Capon 波束形成器推导

稳健的收/发波束形成方法研究波束形成是阵列信号处理中的一个重要研究方向,广泛应用于地震学、声呐、雷达、无线通信和医学成像等领域。

波束形成通过对阵列上各通道数据进行复数加权求和达到提取期望信号并抑制干扰和噪声的目的。

根据加权向量的计算是否依赖于接收数据,波束形成器可以分为两类:静态波束形成器和自适应波束形成器。

作为一种常用的自适应波束形成器,Capon波束形成器可以通过自适应选择加权向量来最小化阵列输出功率,并保证期望信号不失真。

与静态波束形成器相比,虽然Capon波束形成器有更高的分辨率和更好的干扰抑制能力,但是当期望信号导向矢量存在误差时,Capon波束形成器会将期望信号视为干扰并进行抑制,从而导致性能急剧下降。

近年来,为了提高自适应波束形成器的稳健性,发展了许多稳健的波束形成方法。

本文针对不同的信号形式和应用场景对稳健的自适应波束形成方法进行了深入研究,主要创新点和贡献包括:1.针对基于样本协方差矩阵求逆波束形成器在期望信号导向矢量存在误差时出现的信号“自消”问题,提出了一种基于干扰加噪声协方差矩阵(InterferencePlus-Noise Covariance Matrix,IPNCM)重构的稳健波束形成算法。

该算法的流程为先重构IPNCM,再估计期望信号的导向矢量,最后计算加权向量。

在IPNCM重构中,首先通过Capon波束形成器对干扰区域的干扰信号来波方向进行粗估计,由此计算干扰信号的名义导向矢量;其次,对样本协方差矩阵进行特征值分解,求出干扰子空间;接着,基于名义导向矢量和干扰子空间,通过自适应迭代稳健Capon波束形成方法估计各干扰信号的真实导向矢量;最后,根据定义式重构IPNCM。

在期望信号导向矢量估计过程中,本文根据不同的应用场景提出了三种方法;一种是通过求解二次约束二次规化问题估计期望信号的失配矢量,另外两种是分别通过协方差矩阵特征值分解方法和Oracle Approximating Shrinkage(OAS)估计器方法直接估计期望信号导向矢量。

阵列信号处理中的DOA（窄带）空域滤波波束形成：主要研究信号发射/接收过程中的信号增强。

空间谱估计空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参数。

测向波达方向估计(DOA)空间谱：输出功率P关于波达角θ的函数，P(θ).延迟——相加法/经典波束形成器注，延迟相加法和CBF法本质相同，仅仅是CBF法的最优权向量是归一化了的。

1、传统法常规波束形成CBF/Bartlett波束形成器常规波束形成（CBF：Conventional Beam Former）Capon最小方差法/Capon 波束形成器/MVDR波束形成器最小方差无畸变响应（MVDR：minimum variance distortionless response）Root-MUSIC算法多重信号分类法解相干的MUSIC算法（MUSIC）基于波束空间的MUSIC算法2、[object Object]TAM旋转不变子空间法 LS-ESPRIT （ESPRIT）TLS-ESPRIT确定性最大似然法（DML：deterministic ML）3、最大似然法随机性最大似然法（SML：stochastic ML）4、综合法：特性恢复与子空间法相结合的综合法，首先利用特征恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。

同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。

阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个特定阵列天线的阵列流形矩阵A。

传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。

知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。

①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。

beamforming capon滤波器推导Capon滤波器是一种用于波束成形（Beamforming）的方法，它可以提高信号的分辨率和抑制干扰。

下面是Capon滤波器的推导过程：假设存在一个传感器阵列，包含M个传感器，接收到的信号为向量x(k)，其中k表示时间。

传感器阵列接收到的信号可以用以下矩阵形式表示：X(k) = [x(1,k) x(2,k) ... x(M,k)]对于传感器阵列接收到的信号，我们可以通过以下协方差矩阵来描述信号之间的相关性：R = E[X(k)X(k)H]其中E表示期望运算，H表示共轭转置。

Capon滤波器的目标是最小化输出信号的方差，并最大化输出信号与期望信号的相关性。

为了实现这个目标，我们可以定义一个权重向量w，通过以下公式进行计算：w = arg max [wH*R*w] / [wH*d]其中，wH表示w的共轭转置，d表示期望信号的方向向量。

我们可以通过拉格朗日乘子法来求解这个问题。

引入拉格朗日乘子λ，并构建拉格朗日函数：L(w,λ) = wH*R*w -λ(wH*d - 1)对L(w,λ)求导并令导数等于0，得到：∂L(w,λ)/∂w = 2R*w - 2λd = 0解上述方程可以得到权重向量w的表达式：w = λ* R^(-1) * d将上述表达式代入约束条件wH*d=1，可以解得λ的表达式：λ= 1 / (dH * R^(-1) * d)最后，将λ的值代入w的表达式，就可以得到Capon滤波器的权重向量w。

总结起来，Capon滤波器通过最小化输出信号的方差，并最大化输出信号与期望信号的相关性，来实现波束成形。

这个过程通过构建拉格朗日函数，并使用拉格朗日乘子法，可以得到最优的权重向量w。

Capon 波束形成器的仿真一、原理1、波束形成的定义波束形成就是从传感器阵列重构源信号，然后通过增加期望信源的贡献和抑制掉干扰源来实现的。

实际上波束形成可以看成空域（或时域）滤波器。

2、波束形成器的最佳权向量的推导首先，假定一天线阵列中个阵元的接收信号向量为()n x ，权向量为12[,,,]M w w w =w ，由于阵列的输出是对阵元的接收信号向量在个阵元上个分量的加权和，所以阵列的输出可写作：*1()()()MHmm m n n w x n ===∑y w x再令空间远场期望信号为()d t ，J 个干扰信号为()j i t ，1,2,,j J =，每个阵元上的加性白噪声为()k n t ，他们都具有相同的方差2n σ。

在这些假设条件下，第k 个阵元上的接收信号可以表示为1()()()()()()j Jk k d k i j k j x t a d t a i t n t θθ==++∑111212()()()()()()(),(),()()()()J d i i J M M x t d t n t x t i t n t a a a i t n t x t θθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 矩阵形式如下：1()()()()()()()()j Jd i j j t t t a d t a i t n t θθ==+=++∑x As n由以上可知：N 个快拍的波束形成器的输出为()()(1,2,,)H y t w x t t N ==输出的平均功率为2211222222111111()()()111()()()()()j N N H t t N J NNH Hd j i t j t t P w y t w x t N N w a d t i t w a w n t N N N θθ========⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑当N →∞时，上式变为{}{}{}{}22222221()()()()()()()()jHHHJHHdj i nj P w E y t w E x t x t w wRwE d t w a E i t w a wθθσ=====++∑为了保证来自方向d θ的期望信号的正确接收，并完全抑制其它J 个干扰，关于权向量的约束条件应为：()1H d w a θ=和()0j H i w a θ=加上约束条件后{}222()()n P w E d t w σ=+波束形成器最佳权向量的确定以叙述为：在置零约束条件的约束下，求满足{}{}2min ()min HwwE y t w Rw =的权向量w 。

doi:10.3969/j.issn.1003-3114.2023.05.024引用格式:唐佳雨,杨竞舟,胡登辉,等.一种联合修正的稳健Capon 波束形成算法[J].无线电通信技术,2023,49(5):971-978.[TANG Jiayu,YANG Jingzhou,HU Denghui,et al.A Joint Modified Robust Capon Beamforming Algorithm[J].Radio Communications Technology,2023,49(5):971-978.]一种联合修正的稳健Capon 波束形成算法唐佳雨1,杨竞舟2∗,胡登辉1,张㊀暘2,李大鹏1(1.南京邮电大学通信与信息工程学院,江苏南京210003;2.中国电子科技集团新一代移动通信创新中心,江苏南京210019)摘㊀要:Capon 波束形成算法在导向矢量失配与协方差矩阵中含有期望信号的情况下输出信号干扰噪声比(SINR)会大幅下降㊂针对这一现象,提出一种联合修正的稳健Capon 波束形成算法㊂基于导向矢量与噪声空间的正交性,对估计的期望信号导向矢量进行修正㊂再基于对残余噪声消除和对干扰功率的估计构造投影矩阵,消除接收信号中的期望信号,修正协方差矩阵㊂结果表明,该算法相较于其他算法有较高的输出信干噪比,对于导向矢量失配不敏感,具有较高的稳健性㊂关键词:Capon 波束形成;导向矢量优化;协方差矩阵重构;空间投影;残余噪声中图分类号:TN911.7㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀开放科学(资源服务)标识码(OSID):文章编号:1003-3114(2023)05-0971-08A Joint Modified Robust Capon Beamforming AlgorithmTANG Jiayu 1,YANG Jingzhou 2∗,HU Denghui 1,ZHANG Yang 2,LI Dapeng 1(1.School of Communications and Information Engineering,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China;2.CETC Advanced Mobile Communication Innovation Center,Nanjing 210019,China)Abstract :The Capon beamforming algorithm significantly reduces the Signal to Interference Noise Ratio (SINR)of the output sig-nal when the steering vector mismatch and the covariance matrix contain the expected signal.A Joint Modified Robust Capon (JMRC)beamforming algorithm is proposed to address this phenomenon.Firstly,based on the orthogonality between the steering vector and the noise space,the estimated expected signal steering vector is modified.Based on the elimination of residual noise and the estimation ofinterference power,a projection matrix is constructed to eliminate the expected signal in the received signal and correct the covariance matrix.Results show that this algorithm has higher output signal to interference noise ratio than other algorithms,is insensitive to steer-ing vector mismatch,and has higher robustness.Keywords :Capon beamforming;steering vector optimization;covariance matrix reconstruction;space projection;residual noise收稿日期:2023-05-17基金项目:国家自然科学基金(61801240)Foundation Item :National Natural Science Foundation of China(61801240)0　引言自适应波束形成(Adaptive Beamforming)是阵列信号处理的一个重要分支[1],它是一种空域滤波技术,可以根据通信环境状况,不断地调整权重矢量,以达到增强期望信号㊁抑制干扰的目的㊂20世纪60年代,Capon 在文献[2]中提出了具有高分辨率和高干扰抑制能力的自适应波束形成算法,但该算法在某些情况下输出的SINR 会大幅降低㊂为了提高Capon 波束形成算法的稳健性,文献[3-5]提出了对角加载技术,本质是在接收信号的协方差矩阵上加上一个对角阵,等同于扩大了接收信号中噪声的功率㊂其中,文献[3]通过在样本协方差矩阵中加载一个缩放的特征矩阵,从而提高了算法的稳健性,但是在实际的应用过程中,很难确定加载量的大小㊂文献[4-5]虽然可以自动选择加载量,快拍数较低时仍能够输出较大的SINR,但在输入信号的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)较高时,性能会明显下降㊂近来又提出了可以提高算法稳健性的导向矢量优化技术㊂文献[6-9]提出了基于特征空间的优化技术㊂其中,文献[6]将协方差矩阵特征分解,但是在低SNR的环境下,噪声子空间与信号子空间的特征向量容易发生误判,所以输出性能会急剧恶化㊂文献[10-13]提出了不确定集约束技术㊂其中,文献[10]的主要思想是将导向矢量约束在假定的球面或椭球面上,导向矢量可通过求解二次约束二次规划(Quadratic Constrained Quadratic Programming)问题得出㊂文献[11]为了解决积分带来的运算量问题,将积分区域划分为网格,对每个网格的计算结果进行累加,极大地减小了计算量㊂文献[12]表明,如果积分的范围越大,则收集的冗余信号越多,在文献[10]的基础上增加了约束条件,使导向矢量被约束在一个不确定集内,将球面积分转化为圆环积分,但减少了一个干扰抑制的自由度㊂文献[13]由推导出的闭式解,采用图像法确定参数,完成算法的优化求解㊂导向矢量优化仅优化了信号来向估计不准的问题,并未考虑协方差矩阵的影响㊂据此,文献[14-16]提出了协方差矩阵重构的技术㊂其中,文献[14]提出了基于线性积分的协方差矩阵重构算法,并且给出了积分求解的约束条件㊂除此以外,文献[16]基于干扰导向矢量和功率估计将干扰信号导向矢量约束在一个不确定集内并通过优化求解得出干扰噪声协方差矩阵㊂这一方法可以得到稳健的波束形成器,但是计算繁琐,一般需要借助工具包实现㊂本文首先构建了一个远场窄带匀直阵列模型,得到了接收天线的接收阵列信号㊂接着由Capon波束形成算法的最优权矢,分析需要优化的问题㊂根据问题引出本文提出的联合修正的稳健Capon波束形成算法并进行求解,得到修正后的期望信号导向矢量和干扰噪声协方差矩阵,带入Capon波束形成器即可得到优化后的最优权矢,最后通过仿真验证本文提出的算法性能㊂1㊀系统模型与问题分析1.1㊀匀直阵列系统模型设想一个如图1所示的匀直阵列模型㊂假设有一个1ˑN的SIMO信道,且位于远场的发射端有一个期望信号和M个互不相关的干扰信号,它们都是窄带信号,则接收的信号为:X(t)=A S(t)+n(t)=a(θ0)s0(t)+ðM k=1a(θk)s k(t)+n(t),(1)式中:A=[a(θ0),a(θ1), ,a(θM)]为Nˑ(1+M)的导向矢量矩阵,a(θ0)为期望信号导向矢量, a(θ1)㊁a(θ2)㊁ ㊁a(θM)为M个干扰信号的导向矢量,其中a(θk)=[1,e jβk, ,e j(N-1)βk],βk=2πd sinθk/λ,λ为波长,d为阵元间距,S(t)为期望信号与干扰信号的复包络,n(t)为Nˑ1的噪声向量㊂图1㊀匀直阵列模型Fig.1㊀Uniform linear array model1.2㊀Capon波束形成技术根据接收信号X(t),可以得到接收信号的协方差矩阵为:R=E[X(t)X H(t)]=σ20a(θ0)a H(θ0)+ðM k=1σ2k a(θk)a H(θk)+σ2n I,(2)式中:σ20为期望信号功率,σ2k为第k个干扰信号的功率,σ2n为噪声功率,I为单位矩阵,[㊃]H表示复共轭转置运算㊂式(2)中:Rs=σ20a(θ0)a H(θ0),(3)Ri+n=ðM k=1σ2k a(θk)a H(θk)+σ2n I,(4)式中:R s㊁R i+n分别表示期望信号协方差矩阵和干扰加噪声协方差矩阵㊂接收信号协方差矩阵可通过下式计算得到:R^=ðK k=1X(k)X H(k),(5)式中:K表示快拍数,X(k)表示第k个快拍的接收信号㊂Capon 波束形成器原理是通过在将信号来向的响应设置为常量的约束条件下,选择能将阵列接收到的信号的功率最小的权矢[17]㊂所以,标准Capon 波束形成的权重矢量为:w opt =R ^-1a (θ0)a H(θ0)R ^-1a (θ0)=P ㊃R ^-1a (θ0),(6)式中:P 为Capon 波束形成器的功率谱㊂1.3㊀问题分析在应用过程中,一般使用谱估计的方法得到信号的入射角度,进而得到导向矢量,这会产生导向矢量失配的问题,即由于信号入射的角度估算偏差而导致的导向矢量误差㊂对导向矢量估计不准,就会使输出的SINR 降低㊂在SNR 较高时,由于期望信号功率较高,接收信号协方差矩阵中包含期望信号,根据式(6)可知,此时输出SINR 将急剧降低㊂如图2所示,期望信号方向为0ʎ,干扰信号为-27ʎ和45ʎ,当协方差矩阵中含有期望信号时,期望信号0ʎ位置也产生了零陷㊂图2㊀协方差矩阵中含有期望信号的方向图Fig.2㊀Directional patterns containing expectedsignals in the covariance matrix近来,围绕Capon 算法的优化,都基于这两个问题开展㊂但现有的很多算法的灵活性和稳健性都不够高㊂本文提出一种联合修正的稳健Capon 波束形成(Joint Modified Robust Capon,JMRC)算法,首先将接收信号协方差矩阵特征分解为信号空间和噪声空间,基于导向矢量与噪声空间的正交性,使期望信号导向矢量在噪声子空间的投影最优,对估计的期望信号导向矢量进行修正㊂该算法采用拉格朗日乘子法求解,可通过动态调节约束参数,达到在不同通信环境下都能在期望信号方向上获得最大输出响应的目的㊂再基于对残余噪声消除和对干扰功率的估计,对期望信号协方差矩阵特征分解,并由此得到投影矩阵,消除接收信号中的期望信号,修正协方差矩阵㊂将结果带入即可得到修正后的Capon 最优权矢㊂该算法可以很大程度上解决现有很多算法稳健性和灵活性不足的问题㊂2㊀联合修正的稳健Capon 波束形成算法(JMRC )㊀㊀JMRC 算法包含两部分:导向矢量修正和干扰噪声协方差矩阵重构㊂2.1㊀导向矢量修正假设期望信号个数与干扰信号个数之和小于阵列天线数,即1+M <N ㊂对接收信号的协方差矩阵进行特征分解:R =ð㊀Ni =1λi e i e H i =E s ðs E H s +E n ðn E Hn ,(7)式中:λ1ȡλ2ȡ ȡλM +1ȡλM +2=λM +3= =λN ,其中,前M +1个为由大到小排列的信号子空间的特征值,其余为噪声子空间的特征值,且满足λM +2=λM +3= =λN =σ2n ,e i 为特征值对应的特征向量,E s 为信号子空间特征矩阵,ðs 为由信号子空间特征值构成的对角矩阵,E n 为噪声子空间特征矩阵,ðn 为由噪声子空间特征值构成的对角矩阵㊂对于协方差矩阵R ,右乘E n 可得:RE n =[E s ,E n ]ðE H s E H néëêêùûúúE n =[E s ,E n ]σ2sI 00σ2n I éëêêùûúú0I éëêêùûúú=σ2n E n ,(8)而由式(2)可得:RE n =AR s A H E n +σ2n E n ,(9)式中:A =Span {a (θ0),a (θ1), ,a (θM +1), ,a (θN )}为导向矢量张成的矩阵空间㊂由式(8)和式(9)可得:AR s A H E n =0,(10)左乘E H n 可得:(A H E n )H R s (A H E n )=0㊂(11)式(11)成立的充要条件为A H E n =0,即:e H i a (θ0)=0,i =M +2,M +3, ,N ,(12)可改写为:E H n a (θ0) 22=0,(13)式中: ㊃ 2为矩阵-2范数㊂由于导向矢量失配,事实上 E Hna^(θ0) 22ȡ0,当且仅当a^(θ0)=a (θ0)时,等号成立㊂为计算方便,将a (θ0)简记为a 0,a^(θ0)简记为a ^0㊂由此可基于椭圆不确定集(a 0-a^0)H C (a 0-a ^0)ɤ1对导向矢量修正如式(14)㊂为不失一般性,取C =εI ㊂㊀min aE H n a 0 22s.t.㊀ a 0-a^0 22ɤε{,(14)式中:ε为约束参数,文献[1]将其限制为εɤ a ^0 22㊂由于其最小值一定取在约束条件的边界上,对于式(14)的求解可使用拉格朗日乘子法㊂所以构造如下拉格朗日函数:f = E Hna 0 22+λ( a 0-a^0 22-ε),(15)式中:λ为拉格朗日乘子㊂式(15)中,对a 0求偏导可得:∂f∂a 0=2E n E H n a 0+2λ(a 0-a ^0)㊂(16)令式(16)等于0得:a 0=E n E H nλ+I()-1a^0,(17)带入约束条件可得:E n E H n λ+I()-1a^0-a ^022㊀=ε,(18)由特征分解的性质可得:EE H=E s E H s+E n E H n=I ,则:E n E H nλ+I =E n E H n λ+E s E H s +E n E Hn =1+λλE n E H n +E s E H s ,(19)对式(19)求逆:E n E Hnλ+I()-1=[E n ,E s ]1+λλI 00I éëêêêùûúúú-1E H n E H séëêêùûúú=[E n ,E s ]λ1+λI 00I éëêêêùûúúúE H n E H s éëêêùûúú=λ1+λE n E H n +E s E Hs ,(20)带入式(18)可得:E nE Hnλ+I ()-1a^0-a ^0 22= -11+λE nE H na ^022=ε㊂(21)设P =E n E H n a ^0,则称p l =e l e H l a ^0,l=M +2, ,N 为调节波束,用于调节估计的导向矢量㊂此时,式(21)可以写为:-11+λE n E H n a^022=11+λ()2ðNl =M +2|e l e H l a ^0|2=㊀㊀11+λ()2ðNl =M +2|p l |2=ε,(22)解出λ为:λ=1εðNl =M +2|p l |2-1㊂(23)结合式(17)~式(23)的结果可以得解出修正后的期望信号导向矢量a 0㊂2.2㊀干扰噪声协方差矩阵修正设有一个功率为σ2的信号从δ角度入射,此时接收信号的协方差矩阵为:R =σ2a (δ)a H (δ)+σ2n I ㊂(24)由式(6)可知此时的功率谱为:P (δ)=1a H(δ)(σ2a (δ)a H (δ)+σ2n I )-1a (δ)=σ2nN+σ2,(25)表明入射信号功率谱谱峰位置的功率由大小为σ2n /N 的残余噪声功率与大小为σ2的入射信号功率构成㊂在实际过程中残余噪声可以用式(26)求得:σ-2n=1K ðK k =11a -H (θk )R ^-1a -(θk ),(26)式中:K 为采样点数,θɪΘ且Θ为除期望信号与干扰信号所在角度外的区域,θk 为角度区域上第k 个采样点㊂由式(24)~式(26)可得实际噪声功率与噪声协方差矩阵为:σ^2n =Nσ-2n R ^n =σ^2n I{㊂(27)残余噪声会影响协方差矩阵重构的稳健性㊂可以在消除残余噪声后对功率谱在期望信号角度区域内积分求得期望信号协方差矩阵,即:㊀R ^s=ʏΘs(P ^(θ)-σ-2n )a -(θ)a -H (θ)d θ=ʏΘs㊀a -(θ)a -H (θ)㊀a -H (θ)R ^-1a -(θ)d θ-ʏΘsσ-2n a -(θ)a -H(θ)d θ,(28)式中:Θs 为期望信号所在角度区域㊂式(28)的积分值为正值,所以Θs 取使P ^(θ)-σ-2n为正的部分㊂与式(7)相同,对式(28)的结果进行特征分解:R ^s =ðN n =1βn b n b H n,(29)式中:βn (β1ȡβ2ȡ ȡβn )为R ^s 的特征值,b n 为对应的特征向量㊂R ^s 的主特征值包含了绝大部分信号能量,其余的为信号的残差分量㊂故期望信号导向矢量可以估计为:a^0=N b 1㊂(30)设B =Span {b 1,b 2, ,b n }=[B 1,B 2],其中B 1=Span {b 1,b 2, ,b J }为R ^s前J (J =1,2, ,N )个特征向量张成的特征空间,则a^0属于子空间B 1B H1㊂设期望信号来向为0ʎ,绘制 (I -B 1B H 1)a ^0(θ) 22的图像如图3所示,其中Θs ɪ[-5ʎ,5ʎ]㊂由图3可知,当J =3时,对于∀θɪΘs 都有 (I -B 1B H 1)a ^0(θ) 22=0,即a^0与(I -B 1B H1)空间正交㊂图3㊀a ^0与子空间(I -B 1B H1)的正交性Fig.3㊀Orthogonality of a ^0and (I -B 1B H1)假设Q =Q H =I -B 1B H 1,可以利用投影矩阵QH实现对期望信号的消除㊂对于k 快拍数的接收信号X (k )有:X ~(k )=Q H X (k )=Q H [X s (k )+X i (k )+X n (k )]=Q H X i (k )+Q H X n (k ),i (k )+Q H X n (k ),(31)带入式(31):R~=1K ðKk =1X ~(k )X ~H (k )=1K ðK k =1Q H X (k )X H (k )Q =Q H R^Q ,(32)而:R~=1KðKk =1X ~(k )X ~H (k )=1K ðK k =1Q H[X i (k )+X n (k )][X i (k )+X n (k )]H Q =Q H R ^i Q +σ^2n Q H Q ㊂(33)由图3可知,当N =8,J =3时,对于∀θ∉Θs ,矩阵Q 几乎不会改变导向矢量的模值,可以认为Q H R ^i Q ʈR ^i 成立㊂联立式(32)~式(33)可得R ^iʈQ H R ^Q -σ^2n Q H Q ㊂但在实际过程中,投影矩阵由于误差并不能完全消除期望信号,得到的干扰协方差矩阵并不准确,本文采取对Capon 功率谱的二次积分计算消除误差㊂用R ^i 替换R ^-1对干扰信号所在角度区域再次积分得到更为准确的干扰协方差矩阵,即:R ~i=ʏΘia -(θ)a -H (θ)a -H (θ)R ^ia -(θ)d θ,(34)式中:Θi 为干扰信号所在角度区域㊂则修正后的干扰噪声协方差矩阵为:R ~i +n =R ~i +R ~n =R ~i +σ^2n I ㊂(35)2.3㊀算法流程综合前文,本文JMRC 算法步骤如下:步骤1㊀对接收信号协方差矩阵特征分解,由式(7)得到噪声特征向量并由此张成噪声子空间E n ㊂步骤2㊀基于E n 对期望信号导向矢量修正㊂选定约束参数ε,结合求得的p l ,由式(23)计算出拉格朗日乘子λ的值㊂将λ的值带入式(17)即可得到修正后的导向矢量a 0㊂步骤3㊀由式(29)对消除残余噪声后的期望信号协方差矩阵特征分解㊂选定参数J ,得到子空间B 1㊂步骤4㊀构造投影矩阵Q H =I -B 1B H 1消除期望信号,并由式(32)~式(33)得到干扰协方差矩阵R ^i㊂步骤5㊀由式(35)对干扰信号所在角度区域再次积分得到修正后的干扰协方差矩阵R ~i ㊂再与噪声协方差矩阵R ~n 相加得到修正后的干扰噪声协方差矩阵R ~i +n ㊂步骤6㊀将修正后的导向矢量a 0和修正后的干扰噪声协方差矩阵R ~i +n 带入可得Capon 波束形成最优权矢为:w opt =R ~-1i +n a 0a H 0R ~-1i +n a 0㊂(36)3　仿真分析为了验证本文JMRC 算法的性能,选取最优算法㊁文献[13,16]对角加载与本文提出算法进行对比,其中最优算法指导向矢量不存在失配且协方差矩阵中不含期望信号的Capon 算法㊂设阵元个数N =8,阵元为间距为半波长的匀直阵列(UniformLinear Array,ULA)㊂快拍数为K =512㊂为仿真方便,本文假设有一个来自0ʎ的期望信号和两个分别来自-27ʎ㊁45ʎ的干扰信号㊂两个干扰信号的功率均为30dBm,各个信道噪声是功率为0dBm 互不相关的高斯白噪声㊂假设存在5ʎ的角度失配,即期望信号来向被估为5ʎ㊂输出SINR 与拉格朗日乘子的关系如图4所示,由图可知,拉格朗日乘子λ的值接近0时的归一化输出SINR 近乎最大㊂拉格朗日乘子与约束参数的关系如图5所示,若拉格朗日乘子的值近似于0,此时的约束参数ε的值约为2.5㊂故为了获取最佳性能,本次仿真的ε=2.5㊂图4㊀输出SINR 与拉格朗日乘子的关系Fig.4㊀Relationship between output SINR andLagrangemultiplier图5㊀拉格朗日乘子与约束参数的关系Fig.5㊀Relationship between Lagrange multiplierand constraint parameter图6给出了各算法的方向增益图,可以看出,本文的优化算法不仅在干扰方向-27ʎ㊁45ʎ上形成了很深的零陷,而且在期望信号0ʎ方向获得了最大归一化输出SINR㊂其他算法虽然也在干扰方向上形成了零陷,但是文献[13]与对角加载技术在期望信号方向上也形成了较深的零陷,说明此时接收到的协方差矩阵中包含大量期望信号㊂文献[16]相较于上述两个算法性能有了很大提升,但是输出SINR 与本文JMRC 算法相比还存在一定差距㊂图6㊀各算法方向图Fig.6㊀Directional diagram of each algorithm图7给出了输出SINR 与输入SNR 变化的关系,可以看出,在SNR 很低时,仿真的5种算法输出SINR 都呈递增趋势,但对角加载技术由于未对导向矢量进行优化,输出SINR 最低,且在-5dB 左右位置对角加载技术的输出SINR 开始急剧下降,这是因为协方差矩阵中已包含了大量的期望信号㊂在10dB 附近,文献[13]算法输出SINR 也出现了下降趋势㊂而本文JMRC 算法呈一条直线,未出现输出SINR 下降的情况,且在SNR 较高时,相较文献[16],输出SINR 也有较高的提升㊂图7㊀输出信号SINR 与输入SNR 的关系Fig.7㊀Relationship between output signal SINRand input SNR图8给出了输出SINR 与导向矢量失配角度的关系,可以看出,当不存在导向矢量失配的问题时,5种算法的输出SINR 大体一致㊂当角度误差增大时,对角加载技术㊁文献[13]和文献[16]算法的输出SINR 明显降低,而本文JMRC 算法输出SINR 降低的幅度较小㊂图8㊀输出SINR 与导向矢量失配角度的关系Fig.8㊀Relationship between output SINR and steeringvector mismatch angle图9给出了输出SINR 与快拍数的关系,可以看出,除对角加载技术与文献[13]算法外,其他算法对于快拍数K 的变化并不敏感㊂对于本文JMRC 算法而言,其与最优算法几乎有相同的输出SINR,且性能优于其他算法㊂图9㊀输出SINR 随快拍数的关系Fig.9㊀Relationship between output SINR and thenumber of snapshots taken图10给出了SNR =20dB 下的输出SINR 与干扰个数的关系,可以看出,本文JMRC 算法㊁文献[16]算法对于干扰个数并不敏感,但本文算法对干扰个数的容忍程度大于文献[16],且输出SINR 与最优算法相比并无较大差异㊂而对角加载技术和文献[13]算法的输出SINR 显著降低㊂图10㊀输出SINR 与干扰个数的关系Fig.10㊀Relationship between output SINR and thenumber of interferences在算法复杂度方面,文献[13,16]在求解时需要解决的凸优化问题复杂度高,一般需要使用CVX工具包实现㊂而本文算法主要使用特征分解求解,复杂度低且系统可以复用这一结构,减小了系统的额外开销㊂4　结论本文首先对导向矢量进行修正㊂优化求解采用了拉格朗日乘子法,因为约束参数ε与拉格朗日乘子λ的关系,所以可以动态调节ε的取值而获得最大的输出SINR,具有较高的灵活性㊂选取ε=2.5即可得到最大的输出SINR,解决了导向矢量失配导致输出SINR降低的问题㊂然后对协方差矩阵进行修正,利用构造的投影矩阵Q对期望信号消除后再对干扰功率积分得到修正后的协方差矩阵,解决了协方差矩阵中存在期望信号而导致的期望信号方向产生零陷的问题㊂仿真结果表明,本文JMRC算法的输出SINR不会因为输入SNR增大而减小,且对于导向矢量失配角度㊁快拍数㊁干扰个数的变化不敏感㊂在通信质量较差的环境下仍然能够获得较高的输出SINR,稳健性高㊂但JMRC算法要求各个干扰信号之间相互独立,且入射信号需为远场窄带信号㊂因此,在未来的工作中,需要进一步研究适用于相干干扰㊁近场非平面波的稳健算法㊂参考文献[1]㊀LI J,STOICA P,WANG Z.On Robust Capon Beamform-ing and Diagonal Loading[J].IEEE Transactions on Sig-nal Processing,2003,51(7):1702-1715.[2]㊀CAPON J.High-resolution Frequency-wavenumber Spec-trum Analysis[J].Proceedings of the IEEE,1969,57(8):1408-1418.[3]㊀CARLSON B 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