浙江省温州市十校联合体2017-2018学年第一学期高三期末联考数学试题(文科)

2017 学年第一学期温州“十五校联合体”期末考试联考
高二年级数学学科试题
考生须知： 1．本卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分 (共 40 分)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.平面 截圆柱，截面形状不．可．能．是(
)
A. 矩形
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
2.抛物线 C : y2 4x 的准线方程是(
)
A. x 1
B. x 1
1 的离心率的取值范围.
1m 2
19.（本题满分
15
分）正三棱柱
ABC

A1 B1C1
底边长为
2， AA 1

2 ， E, F 分别为 BB1, AB 的中点.
(1)求证： A C AE ； 1
A1
（2）求 AA1 与平面 A1FC 所成角的正弦值.
B1
C1
E
A F
B
C
第 19 题图
x2 y2
C. x 2
D. x 2


3.平面 的法向量 u (2, 2, 2) ，平面 的法向量 v (1, 2,1) ，则下列命题正确的是(
)
A., 平行
B., 垂直
C., 重合
D., 不垂直
4.设 a 为实数，直线 l1 : a2x y 1, l2 : x ay 2a ，则“ a 0 ”是“ l1 l2 ”的(

浙江省温州市十校联合体高三上学期期末试题（数学理）1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），本试卷满分为150分，考试时间为1。

2．考试过程中不得使用计算器。

3．所有答案均须写在答卷纸上，写在试卷上无效第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．复数11z i =-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．15cos 15sin =（ ）A ．21B ．41C ．23D ．433．若集合}4{“"2"},4,2{},,1{2====B A m B m A 是则”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()()3212++-=mx x m x f 为偶函数，则()x f 在区间()5,3--上（ ） A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减 D ．单调递增5.已知点()()2,,2,1m B A -，且线段AB 的垂直平分线方程是022=-+y x , 则实数m 的值是 （ ）A. 2-B. 7-C. 3D. 16．1(1)n x ++的展开式中含1-n x 项的系数 （ ）A ．(1)2n n -B ．2)1(+n n C ．(1)(2)2n n ++ D ．12+n n7．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是（ ）A ．)62sin(π+=x y B ．cos()26x y π=- C ．)32cos(π+=x y D ．)62sin(π-=x y 9．圆014222=+-++y x y x 关于直线220(,)ax by a b R -+=∈对称，则ab 的取值范 围是 （ ）A ．]41,(-∞ B ．]41,0( C ．)0,41(- D ．)41,(-∞ 10．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，1+2）D ．（2，1+2）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

浙江省温州市十校联合体2018-2018学年第一学期高三期中联考数学试卷（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k第I 卷一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}1,0{=M ，则满足}2,1,0{=N M 的集合N 的个数是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．82．在复平面内，复数12z i=+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知数列}{n a 的等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于（ ）A ．1B ．3C ．5D ．64．已知函数)()(),1,0(log 1)(1x f x fa a x x f a 是且-≠>+=的反函数. 若)(1x f -的图象过点（3，4），则a 等于 （ ）A ．2B ．3C ．33D ．25．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径A.1B.2C.2D.22 7．已知随机变量~ξN （3，22），若23ξη=+，则D η= （ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知函数，，，且、、，00)(32213213>+>+∈--=x x x x R x x x x x x f 13x x +>0，则)()()(321x f x f x f ++的值 （ ）A ．一定大于零B ．一定小于零C ．等于零D ．正负都有可能9．如图，半径为2的⊙○切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中， PK 交⊙○于点Q ，设∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为 S ＝f(x)，那么f(x)的图象大致是 （ ）ABCD10．设p : f(x)=ln x+2x 2+mx+1在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件第II 卷二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

浙江省温州市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q=( )A．∅B．[0，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）2．设a，b∈R，则“lga＞lgb”是“＜”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=( )A．﹣B．C．﹣D．4．下列正确的是( )A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形D．锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：（x﹣）2+y2=1相切，则双曲线的离心率是( )A．2 B．3 C．D．6．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调函数，则ω应满足的条件是( )A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤37．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=x2，则f=( )A．﹣1 B．1 C．0 D．201528．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知二面角A1﹣BD﹣A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是( )A．[，]B．[，]C．[，]D．[0，]二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设函数f（x）=，则f（﹣2）=__________．若f（a）=1，则实数a=__________．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣a，则实数a=__________，公比q=__________．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于__________cm3，表面积等于__________cm2．12．已知F1，F2是椭圆C：+=1的左右焦点，过右焦点F2的直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，则△ABF1的周长等于__________，斜率k=__________．13．已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=2，则ab的最小值是__________．14．若直线l：ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则3a﹣2b 的最小值与最大值的和等于__________．15．已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足，则的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（A﹣B）．17．已知数列{a n}的前n项和S n，且满足：+++…+=n，n∈N*．（1）求a n；（2）求证：++…+＜．18．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，（1）求证：AC⊥BD；（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P（4，0）．（1）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6，求直线l的方程．20．已知函数f（x）=+x（1）判断函数f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性并加以证明；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，求实数m的取值范围．浙江省温州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q=( )A．∅B．[0，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出P中x的范围确定出P，求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可．解答：解：由P中y=+1，得到x≥0，即P=[0，+∞），由Q中y=x3，得到y∈R，即Q=R，则P∩Q=[0，+∞），故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设a，b∈R，则“lga＞lgb”是“＜”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．解答：解：由lga＞lgb，则a＞b＞0，则＜成立，即充分性成立，若a=﹣1，b=1，则＜成立，但lga＞lgb不成立，即必要性不成立，则“lga＞lgb”是“＜”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．3．已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=( )A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得2（sinx+cosx）=，即2cos（﹣x）=，易得答案．解答：解：∵sinx+cosx=，∴2（sinx+cosx）=，∴2cos（﹣x）=∴cos（﹣x）=故选：B点评：本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．4．下列正确的是( )A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形D．锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形考点：四种；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：A．垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面直线；B．平行四边形在一个平面上的平行投影可能是平行四边形或一条直线；C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形，正确；D．锐角三角形在一个平面上的平行投影可能是钝角三角形．解答：解：A．垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面直线，因此不正确；B．平行四边形在一个平面上的平行投影可能是平行四边形或一条直线，因此不正确；C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形，如图所示，取正方体棱的中点，正确；D．锐角三角形在一个平面上的平行投影可能是钝角三角形，如图所示，三棱锥中P﹣ABC，PC⊥AC，PC⊥BC，CA=AC=BC=1，∠ACB=120°，△PAB是锐角三角形，其投影△ACB为钝角三角形，因此不正确．故选：C．点评：本题考查了空间线面位置关系、平行投影性质，考查了推理能力，属于基础题．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：（x﹣）2+y2=1相切，则双曲线的离心率是( )A．2 B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与与圆C：（x﹣）2+y2=1相切⇔圆心（，0）到渐近线的距离等于半径r=1，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．解答：解：取双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线bx﹣ay=0．圆E：（x﹣5）2+y2=9的圆心（5，0），半径r=3．∵渐近线与圆C：（x﹣）2+y2=1相切，∴=1，化为a2=b2．∴该双曲线的离心率e===．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．6．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调函数，则ω应满足的条件是( ) A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤3考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[，]上单调，分情况讨论，建立不等式，即可求ω取值范围．解答：解：①若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递减．令+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则+≤x≤+（k∈Z），∴≤且≥，∴ω=3②若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递增．令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则﹣+≤x≤+∴﹣≤且≥∴0＜ω≤1综上可得：0＜ω≤1，ω=3．故选：C．点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=x2，则f=( )A．﹣1 B．1 C．0 D．20152考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质和f（2+x）=f（﹣x），求出函数的最小正周期，利用函数的周期性和奇偶性将f转化为﹣f（1），再代入已知的解析式求值．解答：解：由题意得，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）是以4为最小正周期的周期函数，因为当0≤x≤1时，f（x）=x2，则f=f（4×503+3）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故选：A．点评：本题考查奇函数的性质，以及函数的周期性的综合应用，同时考查转化思想．8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知二面角A1﹣BD﹣A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是( ) A．[，]B．[，]C．[，]D．[0，]考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1﹣BD﹣A的平面角．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1．假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠ANP．解答：解：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，∴∠AOA1=．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．∴AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA==．假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠ANP=∠PA1A﹣∠A1AN==．∴直线l与平面A1BD所成角的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了二面角的平面角、线面角、三垂线定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设函数f（x）=，则f（﹣2）=4．若f（a）=1，则实数a=2或0．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：先根据函数f（x）的解析式，求出f（﹣2）的值，再讨论a的值，求出f（a）=1时，实数a的值．解答：解：∵设函数f（x）=，∴f（﹣2）==22=4；又∵f（a）=1，∴当a≤0时，=1，解得a=0，满足题意；当a＞0时，log2a=1，解得a=2，满足题意；综上，实数a的值为2或0．故答案为：4；2或0．点评：本题考查了利用函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了由函数值求自变量的应用问题，是基础题目．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣a，则实数a=1，公比q=3．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件利用递推公式求出数列的前3项，再由等比数列的性质能求出a和公比．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣a，∴a1=3﹣a，a2=S2﹣S1=9﹣a﹣（3﹣a）=6，a3=S3﹣S2=（27﹣a）﹣（9﹣a）=18，∴62=（3﹣a）×18，解得a=1，q==．故答案为：1；3．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意公式的合理运用．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于3πcm3，表面积等于12+6πcm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的特征是什么，从而求出它的体积与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为半径等于3的圆面，高为4的圆锥的一部分，∴该几何体的体积为V几何体=S底h=×π•32×4=3π；该几何体的表面积为S几何体=2S△+S圆+S侧面扇形=2××4×3+•π•32+•π•2•3•=12+6π．故答案为：3π；12+6π．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．12．已知F1，F2是椭圆C：+=1的左右焦点，过右焦点F2的直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，则△ABF1的周长等于8，斜率k=﹣3．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆方程求出a的值，由椭圆的定义和结论求出△ABF1的周长；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x，y），由题意和斜率公式可得，利用点差法和中点坐标公式、斜率公式，求出直线l的斜率．解答：解：（1）由椭圆C：+=1得，a=2，因为直线l：y=kx+m过右焦点F2，且与椭圆C相交于A，B两点，所以△ABF1的周长为4a=8；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x，y），由直线OM（O为原点）的斜率为得，，由题意得，，两式相减得，，3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0，则k==﹣=﹣=﹣×=﹣×4=﹣3，故答案为：8；﹣3．点评：本题考查椭圆的定义和简单几何性质，斜率公式，以及点差法的应用，其中点差法是常考的方法之一．13．已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=2，则ab的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用a2+b2≥﹣2ab，及不等式的性质即可得出．解答：解：∵a2+b2﹣ab=2，∴2+ab=a2+b2≥﹣2ab，∴3ab≥﹣2，当a=﹣b=时，取等号．∴ab≥，故答案为：﹣．点评：本题考查了基本不等式的性质与不等式的基本性质，属于基础题．14．若直线l：ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则3a﹣2b的最小值与最大值的和等于﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax+by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论．解答：解：不等式组表示的平面区域是由A（﹣1，1），B（1，1），C（0，﹣2）围成的三角形区域（不包含边界）．若直线l：ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则A，B，C三点在直线l的同侧或在直线上，则满足或．则（a，b）在如图所示的三角形区域．设z=3a﹣2b，得b=，平移直线b=，得到直线在A处的截距最大，此时z最小，则在B处的截距最小，此时z最大，由解得，即B（，），此时z=3×﹣2×=，由，解得，即A（﹣，），此时z=3×（﹣）﹣2×=，则3a﹣2b的最小值与最大值的和等于=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．15．已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足，则的取值范围是[4，10]．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：求得向量=33，以及|+|=14，再由条件，运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到范围．解答：解：=||•||•cosB=×（72+92﹣82）=33，|+|===14，由，则（+）•（+）=﹣7，即+•（+）+=﹣7，||2+||•|+|cosθ+33=﹣7，由﹣1≤cosθ≤1，可得﹣1≤≤1，解得，4≤||≤10．故答案为：[4，10]．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形中余弦定理的运用，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（A﹣B）．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理求出a，b，然后求三角形的面积；（2）由（1）可得A，B的正弦值、余弦值，再利用两角和与差的三角函数公式求值．解答：解：（1）由已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．得到a=2b所以a=4，b=2，所以△ABC是等腰三角形，所以AC边上的高为，所以△ABC的面积为；（2）由（1）得cosA==，cosB==，所以sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=．点评：本题考查了正弦定理、三角形的面积公式以及三角函数公式的运用；关键是熟练运用正弦定理求出三角形的边长．17．已知数列{a n}的前n项和S n，且满足：+++…+=n，n∈N*．（1）求a n；（2）求证：++…+＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式即可得出；（2）a n=n+1（n∈N*）．可得数列{a n}是等差数列．S n=.．利用“裂项求和”即可得出．解答：（1）解：当n=1时，，解得a1=2．∵+++…+=n，n∈N*．当n≥2时，+++…+=n﹣1，n∈N*．两式相减可得：=1，即a n=n+1．当n=1时也成立，∴a n=n+1（n∈N*）．（II）证明：∵a n=n+1（n∈N*）．∴数列{a n}是等差数列．∴S n==．∴．∴++…+=+++…+=＜=．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，（1）求证：AC⊥BD；（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得△ABD≌△CBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC，从而AC⊥平面BED，由此能证明AC⊥BD．（2）过C作CH⊥BD于点H，由已知得CH⊥平面ABD，过H做HK⊥AD于点K，连接CK，则∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角，由此能求出二面角C﹣AD﹣B的余弦值．解答：（1）证明：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC．又∵BE∩DE=E，BE⊂平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥平面BED，∴AC⊥BD．（2）解：过C作CH⊥BD于点H．则CH⊂平面BCD，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CH⊥平面ABD．过H做HK⊥AD于点K，连接CK．∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．∴∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角．连接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，∴AH=CH=，BH=1．∵BD=，∴DH=．∴AD=，∴HK==．∴tan=，∴cos，∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P（4，0）．（1）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6，求直线l的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设Q（x，y），则PQ|===，利用二次函数的单调性即可得出；（II）设直线l：x=my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．解答：解：（I）设Q（x，y），则PQ|===，当x=2时，|PQ|min=2．（II）设直线l：x=my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），焦点F（1，0）．联立，消去x得y2﹣4my﹣16=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣16．∴S△FMN==×===6，∴m=±1，∴直线l的方程为：x±y﹣4=0．点评：本题考查了二次函数的单调性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=+x（1）判断函数f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性并加以证明；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，求实数m的取值范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．专题：数形结合；分类法；函数的性质及应用．分析：（1）函数f（x）在（﹣2，﹣1）上是减函数，用单调性定义证明即可；（2）解法一：函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，即f（x）的图象与y=2|x|+m 的图象有四个不同的交点，结合图象求出m的取值范围；解法二：函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，即方程+x﹣2|x|﹣m=0有四个不同的实根，讨论函数h（x）=的图象与y=2|x|﹣x+m的图象交点情况，求出m的取值范围；解法三：函数g（x）有4个不同零点，即方程+x﹣2|x|﹣m=0有4个不同的实根，去掉绝对值，把方程化为等价的不等式组，再讨论表达式组解的情况，从而求出m的取值范围；解法四：函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=+x﹣2|x|有4个不同的实根，构造函数h（x）=+x﹣2|x|，考查h（x）的单调性与值域，从而求出m的取值范围．解答：解：（1）函数f（x）=+x=，函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，证明如下：设x1、x2∈（﹣2﹣1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）+（x1﹣x2）=（x1﹣x2）[1﹣]；∵﹣2＜x1＜x2＜﹣1，∴x1﹣x2＜0，0＜（x1+2）（x2+2）＜1，∴1﹣＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减；（2）解法一：∵函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，∴函数f（x）=+x的图象与函数y=2|x|+m的图象有四个不同的交点；结合图象，得①当x＜﹣2 时，函数f（x）=﹣+x的图象与函数y=2|x|+m的图象恰有一个交点，②当x＞﹣2 时，为满足g（x）有4个不同的零点，则函数f（x）=+x（x＞﹣2）的图象与函数y=2|x|+m图象恰有三个交点符合要求，而f（x）=+x（x＞﹣2）过点（0，），结合图象知，m＜；当直线y=﹣2x+m与y=+x（x＞﹣2）相切时，在（﹣2，+∞）内只有两个交点；∴，消去y，得+3x﹣m=0；整理，得3x2+（6﹣m）x+1﹣2m=0，△=（6﹣m）2﹣4×3（1﹣2m）=0，解得m=﹣6﹣2（舍去），m=﹣6+2；∴当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．解法二：∵函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个零点，∴方程+x﹣2|x|﹣m=0有四个实根，即函数h（x）=的图象与函数y=2|x|﹣x+m的图象有四个交点，∴函数h（x）=的图象与函数y=得图象有四个交点；①当x≥0 时，若函数h（x）=的图象与函数y=x+m的图象有一个交点，则m≤；②当x＜0 时，若函数h（x）=（x＜0）的图象与函数y=﹣3x+m的图象恰好有3个交点符合要求，则m＜；当直线y=﹣3x+m与y=（x＞﹣2）相切时，在（﹣∞，0）内只有两个交点，∴，消去y，得=﹣3x+m，整理，得3x2+（6﹣m）x+1﹣2m=0，△=（6﹣m）2﹣4×3（1﹣2m）=0，解得m=﹣6﹣2（舍去），m=﹣6+2；∴当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．解法三：函数g（x）有4个不同零点，即方程+x﹣2|x|﹣m=0有4个不同的实根；方程化为：①与②与③；记v（x）=x2+（m+2）x+（2m﹣1），u（x）=3x2+（6﹣m）x﹣（2m+1），w（x）=3x2+（6﹣m）x﹣（2m﹣1），则u（x）、v（x）、w（x）开口均向上；对①：由v（﹣2）=﹣1＜0知v（x）在[0，+∞）最多一个零点，当v（0）=2m﹣1≤0，即m≤时，v（x）在[0，+∞）上有一个零点，当v（0）=2m﹣1＞0，即m＞时，v（x）在[0，+∞）没有零点；对②：由u（﹣2）=﹣1＜0知u（x）在（﹣∞，﹣2）有唯一零点；对③：为满足g（x）有4个零点，w（x）在（﹣2，0）应有两个不同零点；∴，解得﹣6+2＜m＜；综上所述：当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．解法四：函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=+x﹣2|x|有4个不同的实根；令h（x）=+x﹣2|x|，则h（x）=；∵h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且其值域为R，∴h（x）=m在（﹣∞，﹣2）有一个实根；又∵h（x）在[0，+∞）单调递减，且其值域为（﹣∞，]，∴当m≤时，h（x）=m在[0，+∞）上有一个实根，当m＞时，h（x）=m在[0，+∞）上没有实根；为满足g（x）都有4个不同零点，h（x）=m在（﹣2，0）至少有两个实根；当﹣2＜x＜0时，h（x）=+3（x+2）﹣6≥2﹣6，∴h（x）在（﹣2，﹣2+]单调递减，且此时值域为[2﹣6，+∞），h（x）在[﹣2+，0）单调递增，且此时值域均为[2﹣6，）；．∴m∈（﹣6+2，）时，方程h（x）=m在（﹣2，0）有两个实根综上所述：当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的单调性的判断与证明，考查了函数的零点与方程的实数根的应用问题，是综合性题目．。