八年级数学第三章：图形的平移与旋转 第3~4节北师大版知识精讲

八年级数学第三章：图形的平移与旋转第3~4节北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第三章：图形的平移与旋转第三节：生活中的旋转第四节：简单的旋转作图二. 教学要求1. 掌握旋转的有关概念及旋转的基本性质，并会运用它们解决简单的旋转问题，通过观察、分析、欣赏，认识旋转，发现审美能力，培养学生的推理能力。

2. 能够按要求做出简单平面图形旋转后的图形，巩固旋转的条件和性质，掌握画图技能。

三. 重点及难点重点：1. 旋转的基本性质及其应用。

2. 简单图形的旋转作图。

难点：1. 运用性质解决实际问题，关键是抓住旋转的特征，运用旋转变换进行转化。

2. 旋转中心和旋转角的确定及画法，关键是掌握旋转作图的步骤，会作出几个关键点的对应点。

四. 课堂教学［知识要点］回忆：1. 钟表的时针、分针、秒针绕钟表的轴的转动。

2. 汽车方向盘的转动。

思考讨论：1. 上述情境中的转动现象有什么共同特征？2. 钟表的指针、方向盘在转动的过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？知识点1 旋转的概念旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。

如图所示：△ABC绕点O顺时针转动90°，得到△A′B′C′，这就是旋转，点O就是旋转中心。

∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都是旋转角，都是90°。

知识点2 旋转中心旋转中心：在旋转过程中始终保持固定不动的那个定点，称为旋转中心。

旋转中心可以是平面内的任意一点。

注意：旋转中心是点，而不是直线，如生活中的开门、关门，虽然门转动了，但它是绕轴旋转一定的角度，所以它不属于我们要研究的绕定点旋转。

知识点3 旋转角旋转角：在平面内，图形绕一个定点沿某个方向转动的角称为旋转角。

因为经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。

说明：旋转角为180°的旋转变换是中心对称变换，这将在第四章中具体研究，一般情况下，旋转角小于360°。

知识点4 旋转的基本性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的，由此可得如下性质：1. 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同。

2. 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。

3. 对应点到旋转中心的距离相等。

4. 对应线段相等，对应角相等。

知识点5 旋转的条件图形旋转除了要有原图形外，还要有旋转中心，旋转方向和旋转角度，这几项缺一不可。

说明：旋转方向通常是指顺时针旋转或逆时针旋转。

知识点6 平移与旋转的关系（1）联系：平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同。

（2）区别：平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离，它满足的条件是①有原图形，②平移的方向，③平移的距离。

而旋转是在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，它满足的条件是①有原图形，②旋转中心，③旋转方向，④旋转角度。

知识点7 判断平移与旋转的方法（1）在变换前后，如果对应线段平行（或在同一个直线上）且相等，对应角的方向相同，两边也平行，这就是平移，如图（1）所示，AB，DE在同一条直线上，EF与BC平行且相等，AC与DF平行且相等，且∠DEF与∠ABC的方向相同，这就是平移。

（2）在平移变换中，图形上所有的点的位置都发生变化，因此只要在图形中找到一个不变的点（旋转中心），即可判断它是旋转变换如图（2）所示，表面上看对应线段平行（或在同一直线上）且相等，属于平移变换，但对应角的方向发生了改变，而且点A在变换过程中的位置保持不变，这说明点A是旋转中心，故属于旋转变换。

知识点8 旋转作图所需要的条件要确定一个图形旋转后的位置，除需要原图形的位置外，还需要知道旋转方向，旋转中心和旋转角，三者缺一不可，如图，线段AB绕点O沿顺时针方向旋转90°，旋转方向是顺时针方向，旋转中心为点O，旋转角为∠A′OA，∠B′OB，且∠A′OA=∠B′OB。

说明：有时已知条件中并不直接给出旋转角，而是给出一对对应角的位置，其实这对对应点与旋转中心的连线所成的角就是旋转角。

知识点9 简单的旋转作图的步骤1. 确定旋转角的大小和方向根据图形和已知条件，若没有直接给出旋转角，则应找出旋转前后图形的一对对应点，并将它们与旋转中心相连，以此代表旋转角的大小和方向。

2. 确定每对对应点（1）准确找出旋转前图形的各个顶点（通常指图中所有线段的两个端点），并把它们与旋转中心依次连接。

（2）以旋转中心为角的顶点。

以（1）中的连线作为旋转角的一边，运用尺规作图，作出图中所有的旋转角，且旋转角的方向一致。

（3）确定旋转后图形的对应点，根据旋转的基本性质，旋转前后图形的对应点到旋转中心的距离相等。

在上述旋转角的另一边上分别截取对应线段相等，这样就确定了旋转后图形的对应点。

3. 确定旋转后的图形按原图形的形状连接上述对应点，即可得到旋转后的图形。

例如，如图所示，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，作出旋转后的图形。

解：旋转中心为点O，旋转方向是顺时针方向，旋转角度为60°。

（1）连接AO，BO，CO（2）以O为顶点，分别以OA，OB，OC为一边做∠A′OA=∠B′OB=∠C′OC=60°（3）分别在射线OA′，OB′，OC′上截取OA′＝OA，OB′=OB，OC′=OC（4）连接A′B′，B′C′，C′A′则△A′B′C′就是△ABC绕点O旋转后的图形知识点10 简单的旋转作图的技巧当确定旋转后的图形的两个对应点后，可根据旋转变换前后的图形的对应线段相等，运用尺规作图和全等三角形的判断（如SAS，ASA，SSS），依次作出其余的各个对应点，这样就不用作出图中的所有旋转角了。

例如：如图所示，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试作出旋转后的图形。

分析：点A与点D是对应点，故连接OA，OD，则∠AOD就是旋转角，点O是旋转中心，作出点B旋转后的对应点E，连结DE，DE是AB的对应边，再用尺规，利用边边边公理，作出△DEF≌△ABC解：（1）连接OA，OB，OD（2）以O为顶点，OB为一边作∠BOE=∠AOD，（3）在OE上截取OE=OB，连结DE（4）分别以D，E为圆心，AC，BC长为半径作两弧，交于点F（5）连接DF，EF，则△DEF就是△ABC旋转后的图形说明：旋转方向与旋转角有一定的关系，有时应根据旋转角两边的位置确定是顺时针方向还是逆时针方向旋转，请学生注意归纳。

【典型例题】例1. 已知△ABC与△ADE全等，∠EAC=30°，那么△BAC怎样变化后才得到△DAE？分析：以A为旋转中心，由于∠EAC=30°，所以顺时针旋转30°后，AC边与AE边重合。

解：由于△ABC ≌△ADE 且∠EAC=30° 所以∠BAD=30°，故△BAC 绕着A 点沿顺时针方向旋转30度后，可以得到△DAE 。

注意：解题时，应先考虑用平移还是旋转，若用平移，先确定平移的方向和平移的距离，若用旋转，先确定旋转中心，再确定旋转方向和旋转角。

解题时，平移的方向和旋转的方向不要弄混了，平移可以是任何方向，而旋转只有顺时针和逆时针两种方向。

例2. 所示，把Rt △ABD 绕点A 逆时针旋转90°至△ACF 的位置，BD 的延长线交于CF 于点E ，连结BC ，若∠FBE=∠CBE ，试确定CE 与BD 的关系。

分析：由旋转的性质可知Rt △ABD ≌Rt △ACF ，所以BD=CF ， ∠ABD =∠FCD ，可得出∠BEC=∠BAC=90°，所以BE ⊥CF ，由∠FBE=∠CBE ，可得△FBE ≌△CBE ，故CE=1/2BD 。

解：CE 与BD 之间的位置为CE ⊥BD ， 数量关系为CE=1/2BD ，因为Rt △ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到Rt △ACF ， 所以Rt △ABD ≌Rt △ACF ，所以BD=CF ，∠ABD=∠FCD 又因为∠ABD+∠ADB=90°，∠EDC=∠ADB.所以∠FCD+∠EDC=90°，所以∠DEC=90°，所以BD ⊥CE ， 在△FBE 和△CBE 中，︒=∠=∠=∠=∠90BEC BEF ,BE BE ,CBE FBE 所以△FBE ≌△CBE ，所以EF=CE=1/2CF 所以CE=1/2CF=1/2BD例3. 如图所示，把Rt △ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，沿顺时针方向转动两次，使它转动到△A ″B ″C ″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A 运动到A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积是多少？分析：所求面积由三部分组成，即""'"''A C A BC A ABA S S S S 扇形扇形++=∆这就需要求出扇形的面积，因此考虑求半径及旋转角。

解：在Rt △ABC 中，BC=1，所以222AB BC AC =+=所以BC=12AB 所以∠CAB=30°， 所以∠ABC=60°，所以∠A ′BA ″=60°故第一次旋转的旋转角∠ABA ′=180°－∠A ′BC ″=120° 因为△ABC ≌△A ′BC ″≌△A ″B ″C ″所以2321111=⋅==∆∆BC AC S S ABC BC A 3"'"",90""'===︒=∠=∠AC C A C A ACB A C A 故第二次旋转的旋转角︒=∠90""'A C A 所以""'"''A C A BC A ABA S S S S 扇形扇形++=∆231225432334360)(902336012021112+=++=++=πππππC A AB例4. 在△ACD 中，∠ACD=120°，把△ACD 绕点C 逆时针旋转60°得到△BCE ，AD 交EC 于N ，BE 交AC 于M ，连接AB ，DE ，MN 。

（1）试判断△ABC 和△CDE 的形状 （2）确定MN 与BD 的位置关系分析：（1）△ABC 和△CDE 都是等边三角形，因为△ACD 绕顶点C 逆时针旋转60°得到△BCE ，且∠ACD=120°， ∠ACB=∠ACE=∠DCE=60°，AC=BC ，CE=CD所以△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在同一直线上。