2的周长为:5.椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是:6.已知两定点F1（-1,0）F2（1,0）,动点P满足:|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,求:（1）点P的轨迹方程（2）若∠F1PF2=120。

1.过点⎝⎛⎭⎫25，355且2c ＝8的椭圆的标准方程为________． 解析：由于焦点的位置不确定，故分类求解．答案：x 225＋y 29＝1和10x 229＋33649＋10y 2189＋33649＝1 2.椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则该椭圆方程是________．解析：椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，∵P 为椭圆上一点，F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，a ＝2，c ＝1. ∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 3.设M (－5，0)，N (5，0)，△MNP 的周长是36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________． 解析：由于点P 满足PM ＋PN ＝36－10＝26>10，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且2a ＝26的椭圆(由于P 与M 、N 不共线，故y ≠0)，再利用待定系数法求解．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0) 4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．解析：方程x 2＋ky 2＝2化为方程x 22＋ky 22＝1，所以0<2k<2，即k >1. 答案：k >1[A 级 基础达标]1.椭圆的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为________．解析：∵焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1； 点P (3，4)在椭圆上，∴16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40， ∴椭圆方程为y 240＋x 215＝1. 答案：y 240＋x 215＝1 2.若椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝10，∴PF 2＝10－PF 1＝5.答案：53.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且2b ＝45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36化为标准方程x 24＋y 29＝1，则焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5， 又因为2b ＝45，则b 2＝20，a 2＝b 2＋c 2＝25，故所求椭圆的标准方程为x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝1 4.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k 等于____．解析：椭圆5x 2－ky 2＝5化为标准方程y 25－k＋x 21＝1，则c 2＝5－k－1＝4，解得k ＝－1，满足5－k>1，故k ＝－1. 答案：－15.方程x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12. 故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12.答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，126.根据椭圆的方程写出椭圆的焦点坐标：(1)x 225＋y 29＝1；(2)2x 2＋y 2＝1； (3)y 2a 2＋1＋x 2a 2＋5＝1(a ∈R )． 解：(1)由方程知，焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝16，∴c ＝4，故所求椭圆的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)． (2)把方程化为标准方程为y 2＋x 212＝1，故焦点在y 轴上，且a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2－b 2＝12， ∴c ＝22，故所求椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，22，⎝⎛⎭⎫0，－22. (3)a 2＋5>a 2＋1，故焦点在x 轴上，且c 2＝(a 2＋5)－(a 2＋1)＝4，∴c ＝2，故所求椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．7.已知△ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)．求顶点B 的轨迹方程．解：设点B 的坐标为(x ，y )，∵a 、b 、c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ，即BC ＋BA ＝2AC ＝4.由椭圆的定义知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1； 又∵a >b >c ，∴a >c ，∴BC >BA ，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，x <0；又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一条直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧． [B 级 能力提升]8.已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0，2)，则m 的值是________．解析：方程变形为x 26＋y 22m＝1，∵焦点在y 轴上， ∴a 2＝2m ，b 2＝6，又c ＝2且a 2－b 2＝c 2，∴2m －6＝22，∴m ＝5.答案：59.已知椭圆的方程为x 2m＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________． 解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ，∴c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )；当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝m －1，∴c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)．答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)，(－m －1，0)10.(2012·淮安高二检测)若B (－8，0)，C (8，0)为△ABC 的两个顶点，AC 、AB 两边上的中线和是30，求△ABC 重心G 的轨迹方程． 解：如图，设CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，则CD ＋BE ＝30，又G 是△ABC 的重心，∴BG ＝23，CG ＝23， ∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝23×30＝20. 又B (－8，0)，C (8，0)，∴BC ＝16<20＝BG ＋CG ，∴G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，∴2a ＝20，2c ＝16，即a ＝10，c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝102－82＝36，∴G 点的轨迹方程是x 2100＋y 236＝1. 11.(创新题)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)．求椭圆C 的方程．解：∵l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2y 2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b 21，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2， ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1。

椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做□0102焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．椭圆．这两定点叫做椭圆的□集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若□04a>c，则集合P表示椭圆；(2)若□05a＝c，则集合P表示线段；(3)若□06a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 为斜边，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2b2a.(5)椭圆离心率e ＝1－b 2a2.1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.2．(2018·广西模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C.3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 29＋y 28＝1 答案 D解析 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝13，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8.故椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.4．(2019·西安模拟)已知点P (x 1，y 1)是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是其左、右焦点，当∠F 1PF 2最大时，△PF 1F 2的面积是( )A.1633B ．12C ．16(2＋3)D ．16(2－3)答案 B解析 ∵椭圆的方程为x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3，∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，∠F 1PF 2最大，此时△PF 1F 2的面积S ＝12×2×3×4＝12，故选B.5．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________. 答案 1解析 方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k＝1.a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k－1＝2，解得k＝1.6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3x,2c ＝3x ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 核心考向突破考向一 椭圆定义的应用例1 (1)(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513.故选B. (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.答案 5解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3.∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|，通过整体代入可求其面积等.即时训练 1.(2019·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C.2．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于椭圆C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于椭圆C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.考向二 椭圆的标准方程例2 (1)(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A.(2)已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.触类旁通求椭圆方程的常用方法(1)定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝m >0，n >0，m ≠n ，再用待定系数法求出m ，n 的值即可.即时训练 3.(2019·青岛模拟)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 C解析 如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －32. ①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22. ②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.4．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________．答案x 29＋y 26＝1 解析 l 经过F 1垂直于x 轴，得y A ＝b 2a ，在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，得b 2a ＝33×2c ，12×2c ×2b 2a ＝43，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3.所求的椭圆方程为x 29＋y 26＝1.考向三 椭圆的几何性质例3 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 根据题意，可知c ＝2，因为b 2＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，即a ＝22，所以椭圆C 的离心率为e ＝222＝22.故选C. (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac <0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 ∵c 2－b 2＋ac <0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac <0，即2c 2－a 2＋ac <0，∴2c 2a 2－1＋ca<0，即2e 2＋e －1<0，解得－1<e <12.又∵0<e <1，∴0<e <12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练 5.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1答案 D解析 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，设|PF 2|＝m ，则2c ＝|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，又由椭圆定义可知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)m ，则离心率e ＝c a ＝2c 2a＝2m 3＋m＝3－1.故选D.6．(2019·江苏模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 为左顶点，B 为上顶点，F 为右焦点且AB ⊥BF ，则这个椭圆的离心率等于________．答案5－12解析 由题意得A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，∵AB ⊥BF ，∴AB →·BF →＝0，∴(a ，b )·(c ，－b )＝ac －b 2＝ac －a 2＋c 2＝0，∴e －1＋e 2＝0，解得e ＝5－12. 考向四 直线与椭圆的位置关系角度1 弦的中点问题例4 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P →＋F A →＋F B →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m <⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|F P →|＝32. 于是|F A →|＝x 1－2＋y 21＝ x 1－2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|F B →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|F B →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|F P →|＝|F A →|＋|F B →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.角度2 弦长的问题例5 (2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14× x 1＋x 22－4x 1x 2＝－m2.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m|5×－m2＝m2－m2≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m＝±2时取得最大值． 触类旁通解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.(3)直线与椭圆相交时常见问题的处理方法即时训练 7.(2019·广西联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为4π3，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，0，求k 的值．解 (1)由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 43. 设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)， 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b －432＋c 2＝43.又因为b >1，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k3＋4k 2.因为P 为线段AB 的中点，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又因为直线PD 的斜率为－1k，所以直线PD 的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 令y ＝0，得x ＝k 23＋4k2，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 23＋4k 2，0， 则k 23＋4k 2＝17，解得k ＝±1. 8．(2019·云南昆明模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)． 当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22， 此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k · －4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k2，y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝4k2＋2k22＋4k 21＋2k 2＝43， 所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.1．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析 解法一：设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 20≤1，所以当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.解法二：由PF 1→＋PF 2→＝PO →＋OF 1→＋PO →＋OF 2→＝2PO →求解．故选C.2．已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2,0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.3．在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解 设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ， 由点到直线的距离公式得 d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3,2)．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练1．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2答案 D解析 解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到点Q 的距离d ＝x 2＋y －2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52， P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0,6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)， 则|MQ |＝10cos 2θ＋θ－2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D.2．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案 4解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.。

2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6，化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·c os α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)． (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，2π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) 4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k＝－1可化为x 25－k＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5. 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22. ∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±320.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，±3203．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。

2.2椭圆课时分配:1.第一课椭圆及其标准方程1个课时2.第二课椭圆的简单几何性质1个课时2.2.1椭圆及其标准方程【教材分析】圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容。

本节是整个解析几何部分的重要基础知识。

椭圆的定义与初中时学生学习的圆的定义具有相通之处，就是“点动成线”的原理。

通过学习，让学生理解当点运动的规则（遵循的几何关系）发生变化的时候，则画出的曲线的形状也会不同。

高中阶段，在《直线和圆的方程》的学习过程中，学生对坐标法（解析法）思想有了一定程度的认识；在“曲线与方程”和“方程与曲线”的概念中，学生进一步明确了坐标法及其研究曲线的方程的一般步骤。

从本节课开始，又将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好研究方法和研究思想的准备。

它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前启后的作用。

【教学目标】知识与技能目标: 1．准确理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；2．根据条件确定椭圆的标准方程；过程与方法目标: 1．通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义；在探索椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳和抽象概括问题的能力.2．提高运用坐标法解决几何问题的能力和运算求解和数据处理的能力。

情感态度与价值观目标:通过提炼归纳椭圆的定义的过程，让学生学会将问题抽象成数学问题，并透过运动的现象把握事物的本质；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。

通过讨论椭圆方程推导的过程中养成学生扎实严谨的科学态度。

教学重点和难点1.重点：体会椭圆的形成过程，感受求曲线方程的基本方法，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。

2.难点：椭圆标准方程的推导（尤其是遇到的根式化简的过程与方法）法与学法（一）教法为了使学生更主动地参与到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。

椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.'点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．'例2.'已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．'例3.'已知△ABC 的周长等于18，B 、C 两点坐标分别为（0，4），（0，-4），求A 点的轨迹方程．'椭圆的标准方程知识讲解1．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F （±c ，0），焦距|F 1F 2|＝2c ；（2）（a ＞b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞b ＞0；a 2＝b 2+c 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点A（a ，0），A ′（﹣a ，0）B （0，b ），B ′（0，﹣b ）A （b ，0），A ′（﹣b ，0）B （0，a ），B ′（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2离心率e ＝（0＜e ＜1）e ＝（0＜e ＜1）准线x ＝±y ＝±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率为，求椭圆的标准方程．'例2.'写出适合下列条件的曲线方程：（1）求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线两个焦点分别为F 1（-5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．'椭圆的性质知识讲解1．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，-3）．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标．'例3.'如图，椭圆E：+=1（a>b>0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）求四边形AEBF面积的最大值．'练习2.'椭圆C：=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1，0），点P（1，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O，求△ABM的面积．'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值．'练习5.'已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．'练习6.'已知曲线Γ：=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1∙k2是定值；（2）设点C满足=λ（λ>0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．'练习7.'已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，△ABE的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：（x-3）2+y2=r2（r>0）与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C 上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：|OG|∙|OH|为定值．'练习8.'已知椭圆E：=1（a>b>0）的离心率为，且过点A（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）问：是否存在过点M（0，2）的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N（-1，0），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．'练习9.'已知椭圆C：=1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AMN的面积为时，求1的方程．'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．'练习12.'已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（-1），求椭圆方程．'。