匀速圆周运动的实例分析之一(水平圆运动)

匀速圆周运动的实例分析本节是圆周运动实例，是高考对圆周运动知识考查的落脚点，我们应给予足够的重视核心知识1.向心力的来源向心力并不是一种特殊的、另外的力，它可以由一个力或几个力的合力来提供.在解决圆周运动有关问题时，分析向心力的来源是非常重要的，以下是几类典型情况.1)水平面的圆周运动①汽车转弯汽车在水平的圆弧路面上的做匀速圆周运动时(如图6-1甲所示)，是什么力作为向心力的呢?如果不考虑汽车翻转的情况，我们可以把汽车视为质点.汽车在竖直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一对平衡力；如果不考虑汽车行驶时受到的阻力，则汽车所受的地面对它的摩擦力就是向心力，如图6-1乙所示.如果考虑汽车行驶时受到的阻力F f，则静摩擦力沿圆周切线方向的分F t(通常叫做牵引力)与阻力F f平衡，而静摩擦力指向圆心的分力F n就是向心力，如图6-1丙所示，这时静摩擦力指向圆心的分力F n也就是汽车所受的合力.②火车转弯火车转弯时，是什么力作为向心力呢?如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F就是使火车转弯的向心力(如图6-2所示).设转弯半径为r，火车质量为m，转弯时速率为v，则，F=m .由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力F N的合力来提供，如图6-3所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtgα=mgtgα，故mgtgα=m ,通常倾角α不太大，可近似取tgα=h/d，则hr=d .我国铁路转拐速率一般规定为v0=54km/h,即v0=15m/s,轨距d=1435mm,所以hr为定值.铁路弯道的曲率半径r是根据地形条件决定的.2)竖直平面内的圆周运动①汽车过凸桥我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的质量为m，过最高点时的速度为v，桥面半径为r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如图6-4所示，重力G和桥对它的支持力F1的合力就是汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下(指向圆心)所以G-F1=m ，则F1=G-m .汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力故压力F1′＝F1＝G-m .②水流星水流星中的水在整个运动过程中均由重力和压力提供向心力，如图6-5所示，要使水在最高点不离开杯底，则N≥0由 N＋mg=m .则V≥2.离心现象与其原因物体作圆周运动时，如果m、r、v已确定，那么它所需要的向心力F＝m 就已确定.当外界不能满足它所需的向心力时，物体必将偏离圆轨道，其中有两种情况①F法＝0，沿切线离开圆心.②F法＜m 沿曲线远离圆心典型例题例1 长度不同的两根细绳，悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内作圆锥摆运动，如图6-6所示，则( )A.它们的周期相同B.较长的绳所系小球的周期较大C.两球的向心力与半径成正比D.两绳张力与绳长成正比分析设小球作圆锥摆运动时，摆长为L，摆角为θ，小球受到拉力为T0与重力mg的作用，由于加速度a水平向右，拉力T0与重力mg的合力ma的示意图如图6-7所示，由图可知mgtgθ=ma因a=ω2R= Lsinθ得T=2π ，Lcosθ为旋转平面到悬点的高度，容易看出两球周期相同T0sinθ=m LsinθT0= L一定，T0∝LF向＝r，F向∝r故正确选项为A、C、D例2 质量为m的汽车，以速度V通过半径R的凸形桥最高点时对桥的压力为，当速度V′＝时对桥的压力为零，以速度V通过半径为R凹型最低点时对桥的压力为 .分析汽车以速率V作匀速圆周运动通过最高点时，牵引力与摩擦力相平衡，汽车在竖直方向的受力情况如图6-8所示.汽车在凸桥的最高点时，加速度方向向下，大小为a=v2/R,由F=mamg-N1=mv2/R所以，汽车对桥的压力N1′=N1=mg-mv2/R当N1′=N1=0时，v′= .汽车在凹桥的最低点时，竖直方向的受力如图6-9所示，此时汽车的加速度方向向上，同理可得，N2′=N2=mg＋mv2/R.小结由分析可以看出，圆周运动中的动力学问题只是牛顿第二定律的应用中的一个特例，与直线运动中动力学的解题思路，分析方法完全相同，需要注意的是其加速度a=v2/R或a=ω2R方向指向圆心.例3 在水平转台上放一个质量为M的木块，静摩擦因数为μ，转台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为m的木块，如图6-10所示，求m与转台能保持相对静止时，M到转台中心的最大距离R1和最小距离R2.分析 M在水平面内转动时，平台对M的支持力与Mg相平衡，拉力与平台对M的摩擦力的合力提供向心力.设M到转台中心的距离为R，M以角速度ω转动所需向心力为Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，此时平台对M的摩擦力为零.若R1＞R，Mω2R1＞mg，平台对M的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律f+mg=Mω2R1，当f为最大值μMg时，R1最大.所以，M到转台的最大距离为R1=(μMg+mg)/mω2.若R2＜R，Mω2R2＜mg，平台对M的摩擦力水平向右，由F=ma.mg-f=Mω2R2f=μMg时，R2最小，最小值为R2=(mg-μMg)/mω2.小结本例实际上属于一个简单的连接体，直线运动中关于连接体的分析方法，在圆周运动中同样适用.例4 长L=0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接一个零件A，A的质量为m=2kg，它绕O点做圆周运动，如图6-11所示，在A通过最高点时，求下列两种情况下杆受的力：(1)A的速率为1m/s，(2)A的速率为4m/s.分析杆对A的作用力为竖直方向，设为T，重力mg与T的合力提供向心力，由F=ma，a=v2/R，得mg+T=mv2/RT=m(v2/R-g)(1)当v=1m/s时，T=2(12/0.5-10)N=-16N(2)当v=4m/s时，T=2(42/0.5-10)N=44N(1)问中T为负值，表明T与mg的方向相反，杆对A的作用力为支持力.讨论(1)由上式，当v= 时，T＝0，当v＞时，T为正值，对A的作用力为拉力，当v＜时，T为负值，对A的作用力为支持力.(2)如果把杆换成细绳，由于T≥0，则有v≥ .例5 如图6-12甲所示，质量为m的物体，沿半径为R的圆形轨道自A点滑下，A点的法线为水平方向，B点的法线为竖直方向，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物体滑至B点时的速度为v，求此时物体所受的摩擦力.解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道对其弹力与轨道对其摩擦力的作用，物体一般做变速圆周运动.已知物体滑到B点时的速度大小为v，它在B点时的受力情况如图6-12乙所示.其中轨道的弹力F N、重力G的合力提供物体做圆周运动的向心力，方向一定指向圆心.故F N-G=m F N=mg+m ，则滑动摩擦力为F1=μF N=μ(mg+m ).这里的分析和计算所依据的仍是普遍的运动规律——牛顿第二定律，只是这里的加速度是向心加速度.向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动得出的，但向心力公式F＝m 实际上就是牛顿第二定律的一种特殊形式，因此也适用于变速圆周运动.在变速圆周运动中，上式中的v必须用对应位置的瞬时速度值.由图6-12乙可知，物体所受的合力是轨道的弹力F N、摩擦力F1重力G这三个力的合力，方向应斜向上，在此我们再次看到物体做变速圆周运动时的向心力与其所受的合力是不同的.关于“匀速圆周运动的实例”的常见问题问题1: 地球以多高速度自转就失去大气层？维护地球大气层，使大气不至散失到宇宙的力是万有引力。

水平面内的圆周运动一、水平圆盘问题例1、水平圆盘以角速度ω匀速转动,距转动轴L的位置有一小物块与圆盘相对静止,小物块的向心加速度多大所受摩擦力多大对接触面有什么要求离轴近的还是远的物体容易滑动练习：质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点,当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时,求杆的OA段和AB段对小球的拉力之比;O A例2、中心穿孔的光滑水平圆盘匀速转动,距转动轴L的位置有一质量为m的小物块A通过一根细线穿过圆盘中心的光滑小孔吊着一质量为M的物体B,小物块A与圆盘相对静止,求盘的角速度;°变式：若圆盘上表面不光滑,与A的动摩擦因数为μ,则圆盘角速度的取值范围是多少例3、在半径为r的匀速转动的竖直圆筒内壁上附着一物块,物块与圆筒的动摩擦因数为μ,要使物块不滑下来,圆筒转动的角速度应满足什么条件例4、长为L的细线悬挂质量为M的小球,小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向夹角为θ,求1小球的角速度;2小球对细线的拉力大小;变式：一个光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定,质量为m的小球沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,圆锥母线与轴线夹角为θ,小球到锥面顶点的高为h,1小球的向心加速度为多少2对圆锥面的压力为多大3小球的角速度和线速度各为多少·θ思考：小球的向心加速度与小球质量有关吗与小球的高度有关吗若有两个小球在同一光滑的圆锥形筒内转动,A球较高而B球较低,试比较它们的向心加速度、对圆锥面的压力、线速度、角速度大小;二、临界问题例5：如图所示,洗衣机内半径为r 的圆筒,绕竖直中心轴OO ′转动,小物块a 靠在圆筒的内壁上,它与圆筒的动摩擦因数为μ,现要使a 不下落,则圆筒转动的角速度ω至少为A ．r g /μB ．g μC ．r g /D ．r g μ/例6：如图所示,细绳一端系着质量M ＝的物体,静止在水平桌面上,另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝的物体 m,已知M 与圆孔距离为,M 与水平面间的最大静摩擦力为2N;现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态g ＝10m ／s 2例7、如图所示,两根相同的细线长度分别系在小球和竖直杆M 、N 两点上,其长度分别为L 、R 且构成如图一个直角三角形,小球在水平面内做匀速圆周运动,细线能承受的最大拉力为2mg,当两根细线都伸直时,若保持小球做圆周运动的半径不变,求：小球的角速度范围变式、如图所示,两根相同的细线长度分别系在质量为m 的小球和竖直杆M 、N 两点上;小球在水平面内做匀速圆周运动,当两根细线都伸直时,小球到杆的距离为R,且细线与杆的夹角分别为θ和α,承受的最大拉力为2mg,若保持小球做圆周运动的半径不变,求：小球的角速度范围三、两个或多个物体的圆周运动例4：如图所示,A 、B 、C 三个物体放在水平旋转的圆盘上,三物与转盘的最大静摩擦因数均为μ,A 的质量是2m ,B 和C 的质量均为m ,A 、B 离轴距离为R ,C 离轴2R ,若三物相对盘静止,则A ．每个物体均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用B ．C 的向心加速度最大 C ．B 的摩擦力最小D ．当圆台转速增大时,C 比B 先滑动,A 和B 同时滑动例5：在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2,且m 1=2m 2,用细线把两球连起来,当盘架匀速转动时,两小球刚好能与杆保持无相对滑动,如右图所示,此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．1∶2四、课后作业1．在水平面上转弯的汽车,提供向心力的是A ．重力与支持力的合力B ．静摩擦力Mr o mgR v ≤μC ．滑动摩擦力 D ．重力、支持力、牵引力的合力 2．有长短不同,材料相同的同样粗细的绳子,各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,那么A ．两个小球以相同的线速度运动时,长绳易断B ．两个小球以相同的角速度运动时,长绳易断C ．两个球以相同的周期运动时,短绳易断D ．不论如何,短绳易断3．在一段半径为R 的圆孤形水平弯道上,已知弯道路面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍,则汽车拐弯时的安全速度是A ．v gR ≤μ B ． C ．v gR ≤2μ D ．v gR ≤μ 4．如图所示,A 、B 、C 三个小物体放在水平转台上,m A =2m B =2m C ,离转轴距离分别为2R A =2R B =R C ,当转台转动时,下列说法正确的是A ．如果它们都不滑动,则C 的向心加速度最大B ．如果它们都不滑动,则B 所受的静摩擦力最小C ．当转台转速增大时,B 比A 先滑动D ．当转台转速增大时,C 比B 先滑动5．如图所示,甲、乙两名滑冰运动员,M 甲=80kg,M 乙=40kg,面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演,两人相距,弹簧秤的示数为600N,下列判断中正确的是A ．两人的线速度相同,约为sB ．两人的角速度相同,约为5rad/sC ．两人的运动半径相同,都是D ．两人的运动半径不同,甲为,乙为6．汽车在倾斜的轨道上转弯如图所示,弯道的倾角为θ,半径为r ,则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是设转弯半径水平A ．θsin grB ．θcos grC ．θtan grD ．θcot gr7．一辆质量为1t 的赛车正以14m/s 的速度进入一个圆形跑道,已知跑道半径为50m,最大静摩擦力约等于滑动摩擦力,则：1此赛车转弯所需的向心力是多大2当天气晴朗时,赛车和路面之间的摩擦系数是,问比赛过程中赛车是否能顺利通过弯道3在雨天时,赛车和路面之间的摩擦系数是,问比赛过程中赛车是否能顺利通过弯道8．水平圆盘绕竖直轴以角速度ω匀速转动;一个质量为50kg 的人坐在离轴r=m/3处随盘一起转动;设人与盘的最大静摩擦力均为体重的倍,g取10 m/s2,求：1ω为多大时,人开始相对盘滑动;2此时离中心ｒ′= m处的质量为100kg的另一个人是否已相对滑动请简述理由;。

圆周运动的实例1.水平圆盘上的物体与圆盘相对静止绕过圆盘圆心的竖直轴转动.【例】 汽车在水平路面转弯可以看成是圆周运动.转弯半径是R,轮胎与地面的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.为了防止汽车侧滑,则汽车转弯的速度不能超过多少?（νgR v =）2.圆锥摆.【例】（2008广东）有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示,长为L 的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘,转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力,求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.（Lsin θr gtan θω+=）3.小球沿光滑漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动.【例】如图，内壁光滑的圆锥的轴线垂直于水平面，圆锥固定不动，两个质量相同的球A 、B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ AB ） A.球A 的线速度必大于球B 的线速度 B.球A 的角速度必小于球B 的角速度 C.球A 的运动周期必小于球B 的运动周期 D.球A 对筒壁的压力必大于球B 对筒壁的压力 【例】（2009广东）(1)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破。

飞机在河道上空高H 处以速度v 0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。

求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。

（不计空气阻力） (2)如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO 1转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R 和H,筒内壁A 点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m 的小物块.求: ①当筒不转动时,物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；②当物块在A 点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度. （① 22f HR mgh F +=， 22N HR mgR F +=，②R2gH ω=）4.汽车、火车在弯道行驶.【例】公路拐弯处路面造的内低外高,设路面与水平面的夹角为θ,设拐弯路段时半径为R 的圆弧,当车速为v 时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力为零,则θ应等于多少? （Rgv tan θ2=）Lr θ【例】公路急转弯处通常是交通事故多发地带。

5.7圆周运动的应用（一）水平面上的圆周运动例 1.一种叫做“魔盘”的娱乐设施.“魔盘”转动时,盘上的人都可以随盘一起转动,而不至于被甩开。

当盘的转速逐渐增大时,盘上的人便逐渐向边缘滑去,离转动中心越远的人,这种滑动的趋势越厉害.设“魔盘”的转速为6 r/min,一个体重为30 kg 的小孩坐在距轴心1 m 处(盘半径大于1 m)随盘一起转动(没有滑动).这个小孩需要的向心力有多大?这个向心力是什么力提供的?针对练习：一个水平的圆盘上放一个木块，木块随圆盘绕通过圆盘中心的竖直轴匀速转动。

1.确定圆心位置及半径2.分析受力并画在图上3.木块做圆周运动所需的向心力由 提供4.若木块质量为0.1kg ，圆盘转动角速度为2rad/s ，木块到圆盘 中心的距离是10cm ，求木块受到的各力大小和方向。

例2：如图，一根不可伸长的细绳一端固定，另一端栓一只的小球，小球在光滑的平台上做匀速圆周运动。

1.确定圆心位置及半径2.分析受力并画在图上3.小球做圆周运动所需的向心力由 提供针对练习．如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20cm 处放置一小物块A ，其质量为m ＝2kg ，A 与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k 倍（k ＝0.5），试求：（1）当圆盘转动的角速度ω＝2rad/s 时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？（2）欲使A 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？（取g=10m/s 2）（3）现用长为20cm ，不可伸长的绳子将小物块水平系在转轴上，使物块随盘转动，当ω＝1rad/s 时和ω＝6rad/s 时绳的拉力？（4）现用原长为15cm ，劲度系数k =400N/m 弹簧，将小物块水平系在转轴上，使物块随盘转动，已知物块离轴心r=20cm ，要使物块稳定运动，求ω的范围？ωθ例3：如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动1.试画出圆周运动的轨迹，确定圆心位置及半径2.分析受力并画在图上3.物体做圆周运动所需的向心力由 提供例4：如图所示，绳子一端固定，另一端拴一个小球在水平面内做匀速圆周运动，形成一个圆锥摆，1.确定圆心位置及半径2.分析受力并画在图上3.小球做圆周运动所需的向心力由 提供针对练习：火车转弯例5：把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。

公开课课题：水平面内的匀速圆周运动实例分析授课班级：高一5班授课时间：2019年4月23日授课教师：罗华权三维目标：1．知识与技能（1）会在具体问题中分析向心力的来源，明确向心力是按效果命名的力；（2）掌握应用牛顿运动定律解决匀速圆周运动问题的一般方法，会处理水平面内匀速圆周运动问题；（3）知道向心力，向心加速度的公式，并理解如何使用。

2．过程与方法（1）通过列举生活中圆周运动的例子，总结出这些多样的圆周运动的共同特点；（2）注意统一性和特殊性，注意一般方法和特殊方法，提高综合分析的能力。

3．情感、态度与价值观（1）通过对圆周运动受力的分析，体会到任何事物的变化和运动都能找到动力学原因从而领悟到因果的制约与被制约关系；（2）通过实际演练，使学生在巩固知识的同时，体会到物理就在我们身边，领略到将理论应用于实际解决问题而带来的成功的娱乐；（3）激发学生学习兴趣，培养学生关心周围事物的习惯。

教学重难点：1.重点：学会分析实际的向心力来源，能用向心力公式解决有关圆周运动的实际问题，其中包括汽车在水平面上的转弯、汽车在倾斜路面上的转弯、火车转弯等问题。

2.难点：汽车水平路面转弯的临界速度问题，和火车转弯最理想速度问题。

教学准备：教师准备：通过备课，准备PPT，并从网上收集一些图片和视频。

教学方法：本节采用教师讲授，学生分析问题的并将其用理论知识进行归纳整理的过程。

课时安排：1课时教学过程：（一）知识回顾：播放视频，复习向心力及向心加速度的计算公式。

（二）视频展示火车与汽车事故：火车和汽车都在转弯时发生事故，引导学生思考，如果才能避免或降低车转弯时事故的发生。

设置悬念，引发学生学习兴趣。

（三）新课教学1.汽车在水平路面上的转弯（1）向心力的来源：汽车在水平路面上转弯时，路面对汽车的静摩擦力提供汽车转弯所需的向心力。

（2）汽车在水平路面上转弯，靠的是轮胎与路面间的静摩擦力。

设汽车以速率v 转弯，要转的弯的半径为R ，则需要的侧向静摩擦力Rv m 2f =。

水平面内匀速圆周运动一：向心力来源分析请分析以下圆周运动的向心力来源（作受力图说明）。

二、实例分类分析（1）、水平圆盘问题2.质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑的水平面上绕O 点匀速转动时，求杆的OA 段和AB 段对小球的拉力之比。

3．水平圆盘绕竖直中心轴匀速转动，一小木块放在圆盘上随盘一起转动，且木块相对于圆盘保持静止，如图所示．以下各说法中正确的是（ ）A ．木块做匀速圆周运动，运动中所受摩擦力方向与其线速度方向相反B ．木块质量越大，就越不容易在圆盘上滑动C ．木块到转轴的距离越大，就越容易在盘上滑动D ．圆盘转动的周期越小，木块就越容易在盘上滑动 4．如图所示，半径为 R 的圆筒绕竖直中心轴 OO ′ 转动，小物块 A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为 μ，现要使 A 不下落，则圆筒转动的角速度 ω 至少为 （ ）A ．R g μB ．g μC ．R gD ．R g μ5．如图所示，OO ′为竖直轴，MN 为固定在OO ′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A 、B 套在水平杆上，AC和BC 为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO ′上．当绳拉直时，A 、B 两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时 （ ） A ．AC 先断 B ．BC 先断C ．两线同时断D ．不能确定哪根线先断8. 如图7所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。

现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？（g ＝10m ／s 2）光滑的水平面图 7（2、）圆锥摆问题11、长为L 的细线悬挂质量为M的小球，小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为θ，求(1)小球的角速度。

(2)小球对细线的拉力大小。