流体力学3-5动量方程.

《例题力学》典型例题例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。

已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du Udy τμμδ=＝ 又因等速运动，惯性力为零。

根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯ 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。

求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。

解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ== 2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232dd d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。

Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。

本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。

I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。

质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。

在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。

根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0CVCSd v ds tρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。

上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。

由奥高公式得()CSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。

考虑到τ的任意性，故有()0v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。

2）由0=dtmd δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

3）不可压缩流体0d dtρ=，故有 0v ∇⋅=。

由奥高公式有CVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CSv ds ⋅=⎰⎰。

不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或0CSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。

例1、1）定常流场中取一段流管，则由0CSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。

流体力学动量方程表达式
流体力学动量方程是描述流体运动的基本方程之一。

动量方程
可以通过牛顿第二定律和质量守恒定律推导得出。

在欧拉描述和拉
格朗日描述下，动量方程的表达式略有不同。

在欧拉描述下，流体力学动量方程的表达式如下：
∂(ρv)/∂t + ∇(ρv⋅v) = -∇p + ∇⋅τ + ρg.
其中，ρ是流体密度，v是流体速度矢量，t是时间，p是压力，τ是应力张量，g是重力加速度矢量。

在拉格朗日描述下，动量方程的表达式如下：
Dv/Dt = -1/ρ ∇p + ∇⋅τ/ρ + g.
其中，Dv/Dt是流体质点速度的材质导数，ρ是密度，p是压力，τ是应力张量，g是重力加速度矢量。

这些方程描述了流体内部的动量变化，包括流体的加速度、压
力、应力和重力等因素对流体运动的影响。

通过这些方程，我们可以深入理解流体在运动过程中的行为和特性。