学案10：双曲线及基本性质
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学案10：双曲线及基本性质
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1.双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
定义式：1212||||2(2)PF PF a
a F F -=<，0,0>>c a
注意：⑴ 已知a PF PF 2||||21=-，c F F
2||21=， ① 若c a 22<，则点P 的轨迹为 双曲线 ；
②若c a 22=，则点P 的轨迹为 两条射线 ； ③若22a c >，则不存在这样的点的轨迹； ⑵ a PF PF 2||||21=-（不带绝对值．．．．．），则点P 的轨迹为 双曲线的一支 ． 2
（1）双曲线方程也可设为：2
2
1(0)x y mn m
n
-=>
（2）与双曲线2
2
221x y a b -=有相同焦点的双曲线方程可设为：22
221x y a k b k -=-+ （2k a <且2
k b ≠-）
（3）与双曲线22
221x y a b
-=有相同的双曲线方程可设为：2222x y a b λ-= （0λ≠）．
（4）与双曲线22
221x y a b
-=有共同的离心率的双曲线方程可设为：2222x y a b λ-= （0λ≠）． （5）若双曲线的渐近线为y kx =±，则双曲线方程可设为：2222()()y
kx y x k
λλλ-=-=≠或（0）
题型一：双曲线的定义及应用：
例1．已知动圆M 与圆C ：2)4(22=++y x 外切，又与圆D ：2)4(22=+-y x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
变式1．（1）已知1F 5(-，)0，2F 5(，)0，动点
P 到1F 的距离比到2F 的距离多6，则点P 的轨迹方程为 ．
（2）过19
252
2=+y x 左焦点1F 的直线交双曲线左支于AB 两点，则22AF BF AB +-= 题型二：双曲线的标准方程：
例2．根据下列条件，求双曲线方程：
（1）以椭圆19
2522=+y x 的焦点为顶点，顶点为焦点；
（2）以椭圆22
1259
x y +=的长轴端点为焦点，且过点()
P ；
（3(4,；
（4）与双曲线19
1622=-y x 有共同渐近线，且过点32(A ，)3-．
（5）与双曲线22
1164
x y -=有公共焦点，且过点()
2；
（6）渐近线方程为x y 2
3±=，顶点间的距离为6；
（7）过两点((1,2,A B --，的双曲线方程。
题型三：双曲线的几何性质：
例3.（1）已知双曲线的渐近线方程为x y 4
3
±=，求双曲线的离心率。
（2）双曲线22
221x y a b
-=（a >0,b >0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线，在
第一象限交双曲线于点P ，若∠PF 1F 2=30°.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．
例4．已知双曲线22
22
1(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上，
且12
4PF PF =，则此双曲线的离心率的最大值为 .
课后巩固
1．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）
A ．19162
2=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116
92
2=-y x
2．双曲线19
162
2=-y x 的焦点坐标是 （ ）
A.（5，0）、（-5，0）
B.（0，5）、（0，-5）
C.（0，5）、（5，0）
D.（0，-5）、（-5，0）
3．双曲线19
162
2=-y x 的顶点坐标是 （ ）
A ．（4，0）、（-4，0）
B ．（0，-4）、（0，4）
C ．（0，3）、（0，-3）
D ．（3，0）、（-3，0）
4．双曲线19
1622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x
5．双曲线19
162
2=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
6．双曲线19
162
2
=-y x 上一点P ，其焦点12F F 、，且1PF 垂直2PF ，则三角形∆21PF F 的面积为（ ）
A ． 9
B ． 18
C ． 24
D ． 36
7.方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得 （ ）
A ．1
16
922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 19162
2=-y x 8．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）
A ．1222=-y x
B ．122=+-y x
C ．122=-y x D. 1222=+-y x 9．已知双曲线21=
=e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）
A ．1222=-y x
B ．122=-y x
C ．122=+-y x D. 1222=+-y x
10．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）
A ．116
92
2=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x
11．方程11122
=-++k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A ．11<<-k
B ．0>k
C ．0≥k
D ．1>k 或1-<k
12．过双曲线19
1622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长（ ） A ．28 B ．22
C ．14
D ．12
13．方程x k
y k
22
941--+=的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是 ( )
(A)(±13，0) (B)(0，±13) (C)(±13，0) (D)(0，±13)
14. 椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是
___________________
15．已知16
52
2=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.
16．双曲线3322=-my mx 的一个焦点是（0，2），则m 的值是 17．已知双曲线的渐近线方程为y=±12
x,焦距为10，求双曲线方程.
18.设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为221925
x y -=，求双曲线方程。
