2020年江苏版高考数学课件15.1 椭 圆

y12 9 y22 9
1, 1,
两式相减,得 (x1 x2 )(x1 x2 ) + ( y1 y2 )( y1 y2 ) =0,
36
9
所以 2(x1 x2 ) =- 4( y1 y2 ) ,
9
9
所以k= y1 y2 =- 1 . x1 x2 2
答案 - 1

· NB
为定值?若存在,求出点N的坐
标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)因为离心率e= c = 3 ,所以c= 3 a,b= a2 c2 = 1 a,
a2
2
2
所以椭圆C的方程为 4xb22 + by22 =1.
因为椭圆C经过点P 85 , 53

,所以 2156b2
+ 259b2
=1,
所以b2=1,所以椭圆C的方程为 x2 +y2=1. 4
(2)存在.设N(n,0),
2 2
当l的斜率不存在时,设A 52 ,
y

,B 52 ,

y

,则y2=1-

5 4
= 24 ,
25
则 NA

· NB
=
2 5

n
2

-y2=
考向基础
考点二 椭圆的几何性质
1.椭圆的一些性质不会因为坐标系的改变而变化,如长轴长、短轴
长、焦距、离心率、通径等.
2.椭圆的顶点坐标、焦点坐标等与坐标系有关,利用这类性质解题时,应
先根据椭圆方程的形式判断出焦点、顶点的位置,再进行求解.
3.椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形,对称中心为长轴与短轴的交
解析 (1)由题可知,双曲线的离心率为 2 ,则椭圆的离心率e= c = 2 , a2
由2a=4, c = 2 ,b2=a2-c2, a2
得a=2,c= 2 ,b= 2 ,
故椭圆M的方程为 y2 + x2 =1. 42
y 2x 1,
(2)联立得方程组

x
2
2

y2 4
1
得4x2+2 2 x-3=0,
涉及的定义、方程、几何性质等,再用韦达定理,点差法等导出所求定 值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;另 一种思路是通过考查极端位置,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特 殊图形等)确定出定值,从而找到解决问题的突破口,将问题涉及的几何 形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒成立的.同时有许多定 值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题 的线索.
2
22 34
考向二 弦中点问题
例2 (2018江苏南通中学期中)已知椭圆 3x62 + y92 =1以及椭圆内一点P(4,
2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为
.
解析 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,y1+y2=4,

x12 36 x22
36
2 5

n
2

- 24 =n2- 4 n- 4 ,
PF1F2的周长为2(a+c).
考向突破 考向一 基本量的运算
例1 (2018江苏南通一中月考)椭圆 x2 + y2 =1的焦距为2,则m的值是 m4 .
解题导引 首先确定焦点位置,然后利用a2=b2+c2求解. 解析 由题意得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭 圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3,所以m的值是3或5. 答案 3或5
=4,∴b2=48,又焦点C1、C2在x轴上,故所求的轨迹方程为 6x42 + 4y82 =1. 答案 x2 + y2 =1
64 48
考向二 椭圆的标准方程
例2 (2018江苏昆山中学期初)已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的离心率
为 1 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ 6 =0相切,
2.若椭圆的方程未知,则根据条件及几何图形建立关于a,b,c的齐次等式
(或不等式),化为关于a,c的齐次方程(或不等式),进而化为关于e的方程
(或不等式)进行求解.
例2 如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为
F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取
焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c;
(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2 b2 ,通径是最短的焦点弦; a
(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则
=b2tan θ2 ,其中∠F1PF2=θ;
(4)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△
又2a=3×2b,∴a=9,∴椭圆方程为 y2 + x2 =1. 81 9
∴所求椭圆的方程为 x2 +y2=1或 y2 + x2 =1.
9
81 9
答案 x2 +y2=1或 y2 + x2 =1
9
81 9
方法二 求椭圆离心率(取值范围)的方法
1.若给定椭圆的方程,则根据椭圆方程确定离心率的值或范围;
bc b2
c2
= 14 ×2b,解得b2=3c2,又b2=a2-c2,所以 ac22 = 14 ,即e2= 14 ,所以e=
12 e

1 2
舍去.
答案 1
2
考点三 直线与椭圆的位置关系
考向基础
1.判断直线与椭圆位置关系的步骤: (1)联立直线方程与椭圆方程; (2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程; (3)当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线 与椭圆相离. 2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
2.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为a x22 + by22 =1(a>b>0);焦点在y轴上的 椭圆的标准方程为 ay22 + bx22 =1(a>b>0).
(2)焦点位置的判断:在椭圆的标准方程中,比较x2项和y2项的分母的大 小,焦点在分母大的那个对应的坐标轴上,即“焦点位置看大小,焦点随 着大的跑”.
2
2
2
答案


52 1 ,1
方法三 椭圆中定点、定值问题的解法
1.定点问题 解题的关键在于寻找题中用来联系已知量与未知量的垂直关系、中点 关系、方程、不等式等,然后将已知量与未知量代入上述关系,通过整 理、变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决. 2.定值问题 解决定值问题时,要善于运用辩证的观点去思考、分析,在动点的 “变”中寻求定值的“不变”性,一种思路是进行一般计算推理求出结 果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所
设A(x1,y1),B(x2,y2),

所以

x1


x1
x2
x2 3,
4
2 ,
2 所以|AB|= 1 2 |x1-x2|= 3 · (x1

x2 )2
4x1x2
= 3
×
1 3 = 42 .
2
2
又P到直线AB的距离为d= 1 , 3
所以S△PAB= 1 |AB|·d= 1 × 42 × 1 = 14 .
考向二 离心率问题 例2 (2019届江苏吴江期初)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若
椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为
.
4
解析 设椭圆方程为 x2 + y2 =1(a>b>0).不妨设直线l过椭圆的上顶点(0, ab
b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得
有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等,在求与椭圆有关的一些量的范围或最值 时,经常用到这些不等关系. 6.设P,A,B是中心在原点的椭圆上不同的三点,其中A,B两点关于原点对
称,且直线PA、PB的斜率都存在,则kPA·kPB=- ba22 .
7.常用的一些结论:
(1)P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到
(3)如果椭圆中心在原点,但不确定焦点是在x轴上还是在y轴上,那么方 程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
2.利用定义及性质求椭圆的标准方程 (1)根据动点满足的等式的几何意义,写出标准方程; (2)建立关于a,b,c,e的方程或方程组,解方程或方程组,得到椭圆的标准 方程. 例1 (2019届江苏新海高级中学月考)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且 长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0),则 (2019届江苏启东中学月考)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2
=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨
迹方程为
.
解析 设动圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8< 16,∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c
.
解析 若焦点在x轴上,设方程为 ax22 + by22 =1(a>b>0).