高一数学教案：第三章第二节两角和的正弦、余弦、正切 (5)

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2。

教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。

三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式。

()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解:因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样,我们能否用第一章知识证明?3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2)、cos 20cos70sin 20sin 70-;（3)、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==； （3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢?)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022xx x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=12的。

高一数学两角和与差的正弦余弦正切课题：§4.6两角和与差的正弦、余弦、正切（一）课题教材分析：这节课的主要内容是两角和与差的余弦公式的推导及运用，两角和与差的正弦、正切公式的推导和运用；学生在前一节中掌握的有关三角函数知识，以及直角坐标系中两点间的距离公式是学习本节内容的知识基础。

本节课教材是三角函数这一内容中最重要的组成部分之一。

它具有一般性，体现了数学转化的思想，是和、差、倍、半公式以及和差化积、积化和差公式、万能公式的推导基础，是进行三角变换的理论依据。

公式的推导过程利用了单位圆及单位圆中的三角函数线这一基本数学工具，精心设计本课可以陶冶学生的数学思想，优化认知结构，培养学生探索精神。

教学模式遵循“以教师为主导，学生为主体”，“面向全体学生”，“数学教学是数学活动的教学”，“问题是数学的心脏”的教育思想，根据教师指导下的学生实践探索模式与我国传统的传授模式有机地结合这一思路，把问题作为教学出发点，通过实践获得真知，激发学生的学习热情。

（二）素质教育目标：1.知识目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导，能利用两角和与差公式解决某些求值问题。

2.能力目标：树立科学的数学思想和方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力。

3.德育目标：（三）课型课时计划：1.课题类型：新授课、练习课；2.教具使用：多媒体电脑、实物投影仪、幻灯、常规教学；3.课时计划：本课题共安排5课时；（四）教学三点解析：1.教学重点：通过公式推导及运用，培养学生掌握运用在获得数学知识中的一系列数学思想方法。

2.教学难点：引导学生运用数学工具，找出含有cos(α+β)，cos α，cos β的等量关系。

教者必须抛弃那种单纯地传授接受的教学模式，将教学过程适当地控制为一个实践探索过程。

3.教学疑点：两角和与差的余弦公式的导出；（五）教学过程设计（六）一.温故知新，引入课题1.创设问题情景境，激发学习兴趣，把问题作为教学的出发点。

课时教学设计课题5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式授课时间： 年 月 日 课型：新授课课时：第一课时核心素养目标1.通过开门见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公。

2.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。

学习重点难点教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。

教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

学习活动设计环节一：情景引入，温故知新 提出问题１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系不妨令α≠2kπ＋β，k ∈Z ． 如图5.5.1，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点A （１，０），以x 轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点A 1（cosα，sinα）， P 1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A 1P 1，AP ．若把扇形OAP,绕着点O 旋转β角，则点A ，P 分别与点A 1, P 1重合．根据圆的旋转对称性可知，AP ̂与A 1P 1̂ 重合，从而， 所以AP ＝A 1P 1 根据两点间的距离公式，得[cos (α−β)−1]2+[s in (α−β)]2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2， 化简得:cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ当α=2kπ＋β （k ∈Z ）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系， 称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β). 典例解析例１ 利用公式cos (α−β)证明：（１）cos (π2-α)= sinα ; （２）cos (π-α)= cosα． 证明: (1)cos (π2-α)= cos π2cos α+sin π2sinβsinα=0＋1×sinα=sinα．(2)cos (π-α)== cosπcos α+sinπsinβsinα =(-1)×cosα+o ．＝－ cosα．例２ 已知sinα=45，α∈(π2,π), cosβ=−513，β是第三象限角，求cos (α−β)的值．解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=−√1−sinα2=−√1−(45)2=−35又由cosβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−√1−cosβ2=−√1−(−513)2=−1213． 所以cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ =(−35) ×(−513)+(45) ×(−1213)=−3365由公式 cos (α−β)出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式 cos (α−β)为基础来推导其他公式 ．例如 ， 比较cos (α−β) 与cos (α+β) ，并注意到 α ＋ β 与 α−β之间的联系 ：α+β＝α−（−β）则由公式 cos (α−β) ，有cos (α+β)=cos[α−(−β)] ＝cosαcos (−β)+sinαsin (−β)=cosαcosβ−sinαsinβ 于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C （α ＋ β ） ． cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ．问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin （ α － β ） 的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ：s in (α+β) ＝ sinαcosβ+cosαsinβ，（ S （α ＋ β ） ） s in (α−β) ＝ sinαcosβ−cosαsinβ ; （ S （α － β ） ）你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示 tan (α+β) ， tan (α−β) 的公式吗 ？通过推导 ， 可以得到 ： tan (α+β) =tan α+tanβ 1− tan αtanβ T(α + β )tan (α−β) = tan α−tanβ1+ tan αtanβ T(α − β )和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 ？公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 ．类似地 ， Ｓ(α － β ) ， Ｃ(α － β ) ， Ｔ(α － β )都叫做 差角公式 ． 典例解析例3. 已知sinα=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α),cos (π4+α),tan (α−π4)的值 ．解 ： 由 sinα=−35，α是第四象限角， 得cosα=√1−sinα2=√1−(−35)2=45 所以 tanα =sin αcosα= −3545= - 34于是有sin (π4−α) =sin π4cos α−cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210; cos (π4+α) =cos π4cos α−sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;tan (α−π4) =tan α−tanπ41+ tan αtanπ4=tan α−11+ tan α=−34−11+(−34)=−7解题技巧：(给值求值的解题策略)(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:①α=(α-β)+β;②α=α+β2+α-β2;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有sin (π4−α) =cos (π4+α)． 那么对于任意角α ， 此等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明? 例 ４ 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ： （ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ; （ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （ 3 ）1+tan 15°1−tan 15°;分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ． 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ． 解 ：（ １ ） 由公式 S （α － β ） ， 得 sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=12（2） 由公式 C （α +β ） ， 得cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0 （3） 由公式 T （α +β ）及tan 45°=1， 得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°tan 45°−tan 15°=tan(45°+15°)=tan 60°=√3教师活动：通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；学生活动：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。

本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。

二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。

2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。

3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。

并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。

四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。

五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。