2019-2020年高考一轮复习基本不等式及其应用教案理

第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R)；b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 三、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大)[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．2．已知m>0，n>0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析：选A ∵m>0，n>0，∴m ＋n≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( )A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x>1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b≥2ab ，ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab≤a 2＋b22；a ＋b 2≥ab(a ，b>0)逆用就是ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典题导入[例1] (1)已知x ＜0，则f(x)＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(2018·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6[自主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f(x)＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－.∵－4x ＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x，即x ＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－≤2－4＝－2， ∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15·(3x＋4y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12y x＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.[答案] (1)－2 (2)C本例(2)条件不变，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y≥2x·3y， ∴xy≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy的最小值为1225.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．以题试法1．(1)当x ＞0时，则f(x)＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)(2018·天津高考)已知log 2a ＋log 2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy≥m－2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b≥1得log 2(ab)≥1， 即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时取等号)． 又∵a ＋2b≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a＋9b有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y≥22xy ，得xy≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10典题导入[例2] (2018·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2．(2018·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．1．已知f(x)＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f(x)有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f(x)＝－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－＋1－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．(2018·太原模拟)设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B3．函数y ＝x 2＋2x －1(x>1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x>1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋－＋3x －1＝－2＋－＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2－3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．4．(2018·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a<v<abB ．v ＝ab C.ab<v<a ＋b2D ．v ＝a ＋b 2解析：选A 设甲、乙两地的距离为s ，则从甲地到乙地所需时间为s a ，从乙地到甲地所需时间为sb ，又因为a<b ，所以全程的平均速度为v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ，即a<v<ab. 5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32 B.53 C.256D ．不存在解析：选A 设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，即2m ＋n －22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6. 故1m ＋4n ＝16(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝n m 时等号成立． 6．设a>0，b>0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选 C 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k≥－＋2ab，而＋2ab＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－＋2ab≤－4，因此要使k≥－＋2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k 的最小值等于－4.7．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y≥24x×3y，∴xy≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：38．已知函数f(x)＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f(x)＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：949．(2018·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 810．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x(a －2x)的最大值； (2)求y ＝1a －2x －x 的最小值．解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x(a －2x)＝12×2x(a－2x)≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a2≥2 12－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2. 11．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y≥21x ·9y 得xy≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36. (2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为 y ＝f(x)＝72x ＋－2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f(x)＝x 2＋71x ＋100(x≥1，x ∈Z)． (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝×10 0001 000x＝x＝2＋71x ＋x＝10x ＋1 000x＋710≥2 10x·1 000x＋710＝910. 当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．1．(2018·浙江联考)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 依题意得x ＋22xy ≤x＋(x ＋2y)＝2(x ＋y)，即x ＋22xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.2．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2， 所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y2xz 取得最小值3.答案：33．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x(x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝＋＋900]x＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元， 则y 2＝1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x ＋9 729(x≥35)．令f(x)＝x ＋100x (x≥35)，x 2＞x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝2－x 1－x 1x 2x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0， 故f(x 1)－f(x 2)＜0，f(x 1)＜f(x 2)， 即f(x)＝x ＋100x ，当x≥35时为增函数．则当x ＝35时，f(x)有最小值，此时y 2＜10 989. 因此该厂应接受此优惠条件．1．函数y ＝a 1－x(a ＞0，且a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因y ＝a x 恒过点(0,1)，则A(1,1)，又A 在直线上，所以m ＋n ＝1(mn ＞0)． 故1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时取等号．答案：42．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，若动点P(a ，b)在线段AB 上，则ab 的最大值是________．解析：∵A(2,0)，B(0,1)，∴0≤b≤1， 由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ， ab ＝(2－2b)b ＝2(1－b)·b≤2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－＋b 22＝12. 当且仅当1－b ＝b ，即b ＝12时等号成立，此时a ＝1，因此当b ＝12，a ＝1时，(ab)max ＝12.答案：123．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x)y ＝30－x ， 则2＋x≠0，y ＝30－x2＋x＞0,0＜x ＜30. (1)xy ＝－x 2＋30xx ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号， 因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1 ＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．。

2019-2020学年高考数学一轮复习 6.4基本不等式学案 学考考查重点 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题． 本节复习目标 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．1． 基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2． 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3． 利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285 C ．5 D ．6 5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14题型一 利用基本不等式证明简单不等式例1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.变式训练1：已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.题型二 利用基本不等式求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 变式训练2：(1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 （ ）A ．3B ．4C.92D.112 (2)已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________． 题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？变式训练3：某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件。

第三节 基本不等式及其应用1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[小题体验]1．(2019·南京调研)已知m ，n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________． 解析：∵m ＋2n ＝1，∴m ·2n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2n 22＝14，即mn ≤18，当且仅当m ＝2n ＝12时，mn 取得最大值18.答案：182．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 23．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：251．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [小题纠偏]1．(2019·启东检测)函数y ＝x ＋9x －1(x ＞1)的最小值为________． 解析：∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝x ＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋1≥2x －9x －1＋1＝7，当且仅当x ＝4时取等号．答案：72．函数f (x )＝x ＋1x的值域为____________________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)考点一 利用基本不等式求最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2018·启东期末)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋4b的最小值为________．解析：∵a ＋b ＝1，∴b a ＋4b ＝b a＋a ＋b b ＝b a ＋4ab ＋4≥2b a ·4a b ＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立， ∴b a ＋4b的最小值为8. 答案：82．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________．解析：因为x ＞－4，所以x ＋4＞0， 所以f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2 x ＋9x ＋4－4＝2， 当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 答案：23．(2018·徐州调研)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1x ＋y2＋4x －2y2的最小值为________．解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，1x ＋y2＋4x －2y2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号，所以1x ＋y2＋4x －2y2的最小值为35.答案：35[由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．[即时应用]1．设0＜x ＜32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．又因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 答案：922．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y ＝3－x22x，所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：33．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：4考点二 基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1， 所以1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1， 每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，所以2018年的利润y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． 所以利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． (2)由(1)知y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． 因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥2 16m ＋1m ＋＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号． 所以y ≤－8＋29＝21， 即当m ＝3时，y 取得最大值21.所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．[由题悟法]解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x ＞1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)．(2)S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝ 5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m. 考点三 利用基本不等式求参数的值或范围重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·淮安调研)若x ∈(0,1)时，不等式m ≤1x ＋11－x 恒成立，则实数m 的最大值为________．解析：∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1， ∴1x ＋11－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋11－x [x ＋(1－x )]＝2＋1－x x ＋x 1－x ≥2＋21－x x ·x1－x＝4， 当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取等号，∴m ≤4，即实数m 的最大值为4. 答案：42．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173.所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ [由题悟法]求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]1．(2019·东台月考)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的最小值为________．解析：x x 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x，∵x ＞0，∴x ＋3＋1x≥3＋2x ·1x ＝3＋2＝5，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，∴0＜1x ＋3＋1x≤15， ∴要使x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15，故a 的最小值为15.答案：152．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，求实数λ的最小值． 解：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)若x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋2y的最小值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝2， ∴xy ＝4， ∴1x ＋2y ≥22xy＝2，当且仅当1x ＝2y且xy ＝4，即x ＝2，y ＝22时取等号，∴1x ＋2y的最小值为 2. 答案： 22．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：13．(2018·苏州期末)已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________．解析：∵a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝1，∴3a ＋2b ＋b a＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋ba＝5＋3a b ＋3b a≥5＋29＝11，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴3a ＋2b ＋b a的最小值为11. 答案：114．当3＜x ＜12时，函数y ＝x －2－xx的最大值为________．解析：y ＝x －－xx＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3. 当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，y max ＝3. 答案：35．(2018·通州期末)若log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析：∵log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 2a ＋4b ＝log 2ab ，a ＋4b ＞0，ab ＞0. ∴a ＋4b ＝ab ，即a ＋4b ＝ab ， ∴1b ＋4a＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋4a ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝2b ＝6时取等号． ∴a ＋b 的最小值是9. 答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城调研)若x ＞0，y ＞0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y的最大值为________．解析：令x ＋y ＝n ，1x ＋4y＝m ，∴m ·n ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥9.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ≥9，m ＋n ≤9⇒9≥m ＋n ≥m ＋9m.∴m 2－9m ＋9≤0，解得9－352≤m ≤9＋352.∴1x ＋4y 的最大值为9＋352. 答案：9＋3522．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．解析：由题意得b ＝14a ，所以0＜14a ＜1，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋a －4－4a≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝a －4－4a时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4233．(2018·连云港期末)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4，则2x ＋1y的最小值是________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4， ∴4＝2x＋4y≥22x ＋2y，即x ＋2y ≤2，∴2x ＋1y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4y x ＋x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋24y x·x y ＝4，当且仅当x ＝2y 时等号成立，∴2x ＋1y的最小值是4.答案：44．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92.答案：925．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6，所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 36．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案：947．(2018·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y的最小值是________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝yx＋x ＋y y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4xy＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8. 答案：88．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2yy －1的最小值为________．解析：∵x ＋y ＝xy ， ∴3x x －1＋2y y －1＝3x y －＋2y x －x －y －＝5xy －3x －2y xy －x －y ＋1＝5x ＋5y －3x －2y x ＋y －x －y ＋1＝2x ＋3y .又∵x ＋y ＝xy 可化为1y ＋1x＝1，∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x＝2x y ＋3yx＋5≥22x y·3y x＋5＝26＋5，当且仅当2x 2＝3y 2时取等号，∴3x x －1＋2y y －1的最小值为26＋5. 答案：26＋59．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x－2x的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x ＜32时，有3－2x ＞0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0， 所以y ＝x－2x＝2·x－x ≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x－2x的最大值为 2.10．(2019·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝4. (1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x ＋3y的最小值及相应的x ，y 的值． 解：(1)因为4＝2x ＋y ≥22xy ⇒xy ≤2， 所以xy 的最大值为2，当且仅当2x ＝y ＝2， 即x ＝1，y ＝2时取“＝”． (2)因为9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y＝18，所以9x ＋3y的最小值为18，当且仅当9x ＝3y，即2x ＝y ＝2⇒x ＝1，y ＝2时取“＝”． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋－tan 2α2tan α＝32tan α＋tan α2≥232tan α·tan α2＝3，当且仅当tan α＝ 3，即α＝π3时取得等号，∴2tan α＋3tan 2α的最小值为 3.答案： 32．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a ＜－2时，对称轴t ＝a 2＜－1，(*)式恒成立；当a ＞2时，对称轴t ＝a2，要使(*)式恒成立，则a 2＜4，且16－4a ＋1≥0，得2＜a ≤174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤174，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t min ＝174，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x.所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．命题点一 一元二次不等式1.(2017·山东高考改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：[－2,1)2．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，fm ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 3．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9命题点二 简单的线性规划问题1.(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，132．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.答案：63．(2017·全国卷Ⅲ改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 答案：[－3,2]4．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0，得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：95．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：36．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 命题点三 基本不等式1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tanC 的最小值是________．解析：在锐角三角形ABC 中，因为sin A ＝2sin B sin C ， 所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①因为A ，B ，C 均为锐角，所以tan B tan C －1＞0，所以tan B tan C ＞1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C ＞1得tan Atan A －2＞1，所以tan A ＞2.所以tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝A －2＋A －＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案：83．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6.∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：144．(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：16。

7.4 基本不等式及其应用一.教学目标基本不等式的理解与运用；应用基本不等式解决实际问题时条件的把握.二.知识梳理1.常用的基本不等式和重要的不等式（1） 当且仅当（2）（3），则 （4） 2.最值定理:设（1）如积（2）如积 即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3.均值不等式:两个正数的均值不等式： 三个正数的均值不等是：n 个正数的均值不等式： 4.四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是0,0,2≥≥∈a a R a ”取“==,0a ab b a R b a 2,,22≥+∈则+∈R b a ,ab b a 2≥+222)2(2b a b a +≤+xy y x y x 2,0.,≥+由P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+ab b a ≥+233abc c b a ≥++n n n a a a na a a 2121≥+++b a 、2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+5.双向不等式是： 左边在时取得等号，右边在时取得等号 三.考点逐个突破1.利用基本不等式比较大小例1若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋d y ，则（ ） A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤QD ．P >Q2.利用基本不等式求最值例2.已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)．(1)当α＋β＝π4，求tan β的值； (2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值．3.利用基本不等式证明不等式例3. 若x >0,y >0,x +y =1, 求证:(1+)(1+)≥94.基本不等式的实际应用例4. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？b a b a b a +≤±≤-)0(0≥≤ab )0(0≤≥ab x 1y 1答案例1『答案』 C『解析』 Q ＝ax ＋cy·b x ＋d y ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcy x ≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .『点评』 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C .例2. 『解析』 (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13. (2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β，∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β，∴tan β＝sinαcosα1＋sin 2α＝sinαcosα2sin 2α＋cos 2α＝tanα2tan 2α＋1＝12tanα＋1tanα≤122＝24. 当且仅当1tanα＝2tan α时，取“＝”号， ∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝ 2.例3.分析: x +y 常数,xy 可有最大值证法一: 左边＝(1+)(1+)=1+++=1++ =1+≥1+=9＝右边 (当且仅当x =y =时取“=”号) 证法二： 令x = y =, 0<< x 1y 1x 1y 1xy 1xy y x +xy1xy 22)2(2y x +21θ2cos θ2sin θ2π左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+) =1+++·=1+ =1+≥1+8=9＝右边 0<2< =时，x =y =时取等号 证法三：∵x +y =1∴左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+) =5+2(+)≥5+4=9＝右边 (当且仅当x =y =时取“=”号) 例4. 『解析』 (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%)·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝－t －12＋98t －1＋352t ＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t ＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．x 1y 1θ2cos 1θ2sin 1θ2sin 1θ2cos 1θ2cos 1θ2sin 1θθ22cos sin 2⋅θ2sin 82θπθ4π21x 1y 1x y x +y y x +x y yx x y yx 21。

一、自我诊断 知己知彼1．若0x >，则2x x+的最小值为________.【答案】【解析】利用基本不等式2x x +≥2x x=，即x =. 2. 若0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值是________. 【答案】81【解析】由已知2()812x y xy +≤=，当且仅当9x y ==时等号成立. 3．已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为________. 【答案】3【解析】134x y +=≥3xy ≤，当且仅当1342x y ==时等号成立.4．设0a b <<，则下列不等式中正确的是( )A. 2a b a b<<+< B. 2a ba b +<<<C. 2a b a b<+<D.2a b a b<<+<【答案】B【解析】由0a b << 2a b <+.又a <2a b b+<，故选B. 5．圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+= (,)a b R ∈对称，则ab 的取值范围是( )A. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】22(1)(2)4x y ++-=圆心为(1,2)-，有圆关于直线对称，故圆心在直线上.可得1a b +=，又,a b R ∈，故当,a b 均正时21()24a b ab +≤=.而当,a b 一正一负时，0ab <.综上可得14ab ≤，故答案为A.二、温故知新 夯实基础12a b+≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b >>. (2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.2．几个重要的不等式(1) 2a b ab +≥(a ，b ∈R ). (2) 2b aa b+≥ (a ，b 同号).(3) 2()2a bab +≤ (a ，b ∈R ). (4)222()22a b a b ++≥(a ，b ∈R ). 3．利用基本不等式求最值问题已知0,0x y >>，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x y +有最小值是简记：积定和最小)(2)如果和x y +是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是24p .(简记：和定积最大)4. 利用基本不等式求最值的条件在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.对于公式2a b ab +≥，2()2a b ab +≤，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系.三、典例剖析 思维拓展考点一 利用基本不等式证明简单不等式例1已知0,0,0x y z >>>.求证：8y z xz x y x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】略【解析】证明 ∵0,0,0x y z >>>， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0，x z ＋y z ≥2xy z >0，∴8y z x z xy x x y y zz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立. 【易错点】化成齐次式证明【方法点拨】对于证明基本不等式问题，合理利用条件，拼凑.考点二 利用基本不等式求最值例1(1)若0x >，求函数4y x x=+的最小值，并求此时x 的值； (2)设302x <<，求函数4(32)y x x =-的最大值； (3)已知2x >，求42y x x =+-的最小值； (4)已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值． 【答案】（1）4；（2）92；（3）6；（4）16.【解析】解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥4＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(4)法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥6＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.【易错点】容易忽视取等的条件.【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.考点三 基本不等式的实际应用例1 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.【答案】（1）y ＝225x ＋3602x －360 (x >2)；（2）当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.【解析】 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360 (x >2).(2)∵x >2，∴225x ＋3602x≥2225x ×3602x＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立.即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元. 【易错点】忽视取值范围，列式子.【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.四、举一反三 成果巩固考点一利用基本不等式证明简单不等式1、已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 【答案】略【解析】证明 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．2、若a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证1a ＋1b ＋1c ≥9.【答案】略【解析】证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号. 3、若a >0，b >0，c >0，试证：(1)bc a ＋ac b ＋ab c ≥a ＋b ＋c ；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 【答案】略【解析】证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴bc a ＋ac b≥2 bc a ·acb＝2c ， 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b ，∴2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . (2)∵a >0，b >0，c >0，∴a 2b ＋b ≥2a ，同理b 2c＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 三式相加，得a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二 利用基本不等式求最值1、(1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x < 3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 【答案】（1）12；（2）-1；（3）18. 【解析】(1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥2 12x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号． ∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋－x ＋3≤－4＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥2 8y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.2、下列各函数中，最小值为2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x【答案】D【解析】对于A ：不能保证x >0，对于B ：不能保证sin x ＝1sin x ，对于C ：不能保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ：y ＝x ＋1x ≥2，答案为D. 考点三 基本不等式的实际应用1、某校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m 和4 m 的小路．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值． 【答案】游泳池的长为28 m ，宽为14 m 时，占地面积最小为648 m 2.【解析】设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392x m ，又设占地面积为y m 2，依题意，得y ＝(x ＋8)⎝⎛⎭⎫392x ＋4＝424＋4⎝⎛⎭⎫x ＋784x ≥424＋224＝648 (m 2)， 当且仅当x ＝784x，即x ＝28时取“＝”．所以游泳池的长为28 m ，宽为14 m 时，占地面积最小为648 m 2.五、分层训练 能力进阶【基础达标】1、若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )．A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy ≥1【答案】B【解析】若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1.答案为B. 2、若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a 【答案】B【解析】a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab .∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大．答案为B.3、若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 【答案】[9，＋∞)【解析】ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥3，即ab ≥9. 4、已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y 的最小值．【答案】2【解析】法一 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2， 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝5x ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5时等号成立．法二 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10， 故2x ＋5y≥2 2x ·5y＝2 1010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.时取等号)． 5、将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ( )． A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m【答案】C【解析】设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.【能力提升】1、函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的最小值为________．【答案】8【解析】函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，2m ＋n ＝1，m ，n >0，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn ≥4＋2n m ·4mn＝8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1n m ＝4m n ，即⎩⎨⎧m ＝14n ＝12时等号成立．2、求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域．【答案】[－2,4]【解析】函数的定义域为R ， y ＝x 2＋＋6x x 2＋1＝1＋6x x 2＋1. (1)当x ＝0时，y ＝1；(2)当x >0时，y ＝1＋6x ＋1x ≤1＋62＝4.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，y max ＝4；(3)当x <0时，y ＝1＋6x ＋1x＝1－6－x ＋1－x≥1－62＝－2.当且仅当－x ＝－1x 时，即x ＝－1时，y min ＝－2.综上所述：－2≤y ≤4，即函数的值域是[－2,4]．3、已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 【答案】C【解析】因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ＝2⎝⎛⎭⎫1ab ＋ab ≥4，当且仅当1a ＝1b 且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”号．4、a b c >>且11m a b b c a c+≥---恒成立，则m 的范围是________． 【答案】4m ≤【解析】 a b c >>，则0a b ->，0b c ->，0a c ->，故原式可变为[]1111()()()()()m a c a b b c a b b c a b b c ≤-+=-+-+----22b c a b a b b c --=++≥--4=，故4m ≤. 5、设正数,a b ，满足2212b a +=，则a ________．【解析】由2212b a +=，故221322b a ++=.所以22122224b a a ++≤⋅=. 6、设01x << ，,a b 为常数 ，则221a b x x+-的最大值为________． 【答案】222a b ab ++ 【解析】由[]22222222(1)(1)111a b a b a x b x x a b x x x x x x⎛⎫-+=+⋅+-=+++ ⎪---⎝⎭222a b ab ≥++。

7.3基本不等式及应用一、复习目标1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、课时安排 1课时三、复习重难点1.基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 四、教学过程 （一）知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).（二）题型、方法归纳1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.（三）典例精讲 考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值；(3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值.解 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (2)因为x ＞0，所以x 1＋y 2＝2x 2⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 222，又x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 22＋12＝32，所以x 1＋y 2≤ 2⎝⎛⎭⎫12×32＝324， 即(x 1＋y 2)max ＝324. (3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)设0＜x ＜52，则函数y ＝4x (5－2x )的最大值为________.(2)设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为________.解析 (1)因为0＜x ＜52，所以5－2x ＞0，所以y ＝4x (5－2x )＝2×2x (5－2x ) ≤2⎝⎛⎭⎫2x ＋5－2x 22＝252，当且仅当2x ＝5－2x ，即x ＝54时等号成立，故函数y ＝4x (5－2x )的最大值为252.(2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0， 所以y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2（x ＋1）×4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立，故函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为9.答案 (1)252(2)9考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________.(2)(2016·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)(常数代换法)因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18， 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立. 设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)18 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6(2)(2016·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54(3)设x ，y 为实数. 若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y 5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝⎛⎭⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)， ∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.(3)依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105， 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105. 答案 (1)C (2)C (3)2105考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤7 60002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时.(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1900＝100辆/时.答案 (1)1 900 (2)100规律方法 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.【训练3】 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C.答案 C （四）归纳小结1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.（五）随堂检测1.(2016年高考上海卷理)设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则ba +的取值范围是_________.【答案】2+∞（，）2.若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2＞2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋ab≥2 解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a ＜0，b ＜0时，明显错误.对于D ，∵ab ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 答案 D3.若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C4.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.答案 C5.(人教A 必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.答案 15152五、板书设计1.基本不等式：ab ≤a ＋b22.几个重要的不等式.3.利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).六、作业布置课时作业第七章第三节以及预习第八章第一节 七、教学反思1.“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.2.有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.。

2019-2020学年高考数学一轮复习基本不等式及其应用（2）导学案文知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式: 如果a,b>0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+ 2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca（5）、（ a,b>0.）（6）、+3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。

应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

例1：解答下列问题（1）已知x，求x+的最小值；（2）已知0，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3）求函数y=（4）已知x，且x+y=1，求+。

探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。

例2：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。

（1）、把房屋总选价y 表示为x 的函数，并写出该函数的定义域； （2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。

高三数学一轮复习基本不等式说课稿（基本不等式及应用）二、教学目标分析(一)教学目标:1.理解利用基本不等式求最值的原理2.掌握利用基本不等式求最值的条件3.会用基本不等式解决简单的最值问题4.能综合运用函数关系，基本不等式解决一些实际问题(二)解析:(1)就是指从形式上理解如何才能构建出用均值不等式的结构（2）就是指能从形式上配凑出用均值不等式的结构，并把握住三大条件：“一正；二定；三相等教学目标：进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。

这是一个过程性目标。

借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式2b a ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。

结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

三、教学重难点分析在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式2b a ab +≤使用的前提条件0,>b a ，同时又要注意区别基本不等式ab b a 222≥+的使用条件为R b a ∈,。

因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。

而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

在具体的题目中，“正数条件往往易从题设中获得解决”，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．常经过配凑、裂项、分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情境．因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.四、说教学过程教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。

7.4 基本不等式及其应用『考纲要求』1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．『复习指导』1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．『基础梳理』1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥ (a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为 ． 4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是p 24.(简记：和定积最大) 『助学微博』一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 『考向探究』考向一 利用基本不等式求最值『例1』(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．『训练1』 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式『例2』►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c .『训练2』 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题『例3』若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．『训练3』已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．考向四利用基本不等式解实际问题『例4』某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？『训练4』东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？答案『基础梳理』1．(1) a ＞0，b ＞0 (2) a ＝b 2．(1)2ab (2) 23．两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．(1) x ＝y 小 (2) x ＝y 大『例1』『审题视点』 第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式； 第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式．『解析』 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y时，取等号． (2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 『答案』(1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．『训练1』『解析』 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号． (2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0， ∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y＝18， 当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y 时取等号， 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.『答案』(1)3 (2)15(3)18『例2』 『审题视点』 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．『训练2』证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．『例3』『审题视点』 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a 即可． 『解析』 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞『答案』⎣⎡⎭⎫15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．『训练3』『解析』 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.『答案』10『例4』『审题视点』 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)， 则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．『训练4』解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)． 当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．。