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1、掌握动量守恒定律中的几种重要考试模型，清晰如何分析及进行运用。
[例题1]（2024春•高新区期末）如图所示，一小车静止于光滑水平面，其上固定一光滑弯曲轨道，例题3]如甲图所示，水平光滑地面上用两颗钉子的小车，小车的四分之一圆弧轨道是光滑的，半径为切，视为质点的质量为m＝1kg的物块从(1)两小球速度相同时，弹簧最短，弹性势能最大A．m B＝4mB．第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值为0.6m v20C．第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值为0.768v0t0D．第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值为1.128v0t0例题5]（2024•黄陂区校级一模）质量为2kg的小球b静止在光滑的水平地面上，左端连接一水平A．π+2m，π―2mA．球A沿槽C下滑过程中，槽B．整个过程中球A、球B和槽C．球A第一次滑至槽C最低点过程中，球D．球A与弹簧作用后，能够追上槽[例题7]（2024春•天河区校级期末）如图所示，水平桌面光滑，轻弹簧一端固定在墙上，另一端A．动量不守恒，机械能守恒[例题10]（2022秋•历下区校级期中）向空中发射一枚炮弹，不计空气阻力，当此炮弹的速度恰好例题12]有人对鞭炮中炸药爆炸的威力产生了浓厚的兴趣，他设计如下实验，在一光滑水平面上放置两个大小相等（可视为质点）紧挨着的1.（多选）（2024•济南三模）质量为A．子弹击中物块后瞬间，物块水平方向的速度大小变为B．子弹击中物块后瞬间，物块竖直方向的速度大小变为C．物块下落的总时间为A．滑块从A到B时速度大小等于A．滑块C与弹簧脱离的瞬间获得的速度v c＝1m/sB．轻弹簧长度最短时，所具有的弹性势能E p＝12JC．滑块C在传送带上因摩擦产生的热量Q1＝8J（2024春•温州期中）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。
水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道2m的滑块c用劲度系数k＝100N/m的轻质弹簧连接，静置于轨道的滑块a以初速度v0=17m/s从A处进入，经传送带和（1）物块a到达D点的速度；（2）物块a刚到达与O1等高的E点时对轨道的压力的大小；（3）若a、b两物块碰后粘在一起，则在接下来的运动中弹簧的最大压缩量。
第十六章 动量守恒定律知识点总结一、动量和动量定理1、动量P（1）动量定义式：P=mv（2）单位：kg ·m/s（3）动量是矢量，方向与速度方向相同2、动量的变化量ΔP12P -P P =∆ （动量变化量=末动量-初动量）注意：在求动量变化量时，应先规定正方向，涉及到的矢量的正负根据规定的正方向确定。
3/冲量（1）定义式：I=Ft物体所受到的力F 在t 时间内对物体产生的冲量为F 与t 的乘积（2）单位：N ·s（2）冲量I 是矢量，方向跟力F 的方向相同4、动量定理（1）表达式：12P -P I =（合外力对物体的冲量=物体动量的变化量）注意：应用动量定理时，应先规定正方向，涉及到的矢量的正负根据规定的正方向确定。
二、动量守恒定律1、系统内力和外力相互作用的两个（或多个）物体，组成一个系统，系统内物体之间的相互作用力，称为内力；系统外其他物体对系统内物体的作用力，称为外力。
2、动量守恒定律：（1）内容：如果一个系统不受外力，或者受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。
（2）表达式：22112211v m v m v m v m '+'=+（两物体相互作用前的总动量=相互作用后的总动量）（3）对条件的理解：①系统不受外力或者受外力合力为零②系统所受外力远小于系统内力，外力可以忽略不计③系统合外力不为零，但是某个方向上合外力为零，则系统在该方向上总动量守恒三、碰撞1、碰撞三原则：（1）碰前后面的物体速度大，碰后前面的物体速度大，即：碰前21v v 〉，碰后21v v '〈'； （2）碰撞前后系统总动量守恒（3）碰撞前后动能不增加，即222211222211v m 21v m 21v m 21v m 21'+'≥+ 2、碰撞的分类Ⅰ（1）对心碰撞：两物体碰前碰后的速度都沿同一条直线。
（2）非对心碰撞：两物体碰前碰后的速度不沿同一条直线。
动量守恒定律中的“共V 模型”力的观点、动量的观点、能量的观点是力学问题分析中总的思路，通过对多过程问题受力分析抓住特殊状态及状态之间的相互联系，利用动量和能量的解决问题，可以避开中间的的复杂问题。
在动量守恒定律的应用中，两物体相互作用后以相同的速度运动即“共V 模型”的题目出现的频率很高，在这里将这类问题做简单的归纳。
模型”的题目出现的频率很高，在这里将这类问题做简单的归纳。
对于“共V 模型”中通常是围绕能量的转化为主线，下面分别从以下几个方面加以分析说明。
1．动能转化为内能这一类型的问题主要是物体之间存在相对滑动或物体间的完全非弹性碰撞，这一类型的问题主要是物体之间存在相对滑动或物体间的完全非弹性碰撞，通过滑动摩擦力做功实现了能量的通过滑动摩擦力做功实现了能量的转化。
例1．如图1所示，质量为M 的足够长木板置于光滑水平地面上，一质量为m 的木块以水平初速度0v 滑上长木板，已知木块与木板之间的摩擦因数为m ，求：（1）m 的最终速度v ；（2）m 与M 相对滑动产生的焦耳热Q ； （3）m 在M 上相对滑动的距离L 。
分析：m 与M 之间速度不同，必然存在相对运动，在相互的摩擦力作用下m 减速而M 加速，当两者速度相同时无相对运动达共速，时无相对运动达共速，所以所以m 的最终速度v 即为两者的共同速度共V 。
对m 、M 整体分析知，系统所受合外力为零，动量守恒，既然两者出现共速，动能必然要减少，从能量守恒的角度看，减少的动能转化为内能产生焦耳热。
产生的热就其原因看是由于两者的相互摩擦，所以可以利用摩擦力产生热的特点即相对滑动S f Q ×=得解。
得解。
解：（1）对m 、M 组成系统受力分析知，其合外力为零，由动量守恒得组成系统受力分析知，其合外力为零，由动量守恒得 v M m mv)(0+= ○1 得：M m m v v +=0 ○2 （2）对系统由能量守恒得产生焦耳热）对系统由能量守恒得产生焦耳热22)(2121vM m mv Q +-=○3 得：得： 由○2、○3解得解得 )(220M m m M vQ +=○4 （3）由滑动摩擦力生热特点得）由滑动摩擦力生热特点得 L m g L f Q ×=×=m ○5得：得： 解得解得 )(220M m g Mv L +=m ○6 变式题1-1．如图1-1所示，在光滑水平面上一质量为m 的物块以初速度0v 与质量为M 的物块发生碰撞后粘在一起，则在两物块碰撞过程中产生的焦耳热Q 为多少？为多少？分析：两物块发生碰撞后“粘在一起”，即碰撞后一共同速度运动，典型的“共V 模型”。
滑块木板模型【问题解读】两类情景水平面光滑，木板足够长，木板初速度为零水平面光滑，木板足够长，木板初速度不为零图示v ---t 图像物理规律动量守恒，最终二者速度相同mv 0=(m +M )v 共，机械能不守恒，损失的机械能等于产生的热量Q =fs =12mv 20-12(m +M )v 2，式中s 为木块在木板上相对滑动的距离，f 为木块与木板之间的摩擦力动量守恒，最终二者速度相同M v 0-mv 0=(m +M )v 共，机械能不守恒，损失的机械能等于产生的热量Q =fs =12mv 20+12M v 20-12(m +M )v 共2，式中s 为木块在木板上相对滑动的距离，f 为木块与木板之间的摩擦力。
【高考题典例】1.(14分)(2024年高考新课程卷)如图，一长度l =1.0m 的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O 对齐。
薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离Δl =l6时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O 点。
已知物块与薄板的质量相等。
它们之间的动摩擦因数μ=0.3，重力加速度大小g =10m/s 2。
求(1)物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；解题思路本题考查的考点：动量守恒定律、动能定理、平抛运动规律。
(1)设物块质量m ，初速度为v 0，薄板质量m ，物块滑上薄板，由动量守恒定律mv 0=mv 1+mv 2μmgl =12mv 20-12mv 21-12mv 22物块在薄板上运动加速度a 1=μg =3m/s 2物块在薄板上运动位移s =7l /6v 20-v 21=2a 1s联立解得：v 0=4m/s ，v 1=3m/s ，v 2=1m/s由v 0-v 1=at 1，解得t 1=13s(2)物块抛出后薄板匀速运动，l2-Δl =v 2t 2解得t 2=13s平台距地面的高度h =12gt 22=59m2.(2023年高考选择性考试辽宁卷)如图，质量m 1=1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k =20N /m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。
动量守恒定律中的“共V 模型”力的观点、动量的观点、能量的观点是力学问题分析中总的思路，通过对多过程问题受力分析抓住特殊状态及状态之间的相互联系，利用动量和能量的解决问题，可以避开中间的的复杂问题。
在动量守恒定律的应用中，两物体相互作用后以相同的速度运动即“共V 模型”的题目出现的频率很高，在这里将这类问题做简单的归纳。
对于“共V 模型”中通常是围绕能量的转化为主线，下面分别从以下几个方面加以分析说明。
1．动能转化为内能这一类型的问题主要是物体之间存在相对滑动或物体间的完全非弹性碰撞，通过滑动摩擦力做功实现了能量的转化。
例1．如图1所示，质量为M 的足够长木板置于光滑水平地面上，一质量为m 的木块以水平初速度0v 滑上长木板，已知木块与木板之间的摩擦因数为μ，求：（1）m 的最终速度v ；（2）m 与M 相对滑动产生的焦耳热Q ； （3）m 在M 上相对滑动的距离L 。
分析：m 与M 之间速度不同，必然存在相对运动，在相互的摩擦力作用下m 减速而M 加速，当两者速度相同时无相对运动达共速，所以m 的最终速度v 即为两者的共同速度共V 。
对m 、M 整体分析知，系统所受合外力为零，动量守恒，既然两者出现共速，动能必然要减少，从能量守恒的角度看，减少的动能转化为内能产生焦耳热。
产生的热就其原因看是由于两者的相互摩擦，所以可以利用摩擦力产生热的特点即相对滑动S f Q ⋅=得解。
解：（1）对m 、M 组成系统受力分析知，其合外力为零，由动量守恒得 v M m mv )(0+= ○1 得：Mm m v v +=0○2（2）对系统由能量守恒得产生焦耳热 220)(2121v M m mv Q +-=○3 得： 由○2、○3解得 )(220M m m M vQ += ○4（3）由滑动摩擦力生热特点得 L mg L f Q ⋅=⋅=μ ○5得： 解得 )(22M m g Mv L +=μ ○6变式题1-1．如图1-1所示，在光滑水平面上一质量为m 的物块以初速度0v 与质量为M 的物块发生碰撞后粘在一起，则在两物块碰撞过程中产生的焦耳热Q 为多少？分析：两物块发生碰撞后“粘在一起”，即碰撞后一共同速度运动，典型的“共V 模型”。
象这类问题属于完全非弹性碰撞，其处理方法大都是采用动量和能量的观点加以分析。
答案： )(220M m m M vQ +=2．动能转化为弹性势能例2．如图2所示，一轻弹簧两端连接质量分别为m 、M 的两滑块，整个装置置于光滑水平面，弹簧处于自由伸长状态，现给m 一水平向右的初速度0v ，求弹簧的最大弹性势能P E 。
分析：对m 、M 及弹簧组成系统分析受力知，系统的合外力为零，对m 、M 的运动情况分析知，弹簧的弹性势能取得最大值，也即弹簧被压缩到最短时，此时m 、M 共速。
显然，由动量守恒及能量守恒可解此题。
解：对m 、M 及轻弹簧组成系统分析知，系统动量守恒 v M m mv )(0+= ○1 得： Mm m v v +=○2对系统由能量守恒得弹簧的最大弹性势能 220)(2121v M m mv E P +-=○3 得： 由○2、○3解得 )(220M m m M vE P += ○4变式题2-1．如图2-1所示，一轻弹簧两端连接质量分别为m 、M 的两滑块，整个装置置于光滑水平面，弹簧处于自由伸长状态，现给m 一水平向左的初速度0v ，求弹簧的最大弹性势能P E 。
解（略）变式题2-2．如图2-2所示，，质量分别为M 和m 的两物块用轻弹簧连接，静止在光滑水平面上，且此时弹簧处于自由伸长状态，若一质量为m 0的子弹以水平初速度射入m 中未穿出，求（1）弹簧的最大弹性势能； （2）系统产生焦耳热。
解（略）3．动能转化为重力势能例3．如图3所示，在光滑水平面上放置一质量为M 的足够长的光滑曲面，现有一质量为m 的小球以初速度0v 冲上曲面，则小球能够达到的最大高度h 为多少？并讨论小球返回曲面左端时的速度？分析：在m 冲上曲面的过程中，对m 、M 组成系统分析受力知，在水平方向合外力为零，可利用水平方向动量守恒，当m 不具有竖直方向速度，即竖直速度为零时，M 、m 在水平方向上共速，整个过程中系统减少的动能转化为m 的重力势能。
解：对系统由水平方向动量守恒得 v M m mv )(0+= ○1得 当m 到达最大高度时与M 具有的共同水平速度 Mm m v v +=0○2又 整个系统机械能守恒 得 220)(2121v M m mv mgh +-=○3 得 联立解得 )(22M m g Mv h += ○4变式题3-1．如图所示，质量为M 的小车A 置于水平光滑的轨道上，其下端通过质量可忽略的绳将质量为m 的货物B 悬挂在空中，系统处于静止状态。
若突然给A 一水平向右的初速度0v ，求货物B 能摆起的最大高度。
解（略）变式题3-2．如图所示，质量均为M 的两相同的小车A 、B 置于光滑水平面上，在B 上固定一直角支架，支架的末端通过一细绳悬挂质量为m 的小球C ，不计直角支架及细绳的质量，若给A 一水平初速度0v 向右运动，且A 、B 碰撞后粘在一起，求小球C 摆过的最大高度h 。
解（略）4．动能转化为电势能例4．如图所示，质量分别为m A 、m B 的带同种电荷的小球A 、B 置于光滑绝缘的水平面上，现A 球具有水平初速度0v 向B 球运动，若A 、B 始终不相碰，则在A 、B 靠近的过程中，系统转化的电势能的最大值m ε。
分析：A 、B 系统所受的合外力为零，显然要考虑动量守恒定律，要出现电势能最大，只有在A 、B 出现共速之时，因为A 、B 共速时A 、B 系统减少的动能最多，故用动量守恒找到共速时的，再利用能量守恒，找到减少的动能也即转化的最大电势能。
解：对A 、B 组成系统分析知，系统动量守恒 v m m v m B A A )(0+= ○1 得：BA A m m v m v +=0○2对系统由能量守恒得 最大电势能220)(2121v m m v m B A A m +-=ε ○3 得： 由○2、○3解得 )(22B A B A m m m v m m +=ε ○4变式题4-1．如图所示，质量分别为m A 、m B 的带异种电荷的小球A 、B 置于光滑绝缘的水平面上，现A 球具有水平初速度0v 背离B 球运动，则在A 、B 远离的过程中，系统转化的电势能的最大值m ε。
解（略）通过以上几种情况的分析讨论可以看出，题目中如果出现了诸如“粘在一起”、“未穿出”、“最长”、“最短”、“最远”、“最近”、“最高”等关键词，其所处的状态通常都是在共速之时。
反过来，如果题目中需要求解当其达到共速的情景，则需分析是否存在“粘在一起”、“未穿出”、“最长”、“最短”、“最远”、“最近”、“最高”等关键词。
分析出相应的状态，将其归纳为“共V 模型”，用“共V 模型”的分析方法基本上就成了一种固定的模式。
1、如图所示，质量为M 的物体静止在光滑的水平面上，质量为m 的小球以初速度v0水平向右碰撞物体M ，结果小球以大小为v1的速度被水平反弹，物体M 的速度为v2，取向右为正方向，则物体M 动量的变化量为多少？小球m 的动量变化量为多少？m 和M 组成的系统动量守恒吗？若守恒，请写出其表达式。
总结：结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。
(2)当m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都向前运动。
(3)当m1<m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。
思考1、质量为m 、速度为v 的A 球跟质量为3m 且静止的B 球发生正碰。
碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B 球的速度可能有不同的值。
请你分析：碰撞后B 球的速度可能是以下值吗？ (1)0.6v (2)0.4v (3)0.2v[提示] 若A 和B 的碰撞是弹性碰撞，则根据动量守恒和机械能守恒可以解得B 获得的最大速度为v max ＝2m 1m 1＋m 2v ＝2mm ＋3m v ＝0.5v 若A 和B 的碰撞是完全非弹性碰撞，则碰撞之后二者连在一起运动，B 获得最小的速度，根据动量守恒定律，知m 1v ＝(m 1＋m 2)v minv min ＝m vm ＋3m＝0.25vB 获得的速度v B 应满足：v min ≤v B ≤v max ， 即0.25v ≤v B ≤0.5v可见，B 球的速度可以是0.4v ，不可能是0.2 v 和0.6v 。
练习2、质量为m的物块甲以3 m/s的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定其上，另一质量也为m的物块乙以4 m/s的速度与甲相向运动，如图1所示。
则()A．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力作用，系统动量不守恒B．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零C．当甲物块的速率为1 m/s时，乙物块的速率可能为2 m/s，也可能为0D．甲物块的速率可能达到5 m/s解析：甲、乙两个物块通过弹簧发生相互碰撞，遵循动量和能量守恒，当两个物块离开弹簧时交换速度，即甲的速度为4 m/s，乙的速度为3 m/s，方向相反，且整个碰撞过程中甲的速度不可能大于4 m/s，乙的速度不可能大于3 m/s，当两物块相距最近时速度相等为0.5 m/s，所以A、B、D错，C正确。
3、质量为2kg的小平板车B，静止在光滑水平面上，板的一端静止着一物体A，MA＝2kg，如图所示，一颗子弹质量为20g，以600m/s的水平速度射穿A后，速度变为100m/s，若A、B间动摩擦因数为0.05，g＝10m/s2，求：(1)子弹射穿A时，A的速度．(2)当A与B相对静止时，它们的共同速度．答案：VA=5m/s V=2.5m/s4、解析:（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有解得：（2）B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为，则设物块A 速度为v A 时弹簧的弹性势能最大为E P ，根据能量守恒（3）由系统动量守恒得设A 的速度方向向左，，则则作用后A 、B 、C 动能之和实际上系统的机械能根据能量守恒定律，是不可能的。
故A 不可能向左运动。
（2013 .35）如图18，两块相同平板P 1，P 2置于光滑水平面上，质量均为m 。
P 2的右端固定一轻质弹簧，左端A 与弹簧的自由端B 相距L 。
物体P 置于P 1的最右端，质量为2m 可看作质点。
P 1与P 以共同速度v 0向右运动，与静止的P 2发生碰撞，碰撞时间极短。
碰撞后P 1与P 2粘连在一起。
P 压缩弹簧后被弹回并停在A 点（弹簧始终在弹性限度内）。
