第五章流体动力学(动量方程及伯努利方程一)

流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程是物理学中最基本且重要的方程之一。

它是关于流体运动的一组非线性方程，用于以数学方法描述流体运动，它被用于解决流动问题，如气体动力学、湍流流动和热流动。

伯努利方程由英国数学家兼流体力学家约翰·尼科（John von Neumann）在1946年初提出，它是一个具有三个未知量的非线性方程组，同时反映了运动的流体的动量、动能和动量守恒的特性。

伯努利方程的首要用途是计算几何体内流体的参数，它刻画了由于抗力矢量和动量耦合而引起的湍流运动流场。

伯努利方程指定了一个n维流体中特定目标位置上物体的物理参数，它具有一个参数向量，即，流速，流体密度，力学压力，温度和能量密度。

基本伯努利方程可以写成：
∇·（ρu）=0，
∇·u=0，
∇·P+ρ∂u/∂t=ρS，
其中ρ是流体的密度，u是流速，P是静压力，t是时间，S代表的是外力。

伯努利方程被广泛地应用于可解决多维流动，如水流、风流、温度场、抗静电场和对流传输等。

在主动低频技术中，伯努利方程还用于解决超声成像，超声测量和声学设计方面的应用。

它通常被用于数值分析，以解决流动问题的复杂性，并根据实验数据预测流体的行为。

因此，伯努利方程在现代物理学中扮演着一个重要的角色，它不仅可以帮助人们更好地理解流体的行为，还可以帮助我们更特别的设计有效的模拟和预测流体的行为。

流体力学伯努利方程例题鲍达公式流体力学三大方程是连续性方程、能量方程、动量方程。

流体力学是力学的一个分支，流体本身的静止状态和运动状态以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动规律。

流体力学三大方程一、流体力学之流体动力学三大方程1、连续性方程，依据质量守恒定律推导得出；2、能量方程（又称伯努利方程），依据能量守恒定律推导得出；3、动量方程，依据动量守恒定律（牛顿第二定律）推导得出的。

二、适用条件：流体力学是连续介质力学的一门分支，是研究流体(包含气体，液体以及等离子态)现象以及相关力学行为的科学纳维-斯托克斯方程基于牛顿第二定律，表示流体运动与作用于流体上的力的相互关系。

纳维-斯托克斯方程是非线性微分方程，其中包含流体的运动速度，压强，密度，粘度，温度等变量，而这些都是空间位置和时间的函数。

一般来说，对于一般的流体运动学问题，需要同时将纳维-斯托克斯方程结合质量守恒、能量守恒，热力学方程以及介质的材料性质，一同求解。

由于其复杂性，通常只有通过给定边界条件下，通过计算机数值计算的方式才可以求解。

流体力学介绍流体力学是力学的一个分支，主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动规律。

流体力学既包含自然科学的基础理论，又涉及工程技术科学方面的应用。

以上主要是从研究对象的角度来说明流体力学的内容和分支。

此外，如从流体作用力的角度，则可分为流体静力学、流体运动学和流体动力学；从对不同“力学模型”的研究来分，则有理想流体动力学、粘性流体动力学、不可压缩流体动力学、可压缩流体动力学和非牛顿流体力学等。

伯努利方程原理伯努利方程原理是流体力学中的重要定律，描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为。

它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理而推导出来的。

我们来了解一下伯努利方程的基本概念。

伯努利方程是描述流体在沿流动方向上速度变化时，压力、速度和高度之间的关系。

它的数学表达形式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度。

这个方程表明，在不受外力作用的情况下，当流体速度增大时，压力会减小；当流体速度减小时，压力会增大。

伯努利方程原理的推导基于三个基本原理：质量守恒、动量守恒和能量守恒。

质量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的流体质量保持不变。

这意味着如果流体速度增大，流体密度会减小；如果流体速度减小，流体密度会增大。

动量守恒原理表明在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的动量保持不变。

根据牛顿第二定律，动量等于质量乘以速度，因此当流体速度增大时，流体的动量也会增大；当流体速度减小时，流体的动量也会减小。

能量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的能量保持不变。

根据能量转化的原理，当流体速度增大时，其动能增加，而静压能减小；当流体速度减小时，其动能减小，而静压能增加。

基于以上三个原理，我们可以推导出伯努利方程。

在流体静止的情况下，即流体速度为零时，伯努利方程可以简化为：P + ρgh = 常数这个方程表示了在不同高度处流体的压力之间的关系，即流体的压力随着高度的增加而增加。

总结一下，伯努利方程原理是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理推导出来的。

它描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为，即流体速度的增大导致压力的减小，流体速度的减小导致压力的增大。

伯努利方程的应用非常广泛，例如在飞机的升力产生、水管的流量控制等领域都有重要的应用。

了解伯努利方程原理可以帮助我们更好地理解和应用流体力学知识。

第五章理想流体流动•欧拉运动方程•伯努利方程及其应用•开尔文涡线定理•能量守恒定律•速度势函数与流函数什么是理想流体？为什么要研究理想流体？第一节理想流体的欧拉运动方程式完整的求解一个流动问题有几个未知数？：p压力u：r速度zy x u u ：u ,,速度完整的描述此流动问题需要有几个方程？:=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u zy x 质量守恒方程动量方程个分量有矢量方程3,欧拉运动方程柯西方程()()()()T div g v v t v dt v d ρ1+=∇⋅+∂∂=v v v vv ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u u y u u x u u tu zx yx xx x x z x y x x xτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zy yy xy y yz yy yx yτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zz yz xz z z z z y z x z τττρ1矢量形式()()()p grad g v v tv ρ1−=∇⋅+∂∂v v v v⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂x p f z u u y u u x u u t u x x z x y x x x ρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y p f zu u y u u x u u t u y yz y y y x yρ1⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p f z u u y u u x u u t u z z z z y z xz ρ1矢量形式剪应力全部=0压应力=压强即正应力=-p根据牛顿第二定律得x 方向的运动方程式为()dt du dxdydzdydz x p p dydz p dxdydz X x ρρ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−+上式简化后得同理zoyx微元六面体A A1A2dx xPp ∂∂−21dxxP p ∂∂+21pdtdu x p X x=∂∂−ρ1dtdu z p Z dt du y p Y zy =∂∂−=∂∂−ρρ11111xy z du p X x dt du p Y y dt du p Z z dtρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂对静止流体的欧拉平衡方程式和理想流体的欧拉运动方程式进行对比101010p X x p Y y p Z zρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂把上式的三个方程依次乘以i、j、k后相加可得理想流体运动方程的矢量形式，即：1d p dt ρ=uf -∇(,,)d dx dy dz dt dt dt dt==r u dz dtdu dy dt du dx dt du dz zpdy y p dx x p Zdz Ydy Xdx z y x++=∂∂+∂∂+∂∂−++)(1)(ρ由于稳定流时流线与迹线重合，质点沿流线运动，由流线上微元矢量（dx,dy,dz）与时间间隔dt所构成的导数便是流体质点的速度，即将欧拉拉运动微分方程式中各式分别乘以dzdy dx ,,相加得（4-4）伯努利方程的推导——分量方法式（4-4）等号右端可变为222211()()22y x z x x y y z z x y z du du du dx dy dz u du u du u du d u u u d u dt dt dt++=++=++=因此)(21)()(1)(2u d dp Zdz Ydy Xdx dz z p dy y p dx x pZdz Ydy Xdx =−++=∂∂+∂∂+∂∂−++ρρ1()()y x z du du du p p pXdx Ydy Zdz dx dy dz dx dy dzx y z dt dt dt ρ∂∂∂++−++=++∂∂∂•思考一下什么情况下左端的项可以消去？–静止流体–稳定流，且沿流线积分–稳定流，且沿涡线积分–稳定流，且为无旋流动•右端三项分别为：重力势能，动能和压力能•可以写成水头的形式，即单位重量流体的能量•利用伯努利方程，如何通过测压力来测量流速？CvpU E =++=22ρ伯努利方程的适用条件第三节开尔文涡线定理•开尔文涡线定理的表述–理想正压流体在有势力场中运动时，连续流场内沿封闭流体线的速度环量不随时间变化–如果理想流体初始状态静止或绕任意封闭流体线的速度环量为0，则流体运动必然是无旋运动–如果理想正压流体在势力场中运动时，如某一时刻无旋，则流场始终无旋。

流体动力学基础知识点一:流场的基本概念一、迹线某一质点在某一时段内的运动轨迹线。

图中烟火的轨迹为迹线。

二、流线1、流线的定义表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。

如图为流线谱中显示的流线形状。

2、流线的作法在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。

3、流线的性质a.同一时刻的不同流线，不能相交。

因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。

因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。

c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。

4、流线的方程在流线上某点取微元长度dl（不代表位移），dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，则：或流线的微分方程迹线与流线的比较：概定备念义注流线流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。

流线方程为：时间t为参变量。

迹线迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。

迹线方程为：式中时间t为自变量。

三、恒定流和非恒定流1、恒定流流体质点的运动要素只是坐标的函数，与时间无关。

――恒定流动过流场中某固定点所作的流线，不随时间而改变——流线与迹线重合2、非恒定流流体质点的运动要素，既是坐标的函数，又是时间的函数。

――非恒定流动质点的速度、压强、加速度中至少有一个随时间而变化。

迹线与流线不一定重合注意：在定常流动情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合。

在非定常流动情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合。