数列的概念和等差数列（文）
一周强化
一、一周知识概述
数列的概念是数列的基础。其中通项公式和前n项和的求法是高考的必考内容，数列实质上是一个特殊的函数，它是定义在N*（或它的子集）上的函数，因而在解决数列问题时，一方面要利用函数的思想、函数的观点、函数的方法来解决数列问题；另一方面还应注意数列的特殊性，也就是解决数列问题的特殊方法。
二、重、难点知识的归纳与剖析
（一）本周复习的重点
1、
2、
3、等差数列的通项公式a n=a1＋(n－1)d
推广式a n=a m+(n－m)d
变形式n =
4、等差数列的求和公式S n=
5、等差数列的性质
（1）若m、n、p、q∈N＋且m+n=p+q，则a m＋a n=a p＋a q
（2）在等差数列中，依次每k项之和仍成等差数列．
6、A是a、b的等差中项A=
7、三个数成等差数列，可设其为a－d、a、a＋d
四个数成等差数列，可设其为a－3d，a－d、a＋d、a＋3d．
（二）本周复习的难点
1、分别用累加法求具有a n+1=a n+f(n)的数列的通项，
用累积法求具有的数列的通项．
用拼凑分离法，求具有a n+1=Aa n＋B（A、B为常数）的数列的通项．
2、数列{a n}为等差数列的判定和证明
①证明方法：定义法即若一个数列{a n}满足a n+1－a n=d（d是一个与n无关的常数），则数
列{a n}为等差数列．
②常见的判定方法（充要条件）：若一个数列{a n}满足a n= an+b或S n=an2＋bn（a、b为常
数）或2a n+1= a n＋a n+2，则这个数列为等差数列．
3、等差数列前n项和公式的函数性质
∵ S n=na1＋
设A=，B=，上式可写成S n=An2+Bn，当d≠0即A≠0时，S n是关于n的二次函数式（其中常数项为0），那么（n·S n）在二次函数y=Ax2＋Bx的图象上．
由二次函数的性质可知，当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．
三、例题点评
例1、已知数列{a n}的前n项和求通项：
（1）S n=(－1)n+1·n
（2）S n=2n－2
分析：利用数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n的关系即可求解．
解答：（1）a1= S n=1
当n≥2时，
a n= S n－S n－1=(－1)n＋1·n－(－1)n(n－1)
=－(－1)n·n－(－1)n(n－1)
=(－1)n(1－2n)
∵ a1=1适合上式，
∴ a n=(－1)n·(1－2n)
（2）当n≥2时，a n= S n－S n－1=2n－2－(2n－1－2)=2n－2n－1=2n－1
当n=1时，a1= S1=0 不适合上式，
∴
点评：
a n与S n的关系，是一个非常重要的关系，根据这一关系，若知数列的前n项和S n，则数列的通项a n一定可求，但首项a1是否符合a n= S n－S n－1，需进一步验证，若不符合，则a n需用分段函数表示，否则可合写为一个式子．
例2、已知数列的通项公式为.
（1）0.98是不是它的项？
（2）判断此数列的增减性和有界性.
分析：
数列的项数为正整数，此题即是研究是否有正整数解．
判断数列的增减性和有界性，即是考虑a n＋1－a n的符号和对任何的n∈N，使得|a n|解答：
（1）设，解得n=7，所以0.98是此数列的第七项；
（2）
故此数列是递增数列．
又，
∴此数列是有界数列.
点评：
理解数列中的有关概念，注意区别数列的项、项数、通项等概念，明确并非所有数列都有界.
例3、已知等差数列{a n}共2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，求第n＋1
项及项数2n＋1的值．
分析：
本题考查等差数列的性质，此等差数列的项数为奇数，a n＋1为中间项，可利用a中=S奇－S偶，S奇＋S偶=（2n＋1）a中进行求解．
解答：对于等差数列{a n}，有
a中=a n＋1= S奇－S偶=290－261=29
（2n＋1）a中= S奇＋S偶=290＋261=551
∴2n＋1=19
故第n＋1项为29，项数为19．
点评：
灵活利用等差数列的性质求等差数列的五个量可简化运算，提高解题速度及准确率．
例4、已知数列{a n}的前n项和S n=32n－n2，求数列{|a n|}的前n项和T n．
分析：
由S n可求出a n，从而确定在{a n}中哪些项是正数项，哪些项是负数项，再来求{|a n|}的前n 项和．
解答：当n≥2时，a n= S n－S n－1=（32n－n2）－[32(n－1)－(n－1)2]
=33－2n
又a1=S1=31 适合上式
∴a n=33－2n．
由a n=33－2n≥0得n≤=16.5．
所以等差数列{a n}中前16项为正数项，从第17项开始，各项为负数，因此：
当0当n≥17时
T n=S16－（a17＋a18＋a19＋…＋a n）=2S16－S n
=－(32n－n2)＋2(32×16－162)
= n2－32n+512
综上所述∴
点评：
在首项为正数，公差为负数的等差数列中，最后一个正数项的项数就是满足使a n>0的最大的n的值，同理在首项为负数，公差为正数的等差数列中，最后一个负数项的项数就是满足使
a n<0的最大的n的值．
例、（2005年高考江苏卷）
设数列的前项和为，已知，，，且，，其中、为常数．
(Ⅰ)求与的值；
(Ⅱ)证明数列为等差数列；
(Ⅲ)证明不等式对任何正整数、都成立．
解：(Ⅰ)由，，，得，，．
把分别代入，得
解得，，．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即
