对称式和轮换对称式的因式分解

因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念(1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。

如a b +,22a ab b −+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。

一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++−−−，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的对称式。

(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。

如把a b −，22a b −中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b −=−−，2222()b a a b −=−−则a b −，22a b −就叫做关于,a b 的交代式。

(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的轮换式。

2、齐次对称式的一般形式(1)二元齐次对称式二元一次齐次对称式：)(b a L +；二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22；二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。

(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式：)(c b a L ++；三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++；三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。

一、基本概念：⑴对称式：在一个代数式中，如果把任意两个字母对换后，代数式保持不变，称这样的代数式为对称代数式，简称对称式．⑵轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次轮换后，代数式保持不变，称这样的代数式为轮换对称代数式，简称轮换式．把一个代数式中的字母按照某个顺序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，我们称这种变换字母的方法叫做轮换．⑶齐次式：如果一个多项式，它所有的项都具有相同的次数n ，则称这样的多项式为n 次齐次多项式．二、对称式与轮换式的性质：⑴对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式． 如222x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式．⑵关于相同字母的对称式或轮换式的和、差、积、商（商的除式不为零）仍是对称式或轮换式． ⑶若对称式或轮换式中含有某种形式的式子，则必定含有这种形式的同型式．如若关于x ，y ，z 的二次齐次对称式中若含有2ax 项，则一定含有2ay ，2az 项；若含有bxy 项，则一定含有byz ，bzx 项．⑷两个齐次式的积与商(商的除式不为零)仍为齐次式． 三、常见齐次对称式与齐次轮换对称式：a c 知识导航板块一 轮换对称式6轮换对称式的分解a c⑴判断多项式是否为轮换对称式；⑵对于轮换对称式，常用的方法是选定一个字母（例如x ）作主元，将其余字母看作常数，利用因式定理确定它的因式，再利用轮换对称式的性质，写出与其相关的因式（同型式）．x y【例1】 分解因式：()3333a b c a b c ++--- 【解析】 原式3()()()a b b c c a =+++【例2】 分解因式：()()()222a b c b c a c a b -+-+-【解析】 令a b =，则原式0=，根据因式定理与轮换对称式的性质，得()()()a b b c c a ---为原式的因式．比较其与原式的次数，设原式()()()k a b b c c a =---，k 为常数． 比较等号两边2a b 项的次数，得1k =-．故原式()()()a b b c c a =----．【例3】 分解因式：()()()333a b c b c a c a b -+-+-【解析】 令a b =，则原式0=，根据因式定理与轮换对称式的性质，得因式：()()()a b b c c a ---．比较其与原式的次数，设原式()()()()k a b b c c a a b c =---++，k 为常数． 比较等号两边3a b 项的次数，得1k =-．故原式()()()()a b b c c a a b c =----++．【例4】 分解因式：()()()()4444444a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++【解析】 当0a =时，原式()()4444440b c b b c c b c =+--+-++=，因此有因式()0a -，即有因式a ．根据轮换对称式的性质，原式有因式abc ．比较原式与abc 的次数，设原式()kabc a b c =++，k 为待定系数． 令1a =，1b =，1c =-，得11600111k ---+++=-，解得12k =． 因此原式()12abc a b c =++．经典例题【例5】 ⑴分解因式：2222222x y xy y z yz z x zx xyz ++++++⑵分解因式：2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-【解析】 ⑴原式为关于x 、y 、z 的齐次对称式，当x y =-时，原式0=，故原式有因式()()()x y y z z x +++．设原式()()()k x y y z z x =+++，比较比较2x y 项的系数，得1k =．故原式()()()x y y z z x =+++．⑵注意原式并非关于x 、y 、z 的齐次对称式，而是关于x 、y 、z 的齐次对称式． 将上题中的z 替换成z -即可，原式()()()x y y z x z =+--．【例6】 已知：a ，b ，c 为ABC △三边边长．求证：()()()2223334a b c a b c b c a c a b abc ++------<．【解析】 即证()()()22233340a b c a b c b c a c a b abc ++-------<，左边为轮换对称式，试根得a b c =-时，原式0=，根据因式定理及轮换对称式的性质， ()()()a b c b c a c a b +-+-+-为其因式．设左()()()k a b c b c a c a b =+-+-+-，k 为待定系数．比较系数或赋值得1k =-，故左()()()a b c b c a c a b =-+-+-+-．∵a ，b ，c 为ABC △三边边长，∴a b c +>，b c a +>，c a b +>，因此左0<，得证．欧拉公式：()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---特别地，①当0a b c ++=时，有3333a b c abc ++=． ②当3333a b c abc ++=时，则有0a b c ++=或a b c ==．【例7】 ⑴分解因式：3333a b c abc ++-⑵分解因式：()()3328a b b a -+--+⑶分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【解析】 ⑴轮换对称式的因式分解：当a b c =--时，原式0=，由因式定理知原多项式有因式()a b c ++，设()()()3332223a b c abc a b c m a b c n ab bc ca ⎡⎤++-=+++++++⎣⎦令0a =，0b =，1c =，得1m =；令0a =，1b c ==，得1n =-．所以原式()()222a b c a b c ab bc ca =++++---⑵原式()()62a b b a =---⑶原式()()()152332x y x y y x =---经典例题知识导航板块二 欧拉公式【例8】 ⑴计算：333201610161000300020161016---⨯⨯⑵计算：3332000100199920001001999--⨯⨯．⑶已知a ，b ，c 为ABC △的三边边长，且满足方程组33393a b c abc ⎧++=⎨=⎩，试判断ABC △的形状．【解析】 ⑴由公式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，故原式[][]2016(1016)(1000)0=+-+-⨯= ⑵分子=()()3333332000100199920001001999--=+-+-，又()()200010019990+-+-=，故分子()()320001001999=⨯⨯-⨯-320001001999=⨯⨯⨯因此原式3=．⑶由已知，有3333a b c abc ++=，故33330a b c abc ++-=，即()()2220a b c a b c ab bc ca ++++---=．∵a ，b ，c 为ABC △的三边长，∴0a b c ++>；∴2220a b c ab bc ca ++---=，即()()()222102a b b c c a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦； 故a b c ==，ABC △为等边三角形．【拓1】 分解因式：()()()555y z z x x y -+-+-．【解析】 类似之前的例题可知()()()x y y z z x ---是原式的因式。

10 .轮换式与对称式关于x 、y 的多项式)1(,,,*,,223322 xy y x y x y x xy y x ++++在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 的对称式.类似地，关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)2(,,22/2222 xyz y z x z x y z y z x y x +++++在字母x 、y 、z 中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 、z 的对称式．关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)3(,,,222222 xyz zx yz xy x z z y y x ++++在将字母x 、y 、z 轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变，这样的多项式称为x 、y 、z 的轮换式，显然，关于x 、y 、z 的对称式一定是x 、y 、z 的轮换式．但是，关于x 、y.z 的轮换式不一定是对称式．例如，x z z y y x 222++就不是对称式，次数低于3的轮换式同时也是对称式，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）． 轮换式与对称式反映了数学的美．它们的因式分解也是井然有序，可以按照一定的规律去做的．10.1 典 型 方法例1 分解因式：).()()(222y x z x z y z y x -+-+- 解 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-是关于x 、y 、z 的轮换式．如果把)()()(222y x z x z y z y x -+-+-看作关于x 的多项式，那么在y x= 时，它的值为 .0)()()(222=-+-+-y y z y z y z y y因此，根据第8单元，y x -是)()()(222y x z x z y z y x -+-+-的因式．由于）（y x z x z y z y x -+-+-222)()(是x 、y 、z 的轮换式，所以可知z y -与x z -也是它的因式，从而它们的积))()((x z z y y x --- (4)是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+- (5)的因式．由于(4)、(5)都是x 、y 、z 的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有).)()(()()()(222x z z y y x k y x z x z y z y x ---=-+-+- (6)现在我们来确定常数k 的值．为此，比较(6)的两边y x 2的系数：左边系数为1，右边系数为-k ，因此，于是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-).)()((x z z y y x ----=例2 分解因式：).()()(333b a c a c b c b a -+-+-解 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-是关于a 、b 、C 的轮换式．与例1类似，它有三次因式 ).)()((a c c b b a ---由于原式是a 、b 、c 的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a 、b 、c 的四次齐次式，所以这个一次因式也是a 、b 、c 的一次齐次式，即它的常数项是0（否则，它的常数项与三次式))()((a c c b b a ---相乘得到一个三次式）．这个一次齐次式是a 、b 、c 的轮换式，它的形状应当是k c b k ),(++α是常数．即有)()()(333b a C a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a k ---++= (7)比较两边b a 3的系数，得k=-1．于是 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a ---++-=上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使0))()()((=/---++a c c b b a c b a的数代替a 、b 、c ，从而定出k ，例如，令,0,1,2===c b a把它代入(7)，得),2(3028-⋅⋅=+-k即 .1-=k以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．例3 分解因式.)()()()(3333c b a b a c a c b C b a -+--+--+-++解 在0=a 时，原式的值为,0)()()()(3333=----+-+c b b c c b c b所以a 是原式的因式．由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以b 、c 也是它的因式，从而有,)()()()(3333kabc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++ (8)其中k 是待定系数．令,1===c b a 得,11133333k =---即 ,24=k所以.24)()()()(3333abc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++在(3)中列出的各式称为基本的轮换式．每一个轮换式都能由它们组成，例如：一次齐次的轮换式是);(z y x l ++二次齐次的轮换式是);()(222zx yz xy m z y x l +++++三次齐次的轮换式是.)()()(222222333kxyz zx yz xy n x z z y y x m z y x l +++++⋅++++这里，L 、m 、n 、k 都是待定的常数．10.2 齐 次 与 非 齐 次例4 分解因式：.)()()(555y x x z z y -+-+- 解 用上面的方法易知原式有因式).)()((x z z y y x ---因为原式是x 、y 、z 的五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式，我们设555)()()(y x x z z y -+-+-)].()()[)()((222zx yz xy m z y x l x z z y y x +++++---= （9）令,0,1,2===z y x 得),25(21321m l +-=+-即 .1525=+m l （10）令,1,0,1-===z y x 得),2(21321m l --=+-即 .152=-m l （11）由(10)、(11)这两个方程，解得⎩⎨⎧-==,5,5m l 于是 555)()()(y x x z z y -+-+-)](5)(5)[)()((222zx yz xy z y x x z z y y x ++-++---=).)()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=在例4中，任给一组x 、y 、z 的值(当然不能使(x- y) (y-z) (z-x)为0)，都可以得到一个形如(10)或(11)的方程，不过为了便于计算，以较小的值代人为好．在例4中，如果注意到,5)(455 +-=-z y y z y那么比较(9)式两边z y 4的系数，可以得 ,5l -=-再结合(10)或(11)中的任一个，可以得出.5-=m 这种做法更简单一些．例5 分解因式：.)(555b a b a ---解 原式在a 、b 互换时变号，它不是a 、b 的轮换式（二元的对称式与轮换式是一致的）．但是，如果改记-b 为c ，那么原式成为,)(555c a c a +-+是a 、c 的轮换式，因而也可以采用前面的方法去处理．不过，应当注意到，更简单的办法是在例4中令,,b C x z a z y -==-=-那么 ,a b y x -=-555)(b a b a ---555)()()(y x x z z y -+-+-=))()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=2)()()().(5222x z z y y x b a ab -+-+--= 2)().(5222a b b a b a ab -++-= ).)((522ab b a b a ab -+-=由此可以看出，做题的时候应当充分利用已有的结果．例6 分解因式：).1)(()1)(1)((2222yz x z xz xy z y +-+++-).1)(1)(()1(22zy zx y x yx ++-++ 解 这是x 、y 、z 的轮换式，容易知道它有因式),)()((y x x z z y ---但是另一个因式是什么呢？原式并非齐次式，为了便于处理，我们按照次数把它整理一下．由于,1)()1)(1(+++⋅=++z y x x xyz xz xy所以 )1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+ )]()()([222222y x z x z y z y x xyz -+-⋅+-=)]()()[(222222y x x z z y -+-+-+)])(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++)]()()([222222y x z x x y z y x xyz -+-+-= )].)(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++于是，例题中的非齐次式化为两个齐次式的和，用前面所说的方法可得齐次式)()()(222222y x z x z y z y x -+-+-),)()((x z z y y x ---=))(())(())((222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-+).)()()((z y x x z z y y x ++---=所以得)1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+).)()()((z y x xyz x z z y y x +++---=10.3 abC C b a 3333-++例7 分解因式：.3333abc c b a -++解 在)(c b a +-=时，有abc C b a 3333-++)(3)(333c b bc C b c b +++++-=2233322333)33(bc c b C b c bc c b b +++++++-=,0=所以c b a ++是abc c b a 3333-++的因式，显然，abc c b a 3333-++是a 、b 、c 的三次齐次轮换式，我们设abc C b a 3333-++)].()()[(222ca bc ab m C b a l c b a +++++++=（12） 比较两边3a 的系数得,1=l 比较abc 的系数得,33m =-即 ,1-=m所以 abc c b a 3333-++ ).)((222ca bc ab c b a c b a ---++++= （13）有的时候也把(13)写成abc c b a 3333-++)13].(2)()())[((2122a c c b b a c b a -+-+-++=(13)与)13(/也可以作为公式来使用．例8 分解因式：-+--++-++-+b a b a c a c b c b a (3)()()(333).)()(b a c a c b c -+-+ 解 由公式),13(/得333)()()(b a c a c b c b a -++-++-+))()((3b a c a c b c b a -+-+-+-)].()()[(21b a c a c b c b a -++-++-+=22)]()[()](){[(b a c a c b a c b c b a -+--++-+--+})]()[(2c b a b a c -+--++ ])(4)(4)(4)[(21222b c a b c a c b a -+-+-++= ])()())[((2222b c a b c a c b a -+-+-++=).)((4222Ca bc ab C b a C b a ---++++=本题的结果表明将abc c b a 3333-++中的a 、b 、c 分别用a+b-c 、b a c a c b -+-+、代替后，所得的式子为原来的4倍，从(13)可以看出，如果,0=++c b a 那么,3333abc c b a =++这也是一个有用的结论．例9 分解因式：.)()()(333y x x z z y -+-+- 解 因为 ,0)()()(=-+-+-y x x z z y所以 333)()()(y x x z z y -+-+- ).)()((3y x x z z y ---=10.4 焉 用 牛 刀例10 分解因式：.2)()()(222333xyz y x z x z y z y x z y x -++++++---解 在z y x +=时，有原式)(2)2()2()()(22333z y yz z y z y z y z y z y z y +-++++++--+-=β)(2)]2([)]2([2323z y yz z y z z y z y y +-++-+++-=y z z y z z y z y y z y 222222)2()2(---++-+=y zz y y x z y 22222222 ⋅--+= ,0=所以，x- y-z 是原式的因式．由于原式为x 、y 、z 的三次轮换式，我们设xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++--- ),)()((y x z x z y z y x k ------=比较3x 的系数，得k=-1，于是 xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++---))()((y x z x z y z y x -------=).)()((z y x y x z x z y -+-+-+=例11 分解因式：.3222222xyz zx yz xy x z z y y x ++++++解 这个三次式如果能分解，那么它必有一次因式，这一次因式是齐次的轮换式，即x+y+z ．事实上，把x 用一(y+z)代入后原式为0.不过，没有必要去验证这一点，因为原式不难直接分解．由 ),(22z y x xy xyz xy y x ++=++),(22z y x yz xyz yz z y ++=++),(22z y x zx xyz zx x z ++=++可得 xyz zx yz xy x z z y y x 3222222++++++ )./)((zx yz xy z y x ++++=杀鸡焉用牛刀！特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每一道题都非得用一般的方法去对付不可．10.5 整 除 问 题例12 证明：322243222432224)()()(c b a c b a C b a c b a -++-++-+能被222222444222a c c b b a c b a ---++整除．证明 由第4单元例6，可得222222444222a c c b b a c b a ---++),)()()((c b a b a c a c b C b a -+-+-+++-=因此，只要证明 ))()()((c b a b a c a c b c b a -+-+-+++是.)()()(322243222432224C b a c b a c b a C b a -++-++-+ (14)的因式即可，在a=b+c 时，(14)式的值为4222432224])([])([)(b c b C b c b c b c b -++++-++32224])[(c b c b c -+++32432434)22()22()2()(bc b c bc cb bc c b ++++-+= 343334433)(8)(8)(8c b c b c b c b c b c b +++++-=])([)(8333c b c b C b c b +++-+=,0=所以c b a --是(14)的因式．由于在a 变号时，(14)的值不变，所以)(c b a +-=时，(14)的值仍然为0．即c b a ++也是(14)的因式．(14)是a 、b 、c 的轮换式；因而b a c a c b ----、也是它的因式，从而))()()((b a c a c b c b a c b a ------++是(14)的因式，这就是要证明的结论．例13 n 是大于1的自然数，证明n n n n n n n z y x y x x z z y z y x 2222222)()()()(++++-+-+-++ )15(能被4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++ （16）整除，证明 在x=0时，(15)的值为,0)()(222222=++--+-+n n n n n n z y y z z y z y因此，x 是(15)的因式．在)(z y x +-=时，(15)的值为,0)()(222222=--++--+-n n n n n n z y z y z y z y因此，z y x ++是(15)的因式．由于(15)是轮换式，所以)(z y x xyz ++ （17）是它的因式．特别地，在n=2时得到(17)是(16)的因式．(16)与(17)都是四次式，因此它们至多相差一个常数．(15)能够被(17)整除，所以(15)也能够被(16)整除，10.6 原 来 是 零例14 分解因式： -----+-+-c c b b a b a a c c b ()()9)()()(22666（----332)()(2)c a b a a .)()(2)()(23333b c a c a b c b ----- )18( 解 易知b a =时(18)为0，从而导出(18)有因式).)()((a c c b b a ---在a=0时，(18)的值为333333222666)(2)(22)(9)(b c c b c b c b c b c b b c c b -------++-)2()(9]22)[()(33662223333c b c b c b c b c b c b c b -++--+---=-+--+--+--=32223332233)(9]2233[)(b c b c b c b C bc c b b c b （23)cbc b c b c b c b c b bc b c c b +-+---+--=2222222333)()(9)]33()[()(（22)c +2222223)[()()](3))([()(c bc b c b b c bc b bc c b c c b ++-+-+++--=])3(2bc -22222224)(3()()4()(c bc b bc c bc b c b b bc c c b +++++-+++--=)3bc -)4()()4()(224224C bc b c b b bc C c b ++-+++--=,0=于是a 是(18)的因式，从而))()((a c c b b a abc ---是(18)的因式．由于(18)的次数为6，所以设222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------).)()((a c c b b a kabc ---=令,1,2,3===c b a 得3333222666)1(.122122119121-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯-++33)1()2(2-⨯-⨯-,12k -=即 ,012=-k于是 ,0=k从而 222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------.0=表面上(18)是一个6次式，实质上，它等于0，这是有一点出乎意料的．0无需进行分解，每一个（非零）多项式都是它的因式．例15 分 解 因 式：).2()()2()()2()(333c b a b a b a c a c a c b c b -+-+-+-+-+-解 容易验证在a=0与a=b 时，原式的值为0．因此，a(a-b)是它的因式，由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以))()((a c c b b a abc --- (19)是它的因式．但(19)是6次式，而原式的次数≤4，这说明原式必须为0，即.0)2()()2()()2()(333=-+-+-+-+-+-c b a b a b a c a c ac b c b )20( 例16 证明.0)2)(()2)(()2)((333=-+-+-+-+-+-z y x y x y x z x z x z y z y分析 本题可以按照例15的办法处理．不过，更简单地是在(20)中令,,,y x c x z b z y a -=-=-=便得到)33()2()33()2(33x x y z x y z x y z --++--+)33()2(3x y z x y --++,0=从而导出了要证明的结论．10.7 四 元 多项 式例17 分解因式：.)())(()(44d b a c d a c b d a c b --++----+).)(()())((4d c b a d c b a d b a c ----++--解 原式是a 、b 、c 的轮换式，用前面的方法易知它有因式 ).)()((a c c b b a ---另一方面，把原式看成d 的多项式，在d=a 时，易知它的值为0．因此，原式有因式d -a ．再由轮换性，它也有因式d-b ，d-c 于是))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，因为原式是a 、b 、c 、d 的6次式，我们设 ))(()())(()(44d b a c d b a c d a c b d a c b ----++----+))(()(4d c b a d c b a ----++ ).)()()()()((c d b d a d a c c b b a k ------=令,2,1,0,1=-===d c b a 得.16=k 即原式 ).)()()()()((16c d b d a d a c c b b a ------=例18 分解因式：).)(())()((222222a d d c a d c b d d c c b d c b ------)()(222a d b a k c a -- ).)()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------解 原式是a 、b 、c 的轮换式，和上题类似，可得))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，则))()(())()(([222222c a a d d c a d c b d d c c b d c b -------)(222a d b a d -+)])()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------))()([(a c c b b a ---÷)])()((c b b d a d ---所得商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次式，并且，在a 、b 、c 、d 中，任意两个字母互换时，商式保持都不变（请读者自己观察一下），说明商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次对称式．又原式对每一个字母来说，都是四次多项式，----d a c c b b a )()()(())()(c d b d a --对每一个字母来说，都是三次多项式，所以商式对每个字母来说，是一次多项式，因此，商式的形式是).(dab cda bcd abc l +++由待定系数法易知L=l ，于是原式).)()()()()()((dab cda bcd abc c d b d a d a c c b b a +++------=小 结轮换式与对称式的分解通常是：首先，把它看成一个字母的多项式，用第8单元的方法导出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式．非齐次的轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加后分解．特殊的轮换式可能有比较简便的特殊的方法，不一定非用一般的方法去分解．))((3222333ca bc ab C b a C b a abc c b a ---++++=-++可以作为一个公式使用，在0=++c b a 时，.3333abc C b a =++这两个结论都有不少应用．习 题10将以下各式分解因式：1 ).()()(b a ab a c ca c b bc -+-+-2 .2222222abc ab b a ca a c bc c b ++++++3 .2222222abc bc c b ac c a ab b a -++-+-4 ).()()(222222b a c a C b c b a -+-+-5 .)(3333z y x z y x ---++6 .))(())(())((222b a b a a c a c c b c b +-++-++-7 ).())()(())()((b a a c b a c b a c c b a c b a c b -+-++--+-++--)(b a c +-).(b a c -+8 .4)()()(222xyz y x z x z y z y x -+++++9 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-+--++-++-+).(c b a -+ 10 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-++-++-++-+).(c b a -+11 ).())(())((a c b c a c b c b a b c b a b a c a -++-+-++-+-+)()(a c b b a c -++-+ ).)((c b a b a c -+-+12 ).)(())(())((5333b c a c c a b c b b c a b a a abc C b a ---------+++ 13 ).()()(333b a ab a c ca C b bc C b a ++++++++14 +--+-++-++-+))((2)2()2()2(22222c a b a c b a c b a c b a c b a ))((222a b c b -- ).)((222b c a C --+15 .1333-++ab b a16 .8)1(1827)1(2332+++-+y x y x 17 .)()()(333333bx ay C az cx b cy bz a -+-+-18 .)()()(333b a c a c b c b a -+-+-19 .))(())(())((333b a b a a c a c c b c b +-++-++-20 )()()()()(222222222c b a c b a abc b a c a c b c b a +++++++++++).(ca bc ab ++ 21 ).()()(444b a c a c b c b a -+-+-22 ).()()(222222b a b a a c a c c b c b -+-+- 23 ).()()(444444b a c a c b c b a -+-+-24 .)(555b a b a --+25 .)(5555z y x z y x ---++26 .)()()()(5555c b a b a C a c b c b a -+--+--+-++ 27 .)()()(323232y x z x z y z y x -+-+-28 .))(())(())((444b a b a a c a c c b c b +-++-++- 29 ).)(())()(())()((222b c a c c a c a b c b b c b c a b a a +++-+++-++).(b a -30 ++++-++-++-+)()()()(222232323C b a abc c b a c b a c b a c b a ab c b a -++222（ ).)()()(c b a b a c a c b ca bc -+-+-+--31 ).()()(224224224b a c a c b c b a -+-+-32 ).()()(555b a c a c b c b a -+-+- 33 .)()()(555b a c a c b c b a -+-+-34 .)2()2()()(4222322b a b a b a b ab a ++--++35 .)(777y x y x +-+36 ).()()(333333b a b a a c a c c b c b -+-+- 37 ).()()(663663663y x z x z y z y x -+-+-38 ).)(())()(())()((333b a a d c c a a d d c b b d d c c b a --+-------3)(d d b --)(b a - ).)((a c c b --习题答案。

八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。

初二对称式和轮换对称式分解因式题①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz先说明一下,这三题比较难,省略了一些过程,请你自己补充完整.(1) 分析:将原式看成X的多项式,可知当X=－Y时,原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5=0所以原式有因式(X＋Y),同理原式还有因式(Y＋Z),(Z＋X)设原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)]令X=1,Y=1,Z=0,代入得30=2(2K＋T);令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T)解得K=5,T=5所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX)2) 分析设原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3]然后利用立方差和立方和公式展开,并令整理后的式子=(2A＋B＋C)(M－N)其中由轮换多项式可确定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C)比较系数的原式=3(2A＋B＋C) (A＋2B＋C)(A＋B＋2C)(3)分析设X=Y＋Z,则有原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ=(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0所以原式有因式(Y＋Z－X),同理有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z)设原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)其中K为待定系数,比较等式两边XYZ项的系数右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K左=－2所以解得K=1所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5＝[-a^4×(b-c)-b^4 ×(c-a)-c^4 ×(a-b)]×(-5)＝-5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3＝(2a+2b+2c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3…………③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz ②③可以参考第①题a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5＝[-a^4×(b-c)-b^4 ×(c-a)-c^4 ×(a-b)]×(-5)＝-5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3＝(2a+2b+2c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3…………③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz 依此类推。

因式分解的高级方法一．双十字相乘法1．双十字相乘法原理计算()()22235316731385x y x y x xy y x y -++-=--++-．从计算过程可以发现，乘积中的二次项22673x xy y --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y +，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

2．所以运用双十字乘法对22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++型的多项式分解因式的步骤： （1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D ． 二．对称式与轮换对称式【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

轮换对称式因式分解对称轮换式对称多项式和轮换多项式的因式分解【定义1】一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。

多项式中的任意两个字母互换，多项式保持不变例如，x y，xyx y，x2 y2 z2，xy y z z x都是对称式。

xy由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式中，若有ax项，则必有ay3，az3项；若有bx2y项，则必有bxz，by2z，by2x，bz2x，bz2y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

【定义2】一个n元代数式中的所有字母顺次轮换（如x y,y z,z,... x）后，代数式保持不变，那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。

例如，a(x2 y2 z2)是对称式也是轮换式；b(x2y y2z z2x)是轮换式，但不是对称式。

对称式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是轮换式；齐次（各项的次数均等于同一个常数r）对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：a(x y)，二次：a(x2 y2) b xy；三次：a(x3 y3) b xy(x y)（2）三元齐次对称多项式一次：a(x y z)；二次：a(x2 y2 z2) b(xy y z z x)333222x(y z) y(z x) z(x y) 三次：a(x y z) b c xyz 322．分解因式（1）f(x，y) (x x y y) 4xy(x y)3（3）f(x，y，z) (x y) y z z x3322222（4）f(x，y，z) x y y z z x x y z x yz（5）f(x，y，z) x4 y z y4 z x z4 x y333（6）f(x，y，z) x y z x y z333222222（7）f(x，y，z) x y z x y z y z x z x y2xyz 3（8）f(x，y，z) x2y x y2 x2z x z2 y2z y z2 3xyz222333（9）f(x，y，z) x y z y z x z x y x y z2xyz（10）f(a，b，c，d) b cd c da d ab a bc b c a d c d a b d b a c2练习答案与提示：1．5(x y)(y z)(z x)(x2 y2 z2 x y y z z x)2．（1）可设f k(x2 A xy y2)(x2 B xy y2)，可求得k 1，A B 1（2）可设f kxyz(x y z)，可求出k 12（3）可设f k(x y)(y z)(z x)，可求出k 3（4）可设f k(x y)(y z)(z x)，可求出k 1222（5）f (x y)(y z)(z x) A(x y z) B(xy y z z x) ，可求出A B 1（6）3(x y)(y z)(z x)（7）(x y z)(y z x)(z x y)（8）(x y z)(xy y z z x)（9）(x y z)(y z x)(z x y)（10）当a b c d时，f 0，∴f有abcd的因式，可设2222f abcd A(a b c d) B(ab b c c d d a a c b d) ，，B 2，∴f abcd(a b c d) 可求得A 12百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。

一.定义在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy, 都是对称式.其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。

如 是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例题 求方程x+y=xy 的整数解。

分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。

解： ∵ x+y=xy∴ (x-1)(y-1)=1.解之，得 x-1=1,y-1=1;或 x-1=-1, y-1=-1.∴ x=2 y=2或 x=0 y=0关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的轮换对称式.简称轮换式.例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b),2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ） ， . 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式：y x 11+222()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)＝－ (a －b) (b －c) (c －a)例如：轮换式a3(b －c)+b3(c －a)+c3(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项.４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.等也都是对称式.又如：也都是轮换式。

轮换对称多项式因式分解
因式分解是数学分析的基本操作之一，它是将一个一次对称多项式分解为几个因式的乘积。

在学习数学分析时，大家都会学习如何使用因式分解来解决问题，但实际上，因式分解的
概念可以更广泛地应用于轮换对称多项式的分解。

轮换对称多项式是指多项式中出现的变量，无论其位置怎么改变，相同变量之间的顺序必
须保持不变。

例如，<a+b+c>是轮换对称多项式，其中a,b,c是变量，a、b、c之间的顺序可以改变，例如b+c+a也是轮换对称多项式，两者具有相同的系数。

在轮换对称多项式中，因式分解首先将一个轮换对称多项式分解为几个不同的因式，然后
将每个因式与另一个特定的多项式相乘，最终完成分解。

例如，将<a+b+c>因式分解，得
到(a+b)·(b+c)·(c+a)。

轮换对称多项式的因式分解技术可以应用于多项式的分析。

它可以用来确定多项式的极限，解决带有未知变量的方程，以及计算多项式在特定条件下的结果。

因此，因式分解在轮换
对称多项式中，也能够给数学题目带来更多帮助。

总之，因式分解是一种有用的数学工具，也是轮换对称多项式的分解的重要技术。

无论是
求解多项式的极限，解决特定方程，或是计算出某些多项式的结果，因式分解都能帮助我
们更好地完成任务。

因式分解3：对称式、轮换式、及应用一、对称式和轮换对称式对称式和轮换对称式是特殊的代数式，根据其结构对称的特点，可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质，利用这些性质，可以简便地解决有关对称的问题.(1) （完全）对称式如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么就说原来的代数式关于这些字母呈对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.例如，a b c ++，222x xy y ++，1ab，3333a b c abc ++-等都是对称式，但a b c --、1x y -、23a b c ++就不是对称式.(2) 轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母……把最后一个字母换成第一个字母，我们把这种变换字母的方法叫作轮换.如果通过轮换后所得到的代数式和原来的代数式恒等，那么就把原来的代数式叫作关于这些字母的轮换对称式.例如，222x y y z z x ++中将x 以y 代换，y 以z 代换，z 以x 代换，则得222y z z x x y ++，它与原式完全相同，所以222y z z x x y ++是关于x 、y 、z 的轮换对称式.（3）交代对称式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。

例如a b -，22a b -。

(4) 齐次轮换对称式如果轮换对称式中的各项的次数相等，那么就把这样的代数式叫作齐次轮换对称式.(5) 基本性质① 任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.② 对称式的和、差、积、商也是对称式.③ 轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.④ 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.⑤ 一个m 次对称式乘一个n 次对称式，其积必为一个m n +次对称式．(6) 齐次轮换、对称式的因式分解：因式定理、待定系数法结合因式定理、待定系数法来分解因式，例如齐次轮换式()()()222a b c b c a c a b -+-+-，当a b =时，原式的值为0．根据因式定理可知：原式必有因式()a b -，同样的必有因式()b c -和()c a -，所以()()()()()()222a b c b c a c a b k a b b c c a -+-+-=---，可求得1k =-．例1 333()()()x y z y z x z x y -+-+-答案：33333333322()()()()()()()[()()]()()()()x y z y z x z x y x y z x z y zy z y y z x z zy y x zy y z y z z x x y x y z -+-+-=-+-+-=--++++=------例2 ()()ab bc ca a b c abc ++++-答案：上式中令0a b +=，则()()[()][())]0ab bc ca a b c abc ab b a c a b c abc abc abc ++++-=++++-=-=即a b +为上式中的一个因式，由轮换性知，,b c c a ++都是上式的一个因式 设()()()()()ab bc ca a b c abc k a b b c c a ++++-=+++ 待定系数法得1k =()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++例3 3333()x y z x y z ++---答案：上式中令0x y +=，则33333333()()0x y z x y z z x x z ++---=----=即x y +为上式中的一个因式，由轮换性知，,y z z x ++都是上式的一个因式设3333()()()()x y z x y z k x y y z z x ++---=+++待定系数法得3k =3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++例4 555()a b a b +--答案：法一： 55555554322344432234322322()()()()()()()[()()]()(555)5()()a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a b a b ab ab a b a ab b +--=+-+=+-+-+-+=++--+-+=+++=+++法二：555()a b a b +--分别令0,0,a b a b ===-，上式都为0，则()ab a b +为上式的因子设55522()()[()]a b a b kab a b m a b nab +--=+++ 分别令122,,,113a a a b b b =⎧==⎧⎧⎨⎨⎨==-=-⎩⎩⎩解答51k m n =⎧⎨==⎩即55522()5()()a b a b ab a b a b ab +--=+++例5 333()()()b c c a a b -+-+-=3（a-b ）（b-c ）（c-a ）例6 3333x y z xyz ++-=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx);因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据立方系数为1，用待定系数法可设(x+y+z)[x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)]例7 ()()()y z z x x y xyz ++++=(x+y+z)(xy+yz+zx) 因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据无立方项，且其它各项系数为1，故显然为(x+y+z)(xy+yz+zx)例8 ()()a b c ab bc ca abc ++++-=（a+b ）（b+c ）（c+a ） 这是例7的变形，或者利用a=-b 是根例9．（2000年天津市竞赛题）分解因式：)()()(222222x z zx z y yz y x xy -+-+-解析：原式是四次轮换式，由因式定理，可知x z z y y x ---,,都是它的因式.由轮换性，它的另一个一次因式只能是z y x ++，不可能是别的形式，否则与次数为四次不符.设原式))()()((x z z y y x z y x k ---++=.令,2,1,0===z y x 解得1-=k .也可以比较等式两边同类项的系数，得出1-=k .故原式))()()((x z z y y x z y x ---++-=例10．（2005年北京市竞赛题）设c b a ,,是三角形的三边长，求证：04)()()(222333<-------++abc b a c a c b c b a c b a解析：考虑原式左边.令c b a +=，得到原式左边的代数式值为0，故c b a --是它的一个因式.由轮换对称性，b a c a c b ----,都是它的因式.因为原式左边是关于c b a ,,的三次式，故可设左边))()((b a c a c b c b a k ------=.比较两边的系数，或者设特殊值，可得1=k .所以左边))()((b a c a c b c b a ------=.由三角形两边之和大于第三边，原不等式可证.二、 因式分解的应用例1. 已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例2：若n 为整数，求证：()()()222222111++=++++n n n n n n 分析：本题的证明是要把左边的代数式转化为右边的完全平方式显然要找到左边式子中符合完全平方展开试的结构式进行公式法因式分解。

八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c 是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。

因式分解的解题方法与技巧（2）4.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y 表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a 之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0)=(a n a n+a n-1a n-1+…+a1a+a0)=a n(x n-a n)+a n-1(x n-1-a n-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(x n-a n),(x-a)|(x n-1-a n-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a 是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).因式定理使用得更多的还是一元n次多项式的因式分解.例10 （1985年武汉市初中数学竞赛题）证明：2x+3为多项式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.证明以 f(x)记多项式.+15-∴2x+3是f(x)的因式.例11 分解因式x3-19x-30.分析这里常数项是30,如果多项式f(x)=x3-19x-30有x-a这种形式的因式,那么a一定是30的因数,这是因为f(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.∵a|(a3-19a), ∴a|30解 30的因数为±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了.)∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),∴x3的系数为1，∴k=1,故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).练习：1.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.2.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.3.（1986年五城市联赛试题）若a为自然数，则a4-3a2+9是质数，还是合数？给出你的证明.4.（1985年北京市初中数学竞赛题）若a为自然数，证明：10|(a1985-a1949).参考答案：1．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．2．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．3．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．再讨论：ａ＝１或２时，知为质数，ａ＞２为合数.4．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．当ａ的个位数字分别为0～9时,上式右端总含有因数2和5,∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．。

因式分解技巧——轮换式与对称式先来看⼏个代数式：xy, x+y, x2y+xy2, xy+yz+xz, x3+y3+z3.交换这些式⼦中的任意两个字母，式⼦不变。

我们把这样的式⼦叫做对称式。

再看⼏个式⼦：x2y+y2z+z2x, xyz, xy2+yz2+zx2.将这些式⼦中的x换成y，将y换成z, 将z换成x,即将字母做⼀个轮换，式⼦保持不变。

我们将这样的式⼦叫做轮换式。

明显地，对称式⼀定是轮换式，但轮换式未必是对称式。

另外，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。

典型⽅法分解因式：x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y).我们可以看到这是⼀个关于x, y, z的轮换式. 不妨把这个式⼦看作关于x的多项式。

容易看出y是多项式的⼀个根，于是x−y是⼀个因式。

由于是轮换式，y−z, z−x也是它的因式，从⽽它们的积 (x−y)(y−z)(z−x) 也是因式。

原式是三次多项式，这个乘积也是三次的，因此两者最多相差⼀个常数因数，即x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)=k(x−y)(y−z)(z−x).为确定k, 我们来⽐较两边x y项的系数，易得k=−1. 于是就有分解x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)=−(x−y)(y−z)(z−x).分解因式：a3(b−c)+b3(c−a)+c3(a−b).与上例类似可知 (a−b)(b−c)(c−a) 是它的因式。

但原式是四次的，因此我们还缺⼀个⼀次因式。

原式是轮换的，我们找到的乘积也是轮换的，所以寻求的那个⼀次因式也应该是轮换。

同时根据两者的齐次性（⽆常数项），可知那个⼀次因式形如k(a+b+c)。

利⽤之前的⽐较系数法，或者取特殊值法，可求得k=−1.即分解为 $$a3(b-c)+b3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$分解因式：(a+b+c)3−(b+c−a)3−(c+a−b)3−(a+b−c)3.取a=0, 得原式为 0, 于是a是⼀个因式。

●数学活动课程讲座●对称式和轮换对称式的性质及其应用祝朝富(四川省威远中学,642450) 收稿日期:2005-08-03 (本讲适合初中)对称式和轮换对称式是特殊的代数式.根据对称的特点,可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质,利用这些性质,可简便地解决有关对称的问题.下面介绍对称式和轮换对称式的基本性质及其在初中数学竞赛中的应用.1　预备知识1.1　对称式如果把一个代数式中的字母对调,所得的代数式和原来的代数式恒等,那么,就说原来的代数式关于这些字母成对称.原来的代数式就是关于这些字母的对称式.1.2　轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列,然后依次把第一个字母换成第二个字母,把第二个字母换成第三个字母,……,把最后一个字母换成第一个字母,我们称这种变换字母的方法叫做轮换.如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等,那么,就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式.1.3　齐次轮换对称式如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.1.4　基本性质不难验证,对称式和轮换对称式具有以下性质:性质1　任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.性质2　对称式的和、差、积、商也是对称式.性质3　轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质4　齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.性质5　一个m 次对称式乘以一个n 次对称式,其积必为一个m +n 次对称式.2　基本应用2.1　多项式乘法例1　计算(x +y +z )(xy +yz +zx ).分析:因为原式中的两个因式都是关于x 、y 、z 的轮换对称式,由性质5知,其积也是关于x 、y 、z 的轮换对称式,于是,只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式,然后,按照轮换对称的规律写出其余各项即可.解:因x (xy +yz +zx )=x 2y +xyz +zx 2,所以,原式=x 2y +xyz +zx 2+y 2z +yzx +xy 2+z 2x +zxy +yz2=x 2y +zx 2+y 2z +xy 2+z 2x +yz 2+3xyz.2.2　因式分解由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例2　分解因式:(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy ).(1996,天津市初二数学竞赛决赛)分析:这是一个关于x、y的对称式,由性质1知,可以用它的基本对称式x+y和xy来表示.解:设x+y=u,xy=v,则原式=(v-1)2+(u-2)(u-2v)=v2-2v+1+u2-2u-2uv+4v=(u-v)2-2(u-v)+1=(u-v-1)2=(x+y-xy-1)2=(x-1)2(y-1)2.例3　设△ABC的三边长分别为a、b、c,且a-b 1+ab +b-c1+bc+c-a1+ca=0.则△ABC的形状一定是三角形.(1989,武汉市初二数学竞赛)分析:因为已知等式是关于a、b、c的轮换对称式,可考虑先去分母,再通过分解因式来确定a、b、c的关系.解:将原式去分母,并设其为f,得f=(a-b)(1+bc)(1+ca)+(b-c)(1+ab)·(1+ ca)+(c-a)(1+bc)(1+ab)=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=0.当a=b时,f=0,由因式定理知f有因式a- b.又f是关于a、b、c的轮换对称式,由性质知,f还有因式b-c和c- a.于是,f有因式g=(a-b)(b-c)(c-a).由于f和g都是三次齐次轮换对称式,故f 和g之间只差一个非零常数因子,即f=k(a-b)(b-c)(c-a)=0.由此可知,a-b、b-c、c-a中至少有一个等于0,即a、b、c中至少有两个相等,则三角形至少有两条边相等.所以,三角形是等腰三角形.2.3　化简求值例4　已知x和y是正整数,且满足条件xy+x+y=71,x2y+xy2=880.求x2+y2的值.(第14届江苏省初中数学竞赛)分析:已知式和所求式都是对称式,可先利用对称式的性质将其化简,再求值.解:设x+y=u,xy=v.由已知等式得u+v=71,uv=880.由韦达定理知u、v是一元二次方程t2-71t+880=0的两个根.解此方程得t=16或t=55.所以,u=16,v=55或u=55,v=16,即　x+y=16,xy=55或x+y=55,xy=16.由第一个方程组得x2-16x+55=0,Δ=62,方程有整数根;由第二个方程组得x2-55x+16=0,Δ=2961,方程无整数根.只有x+y=16,xy=55符合题意.故x2+y2=(x+y)2-2xy=146.例5　已知xyz=1,x+y+z=2,x2+ y2+z2=16.则1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y= .(2003,北京市中学生数学竞赛(初二决赛))分析:这是关于x、y、z的轮换对称式,根据性质1,可用它的基本对称式来表示.解:把x+y+z=2两边平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=4.把x2+y2+z2=16代入得xy+yz+zx=-6.由x+y+z=2,得z=2-x-y.所以,1xy+2z=1xy-2x-2y+4=1(x-2)(y-2).同理,1yz+2x=1(y-2)(z-2),1zx+2y=1(z-2)(x-2).故1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y=1(x-2)(y-2)+1(y-2)(z-2)+1(z-2)(x-2)=z -2+x-2+y-2(x-2)(y-2)(z-2)=x +y+z-6xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8=2-61-2×(-6)+4×2-8=-413.2.4　证明例6　设a、b、c是互不相等的实数.求证:a4(a-b)(a-c)+b4(b-c)(b-a)+c4(c-a)(c-b)>0.(2000,太原市初中数学竞赛)解:设不等式的左边为f,通分得f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a).由于分子是一个5次齐次轮换对称式,分母是一个3次齐次轮换对称式,由性质5知,商式是一个2次齐次轮换对称式.故可设f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a)=k(a2+b2+c2)+p(ab+bc+ca).取a=0,b=1,c=2,得5k+2p=7;取a=1,b=2,c=3,得14k+11p=25.解得p=1,k=1.故f=(a2+b2+c2)+(ab+bc+ca)=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2].由于a、b、c互不相等,所以,f>0.因此,所证不等式成立.例7　设a、b是方程x2-3x+1=0的两个根,c、d是方程x2-4x+2=0的两个根.已知ab+c+d +bc+d+a+cd+a+b+da+b+c=B.求证:a2b+c+d +b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7B-7.(1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛)证明:由韦达定理得a+b=3,ab=1;c+d=4,cd=2.则a+b+c+d=3+4=7.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=7,c2+d2=(c+d)2-2cd=12,所以,a2+b2+c2+d2=19.故a2b+c+d=a2+7a-7ab+c+d=7a-a(7-a)b+c+d=7ab+c+d- a.由于上式是关于a、b、c、d轮换对称的,同理可得b2c+d+a=7bc+d+a-b,c2d+a+b=7cd+a+b-c,d2a+b+c=7da+b+c- d.故a2b+c+d+b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7ab+c+d+bc+d+a+cd+a+b+da+b+c-(a+b+c+d)=7B-7.注:用同样方法可证a3b+c+d+b3c+d+a +c3d+a+b+d3a+b+c=49B-68.2.5　解对称方程组解对称方程组时,可以通过对称替换把原方程组化简.例8　求方程组x3+x3y3+y3=17,x+xy+y=5的实数解.(1990,浙江省绍兴市初二数学竞赛)解:设x+y=u,xy=v,则原方程组可化为u 3+v 3-3uv =17,u +v =5.①②②3-①得uv =6.③由式②、③得u =2,v =3或u =3,v =2,即　x +y =2,xy =3或x +y =3,xy =2.由韦达定理知,这两方程组中的x 、y 是方程t 2-2t +3=0或t 2-3t +2=0的两个根.第一个方程无实根,解第二个方程得t =1或t =2.故原方程组的实数解是x 1=1,y 1=2;x 2=2,y 2=1.练习题1.已知x +y =3,x 2+y 2-xy =4.则x 4+y 4+x 3y +xy 3的值为.(第13届江苏省初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:36.)2.分解因式:a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )-a 3-b 3-c 3-2abc.(提示:当a +b =c 时,原式=0.答案:(a +b -c )(b +c -a )(c +a -b ).)3.化简a21b-1c+b 21c-1a+c 21a-1ba1b-1c +b1c-1a+c1a-1b=.(1989,全国初中数学竞赛吉林省预选赛)(提示:先通分,设商式为k (a +b +c ).答案:a +b +c.)4.不等于0的三个数a 、b 、c 满足1a+1b+1c=1a +b +c.求证:a 、b 、c 中至少有两个互为相反数.(1999,北京市中学生数学邀请赛(初二))(提示:先通分,设f =(ab +bc +ca )(a +b +c )-abc.当a +b =0时,f =0.由此可得(a +b )(b +c )·(c +a )=0.)5.方程组x +xy +y =1,x 2+x 2y 2+y 2=17的实数解(x ,y )=.(1996,东方航空杯———上海市初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:x 1=3+172,y 1=3-172;x 2=3-172,y 2=3+172.)全国第六届初等数学研究学术交流会(第一轮)会议通知根据中国初等数学研究工作协调组第九次工作会议和全国第五届初等数学研究学术交流会的建议,全国第六届初等数学研究学术交流会将于2006年8月在湖北宜昌举行,由湖北大学《中学数学》编辑部和宜昌市教研中心联合承办。