高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项
一、积及坐标运算
1．两个向量的数量积
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；
(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.
2．向量的坐标运算
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角
公式 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23
3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB且同过点P MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA→＋tAB 对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x) OB 对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y) OB
一、空间向量的简单应用
1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
平面向量的应用
1 平面几何中的向量方法
① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg 点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：𝐴𝐵//𝐶𝐷⇔𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ //𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
(2)证明直线垂直：𝐴𝐵⊥𝐶𝐷⟺𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =0
(3)求线段比值：𝐴𝐵𝐶𝐷=|𝜆|且𝐴𝐵//𝐶𝐷⇔ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
(4)证明线段相等： 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 2=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔𝐴𝐵=𝐶𝐷
2 向量在物理中的应用
① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
② 力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【证明】 设四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷交于点𝑂，且𝐴𝑂=𝑂𝐶 ,𝐵𝑂=𝑂𝐷
∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，即𝐴𝐵=𝐷𝐶且𝐴𝐵//𝐷𝐶
所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形 即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【点拨】
① 证明四边形是平行四边形⇔𝐴𝐵=𝐷𝐶且𝐴𝐵//𝐷𝐶⇔𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
2.5.2圆与圆的位置关系
一、内容和内容解析
1.内容
圆与圆的位置关系.
2.内容解析
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数方法，通过运算求解，得到图形的性质；也可以综合使用几何方法、代数方法，得到图形的性质.
本课时教学中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比直线和圆的位置关系，研究圆与圆的位置关系．
结合以上分析，确定本节课的教学重点：运用圆的方程，判断圆与圆的位置关系.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）会用圆的方程判定两圆的位置关系；
（2）能利用坐标法解决简单的平面几何问题．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）会将两个圆的方程联立方程组，并通过降次和消元得到一个一元二次方程，通过判断方程判别式大于0，等于0，小于0分别得出两圆相交，相切，相离.能通过圆的方程得到圆心坐标和半径长，比较圆心距和两半径和差大小来判断两圆相交、外切、内切、外离、内含的关系．
（2）知道两圆相交时，两个圆的方程消去二次项后得到的二元一次方程的几何意义，能表示出经过两圆的交点的所有圆的方程．
三、教学问题诊断分析
在上一节课，我们研究了如何利用直线和圆的方程，判断它们的位置关系.学生容易类比地得到判断圆与圆位置关系的方法.因此教学重点应让学生注意两个圆的方程消元后得到的一元二次方程的判别式小于0或等于0，只能判断出两圆相离或相切，无法具体判断两圆是外离（外切）还是内含（内切）.这就很自然地引出用圆心距和半径和差来具体判断.
同时，应理解教材例5选取对两圆相交的判断，用意在于让学生知道解二元二次方程组的一般流程，还有当两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法，求两圆的交点坐标也是方法二所不能做到的.
本节课的例6是探求满足某种几何条件的动点的轨迹问题，是对前面介绍的坐标法解决平面几何问题的“三步曲”的再应用，教师要引导学生建立坐标系，把几何条件代数化，最后再将代数方程翻译为几何轨迹.这个问题的解决是为下一章圆锥曲线方程的推导做准备．
复习高中数学平面几何解析法
高中数学平面几何是数学的一个重要分支，在解析几何中起着重要的作用。掌握解析几何的基础知识，对于学生的学习和理解几何问题具有重要的意义。本文将回顾高中数学平面几何解析法的基本概念、常用公式和解题方法，帮助读者复习和加深对该知识点的理解。
一、平面直角坐标系及其性质
在解析几何中，使用平面直角坐标系是解决几何问题的关键。平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴x轴和y轴组成，任意一点都可以用有序数对(x, y)表示。
平面直角坐标系的性质包括：
1. 两点之间的距离公式：设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面上的两点，则AB的距离为√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
2. 点到直线的距离公式：设点P(x₁, y₁)到直线Ax + By + C = 0的距离为d，则d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
二、直线的方程
解析几何中，直线的方程有三种常见形式：一般式、斜截式和点斜式。
1. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。 2. 斜截式：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
3. 点斜式：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
三、常见的直线问题
在平面几何解析法中，我们经常遇到的问题包括：点的位置关系、直线的位置关系、直线与圆的位置关系以及直线与直线的位置关系等。
1. 点的位置关系：给定点P(x, y)，判断其是否在直线Ax + By + C =
0上，只需将P的坐标(x, y)代入直线的方程，若等式成立，则点P在直线上，否则点P不在直线上。
2. 直线的位置关系：判断两条直线Ax₁ + By₁ + C₁ = 0和Ax₂ +
By₂ + C₂ = 0的位置关系，可以比较它们的斜率k₁和k₂。当k₁ ≠
