降维状态观测器课件

降维观测器示例【例9.48】给定系统1122210011x x u x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，[]1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设计此系统的降维观测器，使其极点配置在-5。

解 (1) 判定系统的可观测性 因为 1021C V CA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，0V ≠，因此系统可观测。

(2) 取非奇异线性变换矩阵为101011010Q -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦利用x Qx =将给定系统化为1122101120x x u x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，[]1201x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦待观测子系统的动态方程为1112222x x uz x x x y y=-+==+=+(3) 已知降维观测器的期望极点为－5，则其期望特征方程为50λ+=。

(4) 设观测器输出反馈系数为H ，降维观测器的特征方程为(1)10H H λλ---=++=(5) 对比(3)、(4)中的方程对应项系数，可得4H =。

(6) 实现先写出降维观测器的动态方程111ˆˆˆˆˆ(), xx u H z z z x =-+--= 应用本例(2)中的结果，上式可化为11ˆˆ548xx u y y =-+++ (9.222) ①变量变换法实现设1ˆ4xw y =+代入式(9.222)，有 512w w u y =-+-其状态变量图如9.29所示。

图9.29变量变换法实现的降维状态观测器②结构变换法实现也可对式(9.222)直接应用结构变换法得降维观测器状态变量图如图9.30所示。

图9.30结构变换法实现的降维状态观测器1ˆxsw。

5.1状态反馈与极点配置一、状态反馈系统的动态方程以单输入-多输出受控对象动态方程为例：(5-1)将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在(5-2)这时便构成了状态反馈系统，见图5-1。

图5-1 状态反馈系统结构图(5-3)(5-4)式中v为纯量，为维向量，为维矩阵，为维向量，为维行矩阵，为维向量，为维矩阵。

为闭环状态阵，为闭环特征多项式。

二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控证明若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有若在变换后的状态空间内引维状态反馈矩阵：(5-5)其中分别为由状态变量引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：(5-6)(5-7)式中(5-8)该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。

特征方程为：(5-9)显见，任意选择阵的个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。

将逆变换代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：(5-10)与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵为：(5-11)需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。

能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为维。

若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。

状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。

不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。

若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。

状态观测器设计利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。

然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。

此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。

状态观测器，是一个在物理上可以实现的动态系统，它利用待观测系统的可以量测得到的输入和输出信息来估计待观测系统的状态变量，以便用该组状态变量的估计值来代替待观测系统的真实状态变量进行状态反馈设计，实现闭环系统极点的再配置。

1. 全维状态观测器当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计，就需对全部状态变量进行观测。

这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。

考虑如下n阶单输出线性定常离散系统(1)其中，A为n×n维系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为n×1维输出矩阵。

系统结构图如图1所示。

图1 全维状态观测器构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统(2)当系统(1)与(2)的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。

但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。

为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。

由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。

引入了输出误差的状态观测器状态方程为(3)其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式定义状态估计误差为，用式(7.65)与(7.67)相减可得(4)即(5)通过式(5)可以看出，若选择合适的输出误差反馈矩阵H 使得状态估计误差系统(5)的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近原点状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。

可见，能否逼近x(k)以及逼近速度是由H阵决定的。