实用文档之《图形的旋转》经典好题

23.1 图形的旋转旋转的概念将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.注意：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小.题型1：旋转中的概念及对应元素1.下列运动中，属于旋转运动的是（ ）A．小明向北走了4 米B．一物体从高空坠下C．电梯从1 楼到12 楼D．小明在荡秋千【答案】D【解析】【解答】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，A不合题意；B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，B不合题意；C. 电梯从1 楼到12 楼，是平移，不属于旋转运动，C不合题意；D. 小明在荡秋千，是旋转运动，D符合题意．故答案为：D．【分析】根据图形旋转的定义求解即可。

【变式1-1】如图，线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，下列结论错误的是（ ）A．AB＝A'B'B．∠AOA'＝∠BOB'C．OB＝OB'D．∠AOB'＝100°【答案】D【解析】【解答】∵线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，∴AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，故A，B，C选项正确，∵∠AOB和∠BOB′的度数不确定，∴∠AOB′≠100°，故D选项错误.故答案为：D.【分析】由旋转的性质可得AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，据此判断.【变式1-2】如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ）A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°【答案】A【解析】根据图1可知，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；如右图，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠CAB=45°，∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．故选A．旋转的性质一个图形和它经过旋转所得到的图形中：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.　注意：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.题型2：旋转的性质及旋转中心的确定2.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是( )A．(1，1)B．(0，1)C．(-1，1)D．(2，0)【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0，1).故答案为：B.【分析】连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，根据旋转的性质即可求解。

图形的旋转练习题及答案图形的旋转练习题及答案在几何学中，图形的旋转是一种常见的操作。

通过旋转，我们可以改变图形的方向和位置，从而得到新的图形。

旋转练习题可以帮助我们加深对旋转操作的理解，并提高解决几何问题的能力。

本文将介绍一些常见的图形旋转练习题及其答案，希望对读者有所帮助。

1. 旋转正方形首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个正方形，边长为4个单位。

我们需要将这个正方形绕着一个点旋转90度，问旋转后的正方形的边长是多少？解答：旋转后的正方形的边长仍然是4个单位。

旋转只改变了正方形的方向和位置，但没有改变其大小。

2. 旋转矩形接下来，我们考虑一个稍微复杂一些的例子。

假设有一个矩形，长为6个单位，宽为3个单位。

我们需要将这个矩形绕着一个点旋转180度，问旋转后的矩形的长和宽分别是多少？解答：旋转后的矩形的长和宽仍然分别是6个单位和3个单位。

和正方形一样，旋转只改变了矩形的方向和位置，但没有改变其大小。

3. 旋转三角形现在，让我们来考虑一个有趣的例子。

假设有一个等边三角形，边长为5个单位。

我们需要将这个三角形绕着一个点旋转60度，问旋转后的三角形的边长是多少？解答：旋转后的三角形的边长仍然是5个单位。

和之前的例子一样，旋转只改变了三角形的方向和位置，但没有改变其大小。

4. 旋转圆形最后，我们来看一个特殊的例子。

假设有一个半径为2个单位的圆形。

我们需要将这个圆形绕着一个点旋转120度，问旋转后的圆形的半径是多少？解答：旋转后的圆形的半径仍然是2个单位。

和之前的例子一样，旋转只改变了圆形的方向和位置，但没有改变其大小。

通过以上的例子，我们可以看到旋转操作并不改变图形的大小，只改变了其方向和位置。

这是因为旋转是一种刚体变换，保持了图形的形状和大小不变。

在解决几何问题时，我们可以利用旋转的性质来简化问题，找到更简单的解决方法。

总结起来，图形的旋转是一种常见的操作，通过旋转可以改变图形的方向和位置。

旋转练习题可以帮助我们加深对旋转操作的理解，并提高解决几何问题的能力。

图形的旋转(30题)一、单选题1(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，△ABC 中，∠BAC =55°，将△ABC 逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE ，DE 交AC 于F ．当α=40°时，点D 恰好落在BC 上，此时∠AFE 等于()A.80°B.85°C.90°D.95°2(2023·天津·统考中考真题)如图，把△ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到△ADE ，点B ，C 的对应点分别是点D ，E ，且点E 在BC 的延长线上，连接BD ，则下列结论一定正确的是()A.∠CAE =∠BEDB.AB =AEC.∠ACE =∠ADED.CE =BD3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE 以A 为中心顺时针旋转，点M 为射线BD 、CE 的交点．若AB =3，AD =1．以下结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③当点E 在BA 的延长线上时，MC =3-32；④在旋转过程中，当线段MB 最短时，△MBC 的面积为12．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个4(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，已知等腰直角△ABC ，∠ACB =90°，AB =2，点C 是矩形ECGF 与△ABC 的公共顶点，且CE =1，CG =3；点D 是CB 延长线上一点，且CD =2．连接BG ，DF ，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为()A.2B.3C.10D.13二、填空题5(2023·江苏连云港·统考中考真题)以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为°．6(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC 绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，且∠OAC =100°，则四边形ABOC旋转的角度是．7(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为．8(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知曲线C1、C2分别是函数y=-2x(x<0),y=kx(k>0,x>0)的图像，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上(B在C的左侧)，现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为．9(2023·辽宁·统考中考真题)如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．10(2023·江西·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．11(2023·上海·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α(0°<α< 180°)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连接AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=．12(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB C ，若点B的对应点B 恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．13(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC于点D，则ADDC的值为．14(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A BC ，延长C A 交直线BC于点D．则A D的长度为．15(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)一副三角板ABC和DEF中，∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E= 45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G(如图1)，此时线段CG 的长是，现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转(如图2)，边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．三、解答题16(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．17(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．18(2023·四川达州·统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积．19(2023·辽宁·统考中考真题)在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上(不与点A ,B 重合)，连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l ⊥BC ，过点E 作EF ⊥l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；(2)如图，当点D 在线段AB 上时，求证：CG +BD =2BC ；(3)连接DE ，△CDE 的面积记为S 1，△ABC 的面积记为S 2，当EF :BC =1:3时，请直接写出S 1S 2的值．20(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．21(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB =12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．22(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．25(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)26(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．27(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．28(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD 中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C 重合，绕点C 旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．29(2023·湖南·统考中考真题)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；规律探究：(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE 的形状是否发生改变？请说明理由．30(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．。

图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+67．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______．16．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______．三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．20．（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．22．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B 的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016•宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016•莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016•呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016•无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B 点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016•和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春•雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015•浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016•邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016•高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016•海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016•太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016•怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS 得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016•丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016•呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春•重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P 在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋•五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋•苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋•利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋•江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．百度文库- 让每个人平等地提升自我（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．21。

第三章图形的平移与旋转3.2图形的旋转一、单选题1．（2023秋·广东珠海·七年级统考期末）下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成如图这种花瓶形状的几何体的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解．【详解】解：A．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；B．旋转后是圆柱体，不是所需立体图形，故不符合题意；C ．旋转后是所需立体图形，符合题意；D ．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查平面图形与立体图形，理解并掌握平面图形旋转的性质，立体图形的形状特点是解题的关键．2．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，图形绕点O 旋转后可得到下列哪个图形（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可求解．【详解】解：将图形绕点O 顺时针旋转90 得到而其他选项的图形不能由原图形旋转得出，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2023秋·四川绵阳·九年级校联考期末）如图，在ABC 中，AB AC ，70ACB ，若将AC 绕点A 逆时针旋转60 后得到AD ，连接BD 和CD ，则BDC （）A ．19B ．20C ．21D ．22 【答案】B 【分析】由已知条件可求出CAB 的度数，根据旋转的性质可得ACD 为等边三角形，可求出BAD 、ADC 的度数以及得到AB AD ，进而求出ADB 的度数，由角的和差关系可得BDC 的度数．【详解】由旋转得：AC AD ，60CAD ，∴ACD 为等边三角形，∴60ADC ，∵AB AC ，70ACB ，∴AB AD ，ACB ABC Ð=Ð，∴180240CAB ACB ，604020BAD CAD CAB ，∵AB AD ，∴(18020)280ABD ADB ，∴806020BDC ADB ADC ．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，依据性质求角度是解题的关键．4．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，将三角形AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到三角形COD ，若10AOB ＝，则AOD 的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．65°【答案】B 【分析】根据旋转的性质确定旋转角，再由AOD AOB BOD 求解即可．【详解】根据旋转的性质可知：40BOD ，又10AOB＝104050AOD AOB BOD ，故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，根据题意确定旋转角是解题关键．5．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB 可以看作是将DCE △绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是（）A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(2,1)D ．(2,2)【答案】D 【分析】根据旋转中心到对应点距离相等，可知旋转中心是OC 、BE 的垂直平分线的交点．【详解】解：如图，旋转中心是OC 、BE 的垂直平分线的交点，旋转中心的坐标为(2,2)，故选D ．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，明确旋转中心到对应点距离相等是解题的关键．6．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）AOB 绕点O 逆时针旋转65 后得到COD △，若30AOB ，则BOC 的度数是（）A ．25B ．30C ．35D ．65 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得65AOC BOD ，结合30AOB ，即可求BOC 的度数．【详解】解：∵AOB 绕点O 逆时针旋转65°得到COD △，∴65AOC BOD ，∵30AOB ，∴35BOC AOC AOB ，故选C ．【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键．二、填空题7．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）如图，如果三角形BCD 旋转后能与等边三角形ABC 重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有_______个．【答案】3【分析】根据三角形BCD 旋转后能与等边三角形ABC 重合，确定旋转中心，即可得到答案．【详解】解：以点B 为旋转中心，BCD △顺时针旋转60 ，能与等边三角形ABC 重合；以C 为旋转中心，BCD △逆时针旋转60 ，能与等边三角形ABC 重合；以BC 的中点为旋转中心，BCD △旋转180 ，能与等边三角形ABC 重合；则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个．故答案为：3【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键．8．（2023秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，点A ，B 的坐标分别为 1,1、 3,2，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90 ，得到A B C ，则B 点的坐标为________．【答案】0,3【分析】根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B 的坐标．【详解】解：如图，根据图形可得：点B 坐标为 0,3，故答案为： 0,3．【点睛】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答．9．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，将等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转 得到CB A ⅱV ，使得B ，C ，A 三点在同一直线上，则 ___________________．【答案】120 ##120度【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质，利用180ACB ，求出ACA 的度数，即为 的度数．【详解】解：∵将等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转 得到CB A ⅱV ，∴ACA ，60ACB ，∵B ，C ，A 三点在同一直线上，∴180120ACA ACB ；故答案为：120 ．【点睛】本题考查求旋转角，等边三角形性质．熟练掌握对应点与旋转中心形成的夹角即为旋转角，是解题的关键．10．（2023秋·广西南宁·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ，4AC ，3BC ，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到AB C △，使点B 在AC 的延长线上，则B C 的长为________.三、解答题11．（2022秋·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，下列的图案是由什么基本图案经怎样的旋转得到的，把它画出来？【答案】见解析【分析】根据旋转的性质进行求解即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）；以上基本图案绕着对称轴旋转一周得到．【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质正确作图是解本题的关键．12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1.(1)画出将ABC 绕点O 顺时针方向旋转90 后得到的A B C ；(2)请直接写出A ，B ，C 三点的坐标．【答案】(1)见解析(2) 4,0A ， 0,1B ，2,2C【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A ，B ，C 即可；（2）根据点的位置写出坐标即可．【详解】（1）解：如图，A B C 即为所求；（2）解：由坐标系中图形的位置可知： 4,0A ， 0,1B ， 2,2C ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．提升篇一、填空题1．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 0,6，点B 的坐标为 8,0，连接AB ，若将Rt ABO △绕点B 顺时针旋转90 ，得到Rt A BO △，则点A 的坐标为___________．【答案】14,8【分析】根据旋转的性质，得到8,6O B OB O A OA ，90,90OBO BO A BOA ，得到 8,8O ，O A x ∥，进而求出A 的坐标即可．【详解】解：∵点A 的坐标为 0,6，点B 的坐标为 8,0，∴6,08OA B ，∵将Rt ABO △绕点B 顺时针旋转90 ，得到Rt A BO △，∴8,6O B OB O A OA ，90,90OBO BO A BOA ，∴90OBO BO A ， 8,8O ，∴O A x ∥轴，∴ 86,8A ，即： 14,8A ；故答案为： 14,8．【点睛】本题考查坐标轴下的旋转．熟练掌握旋转的性质，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．2．（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）如图，在ABC 中，108BAC ，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C △．若点B 恰好落在BC 边上，且AB CB ，则C 的度数为________．【答案】24【分析】设C x ，根据题意可得AB AB B C ，根据等边对等角可得，C CAB ，B AB B ，利用三角形外角的性质可得2AB B C ，根据题意，列方程求解即可．【详解】解：设C x ，根据旋转的性质可得AB AB B C则C CAB ，B AB B ，∴22B AB B C x ，由180BAC B C 可得1082180x x ，解得24x ，即24C 故答案为：24【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．3．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）如图，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB ，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90 ，得到CBE △(点A 的对应点为点)C ，连接DE ，延长AE 交CE 于点F ，则四边形BE FE 为正方形，若15AB ，3CF ，则DE 的长为____________．则90DGA AEB ，20cm BC ．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60 ，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是______．由题意得，EDF 20cm BC DF ，根据O 是边()BC DF 的中点，可得：∵ABC 绕点O 顺时针旋转∴60BOD NOF旋转180 ，得到11O AB △，再将11O AB △绕点1O 旋转180 ，得到112O A B △，再将112O A B △绕点1A 旋转180 ，得到213O A B △，……，按此规律进行下去，若点(2,0)B ，则点6B 的坐标为___________．【答案】(8,63)【分析】根据中心对称的性质，可得1(0,23)B ，1(2,23)O ，再根据1B 、2B 、3B ……的坐标，根据规律即可得出答案．【详解】解：∵ABO 是等边三角形，(2,0)B ，∴2OB OA AB ，60AOB ．过点A 作AM OB ，交OB 于点M ，交11O B 于点N ，∴30OAM ，∴112OM OA ，∴22213AM ，∴(1,3)A ，∵将等边OAB 绕点A 旋转180 ，得到11O AB △，∴11AO B AOB ≌，∴111,2AN AM O B OB ，∴1(0,23)B ，1(2,23)O ，同理2(4,23)B ，3(2,43)B ，4(6,43)B ，5(4,63)B ，6(8,63)B ，故答案为：(8,63)．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，以及直角三角形的性质，规律问题，根据题意，找到图形变化的规律是解题的关键．二、解答题6．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 1,0A ， 3,4B ， 2,4C ， 6,6D ．(1)沿水平方向移动线段AB ，使点A 和点C 的横坐标相同，画出平移后所得的线段11A B ，并写出点1B 的坐标；(2)将线段11A B 绕某一点旋转一定的角度，使其与线段CD 重合（点1A 与点C 重合，点1B 与点D 重合），请作出旋转中心点P ．【答案】(1)图见解析，点1B 的坐标为(0,4)(2)见解析【分析】（1）利用C 点的横坐标为2，把AB 向右平移2个单位即可；（2）作1CA 与1DB 的垂直平分线，它们的交点为P ．【详解】（1）如图，线段11A B 为所作，点1B 的坐标为(0,4)；（2）如图，点P 为所作．【点睛】本题考查了平移作图，以及旋转中心的确定方法：把旋转前后重合的点看成是两图的对应点；找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点就是旋转中心．7．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB ，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ，连接EF ，EF 与AC 交于点G．(1)求证：EF BC ；(2)若65ABC ，28ACB ，求FGC 的度数．【答案】(1)见解析(2)78【分析】（1）由旋转的性质可得AC AF ，利用SAS 证明ABC AEF ≌△△，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF BC ；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出18065250BAE ，那么50FAG ．由ABC AEF ≌△△，得出28AFE ACB ，再根据三角形外角的性质即可求出78FGC FAG AFG ．【详解】（1）证明：∵CAF BAE ，∴BAC EAF ．∵将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，∴AC AF ．在ABC 与AEF △中，AB AE BAC EAF AC AF，∴ABC AEF ≌△△（SAS ），∴EF BC ；（2）解：∵AB AE ，65ABC ，∴AEB ABC ，∴18065250BAE ，∴50FAG BAE ．∵ABC AEF ≌△△，∴28AFE ACB ，∴502878FGC FAG AFG ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明ABC AEF ≌△△是解题的关键．8．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂长AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD ，10DM ．(1)在旋转过程中：①当A 、D 、M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A 、D 、M 三点是同一直角三角形的顶点时，求AM 的长．(2)若摆动臂AD 顺时针旋转90 ，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D 处，连接12D D ，如图2，此时2BD 260CD ，求2 AD C 的度数．【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形及其逆定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．。

专题02 图形的旋转（七大类型）【题型1 生活中的旋转现象】【题型2 利用旋转的性质求角度】【题型3 利用旋转的性质求线段长度】【题型4 旋转中的坐标与图形变换】【题型5 作图-旋转变换】【题型6 旋转对称图形】【题型7 旋转中周期性问题】【题型1 生活中的旋转现象】1．（2023春•沭阳县月考）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）A．钟表上的时针运动B．城市环路公共汽车C．地球绕太阳转动D．将等腰三角形沿着底边上的高对折【答案】A【解答】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项正确；B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项错误；C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项错误；D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项错误；故选：A．2．（2022秋•隆安县期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）A．飞驰的动车B．匀速转动的摩天轮C．运动员投掷标枪D．乘坐升降电梯【答案】B【解答】解：由题意知，匀速转动的摩天轮属于旋转，故选：B．3．（2021秋•栖霞市期末）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、B、C这三个图都只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D 既可经过平移，又可经过旋转得到，故选：D．4．（2022春•诏安县期中）下列现象不是旋转的是（ ）A．传送带传送货物B．飞速转动的电风扇C．钟摆的摆动D．自行车车轮的运动【答案】A【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A【题型2 利用旋转的性质求角度】5．（2023春•肃州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）A．30°B．60°C．90°D．150°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角度为60°．故选：B．6．（2023春•曹县期末）如图，△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝50°，∴∠ABD＝∠ADB＝＝65°，又∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣65°＝25°，故选：B．7．（2023春•顺德区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数为（ ）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，故选：B．8．（2023春•惠安县期末）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD．若点A、D、E在同一条直线上，则∠CAD的度数为（ ）A．.100°B．.90°C．.80°D．.110°【答案】A【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD，∴∠EBA＝80°，BE＝BA，∠CAB＝∠E，∴∠E＝∠BAE＝∠CAB，∵∠CAD＝∠CAB+∠BAE，∴∠CAD＝∠BAE+∠E，∵∠EBA＝80°，∴∠E+∠BAE＝100°，即∠CAD＝100°，故选：A．9．（2023•普兰店区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）A．50°B．60°C．40°D．30°【答案】A【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故选：A．10．（2023•小店区校级一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC'∥AB，划∠BAB′的度数是（ ）A．35°B．40°C．50°D．70°【答案】B【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，∴∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，∴∠C′AC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠C′AC＝∠BAB′＝40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【题型3 利用旋转的性质求线段长度】11．（2023•扎兰屯市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP 绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）A．1B．C．2D．2【答案】B【解答】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，∴∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝1，∴PE＝＝＝，故选：B．12．（2023春•沈河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）A．4B．2C．3D．【答案】B【解答】解：如图，连接BB'，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，∵∠A＝60°，∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，∴∠BCB'＝60°，∴△BCB'是等边三角形，∴BB'＝BC，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BC＝＝＝2，∴BB'＝2，故选：B．13．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为边AB上一点，且，将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，连接CE，则点M到直线CE的距离是（ ）A．2B．C．5D．【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∵，∴BM＝3，在Rt△BMC中，由勾股定理得，CM＝＝5，∵将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，∴CM＝CE＝5，∴BE＝2，在Rt△CBE中，由勾股定理得，CE＝＝2，设点M到直线CE的距离为h，则S＝，△MCE∴h＝，∴点M到直线CE的距离是2，故选：D．14．（2023•阿荣旗一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）A．B．C．1D．2【答案】C【解答】解：如图：OE交AB于点N，O交BC于点M，∵四边形ABCD和四边形OEFG是两个边长相等的正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BON＝∠MOC，在△OBN与△OCM中，，∴△OBN≌△OCM（ASA），∴S△OBN ＝S△OCM，∴四边形OMBN的面积等于△BOC的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，∴两个正方形的重合部分的面积＝，故选：C．15．（2023•凤阳县二模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF＝3，则BE的长为（ ）A．B．C．1D．2【答案】D【解答】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．∴∠ADF＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠DAF＝∠GAB，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴点G、B、E共线，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠EAF＝∠GAE，∵AE＝AE，∴△EAF≌△EAG（SAS），∴EF＝EG，设BE＝x，则EF＝EG＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△ECF中，由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得x＝2，∴BE＝2，故选：D【题型4 旋转中的坐标与图形变换】16．（2023•沛县三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（ ）A．（1，−）B．（−，1）C．（0，2）D．（，1）【答案】D【解答】解：如图所示，过A作AB⊥x轴于B，过A'作A'C⊥x轴于C，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB＝，∴点A′坐标为（，1），故选：D．17．（2023春•六盘水期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点按顺时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（ ）A．（﹣6，1）B．（﹣1，﹣6）C．（﹣6，﹣1）D．（﹣1，6）【答案】B【解答】解：作BC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点顺时针方向旋转90°得OB，∴OB＝OA，∠BOC＝90°，∴点B的坐标为（﹣1，﹣6），故选：B．18．（2023•南海区校级三模）如图，A（2，0），C（0，4），将线段AC绕点A 顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为（ ）A．（6，2）B．（2，6）C．（2，4）D．（4，2）【答案】A【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，∵A（2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∵∠AHB＝∠AOC＝∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠BAD＝90°，•∴∠ACO＝∠BAD，在△AOC和△BAD中，，∴△AOC≌△BAD（AAS），∴BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，∴OD＝AD+OA＝6，∴C（6，2）．故答案为：A．19．（2023•商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为（ ）A．（6，4）B．（4，3）C．（7，4）D．（8，6）【答案】C【解答】解：过A′作A'C⊥x轴于点C，由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，∴四边形O'BCA'为矩形，∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，∴OC＝OB+BC＝7，∴点A'坐标为（7，4）．故选：C．20．（2023•柘城县模拟）如图，平面直角坐标系中，A为第一象限一点，B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，将△OAB绕O点逆时针旋转30°，此时点A 的对应点A1的坐标为（ ）A．（3，）B．（，3）C．（2，2）D．（2，2）【答案】B【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1H⊥OB于H．∵B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，∴∠AOB＝30°，∠ABD＝60°，AB＝OB＝2，∴AD＝AB＝，∴OA＝2AD＝2，∵OA1＝OA＝2，∴△OAB绕点O逆时针旋转30°得到△OA1B1，则∠A1OH＝60°，∴OH＝OA1＝，A1H＝OH＝3，∴点A1的坐标是（，3），故选：B．21．（2023•大冶市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（ ）A．（4，3）B．（4，4）C．（5，3）D．（5，4）【答案】C【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．∵A（1，0），B（﹣2，4），∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3，∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，∴C（5，3），故选：C．【题型5 作图-旋转变换】22．（2023•蜀山区校级三模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）见解答．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示，P即为所求．23．（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；（2）将线段AB绕点A′顺时针旋转90°得到线段DE，画出线段DE．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求.（2）如图，线段DE即为所求．24．（2023春•崂山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为（1，2），请解答下列问题：（1）作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）计算△A1B1C1的面积．【答案】（1）见解析；【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积＝4×2﹣＝．25．（2022秋•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）．（1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．【答案】（1）图见解析，C1的坐标为（4，1）；（2）图见解析，点C2的坐标为（2，﹣5）．【解答】解：（1）△A1B1C1如图，点C1的坐标为（4，1）；（2）解：△A2B2C2如图；点C2的坐标为（2，﹣5）．【题型6 旋转对称图形】26．（2023•东方校级二模）将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）A．B．【答案】C【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确的是C选项图形．故选：C．27．（2023•宁江区三模）下列图形绕某点旋转90°后，能与原来图形重合的是（ ）A．B．【答案】B【解答】解：A、绕它的中心旋转60°才能与原图形重合，故本选项不合题意；B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项符合题意；C、绕它的中心旋转180°能与原图形重合，故本选项不合题意；D、绕它的中心旋转120°能与原图形重合，故本选项不合题意．故选：B．35．（2023•海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）A．45B．60C．72D．144【答案】C【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．28．（2023•南关区校级三模）如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）平方厘米．A．2B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵三个叶片的总面积为12平方厘米，∴一个叶片的总面积为4平方厘米，∵∠AOB＝120°，∴阴影部分的面积之和一个叶片的总面积为4平方厘米，故选：B．29．（2022春•丰县月考）如图，以点O为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，是旋转角可以为（ ）A．60°B．180°C．90°D．120°【答案】D【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，即可得到∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，所以旋转120°或240°后与原图形重合．故选：D．30．（2021春•子洲县期中）将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）A．90°B．120°C．180°D．270°【答案】B【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转90°所组成，故最小旋转角为90°．则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．故这个角不能是120°．故选：B．31．（2022秋•澄海区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为　72　度时，旋转后的五角星能与自身重合．【答案】见试题解答内容【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°．故答案为：72．【题型7 旋转中周期性问题】32．（2023•渠县校级模拟）如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形OA2023B2023C2023．若点A的坐标为（1，0），则点B2023的坐标为（ ）A．（1，﹣1）B．C．D．（﹣1，1）【答案】C【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，∴B（1，1），连接OB，如图：由勾股定理得：，由旋转的性质得：，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴，B 2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B 6（1，﹣1），…，发现是8次一循环，则2023÷8＝252…7，∴点B2023的坐标为；故选：C．33．（2023春•中原区校级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故选：B．34．（2023•叶县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x 轴上，点B（3，0），点D（1，2），将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，当第2023次旋转结束时，点C的坐标是（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【答案】D【解答】解：由题可知，将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，∴每旋转4次则回到原位置，∵2023÷4＝505……3，∴第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了90°，∵点B（3，0），点D（1，2），∴C（3，2），∴第2023次旋转结束时，点C的坐标是（3，﹣2），故选：D．35．（2023春•迁安市期中）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点A′作x轴的垂线，垂足为C，如图所示：由A的坐标为可知：，AB＝3，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°，，由旋转性质可知：△AOB≌△A′OB′，∴∠A′OB′＝∠AOB＝60°，OA′＝OA，∴∠A′OC＝180°﹣∠A′OB′﹣∠AOB＝60°，在△A′OC与△AOB中：，∴△A′OC′≌△AOB（AAS），∴，A′C＝AB＝3，∴此时点A′对应坐标为，当第二次旋转时，如所示：此时A′点对应点的坐标为．当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为，当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为，当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为．第6次旋转时，与A点重合．故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．由于2023÷6＝337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，故第2023次旋转时，A点的对应点为．故选：D．36．（2023•太康县一模）如图，平面直角坐标系中，有一个矩形ABOC，边BO 在x轴上，边OC在y轴上，AB＝1，BO＝2．将矩形ABOC绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形A1B1OC1，再将矩形A1B1OC1，绕着点C1顺时针旋转90°得到矩形A2B2O1C1，依次旋转下去，则经过第2023次旋转，点A的对应点的坐标是（ ）A．（3033，1）B．（3033，2）C．（3033，0）D．（3032，0）【答案】C【解答】解：由题意，A1（1，2），A2（3，0），A3（3，0），A4（4，1），……，四次应该循环，∵2023÷4＝505…3，∴A2023在x轴上，坐标为（505×6+3，0），即（3033，0）．故选：C．37．（2023•鲁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转后，点B的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥y轴于H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝1，OH＝OA+AH＝3，由勾股定理得BH＝＝，∵AB＝OA＝2，∠OAB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2BH＝2，∴B（，3），B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），....，6次一个循环，∴2023÷6＝337……1，∴第2023次旋转后，点B的坐标为（﹣，3）．故选：D．38．（2023•阜新模拟）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点P的坐标为（ ）A．（6070，2）B．（6072，2）C．（6073，2）D．（6074，1）【答案】C【解答】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2024÷4＝506，P2024的纵坐标与P4相同为2，横坐标为1+12×506＝6073，∴P2024（6073，2）．故选：C．。

16/9/21 旋转构图，聚拢条件（1）姓名：1.正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

例1.图1-1，设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB的度数解：将△APC绕A点逆时针旋转60°，使得AC与AB重合并连接PP’，2.正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

例2.如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求∠APB的度数。

A BCPD图2-13.等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=900, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

例3．如下图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠BPC的度数。

解：练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，（1）按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），（2）分别求∠A′BC、OA+OB+OC的大小。

=>FCDA1.正三角形类型在正△ ABC 中，P 为' ABC 内一点，将△ ABP 绕A 点按逆时针方向旋转 60°，使得AB 与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA PB PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一例2.如图（2-1），P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点 A 、B C 的距离分别为图2-116/9/21旋转构图，聚拢条件（1）姓名:个厶P'CP 中，此时△ P'AP 也为正三角形。

在正方形 ABCD 中, P 为正方形 ABCD 内一点，将△ ABP 绕B 点按顺时针方向旋转 BA 与BC 重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的PA PB PC 三条线段集中于图（ 的厶CPP'中，此时△ BPP'为等腰直角三角形。

圈(2-bb? *PA=1, PB=2 PC=3 求/ APB 的度数。

區(1-l-a)图 fbbb)例1.图1-1 ,设P 是等边△ ABC 内的一点，PA=3 PB=4 , PC=5求/ APB 的度数解：将△ APC 绕A 点逆时针旋转60°,使得AC 与AB 重合并连接PP ,2.正方形类型90°,使得 2-1-b )中3.等腰直角三角形类型在等腰直角三角形△ ABC 中, / C=9（f , P 为厶ABC 内一点，将△ APC 绕C 点按逆时针方向 旋转9O 0，使得AC 与BC 重合。

经过这样旋转变化，在图（ 3-1-b ）中的一个厶P' CP 为等腰直角三角形。

例3.如下图，在△ ABC 中，/ ACB =900 求/ BPC 的度数。

解:练习: 在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AC=1, / ABC=30，点 0为 Rt △ ABC 内一点，连接 AO 、BO CQ 且 / AOC=/ C0B=B0A=120,（1 ）按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B 为旋转中心，将△ AOB 绕点B 顺时针方向旋转 60°，得到△ A O' B （得到A O 的对应点分别为点 A'、O ）, （2）分别求/ A BC OA+OB+O 的大小。

图形的旋转(30题)一、单选题1(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α< 55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于()A.80°B.85°C.90°D.95°【答案】B【分析】根据旋转可得∠B=∠ADB=∠ADE，再结合旋转角α=40°即可求解．【详解】解：由旋转性质可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故选：B．【点睛】本题考查了几何-旋转问题，掌握旋转的性质是关键．2(2023·天津·统考中考真题)如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是()A.∠CAE=∠BEDB.AB=AEC.∠ACE=∠ADED.CE=BD【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】根据题意，由旋转的性质，可得AB=AD，AC=AE，BC=DE，故B选项和D选项不符合题意，∠ABC=∠ADE∵∠ACE=∠ABC+∠BAC∴∠ACE=∠ADE+∠BAC，故C选项不符合题意，∠ACB=∠AED∵∠ACB=∠CAE+∠CEA∵∠AED=∠CEA+∠BED∴∠CAE=∠BED，故A选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE 以A 为中心顺时针旋转，点M 为射线BD 、CE 的交点．若AB =3，AD =1．以下结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③当点E 在BA 的延长线上时，MC =3-32；④在旋转过程中，当线段MB 最短时，△MBC 的面积为12．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】证明△BAD ≌△CAE 即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明∠DCM ∽∠ECA 得出MC 3=3-12，即可判断③；以A 为圆心，AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 的下方与⊙A 相切时，MB 的值最小，可得四边形AEMD 是正方形，在Rt △MBC 中MC =BC 2-MB 2=2+1，然后根据三角形的面积公式即可判断④．【详解】解：∵△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴BA =CA ,DA =EA ,∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD =∠ACE ，BD =CE ，故①正确；设∠ABD =∠ACE =α，∴∠DBC =45°-α,∴∠EMB =∠DBC +∠BCM =∠DBC +∠BCA +∠ACE =45°-α+45°+α=90°，∴BD ⊥CE ，故②正确；当点E 在BA 的延长线上时，如图所示∵∠DCM =∠ECA ，∠DMC =∠EAC =90°，∴∠DCM ∽∠ECA∴MC AC =CD EC ∵AB =3，AD =1．∴CD =AC -AD =3-1，CE =AE 2+AC 2=2∴MC 3=3-12∴MC =3-32，故③正确；④如图所示，以A 为圆心，AD 为半径画圆，∵∠BMC =90°，∴当CE 在⊙A 的下方与⊙A 相切时，MB 的值最小，∠ADM =∠DAE =∠AEM =90°∴四边形AEMD 是矩形，又AE =AD ，∴四边形AEMD 是正方形，∴MD =AE =1，∵BD =EC =AC 2-AE 2=2，∴MB =BD -MD =2-1，在Rt △MBC 中，MC =BC 2-MB 2∴PB 取得最小值时，MC =AB 2+AC 2-MB 2=3+3-2-1 2=2+1∴S △BMC =12MB ×MC =122-1 2+1 =12故④正确，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．4(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，已知等腰直角△ABC ，∠ACB =90°，AB =2，点C 是矩形ECGF 与△ABC 的公共顶点，且CE =1，CG =3；点D 是CB 延长线上一点，且CD =2．连接BG ，DF ，在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG 达到最长和最短时，线段DF 对应的长度分别为m 和n ，则m n的值为()A.2B.3C.10D.13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得AC=BC=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得BG=4，DG=5，根据勾股定理求得DF=26，即m=26，当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则BG=2，DG=1，根据勾股定理求得DF=2，即n =2，即可求得mn=13．【详解】∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2，∴AC=BC=AB⋅sin45°=2×22=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=BC+CG=4，DG=DB+BG=5，在Rt△DGF中，DF=DG2+GF2=52+12=26，即m=26，当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=CG-BC=2，DG=BG-DB=1，在Rt△DGF中，DF=DG2+GF2=12+12=2，即n=2，故mn=262=13，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键．二、填空题5(2023·江苏连云港·统考中考真题)以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为°．【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到∠DCF的度数，进而得出旋转的角度．【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠DCF=360°÷5=72°，∴新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则旋转的最小角度是72°，故答案为：72．【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．6(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC 绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，且∠OAC =100°，则四边形ABOC旋转的角度是．【答案】75°【分析】根据角平分线的性质可得∠BAO=∠OAC=25°，根据旋转的性质可得∠BAC=∠B AC =50°，∠B AO =∠O AC =25°，求得∠OAO =75°，即可求得旋转的角度．【详解】∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC=50°，∴∠BAO=∠OAC=25°，∵将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，∴∠BAC=∠B AC =50°，∠B AO =∠O AC =25°，∴∠OAO =∠OAC -∠O AC =100°-25°=75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．7(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为．【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到AC =AB 2+BC 2=10，然后证明出△ADE ∽△ABC ，得到AD AB =AE AC ，进而得到AD AE =AB AC ，然后证明出△ABD ∽△ACE ，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴AC =AB 2+BC 2=10∵DE ∥BC ∴∠ADE =∠ABC =90°，∠AED =∠ACB∴△ADE ∽△ABC∴AD AB =AE AC ∴AD AE =AB AC∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD∴∠BAD =∠CAE∴△ABD ∽△ACE∴BD CD =AB AC =810=45．故答案为：45．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知曲线C 1、C 2分别是函数y =-2x (x <0),y =k x(k >0,x >0)的图像，边长为6的正△ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧)，现将△ABC 绕原点O 顺时针旋转，当点B 在曲线C 1上时，点A 恰好在曲线C 2上，则k 的值为．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可(画△AOB 即可)，当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，根据△ABC 为等边三角形且AO ⊥BC ，可得OB OA =13，过点A 、B 分别作x 轴垂线构造相似，则△BFO ∽OEA ，根据相似三角形的性质得出S △AOE =3，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解．【详解】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，∵△ABC 为等边三角形且AO ⊥BC ，则∠BAO =30°，∴tan ∠BAO =tan30°=OB OA=33，如图所示，过点A ,B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点E ,F ，∵AO ⊥BO ，∠BFO =∠AEO =∠AOB =90°，∴∠BOF=90°-∠AOE=∠EAO，∴△BFO∽OEA，∴S△BFOS△AOE=OBOA2=13，∴S△BFO=-22=1，∴S△AOE=3，∴k=6．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9(2023·辽宁·统考中考真题)如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．【答案】3【分析】连接CF，BF，BF，CD交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF垂直平分CF，∠ABF=60°为定角，可得点F在射线BF上运动，当AF⊥BF时，AF最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF，BF，BF，CD交于点P，如图，∵∠DCE=90°，点F为DE的中点，∴FC=FD，∵∠E=30°，∴∠FDC=60°,∴△FCD是等边三角形，∴∠DFC=∠FCD=60°；∵线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，∴BC=BD，∵FC=FD，∴BF垂直平分CF，∠ABF=60°，∴点F在射线BF上运动，∴当AF⊥BF时，AF最小，此时∠FAB=90°-∠ABF=30°，∴BF=12AB=4；∵∠BFC=12∠DFC=30°，∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，∴BC=12BF=2，∵PB=12BC=1，∴由勾股定理得PC=BC2-PB2=3，∴CD=2PC=23，∴S△BCD=12CD⋅PB=12×23×1=3；故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．10(2023·江西·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．【答案】90°或270°或180°【分析】连接AC，根据已知条件可得∠BAC=90°，进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接AC，取BC的中点E，连接AE，如图所示，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，∴BE=CE=12BC=AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE，∴AE=EC∠AEB=30°，∴∠EAC=∠ECA=12∴∠BAC=90°∴AC⊥CD，如图所示，当点P在AC上时，此时∠BAP=∠BAC=90°，则旋转角α的度数为90°，当点P在CA的延长线上时，如图所示，则α=360°-90°=270°当P在BA的延长线上时，则旋转角α的度数为180°，如图所示，∵PA=PB=CD，PB∥CD，∴四边形PACD是平行四边形，∵AC⊥AB∴四边形PACD是矩形，∴∠PDC=90°即△PDC是直角三角形，综上所述，旋转角α的度数为90°或270°或180°故答案为：90°或270°或180°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11(2023·上海·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α(0°<α< 180°)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连接AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=．【答案】110 3°【分析】如图，AB=AD，∠BAD=α，根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD=α，根据三角形的外角性质可得∠ADB=35°+α，即得∠B=∠ADB=35°+α，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB=AD，∠BAD=α，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=α，∵∠ADB=∠C+∠CAD=35°+α，AB=AD，∴∠B=∠ADB=35°+α，则在△ABC中，∵∠C+∠CAB+∠B=180°，∴35°+2α+35°+α=180°，解得：α=1103°；故答案为：110 3°【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB C ，若点B的对应点B 恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC 旋转到AC ，故C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ，如图所示．在直角△ABC 中，∠B =60°，则∠C =30°，则BC =2AB =2×3=6cm ．∴AC =BC 2-AB 2=62-32=33cm ．由旋转性质可知，AB =AB ，又∠B =60°，∴△ABB 是等边三角形．∴∠BAB =60°．由旋转性质知，∠CAC =60°．故弧CC 的长度为：60360×2×π×AC =π3×33=3πcm ；故答案为：3π【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．13(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则ADDC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB 是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD=52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB=AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF⊥AB，∴∠FDB=45°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF=BF，∵S△ADB=12×BC×AD=12×DF×AB，即AD=10DF，∵∠C=∠AFD=90°，∠CAB=∠FAD，∴△AFD∼△ACB，∴DF BC =AFAC，即AF=3DF，又∵AF=10-DF，∴DF=104，∴AD=10×104=52，CD=3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．14(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A BC ，延长C A 交直线BC于点D．则A D的长度为．【答案】4+23或4-23【分析】根据题意，先求得BC=23，当△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A B交A D于点E，当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°，过点D作DF⊥BC 交BC 于点F，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AM⊥BC于点M，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，∴AM=1AB=1，BM=CM=AB2-AM2=3,2∴BC=23，如图所示，当△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A B交A D于点E，∵∠BAC=120°，∴∠DA B=60°，∠A EB=30°，在Rt△A BE中，A E=2A B=4，BE=A E2-A B2=23，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，∵△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，∴∠ABA =45°，∴∠DBE=180°-90°-45°-30°=15°，∠A BD=180°-45°-30°=105°在△A BD中，∠D=180°-∠DA B-∠A BD=180°-60°-105°=15°,∴∠D=∠EBD，∴EB=ED=23，∴A D=A E+DE=4+23，如图所示，当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°，过点D作DF⊥BC 交BC 于点F，在△BFD中，∠BDF=∠CBC =45°，∴DF=BF在Rt△DC F中，∠C =30°FC'∴DF=33∴BC=BF+3BF=23∴DF=BF=3-3∴DC =2DF=6-23∴A D=C D-A C =6-23-2=4-23，综上所述，A D的长度为4-23或4+23，故答案为：4-23或4+23．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．15(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)一副三角板ABC 和DEF 中，∠C =∠D =90°，∠B =30°，∠E =45°，BC =EF =12．将它们叠合在一起，边BC 与EF 重合，CD 与AB 相交于点G (如图1)，此时线段CG 的长是，现将△DEF 绕点C (F )按顺时针方向旋转(如图2)，边EF 与AB 相交于点H ，连结DH ，在旋转0°到60°的过程中，线段DH 扫过的面积是．【答案】66-62；12π-183+18【分析】如图1，过点G 作GH ⊥BC 于H ，根据含30°直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出BH =3GH ，GH =CH ，然后由BC =12可求出GH 的长，进而可得线段CG 的长；如图2，将△DEF 绕点C 顺时针旋转60°得到△D 1E 1F ，FE 1与AB 交于G 1，连接D 1D ，AD 1，△D 2E 2F 是△DEF 旋转0°到60°的过程中任意位置，作DN ⊥CD 1于N ，过点B 作BM ⊥D 1D 交D 1D 的延长线于M ，首先证明△CDD 1是等边三角形，点D 1在直线AB 上，然后可得线段DH 扫过的面积是弓形D 1D 2D 的面积加上△D 1DB 的面积，求出DN 和BM ，然后根据线段DH 扫过的面积=S 弓形D 1D 2D +S △D 1DB =S 扇形CD 1D -S △CD 1D +S △D 1DB 列式计算即可．【详解】解：如图1，过点G 作GH ⊥BC 于H ，∵∠ABC =30°，∠DEF =∠DFE =45°，∠GHB =∠GHC =90°，∴BH =3GH ，GH =CH ，∵BC =BH +CH =3GH +GH =12，∴GH =63-6，∴CG =2GH =2×63-6 =66-62；如图2，将△DEF 绕点C 顺时针旋转60°得到△D 1E 1F ，FE 1与AB 交于G 1，连接D 1D ，由旋转的性质得：∠E 1CB =∠DCD 1=60°，CD =CD 1，∴△CDD 1是等边三角形，∵∠ABC =30°，∴∠CG 1B =90°，∴CG 1=12BC ，∵CE1=BC，∴CG1=12CE1，即AB垂直平分CE1，∵△CD1E1是等腰直角三角形，∴点D1在直线AB上，连接AD1，△D2E2F是△DEF旋转0°到60°的过程中任意位置，则线段DH扫过的面积是弓形D1D2D的面积加上△D1DB的面积，∵BC=EF=12，∴DC=DB=22BC=62，∴D1C=D1D=62，作DN⊥CD1于N，则ND1=NC=32，∴DN=D1D2-ND12=622-322=36，过点B作BM⊥D1D交D1D的延长线于M，则∠M=90°，∵∠D1DC=60°，∠CDB=90°，∴∠BDM=180°-∠D1DC-∠CDB=30°，∴BM=12BD=32，∴线段DH扫过的面积=S弓形D1D2D +S△D1DB，=S扇形CD1D -S△CD1D+S△D1DB，=60π⋅622360-12×62×36+12×62×32，=12π-183+18，故答案为：66-62，12π-183+18．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30°直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点D1在直线AB上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．三、解答题16(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)∠AEF=90°，证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC=α=∠C，可得DE=DC，等量代换得到DM=DC即可；(2)延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，设DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，证明△ABF≅△ACH SAS，得到AF=AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE-∠C=α，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DM=DC，即D是MC的中点；(2)∠AEF=90°；证明：如图2，延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，∵DF=DC，∴DE是△FCH的中位线，∴DE∥CH，CH=2DE，由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∴∠FCH=2α，∵∠B=∠C=α，∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACH，AB=AC，设DM=DE=m，CD=n，则CH=2m，CM=m+n，∴DF=CD=n，∴FM=DF-DM=n-m，∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n，∴BF=BM-FM=m+n-n-m=2m，∴CH=BF，在△ABF和△ACH中，AB=AC∠B=∠ACH BF=CH，∴△ABF≅△ACH SAS，∴AF =AH ，∵FE =EH ，∴AE ⊥FH ，即∠AEF =90°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．17(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M ，N 分别是斜边DE ，AB 的中点，DE =2,AB =4．(1)将△CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将△CDE 绕顶点C 逆时针旋转120°(如图2)，求MN 的长．【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线，得出CM ,CN 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；(2)过点N 作NP ⊥MC ，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得∠MCN =120°，进而得出∠NCP =60°，进而可得CP =1，勾股定理解Rt △NCP ,Rt △MCP ，即可求解．【详解】(1)解：依题意，CM =12DE =1，CN =12AB =2，当M 在NC 的延长线上时，M ,N 的距离最大，最大值为CM +CN =1+2=3，当M 在线段CN 上时，M ,N 的距离最小，最小值为CN -CN =2-1=1；(2)解：如图所示，过点N 作NP ⊥MC ，交MC 的延长线于点P ，∵△CDE 绕顶点C 逆时针旋转120°，∴∠BCE =120°，∵∠BCN =∠ECM =45°，∴∠MCN =∠BCM -∠ECM =∠BCE =120°，∴∠NCP =60°，∴∠CNP =30°，∴CP =12CN =1，在Rt △CNP 中，NP =NC 2-CP 2=3，在Rt △MNP 中，MP =MC +CP =1+1=2，∴MN =NP 2+MP 2=3+4=7．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．18(2023·四川达州·统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5+5π2【分析】(1)先作出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1，B 1、C 1，然后顺次连接即可；(2)先作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90度的对应点A 2，B 2，然后顺次连接即可；(3)证明△ABC 为等腰直角三角形，求出S △ABC =12AB ×BC =52，S 扇形CAA 2=90π×10 2360=5π2，根据旋转过程中△ABC 扫过的面积等于△ABC 的面积加扇形CAA 1的面积即可得出答案．【详解】(1)解：作出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1，B 1、C 1，顺次连接，则△A 1B 1C 1即为所求，如图所示：(2)解：作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90度的对应点A 2，B 2，顺次连接，则△A 2B 2C 2即为所求，如图所示：(3)解：∵AB =12+22=5，AC =32+12=10，BC =12+22=5，∴AB =BC ，∵5 2+5 2=10=10 2，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴S △ABC =12AB ×BC =52，根据旋转可知，∠ACA 2=90°，∴S 扇形CAA 2=90π×10 2360=5π2，∴在旋转过程中△ABC 扫过的面积为S =S △ABC +S 扇形CAA 2=5+5π2．【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．19(2023·辽宁·统考中考真题)在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上(不与点A ,B 重合)，连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l ⊥BC ，过点E 作EF ⊥l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．【答案】(1)EF=22AD(2)见解析(3)59或17 9【分析】(1)可先证△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根据锐角三角函数，可得到BE和EF的数量关系，进而得到线段AD与线段EF的数量关系．(2)可先证△ACD≌△GEC，得到DA=CG，进而得到CG+BD=DA+BD=AB，问题即可得证．(3)分两种情况：①点D在线段AB上，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N，过点E作EM垂直于BC，交BC于点M，设EF=a，利用勾股定理，可用含a的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,设EF=b，可证△CDA≌△CEB，进一步证得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用含b的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案【详解】(1)解：EF=22 AD．理由如下：如图，连接BE．根据图形旋转的性质可知CD=CE．由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，∵CD为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，∴∠BCD=45°，AD=BD．又∠DCE=90°，∴∠BCE=45°．在△BCD和△BCE中，CD =CE∠BCD =∠BCEBC =BC∴△BCD ≌△BCE ．∴BD =BE ，∠CBE =∠CBD =45°．∴∠EBF =45°．∴EF =BE ·sin ∠EBF =22BE ．∴EF =22AD ．(2)解：∵CO 为等腰直角三角形△ABC 斜边AB 上的中线，∴AO =BO ．∵∠ACD +∠DCB =∠BCE +∠DCB =90°，∴∠ACD =∠BCE ．∵BC ⊥l ，EF ⊥l ，∴BC ∥EF ．∴∠G =∠OCB =45°，∠GEC =∠BCE ．∴∠G =∠A ，∠ACD =∠GEC ．在△ACD 和△GEC 中，∠ACD =∠GEC∠A =∠GCD =CE∴△ACD ≌△GEC ．∴DA =CG ．∴CG +BD =DA +BD =AB =2BC ．(3)解：当点D 在线段AB 延长线上时，不满足条件EF :BC =1:3，故分两种情况：①点D 在线段AB 上，如图，过点C 作CN 垂直于FG ，交FG 于点N ；过点E 作EM 垂直于BC ，交BC 于点M ．设EF =a ，则BC =AC =3a ．根据题意可知，四边形BFEM 和CMEN 为矩形，△GCN 为等腰直角三角形．∴EF =BM =a ，CM =NE =2a ．由(2)证明可知△ACD ≌△GEC ，∴AC =GE =3a ．∴NG =NC =a ．∴NC =EM =a ．根据勾股定理可知CE =EM 2+CM 2=2a 2+a 2=5a ，△CDE 的面积S 1与△ABC 的面积S 2之比S 1S 2=12CE 212BC 2=125a 2123a2=59②点D 在线段BA 的延长线上，过点E 作EJ 垂直于BC ，交BC 延长线于点J ,令EF 交AC 于点I ,连接BE ,由题意知，四边形FBJE ，FBCI 是矩形，∵∠DCE =∠ACB =90°∴∠DCE -∠ACE =∠ACB -∠ACE即∠DCA =∠ECB又∵CD =CE ，CA =CB∴△CDA ≌△CEB∴∠DAC =∠EBC而∠DAC =180°-∠CAB =180°-45°=135°∴∠EBC =135°∠EBJ =180°-∠EBC =45°∴△EBJ 是等腰直角三角形，EJ =BJ设EF =b ，则BC =IF =3b ，EJ =BJ =CI =b∴EI =EF +IF =4b Rt △CIE 中，CE =CI 2+EI 2=b 2+(4b )2=17b△CDE 的面积S 1与△ABC 的面积S 2之比S 1S 2=12CE 212BC 2=1217b 2123b2=179【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．20(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．【答案】问题解决(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)①见解析；②322πcm 问题拓展：83π-833cm 2【分析】问题解决(1)根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①分别作BB 和AA 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O ；②根据弧长公式求解即可；问题拓展，连接PA ，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA ，由旋转得∠PA B =30°，PA =PA =4，在Rt △PAM 和Rt △A DM 中求出A M 和DM 的长，可以求出S 阴影部分B DP =S 扇形B A P -S △ADP ，再证明△ADP ≌△A DP ，即可求出最后结果．【详解】解：【问题解决】(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)①下图中，点O 为所求②连接OB ，OB ，∵扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A B C 的位置，∴∠BOB =90°，OB =OB ,∵BB =6cm ，设OB =OB =xcm ，∴x 2+x 2=62，∴OB =OB =32cm ，在旋转过程中，点B 经过的路径长为以点O 为圆心，圆心角为90°，OB 为半径的所对应的弧长，∴点B 经过的路径长=90×π×32180=322πcm ；【问题拓展】解：连接PA ，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA 如图所示∴∠PAC=12∠BAC=30°．由旋转得∠PA B =30°，PA=PA =4．在Rt△PAM中，A M=PM=PA⋅sin∠PAM=4×sin30°=2．在Rt△A DM中，∵∠DA M=12∠B A C =30°，∴A D=A Mcos∠DA M =2cos30°=433，DM=12A D=12×433=233．∴S△A DP =12DM⋅A P=12×233×4=433．S扇形B A P =30×π×42360=43π．∴S阴影部分B DP =S扇形B A P-S△A DP=43π-433，在△ADP和△A DP中，∵AD=AM-DM=23-233=433=A D，又∵∠PAD=∠PA D=30°，PA=PA ，∴△ADP≌△A DP．又∵S扇形PAC =S扇形B A P，∴S阴影部分B DP =S阴影部分CDP，∴S阴影部分=2S阴影部分B DP=2×43π-433=83π-833cm2．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．21(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB =12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB 边上的高CH 的长．(2)P 是边AB 上的一动点，点C ,D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA 上时，求BP 的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP 的长．【答案】(1)8(2)①BP =347；②BP =6或8±2【分析】(1)利用正弦的定义即可求得答案；(2)①先证明△PQC ≌△CHP ，再证明△AQC ∽△AHC ，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：C 为直角顶点；第二种：A 为直角顶点；第三种，D 为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】(1)在▱ABCD 中，BC =AD =10，在Rt △BCH 中，CH =BC sin B =10×45=8．(2)①如图1，作CH ⊥BA 于点H ，由(1)得，BH =BC 2-CH 2=6，则AH =12-6=6，作C Q ⊥BA 交BA 延长线于点Q ，则∠CHP =∠PQC =90°，∴∠C PQ +∠PC Q =90°．∵∠C PQ +∠CPH =90°∴∠PC Q =∠CPH ．由旋转知PC =PC ，∴△PQC ≌△CHP ．设BP =x ，则PQ =CH =8,C Q =PH =6-x ,QA =PQ -PA =x -4．∵C Q ⊥AB ,CH ⊥AB ，∴C Q ∥CH ，∴△AQC ∽△AHC ，∴C Q CH =QA HA ，即6-x 8=x -46，∴x =347，∴BP =347．②由旋转得△PCD ≌△PC D ,CD =C D ，CD ⊥C D ，又因为AB ∥CD ，所以C D ⊥AB ．情况一：当以C 为直角顶点时，如图2．∵C D ⊥AB ，∴C 落在线段BA 延长线上．∵PC ⊥PC ，∴PC ⊥AB ，由(1)知，PC =8，∴BP =6．情况二：当以A 为直角顶点时，如图3．设C D 与射线BA 的交点为T ，作CH ⊥AB 于点H ．∵PC ⊥PC ，∴∠CPH +∠TPC =90°，∵C D ⊥AT ，∴∠PC T +∠TPC =90°，∴∠CPH =∠PC T ．又∵∠CHP =∠PTC =90°,PC =C P ，∴△CPH ≌△PC T ，∴C T =PH ,PT =CH =8．设C T =PH =t ，则AP =6-t ，∴AT =PT -PA =2+t∵∠C AD =90°,C D ⊥AB ，∴△ATD ∽△C TA ，∴AT TD =CT TA ，∴AT 2=C T ⋅TD ，∴(2+t )2=ι12-t ，化简得t 2-4t +2=0，解得t =2±2，∴BP =BH +HP =8±2．情况三：当以D 为直角顶点时，点P 落在BA 的延长线上，不符合题意．综上所述，BP =6或8±2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．22(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD 中，点M 在边BC 上，点E 是AM 的中点，连接ED ，EC ．(1)求证：ED =EC ；(2)将BE 绕点E 逆时针旋转，使点B 的对应点B 落在AC 上，连接MB ′．当点M 在边BC 上运动时(点M 不与B ，C 重合)，判断△CMB ′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB =1，当∠DEB ′=45°时，求BM 的长．【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)BM =2-3【分析】(1)根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出△EAD ≌△EBC ，即可证得结论；(2)由旋转的性质得EB =EB =AE =EM ，从而利用等腰三角形的性质推出∠MB C =90°，再结合正方形对角线的性质推出B M =B C ，即可证得结论；(3)结合已知信息推出△CME ∽△AMC ，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．【详解】(1)证：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =∠ABC =90°，AD =BC ，∵点E 是AM 的中点，∴EA =EB ，∴∠EAB =∠EBA ，∴∠BAD -∠EAB =∠ABC -∠EBA ，即：∠EAD =∠EBC ，在△EAD 与△EBC 中，EA =EB∠EAD =∠EBCAD =BC∴△EAD ≌△EBC SAS ，∴ED =EC ；。

------------------------------------------精品文档-------------------------------------图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）．边上D．以上都有可能A．内部B．外部C落A逆时针旋转，使点C，BC=3，将△ABC绕点2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4 ）处，则B、D两点间的距离为（在线段AB上的点E处，点B落在点D2C．3 AD．B．．2∥，使得AFABC绕点A逆时针旋转得到△AEF3．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△），则线段CD的长为（BC，延长BC交AE于点D7D．5 C．6 A．4 B．．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，4 ）的是（且有一个旋转角为则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，60°．正十边形C．正六边形DA．正三角形B．正方形）5．下面生活中的实例，不是旋转的是（．螺旋桨的运动A．传送带传送货物B ．自行车车轮的运动C．风车风轮的运动D轴的x，将正方形ABCD6沿．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD轴围成x轴上时，点A运动的路线与正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x ）的图形的面积和为（9题题 6 题7 6 πD．6π++πB．2π+2 C．3π+3A．π∠A=2OCD，若∠，得到△?．（2016松北区模拟）如图，将△OAB 绕点O逆时针旋转80°7 ）αD=100°，则∠的度数是（° D．30°C．50A．° B60°．40．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少8 ）是（°90D°．270B°．A360 ．°C180 ．第211页（共页）9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）．D．．CBA．3 410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60° B．120° C．180° D．360°二．填空题（共6小题），使得BA′，C顺时针旋转∠α得到△CB′11．将等边△CBA绕点．α三点在同一直线上，如图所示，则∠的大小是______C，A′题11题12题13，AB，若DA⊥AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD12．如图，点C为线段．BC的长为AD=1______，，则，′C′顺时针旋转90°，得到△AB．13如图，将Rt△ABC绕直角顶点A的度数是则∠C′，若∠1=25°，连结BB．______，∠ABC中，∠C=90°．14如图，在△若BC边上，DB=2CD，B=55°，点D在＜针旋转α度（0将△ABC绕点D逆时落在初始位置时恰好后，点B180α＜）．等于______△ABC的边上，则α．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______P），△MNP和△MNN．在平面直角坐标系中，点16P（1，1），（2，0111是关于某一点中心对称，则对称中P与△MNMNP 的顶点都在格点上，△111______．心的坐标为小题）三．解答题（共8，，ABAC上，CE=BC，连接CD，ACB=90Rt17．如图，在△ABC中，∠°，点DE分别在EF．，连接90CD将线段绕点C按顺时针方向旋转°后得CF ）补充完成图形；（1 °BDC=90．，求证：∠∥）若（2EFCD第212页（共页）的位置如图所示（每个小方格都ABC18．在平面直角坐标系中，△．1个单位长度的正方形）是边长为个单位，画出平移后得到的△6x轴方向向左平移（1）将△ABC沿；BCA111，C画出旋转后得到的△AB顺时针旋转90°，（2）将△ABC绕着点A22的坐标．、C并直接写出点B22的端点和DE中，每个小正方形的边长均为1，线段AB19．如图，在平面直角坐标系xOy E均在小正方形的顶点上．B、D、A、必须在小正CRt△ABC，顶点（1）画出以AB为一边且面积为2的方形的顶点上；，顶DEF内角且面积为的△（2）画出一个以DE为一边，含有45°必须在小正方形的顶点上；点FQF°后与点重合，请直接写出点）若点C绕点Q顺时针旋转90（3 的坐标．，b外部，则∠1上，点P在a，∥，直线ab，A，B两点分别在直线a，b．20（1）如图（1）3之间有何数量关系？证明你的结论；∠2，∠ 1；，∠3=30°，求∠，点P在直线a，b直角，∠2=50°∥（2）如图（2），直线ab，）如图（3于点a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线bM，）（3）在图（2中，将直线∠3的度数．+°，∠4=40°，求∠2若∠1=100（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．21．，，PB=1是△ABC内的一点，且PA=3，1如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BCP 的度数．PC=2，求∠BPC，，且使CE=CP作的位置（即过CCE⊥CPCBEAPC小强在解决此题时，是将△绕C旋转到△．你知道小强是怎么解决的EB）连接EP、吗？2）请根据（1）的思想解决以下问题：（内一点，是等边△ABC所示，设如图2P PC=5，求∠APB的度数．，，PA=3PB=43第页（共21页）22．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：222，很快找到了）AD所在的直线对折得到△ADF（如图2+BDCE=DE．某同学将△ABD沿解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC 交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．第4页（共21页）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016?玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠5，与的距离也是AB的值相等，所以D′与直线AB的交点到B′E=∠DEB=90°，求出E′点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=BC=5，，∴BE=5由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，=5，BG= ∴∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016?宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）第5页（共21页）23 D．．B．2 CA．长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理通过勾股定理计算出AB【分析】D两点间的距离．求出B、BC=3，，AC=4，【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB=5 处，B落在点DC落在线段AB上的点E处，点∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点，AE=4，DE=3∴，∴BE=1 中，△BED在Rt．=BD= ．故选：A解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，题目考查勾股定理和旋转的基本性质，【点评】特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．，逆时针旋转得到△AEF将△ABC绕点A中，朝阳）如图，△ABCAB=6，BC=4，．3（2016?）CD的长为（，延长BCBC交AE于点D，则线段使得AF∥76．D4 ．B．5 C．A，推出BDA【分析】即可解决问题．只要证明△BAC∽△=，求出BD ，∥BC【解答】解：∵AF ADB，FAD=∴∠∠ FAD，∵∠BAC=∠ ADB，∴∠BAC=∠，B=∠B∵∠，∽△BDABAC∴△=，∴=∴，，∴BD=9 4=5，BC=9∴CD=BD ﹣﹣．故选B216第页（共页）【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016?莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016?呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD2016?，将正6．（方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）3π+3π D．6．2π+2 C．π+6BAπ．+π【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C为圆心，CC为半径，圆心角为90°的11弧；然后以D点为圆心，DA为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围222成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．第7页（共21页）【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C为圆心，CC为半径，圆心角为90°的弧；然后以D点为圆心，211DA为半径，圆心角为90°的弧，22所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和×=2π+22××，=×2 ++所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50° B．60° C．40° D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．第8页（共21页）8．（2016?和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360° B．270° C．180° D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春?雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）．D．3 B4．CA．【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，=3．′∴PP故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015?浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60° B．120° C．180° D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）第9页（共21页）三点A′B，C，顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得C11．（2016?邵阳）将等边△CBA绕点．的大小是120°在同一直线上，如图所示，则∠α【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．ABC是等边三角形，【解答】解：∵三角形°，∴∠ACB=60 ′三点在同一直线上，C，A′A′，使得B，CB∵等边△CBA绕点C 顺时针旋转∠α得到△，，∠°B'CA'=60°∴∠BCA'=180 ，∴∠ACB'=60°，°=120°∴∠α=60°+60 ．故答案为：120°对应点与旋转中心的连线段的旋转前后的两个图形全等，【点评】本题考查了旋转的性质：夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转，得到线CCB绕点高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段12．（2016?．，则BC的长为CD，若DA⊥AB，AD=1 ，段【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：222BD=，AD=1，AB=BD﹣AD，而∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：222，4﹣λ）=1λ+（解得：．．故答案为【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016?海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．第10页（共21页）是等腰直角三角形，根据等腰ABB′根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△【分析】，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角=45°直角三角形的性质可得∠ABB′A．′C′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B的和求出∠B′′，AB′C绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△【解答】解：∵Rt△ABC ，∴AB=AB′是等腰直角三角形，∴△ABB′，′=45°∴∠ABB ，=70°+′=25°45°∴∠AC′B′=∠1+∠ABB ．=70°∠AC′B′由旋转的性质得∠C= ．70°故答案为：三角形的一个外角等于与等腰直角三角形的判定与性质，【点评】本题考查了旋转的性质，它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．，边上，DB=2CDD在BC，C=90°，∠B=55°点中，．14（2016?太原二模）如图，在△ABC∠的ABC）后，点B恰好落在初始位置时△＜α度（0α＜180若将△ABC绕点D逆时针旋转．或120边上，则α等于70，即可DB∠°点落在AB上时，求出∠B=①【分析】根据题意画出符合的两种情况，当B的度数，DB，即可求出∠B′DC当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′②B求出∠′DB；即可得出答案．，上时，点落在AB如图1当【解答】解：分为两种情况：①B ，∵根据旋转的性质得出DB=DB′B=55°，∵∠ B=55∠°，B=DB∴∠′页（共第1121页）∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；，2 点落在AC上时，如图②当B如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016?怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016?瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△MNP111的顶点都在格点上，△MNP与△MNP是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，111 1）．第12页（共21页），并细心观察坐标轴就可以得0）N（2，根据中心对称的性质，知道点P（1，1），【分析】到答案．），（2，0（1，1），N【解答】解：∵点P ，，1）3，2），P（1，0），M（，2），N（23∴由图形可知M（111∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，，，1）∴对称中心的坐标为（2 ．，1）故答案为：（2180本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转【点评】以及中心对称那么这个图形就叫做中心对称图形．度，旋转后的图形能和原图形完全重合，关于中心对称的两个图形，对应②①关于中心对称的两个图形能够完全重合；的性质：点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．小题）三．解答题（共8，上，CE=BC分别在EAB，ACABC中，∠ACB=90°，点D，?17．（2016荆门）如图，在Rt△ EF．°后得CF，连接连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90 1）补充完成图形；（．，求证：∠CDBDC=90°（2）若EF∥）根据题意补全图形，如图所示；【分析】（1SAS为直角，利用平行，得到∠EFC为直角，由）由旋转的性质得到∠DCFEF与CD（2 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．与三角形EFC得到三角形BDC 1）补全图形，如图所示；（【解答】解：°，（2）由旋转的性质得：∠DCF=90 ，°+∠ECF=90∴∠DCE ，∵∠ACB=90°，BCD=90°∴∠DCE+∠ BCD，∴∠ECF=∠，∥∵EFDC °，DCF=180∴∠EFC+∠，∴∠EFC=90°2113第页（共页）在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016?丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△ABC；111（2）将△ABC 绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△ABC，并直接写出点B、222C的坐标．2【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A、B、C的坐标，然后描点111即可得到△ABC；111（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B、C，从而得到△ABC，再写2222出点B、C的坐标．22【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；111（2）如图，△ABC 即为所求，点B（4，﹣2），C（1，﹣3）．2222第14页（共21页）本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，【点评】找到对应由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，对应线段也相等，点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．，线中，每个小正方形的边长均为1?呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy19．（2016 均在小正方形的顶点上．D、EDE的端点A、B、AB段和必须在小正方形的顶点上；ABC，顶点C为一边且面积为2的Rt△AB（1）画出以必须在小正方形的FDEF45为一边，含有°，顶点内角且面积为的△（2）画出一个以DE 顶点上；的坐标．重合，请直接写出点Q90°后与点FQ（3）若点C绕点顺时针旋转）．（5，02）和（）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q【分析】（12=2；×2（【解答】1）S×=ABC△×；23=﹣×11）（2S=2×3﹣×DEF△，DFE=90°∵ED=EF，∠；FDE=45°∴∠）由勾股定理得：=FC=，（3FQ===CQ=，，222，，CQ=FQFC∴=CQ+FQ °，∴∠FQC=90 重合；°后与点FQ∴点C绕点顺时针旋转90 ．，50）（则点Q2115第页（共页）差先试求本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、【点评】同时根据勾股定理计算所成的三角某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；形是否为直角三角形或等腰直角三角形．Pb上，点两点分别在直线a，a∥b，A，B201620．（春?重庆期末）（1）如图（1），直线之间有何数量关系？证明你的结论；3，∠2，∠在a，b外部，则∠1 ；°，求∠1直角，∠2=50°，∠3=30，）如图（2），直线a∥b，点P在直线ab（2，）（3b于点M，如图（）在图2）中，将直线a绕点A 按逆时针方向旋转一定角度交直线（3 的度数．∠3°，求∠2+若∠1=100°，∠4=40，根据三角形外∠AOB于O，根据平行线的性质得出∠2=【分析】（1）设直线AP交直线b 3，即可得出答案；1+∠AOB=角性质求出∠∠，根据三角形的外角°ABO=∠2=50，根据平行线的性质得出∠）延长AP交直线b于O（2 ，代入求出即可；+∠3性质得出∠1=∠AOB，∠AOB1=∠3+，，O根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4∠交直线3（）延长APb于，代入求出即可．+4∠3求出∠1=∠2+∠【解答】3，2=∠1+∠1（）∠，如图O1，交直线证明：设直线APb于b，∵直线a∥直线∠2=AOB，∴∠页（共第1621页）∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋?五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．222即可解决°；证明∠CPE=45°=PE）如图1，首先证明BE+PB，得到∠BPE=90【分析】（1 问题．222，PQC=90°得到∠其次证明PQ+CQ=PC，°2（）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60；°，即可解决问题．求出∠AQC=150 °PCE=90（1）如图1，由题意得：∠【解答】解：；PC=EC=2；BE=PA=3222 =8；由勾股定理得：PE=2+222，∵PB=1，BE=9222∴BE=PEPB，+，∴∠BPE=90°CPE=45°，∵∠．°∴∠BPC=135 ；的位置，连接到△60AABP22（）如图，将△绕点逆时针旋转°ACQPQ页（共17第21页）则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；222222∵PQ+CQ=3+4=25，PC=5=25，222∴PQ+CQ=PC，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋?苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：222BD+CE=DE．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，第18页（共21页）∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．222在Rt△DFE中，DF+FE=DE，222∴BD+CE=DE．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋?利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，第19页（共21页）∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋?江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN 于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．第20页（共21页）（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．中，，ADC和△CEB在△≌△CEB，∴△ADC ，DC=BE，∴AD=CE AD；CE=BE∴DE=DC++中，ADC和△CEB，）证明：在△（2∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．第21页（共21页）。

《图形的旋转》练习题一、判断题1、图形的旋转是图形沿着某个点旋转一定的角度。

（）2、图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定的。

（）3、图形的旋转改变了图形的形状和大小。

（）4、图形的旋转不改变图形的形状和大小。

（）5、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形重合，那么这个图形就被旋转对称了。

（）6、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形不重合，那么这个图形就不是旋转对称的。

（）7、旋转对称图形是旋转对称的。

（）8、旋转对称的图形是旋转对称的。

（）9、一个图形如果和另一个图形是旋转对称的，那么这两个图形一定也是轴对称的。

（）10、一个图形如果和另一个图形是轴对称的，那么这两个图形一定是旋转对称的。

（）二、填空题1、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形运动称为__________。

2、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

3、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

4、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

5、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

6、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

7、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

8、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

9、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

10、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。

《图形的平移与旋转》复习全攻略【介绍】《图形的平移与旋转》是初中数学中的重要一课，它涉及到平面几何的基本概念和变换方法。

在这篇复习全攻略中，我们将一起回顾图形的平移和旋转的基本概念、考点、解题技巧以及难点解析，帮助大家充分掌握这一课的内容。

图形的旋转经典题一．选择题〔共10小题〕1．把一副三角板按如图放置，其中∠∠90°，∠45°，∠30°，斜边10，假设将三角板绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，那么点A在△D′E′B的〔〕A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能2．如图，在△中，∠90°，4，3，将△绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，那么B、D两点间的距离为〔〕A．B．2C．3 D．23．如图，△中，6，4，将△绕点A逆时针旋转得到△，使得∥，延长交于点D，那么线段的长为〔〕A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度〔小于周角〕后能和自身重合，那么称此图形为旋转对称图形．以下图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是〔〕A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是〔〕A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形，将正方形沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x 轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为〔〕6题 7题9题A．π+π B．2π+2 C．3π+3πD．6π+6 7．〔2021•松北区模拟〕如图，将△绕点O逆时针旋转80°，得到△，假设∠2∠100°，那么∠α的度数是〔〕A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是〔〕A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△是等腰直角三角形，是斜边，将△绕点A逆时针旋转后，能与△′重合，3，那么′的长度是〔〕A．3 B．C．D．410．等边三角形绕着它的中心，至少旋转〔〕度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题〔共6小题〕11．将等边△绕点C顺时针旋转∠α得到△′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如下图，那么∠α的大小是．11题 12题13题12．如图，点C为线段上一点，将线段绕点C旋转，得到线段，假设⊥，1，，那么的长为．13．如图，将△绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△′C′，连结′，假设∠1=25°，那么∠C的度数是．14．如图，在△中，∠90°，∠55°，点D在边上，2，假设将△绕点D逆时针旋转α度〔0＜α＜180〕后，点B恰好落在初始位置时△的边上，那么α等于．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为，旋转角为．16．在平面直角坐标系中，点P〔1，1〕，N〔2，0〕，△和△M1N1P1的顶点都在格点上，△与△M1N1P1是关于某一点中心对称，那么对称中心的坐标为．三．解答题〔共8小题〕17．如图，在△中，∠90°，点D，E分别在，上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转90°后得，连接．〔1〕补充完成图形；〔2〕假设∥，求证：∠90°．18．在平面直角坐标系中，△的位置如下图〔每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形〕．〔1〕将△沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；〔2〕将△绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．〔1〕画出以为一边且面积为2的△，顶点C必须在小正方形的顶点上；〔2〕画出一个以为一边，含有45°内角且面积为的△，顶点F 必须在小正方形的顶点上；〔3〕假设点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．20．〔1〕如图〔1〕，直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，那么∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；〔2〕如图〔2〕，直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；〔3〕在图〔2〕中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图〔3〕，假设∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．〔1〕在一次数学探究活动中，陈教师给出了一道题．如图1，△中，∠90°，，P是△内的一点，且3，1，2，求∠的度数．小强在解决此题时，是将△绕C旋转到△的位置〔即过C作⊥，且使，连接、〕．你知道小强是怎么解决的吗？〔2〕请根据〔1〕的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△内一点，3，4，5，求∠的度数．22．如图1，在等腰直角△中，，∠90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从边开场绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线于点D，直角边所在的直线交直线于点E．操作一：在线段上取一点M，连接，旋转中发现：假设平分∠，那么也平分∠．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段、、之间存在如下等量关系：222．某同学将△沿所在的直线对折得到△〔如图2〕，很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图〔1〕所示，点C为线段上一点，△、△是等边三角形，直线、交于点E，直线、交于点F．〔1〕求证：；〔2〕将△绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图〔2〕中补出符合要求的图形，并判断〔1〕题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△中，∠90°，，直线经过点C，且⊥于D，⊥于E．〔1〕当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△≌△；②；〔2〕当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：﹣；〔3〕当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题〕1．〔2021•玉林〕把一副三角板按如图放置，其中∠∠90°，∠45°，∠30°，斜边10，假设将三角板绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，那么点A在△D′E′B的〔〕A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠′=45°，∠E′=∠90°，求出E′D′与直线的交点到B的距离也是5，与的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵10，又∵∠∠90°，∠45°，∠30°，∴5，5，由三角板绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B 与直线交于G，可知：∠′=45°，∠E′=∠90°，∴△′B是等腰直角三角形，且′5，∴5，∴，∴点A在△D′E′B的边上，应选C．【点评】此题考察了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．〔2021•宜宾〕如图，在△中，∠90°，4，3，将△绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，那么B、D两点间的距离为〔〕A．B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△中，∠90°，4，3，∴5，∵将△绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，∴4，3，∴1，在△中，．应选：A．【点评】题目考察勾股定理和旋转的根本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的根本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．〔2021•朝阳〕如图，△中，6，4，将△绕点A逆时针旋转得到△，使得∥，延长交于点D，那么线段的长为〔〕A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△∽△，推出=，求出即可解决问题．【解答】解：∵∥，∴∠∠，∵∠∠，∴∠∠，∵∠∠B，∴△∽△，∴=，∴=，∴9，∴﹣9﹣4=5，应选B．【点评】此题考察平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．〔2021•莆田〕规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度〔小于周角〕后能和自身重合，那么称此图形为旋转对称图形．以下图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是〔〕A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；应选：C．【点评】此题考察了旋转对称图形的知识，解答此题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．〔2021•呼伦贝尔校级一模〕下面生活中的实例，不是旋转的是〔〕A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．应选：A．【点评】此题考察了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．〔2021•无锡校级模拟〕如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形，将正方形沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为〔〕A．π+π B．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三局部，以B点为圆心，为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开场以B点为圆心，为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C 为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×22×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3〔2π+2〕=6π+6．应选D．【点评】此题考察了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．〔2021•松北区模拟〕如图，将△绕点O逆时针旋转80°，得到△，假设∠2∠100°，那么∠α的度数是〔〕A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠∠C，∠为旋转角等于80°，那么可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进展求解．【解答】解：∵将△绕点O逆时针旋转80°∴∠∠C∠80°∴∠80°﹣α∠100°∵∠2∠100°∴∠50°∵∠∠∠180°∴100°+50°+80°﹣α=180° 解得α=50°应选A【点评】此题主要考察了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决此题的关键．8．〔2021•和平区一模〕一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是〔〕A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．应选C．【点评】此题考察旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．〔2021春•雅安期末〕如图△是等腰直角三角形，是斜边，将△绕点A逆时针旋转后，能与△′重合，3，那么′的长度是〔〕A．3 B．C．D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进展计算即可．【解答】解：∵△′是由△绕点A逆时针旋转后得到的，∴△′≌△，∴′，∠∠′．∵∠90°，∴∠′=90°，故可得出△'是等腰直角三角形，又∵3，∴′=3．应选B．【点评】此题考察了旋转的性质，解答此题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．〔2021 •浠水县校级模拟〕等边三角形绕着它的中心，至少旋转〔〕度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．应选B【点评】此题考察了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．二．填空题〔共6小题〕11．〔2021•邵阳〕将等边△绕点C顺时针旋转∠α得到△′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如下图，那么∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形是等边三角形，∴∠60°，∵等边△绕点C顺时针旋转∠α得到△′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠'=180°，∠B''=60°，∴∠'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】此题考察了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．〔2021•高青县模拟〕如图，点C为线段上一点，将线段绕点C旋转，得到线段，假设⊥，1，，那么的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明〔设为λ〕；运用勾股定理求出的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得〔设为λ〕；由勾股定理得：22﹣2，而，1，∴4，4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+〔4﹣λ〕2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考察了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应结实掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的根底和关键．13．〔2021•海曙区一模〕如图，将△绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△′C′，连结′，假设∠1=25°，那么∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得′，然后判断出△′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠∠B′C′A．【解答】解：∵△绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△′C′，∴′，∴△′是等腰直角三角形，∴∠′=45°，∴∠′B′=∠1+∠′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠∠′B′=70°．故答案为：70°．【点评】此题考察了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．〔2021•太原二模〕如图，在△中，∠90°，∠55°，点D在边上，2，假设将△绕点D逆时针旋转α度〔0＜α＜180〕后，点B恰好落在初始位置时△的边上，那么α等于70或120 ．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在上时，求出∠∠°，即可求出∠B′；②当B点落在上时，根据题意求出∠B′，即可求出∠B′的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在上时，如图1，∵根据旋转的性质得出′，∵∠55°，∴∠′∠55°，∴∠B′180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在上时，如图2，如图，∵△绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′，∵2，∴B′2，∵∠90°，∴∠′30°，∴∠B′60°，∴∠B′180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】此题考察了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．〔2021•怀柔区二模〕如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝〔母〕的中心，旋转角为0°～360°的任意角〔答案不唯一〕．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝〔母〕的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝〔母〕的中，0°～360°的任意角〔答案不唯一〕【点评】此题考察了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于根底性题目，对此知识点的考察重点在于对旋转的性质的掌握．16．〔2021•瑞昌市一模〕在平面直角坐标系中，点P〔1，1〕，N 〔2，0〕，△和△M1N1P1的顶点都在格点上，△与△M1N1P1是关于某一点中心对称，那么对称中心的坐标为〔2，1〕．【分析】根据中心对称的性质，知道点P〔1，1〕，N〔2，0〕，并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P〔1，1〕，N〔2，0〕，∴由图形可知M〔3，0〕，M1〔1，2〕，N1〔2，2〕，P1〔3，1〕，∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为〔2，1〕，故答案为：〔2，1〕．【点评】此题考察中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题〔共8小题〕17．〔2021•荆门〕如图，在△中，∠90°，点D，E分别在，上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转90°后得，连接．〔1〕补充完成图形；〔2〕假设∥，求证：∠90°．【分析】〔1〕根据题意补全图形，如下图；〔2〕由旋转的性质得到∠为直角，由与平行，得到∠为直角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：〔1〕补全图形，如下图；〔2〕由旋转的性质得：∠90°，∴∠∠90°，∵∠90°，∴∠∠90°，∴∠∠，∵∥，∴∠∠180°，∴∠90°，在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴∠∠90°．【点评】此题考察了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．18．〔2021•丹东〕在平面直角坐标系中，△的位置如下图〔每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形〕．〔1〕将△沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；〔2〕将△绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】〔1〕利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；〔2〕利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：〔1〕如图，△A1B1C1即为所求；〔2〕如图，△2C2即为所求，点B2〔4，﹣2〕，C2〔1，﹣3〕．【点评】此题考察了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考察了平移变换．19．〔2021•呼兰区模拟〕如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．〔1〕画出以为一边且面积为2的△，顶点C必须在小正方形的顶点上；〔2〕画出一个以为一边，含有45°内角且面积为的△，顶点F 必须在小正方形的顶点上；〔3〕假设点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】〔1〕和〔2〕分别画出图形；〔3〕作的中垂线，得Q〔5，0〕．【解答】〔1〕S△×2×2=2；〔2〕S△2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵，∠90°，∴∠45°；〔3〕由勾股定理得：，，，∴222，，∴∠90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；那么点Q〔5，0〕．【点评】此题考察了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．〔2021春•重庆期末〕〔1〕如图〔1〕，直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，那么∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；〔2〕如图〔2〕，直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；〔3〕在图〔2〕中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图〔3〕，假设∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】〔1〕设直线交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠，根据三角形外角性质求出∠∠1+∠3，即可得出答案；〔2〕延长交直线b于O，根据平行线的性质得出∠∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠∠3，代入求出即可；〔3〕延长交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠∠2+∠4，∠1=∠3+∠，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】〔1〕∠2=∠1+∠3，证明：设直线交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠，∵∠∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；〔2〕解：延长交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠∠3=50°+30°=80°；〔3〕解：延长交直线b于O，如图3，∵∠∠2+∠4，∠1=∠3+∠，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】此题考察了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进展推理是解此题的关键．21．〔2021秋•五常市校级期中〕〔1〕在一次数学探究活动中，陈教师给出了一道题．如图1，△中，∠90°，，P是△内的一点，且3，1，2，求∠的度数．小强在解决此题时，是将△绕C旋转到△的位置〔即过C作⊥，且使，连接、〕．你知道小强是怎么解决的吗？〔2〕请根据〔1〕的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△内一点，3，4，5，求∠的度数．【分析】〔1〕如图1，首先证明222，得到∠90°；证明∠45°即可解决问题．〔2〕如图2，作旋转变换；首先证明∠60°；其次证明222，得到∠90°，求出∠150°，即可解决问题．【解答】解：〔1〕如图1，由题意得：∠90°2；3；由勾股定理得：2=22+22=8；∵2=1，2=9，∴222，∴∠90°，∵∠45°，∴∠135°．〔2〕如图2，将△绕点A逆时针旋转60°到△的位置，连接；那么，∠60°，4；∴△为等边三角形，∠60°，3；∵22=32+42=25，2=52=25，∴222，∴∠90°，∠60°+90°=150°，∴∠∠150°．【点评】该题主要考察了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．〔2021秋•苏州期中〕如图1，在等腰直角△中，，∠90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从边开场绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线于点D，直角边所在的直线交直线于点E．操作一：在线段上取一点M，连接，旋转中发现：假设平分∠，那么也平分∠．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段、、之间存在如下等量关系：222．某同学将△沿所在的直线对折得到△〔如图2〕，很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】〔1〕如图1，根据图形、条件推知∠∠∠∠45°，所以∠∠，即平分∠；〔2〕应用折叠对称的性质和得到△≌△，得出，∠∠45°．再证明∠90°．然后在△中应用勾股定理即可证明．【解答】〔1〕证明：如图1，∵∠90°，∴∠∠∠∠90°．∵∠45°，∴∠∠45°．∵∠∠，∴∠∠∠∠45°，∴∠∠∠∠，∴∠∠，即平分∠；〔2〕证明：如图2，连接．由折叠可知，∠∠，，，∠∠45°．∵∠∠，∴由〔1〕可知，∠∠．在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴，∠∠45°．∴∠∠∠90°．在△中，222，∴222．【点评】此题考察了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．〔2021秋•利川市校级期中〕如图〔1〕所示，点C为线段上一点，△、△是等边三角形，直线、交于点E，直线、交于点F．〔1〕求证：；〔2〕将△绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图〔2〕中补出符合要求的图形，并判断〔1〕题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】〔1〕根据等边三角形的性质利用判定△≌△，从而得到；〔2〕连接，，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用判定△≌△，从而得到．【解答】〔1〕证明：∵△、△是等边三角形，∴，，∠∠60°，∴∠∠120°，在△和△中，，∴△≌△，∴．〔2〕解：连接，，∵△、△是等边三角形，∴，，∠∠60°，∵∠90°，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△，∴．【点评】此题主要考察学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．〔2021秋•江西期末〕在△中，∠90°，，直线经过点C，且⊥于D，⊥于E．〔1〕当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△≌△；②；〔2〕当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：﹣；〔3〕当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】〔1〕由∠90°，得∠∠90°，而⊥于D，⊥于E，那么∠∠90°，根据等角的余角相等得到∠∠，易得△≌△，所以，，即可得到．〔2〕根据等角的余角相等得到∠∠，易得△≌△，得到，，所以﹣﹣．〔3〕、、具有的等量关系为：﹣．证明的方法与〔2〕一样．【解答】〔1〕证明：∵∠90°，∴∠∠90°，而⊥于D，⊥于E，∴∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠．在△和△中，，∴△≌△，∴，，∴；〔2〕证明：在△和△中，，∴△≌△，∴，，∴﹣﹣；〔3〕﹣．易证得△≌△，∴，，∴﹣﹣．【点评】此题考察了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考察了直角三角形全等的判定与性质．。

《图形的旋转》习题一.选择题1.下列图形中，绕某个点旋转90。

能与自身重合的有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形.A」个B.2个C.3个D.4个2.五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）3.下面的图形（1）-（4）,绕着一个点旋转120。

后，能与原来的位置重合的是（）O (1)△(2)☆(3)匚(4)A. (1),(4)B. (1),(3)C. (1),(2)D. (3),(4)4.在半面上有一个角是6（）。

的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A.90°B.1800C.270°D.36O05.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说:135%以上四位同学的回答中，错误的是（）A•甲BZC •丙D.TD.90°C.72°6.下面四个图案中，是旋转对称图形的是（）③②①A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题8._________________________________________________ 请写出一个既是轴对称图形又是旋转对称图形的图形 ________________________________________ .9.将等边三角形绕其对称中心0旋转后，恰好能与原来的等边三角形重合，那么旋转的角度至少是_____ .10.如图所示的五角星_____ 旋转对称图形.(填“是''或“不是")・☆11.给出下列图形：①线段、②平行四边形、③圆、④矩形、⑤等腰梯形，其中，旋转对称图形有_____ (只填序号).三、解答题12.如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120。

后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2, ZAOB=120°,则图中阴影部分的面积Z和为多少cn?.A13.如图，已知AD二AE, AB=AC.(1)求证：ZB=ZC；(2)若ZA=50°，问△ ADC经过怎样的变换能与AAEB重合?B C14.如图，AABC和ABED是等边三角形，则图中三角形ABE绕B点旋转多少度能够与三角形重合.15.如图，己知△ ABC 和厶AEF44, ZB=ZE, AB=AE, BC=EF, ZEAB=25°, ZF=57°；(1)请说明ZEAB二ZFAC的理由；(2)AABC可以经过图形的变换得到AAEF,请你描述这个变换；(3)求ZAMB的度数.参考答案一.选择1.答案：A解析：【解答】①正方形旋转的最小的能与自身重合的度数是90度，正确;②长方形旋转的最小的能与自身熏合的度数是180度，错误；③等边三角形旋转的最小的能与自身重合的度数是120度，错误；④线段旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误；⑤角旋转的最小的能与口身重合的度数是360度，错误；⑥平行四边形旋转的最小的能与自身重合的度数是180®,错课.故选A.【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念作答.2.答案：C解析：【解答】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是36075=72。

第02讲图形的旋转【题型1生活中的旋转现象】【题型2利用旋转的性质求角度】【题型3利用旋转的性质求线段长度】【题型4旋转对称图形】【题型5作图-旋转变换】考点1：旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。

（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。

（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

【题型1生活中的旋转现象】【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；②传送带的移动，是平移现象；③方向盘的转动，是旋转现象；④水龙头开关的转动，是旋转现象；⑤钟摆的运动，是旋转现象；⑥荡秋千运动，是旋转现象．属于旋转的有③④⑤⑥共4个．故选：C．【变式1-1】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（）A．小明向北走了10米B．传送带传送货物C．电梯从1楼到10楼D．小萌在荡秋千【答案】D【解答】解：A．小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；B．传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；C．电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；D．小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．故选：D．【变式1-2】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．故选：A．【变式1-3】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据旋转的性质，图案①顺时针旋转90°得到B，故选B．考点2：旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。

第02讲图形的旋转【题型1生活中的旋转现象】【题型2利用旋转的性质求角度】【题型3利用旋转的性质求线段长度】【题型4旋转对称图形】【题型5作图-旋转变换】考点1：旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。

（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。

（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

【题型1生活中的旋转现象】【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；②传送带的移动，是平移现象；③方向盘的转动，是旋转现象；④水龙头开关的转动，是旋转现象；⑤钟摆的运动，是旋转现象；⑥荡秋千运动，是旋转现象．属于旋转的有③④⑤⑥共4个．故选：C．【变式1-1】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（）A．小明向北走了10米B．传送带传送货物C．电梯从1楼到10楼D．小萌在荡秋千【答案】D【解答】解：A．小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；B．传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；C．电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；D．小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．故选：D．【变式1-2】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．故选：A．【变式1-3】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据旋转的性质，图案①顺时针旋转90°得到B，故选B．考点2：旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。