2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十九)

过平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋a ≥0，x ＋y ＋2≤0，若z，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥m ，)答案：C7．(2016·广东惠州二调)已知变量x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋4≥0，x≤2，x＋y－2≥0，则x＋y＋3x＋2的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤2，52 B.⎣⎡⎦⎤54，52C.⎣⎡⎦⎤45，52 D.⎣⎡⎦⎤54，2解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋4≥0，x≤2，x＋y－2≥0所对应的区域(如图阴影)，变形目标函数可得x＋y＋3x＋2＝x＋2＋y＋1x＋2＝1＋y＋1x＋2，表示可行域内的点与A(－2，－1)连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B(2,0)时，目标函数取最小值为1＋0＋12＋2＝54；当直线经过点C(0,2)时，目标函数取最大值为1＋2＋10＋2＝52，故答案为⎣⎡⎦⎤54，52答案：B8．(2016·云南师大附中月考)设实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，，则z＝yx＋xy的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤13，103 B.⎣⎡⎦⎤13，52C.⎣⎡⎦⎤2，52 D.⎣⎡⎦⎤2，103解析：设k＝yx，则z＝yx＋xy＝k＋1k，作出不等式组对应的平面区域如图．k的几何意义为过原点的直线的斜率．由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x－y－2＝0，x＋2y－5＝0，得若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则．最小值3＋2 2 ．最小值62＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝1＋2＋x 2y 2相切时，切点恰为(0,0)，故此时＝e 5－a ，故a ＝e 5＋1；结合图象可知，M (x ，y )是不等式组⎨⎧0≤x ≤y ≤3，，b 都是正实数，且满足a ＋b ＝ab ，即1a ＋9b ＝当且仅当a ＝1＋3，b ＝(如图所示)．显然，∴25－2a＝b，∴a220(0<a<5)，利用二次函数求最值，5)2＝4，即a2＋b2定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1)导函数f′(x)>0，原函数单调递增，<2，画出可行域如图．(2,0)时，k最小，最小值为12.所以所求目标函数的最小值为11.已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则xz＋4xz＋4z2＝1x＋4z＋4≤18，当且仅当xz＝ON的最大值为11.浙江温州十校联合体初考)若直线ax＋by＝4与不等式组＋b的取值范围是__________．由已知不等式组可画出其所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，，N(2,1)．令直线t＝a＋b，即；当直线t＝a＋b过点N时，t有最大值为3,3)．，y满足2x＋y－3＝0，则4y－xy。

C．綈p：对△ABC的任意两个内角α，β，cosα＋coБайду номын сангаасβ≤0；真命题
D．綈p：△ABC中存在两个内角α，β，cosα＋cosβ≤0；假命题
解析：∵p：对△ABC的任意两个内角α，β，都有cosα＋cosβ>0，∴綈p：在△ABC中存在两个内角α，β，有cosα＋cosβ≤0；假命题，理由是α＋β<180°，α<180°－β，∴cosα>cos(180°－β)，∴cosα＋cosβ>0，故选D.
答案：D
3．(2016·浙江杭州严州中学一模)已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|x2≤x}，则∁A∪B(A∩B)等于()
A．(－∞，0) B.
C．(－∞，0)∪ D.
解析：∵集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}＝{x|1－2x>0}＝ ，B＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≤1}，A∩B＝ ，∴∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪ ，故选C.
答案：D
2．(2016·山东泰安统考)已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N＝{x|x≥1}，则()
A．P＝MB．Q＝R
C．R＝MD．Q＝N
解析：集合P只含有一个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R＝{x|x∈R}，集合N＝{x|x≥1}．集合M的元素是函数y＝x2＋1图象上所有的点．故选D.
答案：C
4．(2016·河南实验中学期中)命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有()
A．0个B．2个

课时巩固过关练(九) 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2016·甘肃临夏期中)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A.142 B ．－142C.144 D ．－144解析：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos a ＝12.两边平方可得：1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∴1＋2sin αcos α＝74，∴(sin α＋cos α)2＝74.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝72. ∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.答案：B2．在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos2B －2cos B ，若f (B )＝2，则角B 为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：由已知f (B )＝4cos B ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B 2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B－2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos2B ＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，∵f (B )＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝1.又π3<2B ＋π3<73π，∴2B ＋π3＝π2，∴B ＝π12.答案：A 3．(2016·山东烟台一调)如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设直角三角形三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，增加的长度为d ，由已知a 2＋b 2＝c 2，在新三角形中，由余弦定理可得cos C ＝(a ＋d )2＋(b ＋d )2－(c ＋d )22(a ＋d )(b ＋d )＝a 2＋b 2－c 2＋2(a ＋b －c )d ＋d 22(a ＋d )(b ＋d )>0.又边长c ＋d 为最长边，故角C 最大且为锐角，∴新三角形为锐角三角形．答案：A 4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：由2a sin B ＝3b 及正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ，即sin A ＝32，结合0<A <π2可知A ＝π3.答案：D5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2，故选A.答案：A6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，sin A ＝45，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B ，则△ABC 的面积为( )A.83＋1825B.43＋925C.43＋950D.83＋925解析：由题意得，1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ，即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6，由a ≠b 得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，∴2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，∴C ＝π3.由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C 得a ＝85，由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.答案：A7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ac (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析：由题设得sin2A ＋sin(π－2B )＝sin(2C －π)＋12⇒sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝12⇒sin[2π－(2B ＋2C )]＋sin2B ＋sin2C ＝12⇒sin2B ＋sin2C －sin(2B ＋2C )＝12⇒sin2B (1－cos2C )＋sin2C (1－cos2B )＝12⇒4sin B sin C (sin B cos C ＋cos B sin C )＝12⇒sin A sin B sin C ＝18.由三角形面积公式S ＝12ab sin C 及正弦定理得S ＝12×4R 2sin A sin B sin C ，∴R 2＝4S ，又1≤S ≤2，∴4≤R 2≤8，∴bc (b ＋c )＝abc ×b ＋c a ＝8R 3sin A sin B sin C ×b ＋c a>R 3恒成立，∴bc (b ＋c )>8.故选A.答案：A 二、填空题 8．(2016·江西吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为__________．解析：在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋CD 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤43，故答案为4 3.答案：4 39．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C＝__________.解析：sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×25＋36－162×5×6＝1.答案：110．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝__________. 解析：∵b cos C ＋c cos B ＝2b ，由边角互化得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B ，∴a ＝2b ⇒ab＝2.答案：2 三、解答题11．(2016·江西高安段考)如图，在等腰直角三角形OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OPQ 中，∠OPQ ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋PM 2－2OP ·PM ·cos45°，得PM 2－4PM ＋3＝0，解得PM ＝1或PM ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin45°sin (45°＋α)＝2sin (45°＋α)，同理ON ＝2sin (75°＋α).S △OMN ＝12OM ·ON sin ∠MON＝1sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝134＋12sin (2α＋30°).∵0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，∴当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.12.如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60°的方向，且在港口A 北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30°的OD 方向以20海里/小时的速度驶离港口O .一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．(1)求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间；(2)给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？ 解：(1)由题意知，在△OAB 中，OA ＝120，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝60°.于是AB ＝60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时．(2)由(1)知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．在△OAB 中，OA ＝120，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝60°，所以OB ＝603，而在△OCB 中，BC ＝60t ，OC ＝20(2＋t )，∠BOC ＝30°，由余弦定理，得BC 2＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos ∠BOC ，即(60t )2＝(603)2＋[20(2＋t )]2－2×603×20(2＋t )×32，即8t 2＋5t －13＝0，解得t＝1或t ＝－138(舍去)．故t ＋2＝3.即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇．。

y＝ log2( x＋ 1)的图象，
答案： C 2． (2016 ·山东日照一中期中 )函数 f(x)＝ sinx＋ cos2x 的图象为 ( )
解析： 由于函数 f(x)＝ sinx＋ cos2x 不是奇函数，也不是偶函数，故它的图象不关于原点 对称，也不关于 y 轴对称，故排除 A 、 D.再根据当 x＝ ±π时，函数的值等于 1，故排除 C， 故选 B.
答案： B 3． (2016 ·福建三明一中月考 )函数 y＝ sixnx， x∈ (－ π，0)∪ (0， π的）图象可能是下列中的 ()
解析： 因为 f(－ x)＝ － x ＝ x ＝ f (x)，所以函数 y＝ x ，x∈ (－ π，0)∪ (0，π为）偶函
sin － x sinx
sin x
上的增函数， ∴ kx－ x2<1－ x 对一切 x∈ R 恒成立， 即 x2－ (k＋ 1)x＋ 1>0 对一切 x∈ R 恒成立，
故 Δ＝ (k＋ 1)2－4<0 ，解得－ 3< k<1，即 k 的取值范围为 (－ 3,1)．
Байду номын сангаас
3 (3)假设存在正数 m(m≠ 1)符合题意，由 f(x)过点 1， 2 可得 a＝ 2，由 a＝ 2 得 g(x)＝
2－m x 7． (2016 ·安徽浮山中学一模 )若函数 f( x)＝ x2＋ m 的图象如下图，则 m 的取值范围是
__________．
解析： ∵函数的定义域为 R，∴ x2＋ m 恒不等于零，由图象知，当 x>0 时， f(x)>0，∴
m>0,2－ m>0? m<2，又在 (0，＋ ∞ )上，函数 f(x)在 x＝ x0( x0>1) 处取得最大值，而