35向量空间

则ቐ
解得k＝1或k＝－1.
＝，
＝，
(2)证明：∵a＝ ，，

＋ ×1＝0，∴a⊥b.



2 ，－ ，


∵c＝


，b＝


，－ ，



－，，－

＝－2d，∴c∥d.
，d＝


，∴a·b＝1× ＋2× －


，－ ，


，∴c＝－


通法提炼
1. 判断空间向量垂直或平行的步骤如下：
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标.
(3)对于 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据 x1x2＋y1y2＋z1z2 是否为 0 判

1
2
2
断两向量是否垂直；根据 x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2，λ∈R，或 1 ＝
1
(2)已知向量 a＝ 1，2， 2 ，b＝
3
1
2
4
1，－ ，
. 求证：a⊥b，c∥d.
1
2
1
1
，－2 ，1 ，c＝ －2，3，－2 ，d＝
[解]
(1)向量ka＋b＝(k－1，k，2)，a＋kb＝(1－k，1，2k)，故由向
量ka＋b与a＋kb平行，得ka＋b＝λ(a＋kb)，
－＝(－)，
向量共线或垂直.
[素养目标]水平一：理解向量的基本定理(逻辑推理).
水平二：判断两个向量共线或垂直(数学运算).
基础训练
自主预习
1. 定理
条件：三个向量 a，b，c 不共面 .

1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?

证：（1）∵ AP AB 1,2,12,1,4 0， AP AD 1,2,14,2,0 0 ，
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平

高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。

下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。

一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。

A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。

答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。

答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。

答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。

答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。