新人教版初中数学教案:平方根(第2课时)
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6.2平方根(第2课时)的教学设计一.学习目标知识与技能:1.了解平方根、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.过程与方法:1.经历平方根概念的构成过程,让先生不仅掌握概念,而且进步和巩固所学知识的运用能力.2.培养先生求同与求异的思想,经过比较进步考虑成绩、辨析成绩的能力.情感、态度与价值观1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神.2.在学习的过程中,培养先生严谨的科学态度.二.教学重点、难点重点:1.了解平方根开、平方根的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.难点:1.平方根与算术平方根的区别和联系.2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算.三.学习方法:自主 合作 探求四.学习过程设计检查先生完成情况(:教师经行抽查,找出典型的成绩经行讲解)(一).自学范围:请自学教材第3页至第5页;(二).知识回顾:1. 64.0的算术平方根是 ;16 的算术平方根是 ;2. =-2)6( ;=971(二)算术平方根的平方:(1) 的平方等于3; (2)比较大小:32与23;平方根与算术平方根的联系与区别:联系:1.平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.2.只需非负数才有平方根和算术平方根.3. 0的平方根是0,算术平方根也是0.区别:1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只需一个算术平方根.2.表示法不同:平方根表示为 a ± ,而算术平方根表示为a1 .以下说法正确的是①3-②25的平方根是5;③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的平方根是8.2.以下说法不正确的是( ) .(A)0的平方根是0 (B)22-的平方根是2±(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根必然大于这个数的相反数3. 已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是().(C) a2+14. 指出以下各数的算术平方根:(1)0.04 (2)1645. 面积为9的正方形,边长=;面积为7的正方形,边长=;6.比较大小:8313-与81本节小结先生自主总结,先生畅谈本人的学习播种。
人教版数学七年级下册《6-1平方根第2课时》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级下册《6-1平方根》第2课时,主要内容是平方根的概念和性质。
这部分内容是初中数学的基础,对于学生理解代数和几何中的许多概念具有重要意义。
本节课的主要内容有:平方根的定义、平方根的性质、平方根的运算等。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数的乘方,对幂的概念有一定的理解。
但是,平方根的概念和性质较为抽象,需要通过实例和活动让学生加深理解。
此外,学生的数学基础和学习习惯参差不齐,需要在教学过程中充分考虑这一点。
三. 教学目标1.理解平方根的概念,掌握平方根的性质。
2.能够进行平方根的运算。
3.培养学生的抽象思维能力,提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.平方根的概念和性质。
2.平方根的运算。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法等多种教学方法,引导学生主动探究,合作交流,培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.教材、教案、PPT等教学资料。
2.相关实例和练习题。
3.投影仪、电脑等教学设备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用PPT展示一些生活中的实例,如物体的高度、温度等,引导学生回顾有理数的乘方,为新课的学习做好铺垫。
2.呈现(15分钟)通过PPT呈现平方根的定义和性质,让学生初步了解平方根的概念。
同时,引导学生发现平方根与有理数乘方的联系和区别。
3.操练(20分钟)让学生分组讨论,运用平方根的性质解决一些实际问题。
如:计算某个数的平方根,判断一个数是否为另一个数的平方根等。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)针对学生的讨论结果,进行讲解和总结,强化学生对平方根概念和性质的理解。
然后,让学生完成一些相关的练习题,巩固所学知识。
5.拓展(10分钟)引导学生思考:平方根在实际生活中的应用有哪些?让学生举例说明,进一步培养学生的数学应用能力。
6.小结(5分钟)对本节课的主要内容进行总结,强调平方根的概念和性质,提醒学生注意平方根的运算方法。
6.1 平方根第2课时教学设计课题 6.1 平方根第2课时单元第六单元学科初中数学年级七下学习目标1.会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律;2.通过求一个数的算术平方根的近似值,初步了解开方开不尽的数的无限不循环性,理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义;3.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值;4.体验“无限不循环小数”的含义,感受存在着不同于有理数的一类新数,培养探求精神,提高学生学习数学的兴趣.重点夹逼法及估计一个(无理)数的大小.难点会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课【创设情境】1.什么是算术平方根?一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x² a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.2.求下列各式的值.(1)的算术平方根=_______(2)的算术平方根=_______追问:你2知道它有多大吗?【教学建议】让学生说出算术平方根的概念,并让学生回答,最后引出2有多大的疑问?学生思考并回答计算并思考.回顾旧知,引出本节课重点内容,如何求一个算术平方根的近似值.讲授新课【合作探究】能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为2 dm2 的大正方形?学生分组讨通过探究活动,引出求的一种如图,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为 2 dm2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗?解:设大正方形的边长为x dm,则x2 = 2由算术平方根的意义可知x=所以大正方形的边长是dm.小正方形的对角线的长是多少呢?x=小正方形的对角线的长即为大正方形的边长.学生分组讨论、拼图过程中,教师巡视,了解各组探究情况,最后动态展示拼图过程,由学生代表回答解题思路,教师进行板书示范.最后教师可强调大正方形的面积不能表示成一个有理数的平方,因此它的边长只能用算术平方根的符号,即表示.想一想:2有多大呢?()2=2无限不循环小数是指小数位数无限,且小数部分不循环的小数.播放动画过程中,教师可提问,对于(1)、(2)教师带领学生进行完成,(3)、(4)学生独立完成(1)在哪两个整数之间?(2)精确到0.1时在哪两个数之间?论、拼图,回答教师问题.方法,并举例说明什么是无限不循环小数,让学生理解其概念.(3)精确到0.01时在哪两个数之间?(4)精确到0.001时在哪两个数之间?最后,教师给出无限不循环小数的概念.【小试牛刀】你能估算出的近似值吗(精确到0.01)?解:∵22=4,32=9,∴2<<3.∵ 2.2²=4.84,2.3²=5.29,∴ 2.2<<2.3.∵ 2.23²=4. 9729,2.24²=5. 0176,∴ 2.23 <<2.24.∵ 2.2362 =4.999696,2.2372 =5.004169,∴ 2.236<<2.237,∴≈2.24.归纳:对算术平方根进行估算时,通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.【合作探究】在估计有理数的算术平方根的过程中,为方便计算,可借助计算器求一个正有理数a 的算术平方根(或其近似值).注意:计算器的型号不同,按键顺序可能有所不同,要注意阅读使用说明书.【典型例题】例1用计算器求下列各式的值:(1) ;(2) (精确到0.001).用计算器计算下列算术平方根,你发现了什么规律?学生思考,回答教师问题.通过例题,使学生掌握使用计算器求算术平方根的方法,做一做中的(2)可以和上面所估计的的大小进行比较.解:规律:被开方数的小数点向右或向左移动2位,算术平方根的小数点相应地向右或向左移1位.想一想:用计算器计算,并利用你发现的规律,求,,的近似值.你能根据的值说出是多少吗?【典型例题】例2 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2 的长方形纸片,使它的长宽之比为3 : 2.她不知能否裁得出来,正在发愁.小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?解:设长方形纸片的长为3x cm ,宽为2x cm,根据边长与面积的关系得3x∙ 2x = 300,6x2 = 300 ,x2 = 50,x = ,因此长方形纸片的长为3cm .∵50 > 49,∴> 7.由上可知 3 > 21,则长方形纸片的长应该大于21 cm. 思考并积极回答.例题给出了一个实际问题背景,学生一般会认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片,通过学习可以纠正学生的认识.重点使学生掌握通过平方数比较有理数与无理数大小的一种方法.∵= 20,∴正方形纸片的边长只有20 cm.这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.答:不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.例2先由学生尝试,教师再进行讲解.【随堂练习】1.用计算器求下列各式的值:(1) ;(2) (精确到0.01).2.估算的值 ( B )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间【教学建议】教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,根据学生完成情况适当分析讲解.学生自主练习学生通过练习,可以更好的理解如何用计算器求一个数的算术平方根,进一步提高分析问题和解决问题的能力.课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.板书 1.求算术平方根的方法(1)夹逼法(2)用计算器求解2.例题讲解。
人教版七年级数学下册教学设计6.1 第2课时《平方根》一. 教材分析本节课的教学内容是《平方根》,这是人教版七年级数学下册第六章第一节的一部分。
在此之前,学生已经学习了有理数、实数等基础知识,对数的运算也有一定的了解。
本节课主要让学生掌握平方根的定义、性质和求法,以及了解平方根在实际问题中的应用。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础,但部分学生在实数方面的理解还不够深入。
在导入新课环节,教师需要通过生活中的实例激发学生的学习兴趣,让学生感受到平方根在实际生活中的重要性。
在教学过程中,要注意引导学生主动探索、发现和总结平方根的性质,提高学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生掌握平方根的定义、性质和求法,能够运用平方根解决实际问题。
2.过程与方法:通过自主学习、合作交流,培养学生探究数学问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点:平方根的定义、性质和求法。
2.难点:平方根在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.启发式教学:教师通过提问、引导,激发学生的思考,让学生主动探索平方根的性质。
2.情境教学:结合生活实例,让学生感受平方根在实际问题中的应用。
3.小组合作:引导学生进行合作交流,共同探讨平方根的问题。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示平方根的相关知识点。
2.实例材料:准备一些实际问题,用于引导学生运用平方根解决。
3.练习题:准备一些练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示一些生活中的实例,如测量土地面积、计算物体高度等,引导学生思考这些实际问题与平方根的关系,激发学生的学习兴趣。
2.呈现(10分钟)教师引导学生回顾实数的相关知识,然后给出平方根的定义,并通过PPT展示平方根的性质。
同时,教师可以通过讲解、举例等方式,让学生了解平方根的求法。
3.操练(10分钟)教师提出一些有关平方根的问题,让学生独立解答。
6.1平方根教学设计(第二课时)【教学目标】知识与能力:1.会用平方法比较两个数的大小。
2.了解用夹逼法估无理数的值。
3.会用估值法比较两个数的大小。
过程与方法:1.通过拼图活动发展学生的形象思维。
2.在探究活动中,让学生经历发现无理数的过程,认识到无理数的存在。
情感、态度与价值观:通过教学激发学生的参与性和求知欲,使学生体验小组合作学习的快乐,充分认识到社会生活与数学的密切联系,感受生活处处皆数学。
【教学重点】利用平方法和估值法比较数的大小。
【教学难点】 探究的大小【教学过程】课前交流:模拟购物街:一台笔记本价值在4000~5000元之间,给你三次机会你来估一下它的实际售价。
如果你猜中的价格与实际价格差距在50元范围内,这台电脑就送给你。
学生活动设计:学生估价,一名学生负责提示估价是高了还是低了。
教师活动设计:引导学生分析估价的方法,关注学生不要只顾活动,而忽略了情境里面蕴含的数学问题。
设计意图:从现实生活中提出估值的技巧,让学生在活动中体会夹逼法(二分法)在生活中的应用,同时唤起学生的生活经验,为后面利用夹逼法估的值作迁移准备。
本着从学生的生活经验出发,在做中学的理念,让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论,使学生感受到生活处处皆数学。
一、复习导入1、 什么叫算术平方根?2、 算术平方根的大小与被开方数的关系3、 判断下列各数有没有算术平方根,如果有请求出它们。
100,1, ,0,—0.0025,4, 师: 的算术平方根是多少?生:。
师:你是怎么想的。
师:你发现与我们前面求出的平方根有什么不一样的地方? 师:那么对于这样的数你有什么疑问吗?1211644二、 新课师:是呀,这样的数到底存不存在呢?如果存在到底有多大呢?今天我们就来研究这样的数。
板书:《平方根》1、拼一拼:首先我们来研究一下能否用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形? 师:直接拼行不行?为什么?那面积符合吗?那看来要通过拼剪的方法。
6.1 平方根(第 1 课时)一、教学目1. 算平方根概念的形成程,了解算平方根的概念.2. 会求某些正数(完全平方数)的算平方根并会用符号表示.二、重点和点1.重点:算平方根的概念 .2.点:算平方根的概念 .(本需要的各种表要提前画好)三、合作探究看下面的例子.学校要行美作品比,扎西很高. 他想裁出一面25 平方分米的正方形画布,画上自己的得意之作参加比,正方形画布的取多少分米?(演示一面25 平方分米的)(一)来正方形画布的取多少分米?你是怎么算出来的?答:因52=25(板:因52= 25),所以个正方形画布的取 5 分米(板:所以= 5 分米) .(二)(完成下表)4正方形的面91636125个例中的、填表中的上是一个,什么?它都是已知正方形面求的. 通解决个,我就有了算平方根的概念.正数 3 的平方等于9,我把正数 3 叫做 9 的算平方根.正数 4 的平方等于16,我把正数 4 叫做 16 的算平方根 .6 和 36 两个数?⋯⋯(多几位同学,学生得不正确的地方教随即正)1 和 1 两个数?同桌之互相一 5 和 25 两个数 . (同桌互相)了么多,同学大概已知道了算平方根的意思. 那么什么是算平方根呢?是先在小里,自己的看法.(三)什么是算平方根呢?如果一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做 a 的算术平方根大家把算平方根概念默两遍. (生默)(学生拿出提前准好的10 卡片,一面写1- 10,另一面写1-10 的平方 . 生任意抽一张卡片,让其他学生回答平方或算术平方根。
(按以上过程抽完所有卡片)如果一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做 a 的算术平方根. 为了书写方便,我们把a 的算术平方根记作 a (板书: a 的算术平方根记作 a ).根号a被开方数(指准上图)看到没有?这根钓鱼杆似的符号叫做根号, a 叫做被开方数, a 表示a的算术平方根 .四、精讲精练精讲例:求下列各数的算术平方根:49(1);(2)0.0001.64(要注意解题格式,解题格式要与课本第68 页上的相同)精练1. 填空:(1)264 的算术平方根是 ______,即64 =______;因为 _____ =64,所以(2)因为 _____2=0.25 ,所以 0.25 的算术平方根是 ______,即0.25= ______;(3)因为 _____2=161616,所以的算术平方根是 ______,即=______. 4949492.求下列各式的值:(1)81 =______;(2)100 =______;(3) 1 =______;(4)9= ______;(5)0.01 =______;(6)32=______. 253.根据 112= 121,122= 144,132= 169,142= 196,152= 225,162= 256,172= 289,182= 324,192= 361,填空并记住下列各式:121= _______,144= _______,169= _______,196= _______,225= _______ ,256= _______,289= _______,324= _______ ,361= _______.(学生记住没有,教师可以利用卡片进行检查,并要求学生课后记熟)4. 辨析题:卓玛认为,因为( - 4) 2= 16,所以 16 的算术平方根是- 4. 你认为卓玛的看法对吗?为什么?五课堂小结,a 的算术平方根记作 a ,像钓鱼杆似的东西叫做根号, a 叫做被开方数.六、作业P75习题 1.6.1 平方根(第 2 课时)一、教学目标1. 通过由正方形面积求边长,让学生经历 2 的估值过程,加深对算术平方根概念的理解,感受无理数,初步了解无限不循环小数的特点.2.会用计算器求算术平方根 .二、重点和难点1.重点:感受无理数 .2.难点:感受无理数 .(本节课使用计算器,最好每个同学都要有计算器)三、合作探究1.填空:如果一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做 a 的 _______________,记作 _______.2.填空:(1)因为 _____2= 36,所以 36 的算术平方根是 _______,即36= _____;(2)因为 (____)2=9,所以9的算术平方根是 _______,即9= _____;646464(3)因为 _____2= 0.81,所以 0.81的算术平方根是_______,即0.81(4)因为 _____2= 0.572,所以 0.572 的算术平方根是_______ ,即0.57=_____;2=_____.3.师抽卡片生口答 .(课前制作若干张卡片,一面是 a 的形式,一面是算术平方根的值,卡片中要包括121到 361 ,还要包括被开方数是分数、小数、a2等形式)(二)(看下图)这个正方形的面积等于 4,它的边长等于多少?谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系?面积= 4这个正方形的面积等于1,它的边长等于多少?面积= 1用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系?(指准图)这个正方形的边长等于面积 1 的算术平方根,也就是边长= 1 (边讲边板书:边长= 1 ). 1 等于多少?生:等于 1. (师板书:= 1)(看下图)这个正方形的面积等于2,它的边长等于什么?(稍停)面积= 2因为边长等于面积的算术平方根,所以边长等于2(板书:边长= 2 ).(上面三个图的位置如下所示)边长= 1 =1边长=2边长=4=2面积= 1面积=2面积= 4421=1,那么 2 等于多少呢?(在 2 后板书:=?)求 2等于多少,怎么求?=,在 1 和 2 之间的数有很多,到底哪个数等于 2 呢?我们怎么才能找到这个数呢?我们可以这样来考虑问题,等于 2 的那个数,它的平方等于多少?第一条线索是那个数在 1 和 2 之间,第二条线索是那个数的平方恰好等于 2. 根据这两条线索,我们来找等于 2 的那个数.我们在 1和2之间找一个数,譬如找 1.3 ,(板书: 1.3 2=) 1.3的平方等于多少?(师生共同用计算器计算)1.69 不到 2,说明 1.3比我们要找的那个数小.1.3 小了,那我们找 1.5,1.5的平方等于多少?(师生共同用计算器计算)2.25超过 2,说明 1.5 比我们要找的那个数大.找 1.3小了,找 1.5又大了,下面怎么找呢?大家用计算器,算一算,找一找,哪个数的平方恰好等于2?2 等于1.41421356点点点,可见是一个小数,这个小数与我们以前学过的小数相比有点不同,有什么不同呢?第一,这个小数是无限小数(板书:无限). 2 是无限小数,又是不循环小数,所以 2 是一个无限不循环小数.除了 2 ,还有别的无限不循环小数吗?无限不循环小数还有很多很多,3、5、 6 、7 都是无限不循环小数(板书: 3 、5、6、7都是无限不循环小数).那怎么求 3 、 5 、 6 、 7 这些无限不循环小数的值呢?我们可以利用计算器来求. 四、精讲精练例用计算器求下列各式的值:(1)3 (精确到0.001 ); (2)3136 .(按键时,教师要领着学生做;解题格式要与课本上的相同)练习1.填空:(1)面积为 9的正方形,边长==;(2)面积为 7的正方形,边长=≈(利用计算器求值,精确到0.001 ) . 2.用计算器求值:(1)1849 =;(2)86.8624 =;(3) 6 ≈(精确到0.01 ) .3.做:(1)用算器算,并将算果填入下表:⋯0.62 5 6.2562.5625062500⋯⋯25⋯(2)察上表,你律了?根据你的律,不用算器,直接写出下列各式的:62500 =,6250000 =,0.0625=,0.000625 =.五、堂小无理数六、作:721. P。
第2课时二次根式的除法教案一、教学内容本节课我们将学习人教版八年级数学上册第12章《根式》的第二节:二次根式的除法。
具体内容包括理解二次根式除法的法则,掌握如何将二次根式进行相除,并能解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握二次根式除法的计算法则。
2. 能够正确进行二次根式的除法运算,并简化结果。
3. 能够运用二次根式除法解决简单的实际问题。
三、教学难点与重点重点:二次根式除法的计算法则及运算步骤。
难点:如何将二次根式化简,以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具:黑板、粉笔、教学PPT。
2. 学具:学生用计算器、练习本、二次根式除法例题资料。
五、教学过程1. 实践情景引入(5分钟):通过一个实际情景,例如土地面积的换算问题,引发学生对二次根式除法的兴趣。
2. 例题讲解(15分钟):讲解二次根式除法的计算法则,并举例说明,如: \( \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3 \)3. 随堂练习(10分钟):学生进行随堂练习,教师巡回指导,解答学生的疑问。
强调二次根式除法的注意事项,如分母不能为零,根号内不能有分数等。
5. 应用拓展(10分钟):引导学生运用二次根式除法解决更复杂的问题,如几何图形面积的计算。
六、板书设计1. 二次根式除法的计算法则。
2. 例题及解答步骤。
3. 练习题及答案。
七、作业设计1. 作业题目:\( (1) \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} \)\( (2) \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \)\( (3) \text{应用题:一块长方形土地的长是} 5\sqrt{3} \text{米,宽是} \sqrt{12} \text{米,求这块土地的面积。
} \)2. 答案:\( (1) 3\sqrt{2} \)\( (2) \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{6}} \)\( (3) 15 \text{平方米} \)八、课后反思及拓展延伸1. 反思:通过本节课的学习,学生是否真正掌握了二次根式的除法,以及在实际问题中的应用。
2.2平方根(二)教学目标:(一)教学知识点1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.(二)能力训练要求1.加强概念形成过程的教学,让学生不仅掌握概念,而且知晓它的理论数据.2.提倡学生进行自学,并能与同学互相交流与合作,变学会知识为会学知识.3.培养学生的求同和求异思维,能从相似的事物中观察到P X 们的共同点和不同点.(三)情感与价值观要求通过学生在学习中互相帮助、相互合作,并能对不同概念进行区分,培养大家的团队精神,以及认真仔细的学习态度,为学生将来走上社会而做准备,使他们能在工作中保持严谨的态度,正确处理好人际关系,成为各方面的佼佼者.教学重点:1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.教学难点:1.平方根与算术平方根的区别与联系.2.负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算的原因.教学方法:讨论比较法.即主要靠大家讨论得出结论,同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念,还能使学生学得更扎实.教学过程:Ⅰ.创设问题情境,引入新课上节课我们学习了算术平方根的概念,性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a.则x叫a的算术平方根,记作x=a,而且a也是非负数,比如正数22=4,则2叫4的算术平方根,4叫2的平方,但是(-2)2=4,则-2叫4的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题.Ⅱ.讲授新课1.平方根、开平方的概念[师]请大家先思考两个问题.(1)9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9,还有其他的数,它的平方也是9吗?(2)平方等于254的数有几个?平方等于0.64的数呢? [生]-3的平方也是9.52的平方是254,-52的平方也是254,即平方等于254的数有两个. [生]平方等于9的数有两个,平方等于254的数有两个,由此可知平方等于0.64的数也有两个. [师]根据上一节课的内容,我们知道了是9的算术平方根,52是254的算术平方根,那么-3,-52叫9、254的什么根呢?请大家认真看书后回答. [生]-3,-52分别叫9、254的平方根. [师]那是不是说3叫9的算术平方根,-3也叫9的算术平方根,即9的算术平方根有一个是3,另一个是-3呢?[生]不对.根据平方根的定义,一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个x 就叫a 的平方根(square root),也叫二次方根,3和-3的平方都等于9,由定义可知3和-3都是9的平方根,即9的平方根有两个3和-3,9的算术平方根只有一个是3.[师]由平方根和算术平方根的定义,大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢?请分小组讨论后选代表回答.[生]平方根的定义中是有一个数x 的平方等于a ,则x 叫a 的平方根,x 没有肯定是正数还是负数或零;而算术平方根的定义中是有一个正数x 的平方等于a ,则x 叫a 的算术平方根,这里的x 只能是正数.由此看来都有x 2=a ,这是它们的相同之处,而x 的要求不同,这是它们的不同之处.[师]这位同学分析判断能力特棒,下面我再详细作一总结.平方根与算术平方根的联系与区别联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根,算术平方根都是0.区别:(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.(2)个数不同:一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同:正数a的平方根表示为±a,正数a的算术平方根表示为a.(4)取值范围不同:正数的平方根一正一负,互为相反数;正数的算术平方根只有一个. [师]什么叫开平方呢?[生]求一个数a的平方根的运算,叫开平方(extraction of square root),其中a叫被开方数.[师]我们共学了几种运算呢,这几种运算之间有怎样的联系呢?请大家讨论后回答.[生]我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.2.平方根的性质[师]请大家思考以下问题.(1)一个正数有几个平方根.(2)0有几个平方根?(3)负数呢?[生]第一个问题在前面已作过讨论,一个正数9有两个平方根3和-3;因为只有零的平方为零,所以0有一个平方根是零.因为任何数的平方都不是负数,所以负数没有平方根,例如-3没有平方根.[师]太精彩了.一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;0有一个平方根是0,负数没有平方根.3.讲解例题[例]求下列各数的平方根.(1)64;(2)12149;(3)0.0004;(4)(-25)2;(5)11. 4.想一想 (1)(64)2等于多少?(12149)2等于多少? (2)(2.7)2等于多少? (3)对于正数a ,(a )2等于多少?Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.求下列各数的平方根1.44,0,8,49100,441,196,10-42.填空(1)25的平方根是_________; (2)2)5(- =_________; (3)(5)2=_________.3.5,12a b ==当.(二)补充练习1.判断下列各数是否有平方根?并说明理由.(1)(-3)2;(2)0;(3)-0.01;(4)-52;(5)-a 2;(6)a 2-2a +22.求下列各数的平方根.(1)121;(2)0.01;(3)297;(4)(-13)2;(5)-(-4)3 Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容.1.平方根的概念.2.平方根的性质.3.平方根与算术平方根的区别与联系.4.求某些非负数的算术平方根和平方根.Ⅴ.课后作业P29习题2.4.Ⅵ.活动与探究1.对于任意数a,2a一定等于a吗?2.a中的被开方数a在什么情况下有意义,(a)2等于什么?解:因为任意数的平方都是非负数,也就是非负数才有平方根,所以被开方数a 必须是正数或零,即非负数时有意义.所以(a)2=a(a≥0)板书设计:。
二次根式(第2课时)教学目标1.理解二次根式的性质,能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简.2.通过类比讲解,让学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动中充满的探索性与创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.教学重点二次根式的性质及其运用.教学难点二次根式的性质的灵活应用.教学过程知识回顾下列式子中一定是二次根式的是().A B C D【师生活动】教师提出问题,学生回答.a≥0学生思考,教师引出本节课课题.【答案】C【设计意图】通过复习已学过的二次根式知识,教师提出问题,学生交流探讨,激起学生的好奇心,为学习本节课的新知作铺垫.新知探究一、探究学习【思考】(1)当a>0;(2)当a=0;(3)当a≥0.【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流,并派代表发言,教师纠错并讲解.教师分析:当a>0时,a0;当a=000.这就是说,当a ≥00.【答案】(1)> (2)= (3)≥0(a ≥0).注意:(1|a |,a 2;(2|b |+c 2=0,则a =0,b =0,c =0,即若几个非负数的和等于0,则这几个非负数均为0.【设计意图】教师先提出三个问题,学生分小组合作交流,激发学生的学习兴趣.教师通过引导学生结合算术平方根的意义思考问题,由此引出二次根式的双重非负性,从而加深学生对新知的理解.二、典例精讲【例1】已知()230y -+=,求-xy 的平方根.【师生活动】教师提出问题,学生作答,教师巡查,并纠错.【答案】解:由题意可得3x +4=0且y -3=0, 解得x =43-,y =3. 所以4343xy ⎛⎫-=--⨯= ⎪⎝⎭. 所以-xy 的平方根是±2.【设计意图】通过例1的练习与讲解,巩固学生对二次根式的双重非负性的理解及应用.三、探究学习【探究】根据算术平方根的意义填空:2=________;2=_________;2=________;2=_________. 【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流,并派代表发言,教师进行讲解. 教师提问:算术平方根的定义是什么?学生回答:如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.是4是一个平方等于4的非负数.因此2=4.同理其他均可求出.【答案】4213【新知】二次根式的性质:一般地,2=a(a≥0).注意:(1)正用公式:如2=2,2=a2+2;(2)逆用公式:若a≥0,则a=2,如5=2.【设计意图】用算术平方根的定义对问题进行分析,从而引出二次根式的性质,让学生体会从特殊到一般的研究数学问题的思想方法,培养学生用代数语言进行推理的能力,加深学生对二次根式的性质的理解.四、典例精讲【例2】计算:(1)2;(2)2.【师生活动】教师提出问题,学生独立作答.【答案】解:(1)2=1.5;(2)2=22×2=4×5=20.【设计意图】通过例2的练习与讲解,加深学生对所学知识的理解及综合应用.五、探究学习【探究】填空:=_________________;________________.【师生活动】教师提出问题,学生思考并回答,教师总结.【答案】20.123a(a≥0).【探究】填空:=________=_________.【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流.教师提示:可以先分别计算()23-和223⎛⎫- ⎪⎝⎭.学生根据提示作答,教师总结:由此可以看出:=-a(a<0).【答案】323|a|=a aa a⎧⎨-⎩,≥,,<.先转化为|a|,再根据a的符号去掉绝对值符号,=|π-4|=4-π.六、典例精讲【例3】化简:(1(2【师生活动】教师提出问题,学生独立作答.【答案】解:(14;(25.【设计意图】通过例3的练习与讲解,加深学生对所学知识的理解及应用.课堂小结板书设计二次根式的性质课后任务完成教材第4页练习第1~2题.。
6 .1平方根(第2课时)
一、教学目标
1.感受无理数,初步了解无限不循环小数的特点.
2.会用计算器求算术平方根.
二、重点和难点
1.重点:感受无理数.
2.难点:感受无理数.
(本节课使用计算器,最好每个同学都要有计算器)
三、合作探究
1.填空:如果一个正数的平方等于a ,那么这个正数叫做a 的_______________,记作_______.
2.填空:
(1)因为_____2
=36,所以36的算术平方根是____________;
(2)因为(____)2=964,所以964的算术平方根是____________;
(3)因为_____2
=0.81,所以0.81的算术平方根是_______=_____;
(4)因为_____2=0.572,所以0.572
的算术平方根是_______=_____.
3.师抽卡片生口答.
(课前制作若干张卡片,
一面是算术平方根的值,
a 2
等形式) (二)
(看下图)
这个正方形的面积等于4,它的边长等于多少?
谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系?
这个正方形的面积等于1,它的边长等于多少?
用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系?
(指准图)这个正方形的边长等于面积1
(边讲边板书:
生:等于1.(师板书:=1)
(看下图)这个正方形的面积等于2,它的边长等于什么?(稍停)
.(上面三个图的位置如下所示)
2
1,
=?)
怎么求? 在1和2之间的数有很多,
第一条线索是那个数在1和2之间,第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这两条线
.
我们在1和2之间找一个数,譬如找1.3,(板书:1.32=)1.3的平方等于多少?(师生共同用计算器计算)
1.69不到2,说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了,那我们找1.5,1.5的平方等于多少?(师生共同用计算器计算)
2.25超过2,说明1.5比我们要找的那个数大.找1.3小了,找1.5又大了,下面怎么找呢?大家用计算器,算一算,找一找,哪个数的平方恰好等于2?
1.41421356点点点,可见是一个小数,这个小数与我们以前学过的小数相比有点面积=4面积=1面积=2边长=4=2边长=2边长=1=1面积=2面积=1面积=4
不同,有什么不同呢?第一,这个小数是无限小数(板书:无限)
.
.
.四、精讲精练
例用计算器求下列各式的值:
0.001);
(按键时,教师要领着学生做;解题格式要与课本上的相同)
练习
1.填空:
(1)面积为9=;
(2)面积为7≈(利用计算器求值,精确到0.001).
2.用计算器求值:
=;
=;
≈(精确到0.01).
3.选做题:
(1)用计算器计算,并将计算结果填入下表:
(2)观察上表,你发现规律了吗?根据你发现的规律,不用计算器,直接写出下列各式的值:
=,=,
=,= .
五、课堂小结
无理数
六、作业。