高中数学 电子题库 第一章1.1.1知能演练轻松闯关 新人教a版选修21

1.下面叙述正确的是( )A ．综合法、分析法都是直接证明的方法B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的答案：A2.将正整数按下表的规律排列，1 4 5 16 ……2 3 6 15 ……9 8 7 14 ……10 11 12 13 ………… …… …… ……把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作a ij (i ，j ∈N *)，如第2行第4列的数是15，记作a 24＝15，则有序数对(a 82，a 28)是( )A ．(22，45)B ．(100，98)C ．(51，63)D ．(82，28)解析：选C.观察发现a 11＝1，a 22＝3，a 33＝7，a 44＝13，∴a 55＝21，a 66＝a 55＋10＝31，∴a nn ＝a (n －1)(n －1)＋2(n －1)，∴a nn ＝n 2－n ＋1，∴a 88＝82－8＋1＝57，由图形的特点可得a 82＝a 88－6＝51，a 28＝a 88＋6＝63，故有序数对(a 82，a 28)是(51，63)．3.已知数列{a n }是等比数列，a n >0，且a 4a 6＋2a 5a 7＋a 6a 8＝36，则a 5＋a 7＝________．解析：∵{a n }是等比数列，∴a 4a 6＝a 25，a 6a 8＝a 27，∴a 25＋2a 5a 7＋a 27＝36，即(a 5＋a 7)2＝36，又a n >0，∴a 5＋a 7＝6.答案：64.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0[A 级 基础达标]1.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2解析：选C.根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.2.(2012·淄博市高二期中考试)若a <0，则下列不等式成立的是( )A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>0.2a B ．0.2a >⎝⎛⎭⎫12a >2a C.⎝⎛⎭⎫12a>0.2a >2aD ．2a >0.2a >⎝⎛⎭⎫12a 解析：选B.∵a <0，∴2a <0，⎝⎛⎭⎫12a>1，而当a <0时，0.2a >0.5a ，∴0.2a >⎝⎛⎭⎫12a >2a . 3.已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14解析：选A.∵a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a≥7＋23a b ·2b a ＝7＋2 6. 当且仅当⎩⎨⎧3a b ＝2ba 1a ＋3b ＝1时取得“＝”． 此时a ＝6＋1，b ＝3＋62.4.设P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，那么P 、Q 、R 的大小顺序是________．(注：从大到小排列)解析：要比较R 、Q 的大小，可对R 、Q 作差，即Q －R ＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)，又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218<0，∴Q <R .又P －R ＝22－6＝8－6>0，∴P >R >Q .答案：P >R >Q5.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________． 解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γcos α＋cos β＝－cos γ， 两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12.答案：－126.已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)>16abc . 证明：左边＝[b (a ＋1)＋(a ＋1)]·[b (a ＋c )＋c (a ＋c )]＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c )．∵b ＋1≥2b ，a ＋1≥2a ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ，又∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c )>16abc .[B 级 能力提升]7.设a 、b 、c 三数成等比数列，而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项，则a x ＋c y 等于() A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：选B.∵ac ＝b 2，a ＋b ＝2x ，b ＋c ＝2y ，∴a x ＋c y ＝aa ＋b 2＋c b ＋c 2＝2a a ＋b ＋2cb ＋c＝2a （b ＋c ）＋2c （a ＋b ）（a ＋b ）（b ＋c ）＝2ab ＋4ac ＋2bcab ＋b 2＋bc ＋ac＝2ab ＋4ac ＋2bc ab ＋ac ＋bc ＋ac＝2. 8.已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( )A ．0<A ＋B <πB ．0<A ＋B <π2 C.π2<A ＋B <π D.π2≤A ＋B <π 解析：选A.由cos A ＋cos B >0得cos A >－cos B ，∴cos A >cos(π－B )．∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减．∴A <π－B .∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π.9.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________． 解析：∵αβ >0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ >8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.答案：①③⇒②10.已知a >b >0，求证：（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b. 证明：欲证（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b， 只需证（a －b ）24a <a ＋b －2ab <（a －b ）24b. ∵a >b >0， ∴只需证a －b 2a <a －b <a －b 2b， 即证a ＋b 2a <1<a ＋b 2b. 只需证1＋b a <2<1＋a b . 即证b a <1<a b.只需证b a <1<a b . 而a >b >0，∴b a <1<a b成立．∴原不等式成立．11.(创新题)如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF ∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.证明：法一：要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1，要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需证EF⊥B1G即可．又∵△B1EF为等腰三角形，EF中点为G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．法二：连结AC(图略)．∵ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴▱ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，B1E＝B1F.∴EF⊥BD.又∵△B1EF为等腰三角形且G为EF的中点，∴B1G⊥EF.又B1G∩BD＝G，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.。

1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2B.12C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数， ∴y min ＝13－1＝12. 3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________. 解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14， ∴b ＝4.答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1.答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3.∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9.4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________.解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0， 解得b ＝±2.答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值． 解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0； 当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)， 即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1.综上：a ＝1.答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)． (1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1) ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]， ∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， ∴a ＝25. 11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？解：设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ， 即y ＝12x (30－3x ) ＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)． 当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。

人教A版高中数学选修2-2全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.2知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2.2（一）知能优化训练第1章1.2.2（二）知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第1章1.3.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第1章1.5.2知能优化训练第1章1.5.3知能优化训练第1章1.6知能优化训练第1章1.7.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3知能优化训练第3章3.1.1知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.2.1知能优化训练第3章3.2.2知能优化训练1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 答案：A2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C.Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4.3．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li mΔt →0(7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114. 答案：1144．求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 (1＋11＋Δx )＝2，从而y ′|x ＝1＝2.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：选B.Δy ＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 解析：选 B.因为Δy ＝[2(1＋Δx )2－1]－(2×12－1)＝4Δx ＋2(Δx )2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx ，故选B.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析：选B.Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18＋3Δt ，s ′＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li mΔt →0(18＋3Δt )＝18，故选B.4．某质点沿曲线运动的方程y ＝－2x 2＋1(x 表示时间，y 表示位移)，则该点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6解析：选D.令f (x )＝y ＝－2x 2＋1，则质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度v －＝Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.5．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－0.88 m/s B ．0.88 m/s C ．－4.8 m/s D ．4.8 m/s解析：选C.s ′|t ＝1.2＝li mΔt →02[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)Δt ＝－4.8.6．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.∵ΔyΔx ＝f (32＋Δx )－f (32)Δx＝－Δx －3，∴li mΔx →0 ΔyΔx ＝－3.二、填空题7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则li mx →0f (1＋x )－f (1)x ＝________. 解析：li mx →0f (1＋x )－f (1)x ＝f ′(1)＝1.答案：18．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.解析：li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0a (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－ax 2－2xΔx＝li mΔx →02ax ·Δx ＋2·Δx ＋a (Δx )2Δx＝2ax ＋2.∴f ′(1)＝2a ＋2＝4， ∴a ＝1. 答案：19．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx ＝________.解析：li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝－2li m－2Δx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx＝－2f ′(x 0)＝－2×11＝－22. 答案：－22 三、解答题10．若f ′(x 0)＝2，求lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k 的值．解：令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)－2Δx＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x )Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.11．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝li mΔt →0s (Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝li mΔt →0(3－Δt )＝3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝li mΔt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝li mΔt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝li mΔt →0－(Δt )2－ΔtΔt＝li mΔt →(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．(3)v －＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.12．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围． 解：∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx ＞0，∴Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx ＝li mΔx →0 11＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________________________________________________________________________.解析：2＝li mΔx →0(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1. 答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1.证明：∵y ＝li mΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0(x ＋Δx ＋1x ＋Δx)－(x ＋1x )Δx＝x 2－1x 2＝1－1x2<1，∴y ＝x ＋1x 图象上的各点处的斜率小于1.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线解析：选C.k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →02(x ＋Δx )2－2x 2Δx ＝li mΔx →04x ·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x .则f ′(2)＝8.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＞0 D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析：选D.k ＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝li mΔx →(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1.∴2x ＝1，得x ＝12，故选D.5．设f (x )为可导函数，且满足li mx →f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2解析：选B.∵li mx →f (1)－f (1－x )x ＝－1， ∴li mx →0 f (1－x )－f (1)－x ＝－1，∴f ′(1)＝－1. 6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：选A.y ′＝li mΔx →0(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx＝li mΔx →0(2x ＋a )Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线l 的方程是x －y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，且点(0，b )在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＋a ＝10－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1.二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)． ∴2－4＋P ＝1，即P ＝3. 答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.解析：li mΔx →0 a (1＋Δx )2－aΔx ＝li mΔx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即ba＝2.答案：29．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为________．解析：∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝li mΔx →012(x ＋Δx )2－2－(12x 2－2)Δx＝li m Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝li m Δx →0(x ＋12Δx )＝x .∴y ′|x ＝1＝1.∴点P (1，－32)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.答案：45° 三、解答题10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)的斜率k ＝y ′|x ＝1＝li m Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝li mΔx →0(3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·ΔxΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x .∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时， ΔyΔx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0， ∴a ＝－3.1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B. 2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103解析：选D.∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4.∴a ＝103.3．曲线y ＝x ln x 在x ＝1处的切线方程为________． 解析：∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋1，则切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线方程为y ＝x －1. 答案：y ＝x －14．求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x ；(4)y ＝sin2x －cos2x .解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10－e x .(4)法一：y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′＝2cos2x ＋2sin2x＝22sin(2x ＋π4)．法二：∵y ＝2sin(2x －π4)，∴y ′＝2cos(2x －π4) ·2＝22sin(2x ＋π4)．一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：选B.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x2，(3x )′＝3x ln3， (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5解析：选B.由y ′＝3x 2－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.3．(2011年高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：选B.y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2.故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M (π4，0)处的切线的斜率为12.4．函数y ＝x 2cos2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos2x －x 2sin2x B ．y ′＝2x cos2x －2x 2sin2x C ．y ′＝x 2cos2x －2x sin2x D ．y ′＝2x cos2x ＋2x 2sin2x 解析：选B.y ′＝(x 2cos2x )′ ＝(x 2)′·cos2x ＋x 2·(cos2x )′＝2x cos2x －2x 2sin2x .5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.6．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题 7．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________． 解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)． 答案：e x (2x ＋x 2)8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1，得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －19．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c 的值为________．解析：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc ，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.答案：12三、解答题10．求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln(8x )；(2)f (x )＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝5log 2(2x ＋1)．解：(1)因为f (x )＝ln(8x )＝ln8＋ln x ，所以f ′(x )＝(ln8)′＋(ln x )′＝1x .(2)因为f (x )＝(x ＋1)(1x－1)＝1－x ＋1x－1＝－x ＋1x ＝1－xx，所以f ′(x )＝－1·x －(1－x )·12xx＝－12x(1＋1x )．(3)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln2＝10(2x ＋1)ln2.11．设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e.求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ，∴f ′(x )＝a ·e x ＋bx ， 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a e ＋b ＝e f ′(－1)＝a e －b ＝1e解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.求f (x )的解析式． 解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 答案：C2．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x2D ．若y ＝x ，则y ′＝x2答案：C3．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.解析：∵y ′＝10x ln10，∴y ′|x ＝1＝10ln10. 答案：10ln104．质点的运动方程是s ＝1t5，求质点在t ＝2时的瞬时速度．解：∵s ＝1t 5，∴s ′＝(1t5)′＝(t －5)′＝－5t －6.∴s ′|t ＝2＝－5×2－6＝－564，即质点在t ＝2时的瞬时速度是－564.一、选择题1．y ＝x 2的斜率等于2的切线方程为( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0或2x －y －1＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＝0解析：选C.设切点为(x 0，y 0)，y ′＝2x .y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，x 0＝1，y 0＝1，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选C.2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．(12，2)B ．(12，2)或(－12，－2)C ．(－12，－2)D ．(12，－2)解析：选B.y ′＝(1x )′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，则f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5解析：选A.f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.故选A. 4．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②(sin π3)′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④(－1x )′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而(32)′＝0，所以②错误；(1x2)′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； (－1x )′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，所以④正确，故选B.5．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]解析：选A.设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α. ∵y ′＝cos x ，∴tan α＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0. ∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又0≤α<π，∴α∈[0，π4]∪[3π4，π)．6．已知命题p ：函数y ＝f (x )的导函数是常数函数；命题q ：函数y ＝f (x )是一次函数．则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.常数函数的导数也是常数函数．故由p 不能得q ，而由q 能得出p . 二、填空题7．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________________________________________________________________________.解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1.∴ln a ＝－1，a ＝1e.答案：1e8．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－1，则x ＝________. 解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，∴2x －3x 2＝－1，解得x ＝1或－13.答案：1或－139．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．解析：因为y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，得x 0＝e.∴k ＝1e.答案：1e三、解答题10．求下列函数的导数：(1)f (x )＝log 2x ；(2)f (x )＝2－x .解：(1)f ′(x )＝(log2x )′＝1x ln 2＝2x ln2. (2)∵2－x ＝(12)x ，∴f ′(x )＝[(12)x ]′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln2.11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程． 解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13，∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13.即在点P (8,4)的切线的斜率为13.∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2012(x )． 解：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2012(x )＝f 0(x )＝sin x .1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 2．(2011年高考辽宁卷)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)解析：选B.设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．3．函数y ＝3x －x 3在(－1,1)内的单调性是____________． 解析：y ′＝3－3x 2，令y ′<0得x >1或x <－1， 令y ′>0得－1<x <1.∴原函数在(－1,1)上是单调递增函数． 答案：单调递增4．求下列函数的单调区间． (1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y ′＝1－1x .令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x<0，解得0<x <1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)， 函数的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x2<0，而当x ＝0时，函数无意义，所以y ＝12x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，即y ＝12x 的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0. 4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立， 即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 二、填空题7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞) 三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3＋3x ；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1， 由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴f (x )的递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，↗ ↘↘ ↗ ∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为[π3，53π]．11．已知函数f (x )＝x 2·e x －1＋ax 3＋bx 2，且x ＝－2和x ＝1是f ′(x )＝0的两根． (1)a ，b 的值；(2)f (x )的单调区间．解：(1)∵f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，又x ＝－2和x ＝1为f ′(x )＝0的两根， ∴f ′(－2)＝f ′(1)＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝03＋3a ＋2b ＝0，解方程组得a ＝－13，b ＝－1.(2)∵a ＝－13，b ＝－1，∴f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1， 当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．12．已知函数f (x )＝ax －ax－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝a ＋a x2－2x ，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 只需f ′(x )在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.当a ＝0时，f ′(x )＝－2x<0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，∴a －1a ≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或a ＝0.1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0∴a＝5.3．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2<x<2时，y′<0.∴函数在x＝－2时，取得极大值a＋4 2.答案：a＋4 24．求函数f(x)＝x＋1x的极值．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－1x2＝(x＋1)(x－1)x2，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当↗极大值y极小值＝f(1)＝2.一、选择题1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2．下列函数存在极值的是()A．y＝1x B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3解析：选B.A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时， f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1. C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．故选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3 解析：选C.f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)·(x ＋1)，∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0， ∴x ＝－1时取极小值．5．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．无极值解析：选D.f ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0，∴函数f (x )在定义域R 上为增函数，故选D. 6．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝1或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上都不正确解析：选A.f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∵在x ＝1处f ′(x )有极值，∴f ′(1)＝0，即3－2a －b ＝0.①又f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b －9＝0.② 由①②得a 2＋a －12＝0，∴a ＝3或a ＝－4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3舍去．二、填空题7．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)， 在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上 f ′(x )<0，∴f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值 ＝f (5)＝－98. 答案：10 －988．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0得x ＝ln(－a )． 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)9．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－19 三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－22(x －1)2；(2)f (x )＝x 2e －x .解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－1，x 2＝2.↗ ↘ ↗ ↗ 并且极大值为f (－1)＝－38.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·(1ex )′＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x ↘ ↗ ↘且为f (2)＝4e －2.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .↗ ↘ ↗∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1.12．(2010年高考安徽卷)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π， 求函数f (x )的单调区间与极值．解：由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22， 得x ＝π，或x ＝3π2.当x ↗ ↘ ↗ 因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或x ＝43.当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0. 比较可知y max ＝0，y min ＝－64. 答案：－64 04．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.求：(1)函数的极值；(2)函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2.当↗ ↘ ↗ 从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0. 所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1 B ．eC ．e 2 D.103解析：选A.令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0.解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋1解析：选C.因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3，－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32解析：选C.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数y ＝x e x 的最小值为________． 解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e8．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]9．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________.解析：y ′＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0， x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2，又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ， f (2)＝b －4a ，f (0)＝b ，f (－2)＝b －4a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2. 答案：2 3 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当↗ ↘ ↗11．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1.结合①，可知↗ ↘ ↗所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎡⎦⎤32(x ＋1x )min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意， ∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9， 最大值是f (5)＝15.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，则应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台 D ．9千台解析：选A.设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x ·(x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.3．把长60 cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大． 解析：设长为x cm ，则宽为(30－x ) cm ， 所以面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x . 由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15. 答案：15 154．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×100002000x＝560＋48x ＋10800x (x ≥10，x ∈N *)f ′(x )＝48－10800x2.令f ′(x )＝0，得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当10≤x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2000(元)．故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．一、选择题1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝4，此时的函数值最大，故选D.2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 cm B ．8 cm C ．10 cm D ．12 cm解析：选 B.设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3.所以V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0，则x ＝8∈(0,24)．3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米 D ．36米，18米解析：选A.要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，∴堆料场的长为51216＝32(米)．4．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值． 5．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250 D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．6．若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2解析：。

1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f [1f (2)]的值为( ) A.1516 B ．－2716C.89D ．18解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤00，x >0，则f (2)＋f (－2)＝________. 答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________．答案：21[A 级 基础达标]1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x ≤1. ②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2. ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5. A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④① √ 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系． ②× 当x ＝2时，f (2)＝3或4，故不是函数． ③× 当x ＝1时，f (1)＝5或1，故不是函数． ④ √ 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系.2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3 D. 3 解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象． 4.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (2)＝0，f (f (2))＝f (0)＝4，f (f (f (2)))＝f (4)＝2.答案：25．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________． 解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.答案：46．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－74)；(2)求f (14)； (3)求f (4)；(4)若f (a )＝3，求a 的值．解：(1)f (－74＝－74＋2＝14； (2)f (14)＝2×14＝12； (3)f (4)＝422＝8； (4)因为当x ≤－1时，x ＋2≤1，当x ≥2时，x 22≥2， 当－1<x <2时，－2<2x <4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <22a ＝3⇒a ＝32⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6. 综上，若f (a )＝3，则a 的值为32或 6. [B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2 (－1<x <0)－12x (0≤x <2)，3 (x ≥2)则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3} 解析：选D.对f (x )来说，当－1<x <0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x <2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当x ≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A →B ，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数至少是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A.对于A 中的元素±1，B 中有1与之对应；A 中的元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中的元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中的元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中的元素个数至少是4.9．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，那么A 中元素(1,3)所对应的B 中的元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)．设A 中与(1,3)对应的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f (x )的图象如图所示，写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤25＋1.6×(x －2)，2<x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0<x ≤21.8＋1.6x ，2<x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)． 所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．。