轮换对称式与多项式及应用(初中数学竞赛)

因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念(1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。

如a b +,22a ab b −+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。

一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++−−−，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的对称式。

(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。

如把a b −，22a b −中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b −=−−，2222()b a a b −=−−则a b −，22a b −就叫做关于,a b 的交代式。

(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的轮换式。

2、齐次对称式的一般形式(1)二元齐次对称式二元一次齐次对称式：)(b a L +；二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22；二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。

(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式：)(c b a L ++；三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++；三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。

轮换对称方程组及其解法-2019年精选文档轮换对称方程组及其解法一、轮换式与对称式1.1轮换式与对称式的概念如果把一个多元多项式中的所有字母(元),依某种顺序进行轮换(即第一个字母换成第二个字母,第二个字母换成第三个字母,……,第n个字母换成第一个字母),多项式保持不变,则称它是轮换对称多项式,简称轮换式。

例如 x+y ,a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),x2y+y2z+z2x等都是轮换式如果把一个多元多项式中的任意两个字母(元)对调,多项式都保持不变,我们就称它是对称多项式,简称对称式例如 a+b 称为二元一次对称式ab 称为二元二次对称式a3+b3+c3-abc 称为三元三次对称式1.2轮换式与对称式的性质轮换式的和、差、积、商(整除时)仍是轮换式。

对称式的和、差、积、商(整除时)仍是对称式。

特别地,轮换式与对称式的积、商(整除时)是轮换式由此可知,对称式的因式一定是对称式;轮换式的因式一定是轮换式(或对称式)。

这个特征对对称式、轮换式的因式分解尤为重要。

1.3轮换式与对称式的解法轮换式与对称式多用于因式分解。

例分解因式 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)解:原式是三元四次齐次轮换式。

易见,当 a=b时,原式=0,由此,由因式定理知,它有因式a-b,再由轮换式的性质,经字母轮换式b-c,c-a也是它的因式,由于(a-b)(b-c)(c-a)是三次齐次轮换式,所以原式还应有一个一次因式,显然必为a+b+c(否则原式至少为六次式,例如,若a+b+-c 是它的因式,则a+c-b,b+c-a亦是)。

令a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)原式=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 取 a=0,b=1,c=2代入上式得k=-1。

所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)二、轮换对称方程组轮换对称方程组是一类重要的方程组,常见于各种数学竞赛中。

由于轮换对称方程组具有特殊的性质,所以,用常规方法解不易奏效。

自招竞赛数学“轮换对称式最值求法”讲义编号：近几年来，关于多元轮换对称和式s的最值问题，多以证明形式出现在数学竞赛题目中，即证S ≥A (或S≤A)。

因为求法能代替证明(通过数学方法求出s最大值为A，也即证明了S≤A成立)，所以，s的最值求法应是一个更深刻的问题。

反之，因为证明不等式S≤A，是先提供常数A，它可以加入到论证、推理和运算过程之中，而求最值并无此条件，所以，证明不能代替求法。

鉴于此，寻找S的最值求法，远比寻找证明的方法和技巧重要。

1.如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750通过几个典型例子的“通法”和“简解”比较，说明对称思想在探求最值问题中的巧妙运用． 例1 （2007年全国高中数学联赛广西赛预赛试题）设122007,,,a a a 均为正实数，且12200711112222a a a +++=+++，则122007..a a a ⋅的最小值为例2 (2006年高考重庆理科第12题) 若,,0a b c >，()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为（ ）1 12 2B C D -例3 (2010年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题)若x ，y ，z 均为实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z S xyz+=的最小值为多少。

例4 （2010年全国高中数学联赛湖北预赛试题）已知实数x，y，z满足32,4=+==，则xyz x y z ++的最小值为x y z例5 （《数学通报}2010年第3期问题1844)已知a，b，c为正实数，且12,45++=++=，a b c ab bc ca试求abc的最大值。

因为求一元函数的最值对于解题者来讲有较多和熟悉的方法，尤其有较为有力的导数方法，所以，下面提供三元轮换对称式s(最基本和最常见的)的最值求法，基本思想是将三变元转化为一个变元函数来处理。

第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数召,心“,“书入.同时满足= 空込泊=2, 沁色=3,X] 吃“兀泊空£ = 6, 土込竺=9,则X,+X,+X3+X4+X5+A-6的值是多少？若将六式左右分别相乘得(X1W4X5A6)4 =64 ,因此XMP)兀乓兀=6,将已知式分别代入上式可得X| = "\/6 , = \/^» A"j = 5/2" , X4 = , X5 =1 ------- ，兀6 = • Ml" 以2 3X, +A-2+x3+A-4+x5+x6=l + V2 + V3 + lb^视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结6构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】1.对称多项式观察"+ /? + c , ah + be + ca » 1/ + b' + c' —3ab — 3/>c —3ca » a'h + b z c + c2a + ab~ + be2 + ca z等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式)• 上述四个式子也可分別称为三元对称多项式，又如A-4+(X+>-)4+/是二元对称多项式.2.轮换对称多项式一个关于儿八z…、w的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y, y换成z, w换成X)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)•例如x'y + y'z + Fx , (“一b+c)( b—c+")( c—a+b)都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一上是对称多项式，如：+ + 是轮换式，但因互换儿y得到的是bx + Fz + Fy已不是原式，所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)^是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式.3.对称式的性质(1)关于小y的对称式总可以用x+y和小来表示.(2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式(3)齐次对称多项式的积、幕仍是齐次对称多项式.4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待立系数法.一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1已知卩一尤一)，=4,贝|J(Q —1)2_2疋〉，一2心2+十+〉,2+6卩—2x —2y的值等于____ .解析可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x、y的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x+y和卩来表示，先化简后再求值.解设x+y=“，AJ=V,由题设得vr=4,贝IJ原式=(Ay-1)2 - 2AJ(X +y) + [(牙 + y)2 - Zyy] + 6xy- 2(x + y)=(v—If—2vz/+if—2v+6v~2w=v2-2 vu+/+2 ” 一2 u +1=(v—w+l)==25 ・点评：对称换元有利于简化解题过程.例2 计算：(x+y-iz)(xy+yz+zx).解析因为x+y+z和xy+w+旷都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式.因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写岀其余各项.解:T x(xy-\-yz+vc)=+y+xyz+vC,原式+yz+yzx+xy^+厶+砂+yf=x:y+y：z+zH+亍+yz"+zx' + 3QZ ■点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的英他，这样解题就会既简明又准确.二、对称式的因式分解例3 分解因式：z)+y'(z—x)+z'(x—刃.解析这是一个关于八y. 2的四次齐次轮换对称式，当x=y时，原式的值为零，根据余式泄理知x —y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y—z和z—x也是它的因式.因为(x—y)(y—z)(z—x)是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为Hr+y+z),从而有x(y—z)+yXz~x)+z(x—y)=k(x+y+z)(x—y)(y~x)(z—x)・取x=2t y=l, z=0,得k= — l.:.x(y—z)+y(z—x)+z z(x—y)= —(x+y+z)(x—y)(y—z)(z—x)・点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法.例4把2+U+)A+y分解因式.解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x+y> xy表示出来再进行分解.解：£+(x+y)'+h=(r+)」)+(x+)A=(F+『亍一2汐+(x+)A=[(x+y)'—2xyf一2xy+(A4-y):=2(x+y)1- 4x)<x+y)3+ 2xy=2[(x+yY-xy]2=2(卫+小+护)2・点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、小表示出来，对于给泄的对称式，往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时；实际可以直接由(x+)y的展开形式，宜接将屮+讯用x+y、心来表示，即x4+y* = (x+)y — 4・py — 6xV — 4巧3 = (x+y)4-4xy(x+y)2 + 2(Q)2.例5 分解因式：(X->')5+(.V-X)5+(Z-A)5.解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的期两个因式，若在原多项式中令x=y,则原式= (x-zP+(z-x)5=0.根据因式泄理，则x-y是原式的一个因式，于是y 一z、z-x也是它的因式.解：因为当x=y时，(x—yp+(y—xp+(z—xp=O,所以原多项式有因式(x~y)Cv—z)(z—x).由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x—y)5+(v—z)5+(z—X)5=(x—y)(y—z)(z—x)[“("+尸+z2)+b(Ay+yx+zx)]①其中“、〃是待立系数.取x=lt y= — L z=0代入①式得2d—b=\5・②取x=2, y=l, z=0代人①式得5a+2b=15・③将②、③两式联立解得“=5, b=-5.所以(x-y)5+(y-z)5 + (z-x)5=5 (x—y)(y—z)(z—x)(x2+y2+z?—xy—yx—zx)・点评：在解本题的过程中，设了一个因式为“(界+尸+刊+风巧+严+旳，若不是这种形式，不妨设为0_y2 + z2,由轮换式，就会有另两个因式严一Q+W及艺一川+尸，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为“(工+护+刃+反巧+皿+旷).也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一立为对称多项式.三、综合应用例6 已知“+b>c b+c>a> u+c>b,求证：c)2—b(c—6/)2—c(t/—b)2—4</Z?c<0.解析要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式，只要判左各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.证明：设T= a3+Z?3+c3—1/(/?—c)2—h(c~a)2—c(a~b)2—4cibc・把该多项式看作是关于“的3次多项式，令"=b+c,则T= (b+cP+沪+R—(b+c)(b—c)2—沪一R—4(b+c)bc=2(，+")+32c+3bc2— 2(夕+c3)+Qc+be2—4b2c—4bc2=0.由因式泄理知，"一(b+c)是T的一个因式.又由于丁是一个轮换对称式，于是b —(c+“)，c-(a+b)也是7的因式，因为T是关于"、b、c的3 次式，所以可设T— k(a—b—c)(b—c—a)(c—a~b)・比较两边/的系数可得k=\.故T= (a—b—c)(b—c—a)(c—a—b)・根据题意"+b>c, d +则有c—a—b<0, a—b—c<0, b—a—c<0.所以TVO.即原不等式成立.例7设△ABC的三边长分别为心b、c,且上二L+ —+上二£=0,试判断ZBC的形状.1 + ah \+bc 1 + ca解析已知等式去分母，得(t/—Z?)( 14- bc)( 1 + ca) 4- (/?—c)( 1 +c“)(l +")+(c—")(1 +")(1 +处)=0・上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把,(a—b)(l+bc)(l+ca)展开、整理，得a-b—b2c-}-ca2+ "2力一於C2•根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项.由此，上式可写为a~b~ b2c+"+a2bc2—al^c2+b—c—c2a+ah2+b2ca2—berer+c—a —a2b+be2+crab1— ca2b2=0 ・整理，得ab2+be2+ca2—a2b—b2c—c2a=0.设M=ab2 -b be2+ca2—a2b—b2c—c2a ・当"=b时，A/=0,由因式泄理知"一b是M的一个因式.而M是关于“、b、c的三次齐次轮换对称式，故M含有因式(a—b)(h—c)(c—u).又(“一b)(b—c)(c—a)也是三次齐次轮换对称式，则M还应有一个常因子，于是可设ab2+be2+ca2—erb — b2c•—(rci=k(a~b)(b—c)(c ~a).取a=2, h=\9 c=0,得k=\.M=(a — b)(b—c*)(c—a)=0 ・:・u=b或b=e或c=a,即"、b、c中至少有两个相等.故△ABC必为等腰三角形.好题妙解】佳题新题品味例分解因式l)(y-z)+Ay+ l)(z-x)+z3(z+ l)(x~y)・解析由于原式是X, y, z的轮换式但不是齐次式，所以当求得©—2)(z-x)仗一刃的因式后，剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+CC¥+y+z)+£)・解：当时，原式=0..・・y-z是原式的一个因式.设原式=(y~z)(z—x)(x—y)[ A("+y2+z2)+B(yz+乙t+xy)+C(x+y+z)+D]・由于原式最低为四次项，.・.D=0.•••原式=(y—z)(z—x)(x—y)[ A(x2 -+-y24-z2)+B(yz++C(x+y+z)].令x=h y= —L z=0 得2A—B= —1；①令x=-h y=0, z=2 得5A-2B+C=-4；②令x=l； y=-L z=2 得6A-B+2C=-7・③解①，②，③组成的方程组，得A=B=C=-1.故原^=—(y—z)(z—x)(x—y)(x2+y1+z1+yz+zx+xy+x+y+z)・中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6兀一6)，—9W+18•巧一9屮一1.解析关于X, y的对称式可用含x+y, x-y,小的式子表示，考虑分组.解：6x—6y—9W+ 18小一9)卫一1 = — (9X2— 18xy+9)^)+(6x—6y) — 1=—[9(工一Zxy+〉') _ 6(x _ y) + 1 ]=一[9(A—y)2-2X 3(x-y) +1]= -[3(xp)— IF= _(3x_3y_ 1)2.竞赛样题展示例分解因式(a-\-b+c)5—a5—b5—c5・解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找岀与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a = -b,则原式=c5-c5=O,根据因式上理，则“+b是原式的一个因式，于是(b+c)、(c +")也是它的因式.解：因为当"=—b时，(a+b+cp—cP—“5—芒=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a)・由于原式是5次对称多项式，根据英特点，可设(“ + b + c)5 — "5—/一小=(“+b)(b+c)(c+a)[k(cr+b?+c?)+m(ab+bc+ca)]・①其中£、加是有待确左的系数.令么=1, b=l, c=0,代人①式得30=2("+〃?)，即2k+m=15・又令“=0, b=\, c=2,代人①式得210=6(5£+加)，即5«+加= 35.由此解得k=5t m=5.所以(a+b-^c)s—a5—b5—c5=5(a+b)(h+c)(c+a)(a2-^b2+c2+ab-\-bc-^ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待立系数法确定剩下的其他因式.过关检测】A级1.在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )① 3x+2y+z ②+y 彳+z4 + 巧』z?③jty2 + y2^+④卫+y3+z3—x2—y2—z2A. 0个B・1个C・2个D・3个2.x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx24-3xy f z=y+z)(xy'-\-yz+zx),则k 的值是( )A. 1 B・ 1 C・ 3 D・一123•设Of=xi+X2+X3, 0 =X1X2+X2X3+X3AS / =A1X2X3> 用Q、卩、丫表示岀X)3+x23+x33的结果是( )A. a'— 3a卩+3?B・0‘一3矽+3卩C・ a'+3a0—3/ D・ 0'—3a0+3y4 ・分解因式：xy^x2一y2) +yz(y2—z2)+zx(z2—x2)・5.分解因式：Ty+^+Wz+^+FCv+y)—W+h+R-Zryz.6.化简:“(b+c—“)2+b(c+“一Z?)2+d"+/?—c)2+(b+c—")(©+" —b)(“+b—c)・7.已知"+b+c+〃=O, R+b3+c3+〃3=3.(1)求证：(a+b)34-(c+J)3=0:(2)求证：ab(c+J)+cd(a+Z?) = 1 ・1.若——-—— + ——-—— + ——-——=1,则儿八x的取值情况是()(X + z)(y + z) (>■ + x)(z + A) (z + y)(x + y)A.全为零B.只有两个为零C.只有一个为零D.全不为零2.已知⑴b、c均为正数，设p=“+b+c 尸竺+竺+竺,则“与g的大小关系是( )a h cA・P>q B・ p<q C・ pPq D・pWq3.已知x+y=3,戏+尸_小=4,则十+屮+兀3$+与,3的值等于 _____________ ・4.如图2-1,正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个而上二数之和都相等.如果13、9、3的对面的数分别是"、b、c9试求a1+b2+c1—ab—bc—ca的值，5・分解因式:(x+y)(y+z)(z+x)+xyz.6.分解因式:G(a+ l)(b—c)+b'(b+ l)(c—”)+c3(c+ \)(a~b).第二讲对称式和轮换对称式A级1. B2. B3. A4.-(x+/H-z)(x-y)(y-z)5.- (x-y-z)(/-z-a)(z - x - y).提示:令丁= y原式为0;同理7 =x十乙时，原式为0;z” ”时,原式为0・设原式-A(x- -y)-6.4a6c提示：当a=0时，原式=0；故设原式= kabj取a = 6=c=U.得&=4・7・ a，46’+c?+d'=(a+6)'-3a6(a・6) + (c • -3cJ(c+d).又a 十6 = 一(c + d),所以(a *b)‘ + (c+/)‘ =0•故3 =3a6(c + d) +3cd(a +6),即a6(c +d) +cd(c+6) = 1B级L・C提示:化简已知等式得xyz=0.2.D提示:运用作差比较.3・ 36 ^4.76 提示:原式=y[(a-6)2 + (6-c)2 + (c-a)2]5.(x+y+«) (xy+-yz+a)6・一(a - 6)(6*-c)(c-a)(a2+c2十 ab + be +co + a+ 6 +c)提示：原:式为非齐次轮换式，可视作以a为主元的多项式.当a M时，原式=0.所以a・6是原式的一个因式.由对称性知也是原式的因式.剰下的因式应是非齐次对称性•设原式=(a-6)(6-c)(c-a)(A:(a2 + + c2) +2( a6 + 6c 4-ca) +m(a+6 + c) +a]・取恃值求得A = - 1 fI = -l,m = =1』=0.。

第二讲 讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数123456,,,,,x x x x x x ．同时满足2345611x x x x x x =，3456122x x x x x x =，4561233x x x x xx =，5612344x x x x x x =，6123456x x x x x x =，1234569x x x x xx =，则123456x x x x x x +++++的值是多少？ 若将六式左右分别相乘得44123456()6x x x x x x =，因此1234566x x x x x x =，将已知式分别代入上式可得61=x ，32=x ，23=x ，264=x ，15=x ，366=x ．所以6611321654321+++=+++++x x x x x x 视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】 1.对称多项式观察a b c ++，ab bc ca ++，333333a b c ab bc ca ++---，222222a b b c c a ab bc ca +++++等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式（简称对称式）.上述四个式子也可分别称为三元对称多项式，又如444()x x y y +++是二元对称多项式． 2.轮换对称多项式一个关于x 、y 、z…、w 的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换（如把x 换成y ，y 换成z ，w 换成x ），多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式（简称轮换式）.例如222x y y z z x ++，(a －b ＋c )( b －c ＋a )( c －a ＋b )都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式，如：222x y y z z x ++是轮换式，但因互换x 、y 得到的是222y x x z z y ++已不是原式，所以原式不是对称式．同样对(b －c )(c －a )(a －b )也是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式．但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式． 3.对称式的性质（1）关于x 、y 的对称式总可以用x ＋y 和xy 来表示． （2）两个对称式的和、差、积、商也是对称式 （3）齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式．4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待定系数法．一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1 已知4xy x y --=，则22222(1)22622xy x y xy x y xy x y ---+++--的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x 、y 的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x ＋y 和xy 来表示，先化简后再求值. 解 设x ＋y ＝u ，xy ＝v ，由题设得v －u ＝4，则原式＝22(1)2()()262()xy xy x y x y xy xy x y ⎡⎤--+++-+-+⎣⎦＝(v －1)2－2vu ＋u 2－2v ＋6v －2u ＝v 2－2vu ＋u 2＋2v －2u ＋1 ＝(v －u ＋1)2＝25．点评：对称换元有利于简化解题过程．例2 计算：(x ＋y ＋z )(xy ＋yz ＋zx )．解析 因为x ＋y ＋z 和xy ＋yz ＋zx 都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式．因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写出其余各项．解：∵x (xy ＋yz ＋zx )＝x 2y ＋xyz ＋zx 2，∴原式＝x 2y ＋xyz ＋zx 2＋y 2z ＋yzx ＋xy 2＋z 2x ＋zxy ＋yz 2＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x ＋xy 2＋yz 2＋zx 2＋3xyz ．点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的其他，这样解题就会既简明又准确．二、对称式的因式分解例3 分解因式：x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y )．解析 这是一个关于x 、y 、z 的四次齐次轮换对称式，当x ＝y 时，原式的值为零，根据余式定理知x －y 是它的一个因式．由轮换对称的性质知y －z 和z －x 也是它的因式．因为(x －y )(y －z )(z －x )是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为k (x ＋y ＋z )，从而有x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝k (x ＋y ＋z )(x －y )(y －x )(z －x )． 取x ＝2，y ＝1，z ＝0，得k ＝－1． ∴x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝－(x ＋y ＋z )(x －y )(y －z )(z －x ) ．点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法．例4 把x 4＋(x ＋y )4＋y 4分解因式．解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x＋y、xy表示出来再进行分解．解：x4＋(x＋y)4＋y4＝(x4＋y4)＋(x＋y)4＝(x2＋y2)2－2x2y2＋(x＋y)4＝[(x＋y)2－2xy]2－2x2y2＋(x＋y)4＝2(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2x2y2＝2[(x＋y)2－xy]2＝2(x2＋xy＋y2)2．点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x＋y、xy表示出来，对于给定的对称式，往往是寻求这种具体表示方法．在解决本题时；实际可以直接由(x＋y)4的展开形式，直接将x4＋y4用x＋y、xy来表示，即x4＋y4＝(x＋y)4－4x3y－6x2y2－4xy3＝(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2(xy)2．例5分解因式：(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5．解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式，若在原多项式中令x＝y，则原式＝(x－z)5＋(z－x)5＝0．根据因式定理，则x－y是原式的一个因式，于是y －z、z－x也是它的因式．解：因为当x＝y时，(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5＝0，所以原多项式有因式(x－y)(y－z)(z－x)．由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝(x－y)(y－z)(z－x)[a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)] ①其中a、b是待定系数．取x＝1，y＝－1，z＝0代入①式得2a－b＝15．②取x＝2，y＝1，z＝0代人①式得5a＋2b＝15．③将②、③两式联立解得a＝5，b＝－5．所以(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝5(x－y)(y－z)(z－x)(x2＋y2＋z2－xy－yx－zx)．点评：在解本题的过程中，设了一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)，若不是这种形式，不妨设为x²－y2＋z2，由轮换式，就会有另两个因式y²－z2＋x2及z²－x2＋y2，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yz＋zx)．也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数＜3，则也一定为对称多项式．三、综合应用例6已知a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，求证：a3＋b3＋c3－a(b－c)2－b(c－a)2－c(a－b)2－4abc＜0．解析 要证明多项式的值小于0，可先将它分解因式，只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定．证明：设T ＝a 3＋b 3＋c 3－a (b －c )2－b (c －a )2－c (a －b )2－4abc ． 把该多项式看作是关于a 的3次多项式，令a ＝b ＋c ， 则T ＝(b ＋c )3＋b 3＋c 3－(b ＋c )(b －c )2－b 3－c 3－4(b ＋c )bc ＝2(b 3＋c 3)＋3b 2c ＋3bc 2－2(b 3＋c 3)＋b 2c ＋bc 2－4b 2c －4bc 2 ＝0．由因式定理知，a －(b ＋c )是T 的一个因式．又由于T 是一个轮换对称式，于是b －(c ＋a )，c －(a ＋b )也是T 的因式，因为T 是关于a 、b 、c 的3次式，所以可设T ＝k (a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )．比较两边a 3的系数可得k ＝1． 故T ＝(a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )． 根据题意 a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ． 则有c －a －b ＜0，a －b －c ＜0，b －a －c ＜0． 所以T ＜0．即原不等式成立．例7 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a b ab -+＋1b c bc -+＋1c aca-+＝0，试判断△ABC 的形状． 解析 已知等式去分母，得(a －b )(1＋bc )(1＋ca )＋(b －c )(1＋ca )(1＋ab )＋(c －a )(1＋ab )(1＋bc )＝0．上式的左边是关于a 、b 、c 的轮换对称式，把(a －b )(1＋bc )(1＋ca )展开、整理，得a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2．根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项．由此，上式可写为a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2＋b －c －c 2a ＋ab 2＋b 2ca 2－bc 2a 2＋c －a －a 2b ＋bc 2＋c 2ab 2－ca 2b 2＝0． 整理，得ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝0． 设M ＝ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ．当a ＝b 时，M ＝0，由因式定理知a －b 是M 的一个因式．而M 是关于a 、b 、c 的三次齐次轮换对称式，故M 含有因式(a －b )(b －c )(c －a )．又(a －b )(b －c )(c －a )也是三次齐次轮换对称式，则M 还应有一个常因子，于是可设ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝k (a －b )(b －c )(c －a )． 取a ＝2，b ＝1，c ＝0，得k ＝1． ∴M ＝(a －b )(b －c )(c －a )＝0．∴a ＝b 或b ＝c 或c ＝a ，即a 、b 、c 中至少有两个相等． 故△ABC 必为等腰三角形． 好题妙解】佳题新题品味例分解因式x3(x＋1)(y－z)＋y3(y＋1)(z－x)＋z3(z＋1)(x－y)．解析由于原式是x，y，z的轮换式但不是齐次式，所以当求得(y－z)(z－x)(x－y)的因式后，剩下的因式是A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D．解：当y＝z时，原式＝0．∴y－z是原式的一个因式．设原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D]．由于原式最低为四次项，∴D＝0．∴原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)]．令x＝l，y＝－1，z＝0得2A－B＝－1；①令x＝－1，y＝0，z＝2得5A－2B＋C＝－4；②令x＝1；y＝－1，z＝2得6A－B＋2C＝－7．③解①，②，③组成的方程组，得A＝B＝C＝－1．故原式＝－(y－z)(z－x)(x－y)(x2＋y2＋z2＋yz＋zx＋xy＋x＋y＋z)．中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1．解析关于x，y的对称式可用含x＋y，x－y，xy的式子表示，考虑分组．解：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1＝－(9x2－18xy＋9y2)＋(6x－6y)－1＝－[9(x2－2xy＋y2)－6(x－y)＋1]＝－[9(x－y)2－2×3(x－y)＋1]＝－[3(x－y)－1]2＝－(3x－3y－1)2．竞赛样题展示例分解因式(a＋b＋c)5－a5－b5－c5．解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找出与它同类型的另两个因式．如果在多项式中令a＝－b，则原式＝c5－c5＝0，根据因式定理，则a＋b是原式的一个因式，于是(b＋c)、(c ＋a)也是它的因式．解：因为当a＝－b时，(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝0，所以原式有因式(a＋b)(b＋c)(c＋a)．由于原式是5次对称多项式，根据其特点，可设(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝(a＋b)(b＋c)(c＋a)[k(a2＋b2＋c2)＋m(ab＋bc＋ca)]．①其中k、m是有待确定的系数．令a＝1，b＝1，c＝0，代人①式得30＝2(2k＋m)，即2k＋m＝15．又令a＝0，b＝1，c＝2，代人①式得210＝6(5k＋2m)，即5k＋2m＝35．由此解得k＝5，m＝5．所以(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝5(a＋b)(b＋c)(c＋a)(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待定系数法确定剩下的其他因式．过关检测】A级1．在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )①3x＋2y＋z②x2＋y3＋z4＋x4y3z2③xy2＋y2z3＋z3x④x3＋y3＋z3－x2－y2－z2A．0个B．1个C．2个D．3个2．若x2y＋xy2＋y2z＋yz2＋z2x＋zx2＋3xyz＝k(x＋y＋z)(xy＋yz＋zx)，则k的值是( )A．12B．1 C．3 D．－13．设α＝x1＋x2＋x3，β＝x1x2＋x2x3＋x3x1，γ＝x1x2x3，用α、β、γ表示出x13＋x23＋x33的结果是( ) A．3α－3αβ＋3γB．3β－3αγ＋3γC．3α＋3αβ－3γD．3β－3αβ＋3γ4．分解因式：xy(x2－y2)＋yz(y2－z2)＋zx(z2－x2)．5．分解因式：x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)－(x3＋y3＋z3)－2xyz．6．化简：a(b＋c－a)2＋b(c＋a－b)2＋c(a＋b－c)2＋(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)．7．已知a＋b＋c＋d＝0，a3＋b3＋c3＋d3＝3．(1)求证：(a＋b)3＋(c＋d)3＝0；(2)求证：ab(c＋d)＋cd(a＋b)＝1．B 级1．若()()xyx z y z ++＋()()yz y x z x ++＋()()zx z y x y ++＝1，则x 、y 、x 的取值情况是( )A ．全为零B ．只有两个为零C ．只有一个为零D ．全不为零 2．已知a 、b 、c 均为正数，设p ＝a ＋b ＋c ，q ＝bc a ＋ca b ＋abc，则p 与q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q 3．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，则x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值等于 ．4．如图2-1，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上二数之和都相等．如果13、9、3的对面的数分别是a 、b 、c ，试求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值，3913图2-15．分解因式：(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )＋xyz ．6．分解因式：a 3(a ＋1)(b －c )＋b 3(b ＋1)(c －a )＋c 3(c ＋1)(a －b )．。

初中轮换对称式解题技巧
1. 嘿，同学们，你们知道吗？在初中数学里，轮换对称式可是个神奇的存在呀！就像解方程时找到的那把关键钥匙。

比如：x+y+z=1，
x²+y²+z²=3，这时候是不是感觉找不到头绪？但学会了技巧就能迎刃而解啦！
2. 哇哦，遇到轮换对称式的难题不要怕呀！要像勇士一样去战斗。

比如说那个经典的例子：a+b+c=6，a²+b²+c²=14，想想我们怎么巧用技巧突破它呢？
3. 初中的宝贝们呀，轮换对称式解题技巧真的超重要！就好比打游戏时的绝招。

像已知 ab+bc+ca=3，要求a²+b²+c²，这可就是考验技巧的时候啦！
4. 哎呀呀，你们有没有发现，学会了轮换对称式解题技巧，就像拥有了超能力！好比说遇到了这样的情况：3a+3b+3c=15，a²+b²+c²=7，你能快速找到解法吗？
5. 嘿，同学们可别小瞧了这些技巧呀，那可是大能耐！看看这个例子：abc=1，a+b+c=2，没有技巧可怎么解呀？
6. 哇，想想看，如果不会轮换对称式解题技巧，面对难题岂不是要抓瞎？就像明明看到宝藏却拿不到。

例如已知 a+b+c=3，(a+b)(b+c)(c+a)=10，技巧能帮我们呀！
7. 大家要重视哟，这轮换对称式解题技巧真的绝了！好比是在迷雾中找到的那道光。

比如给你a²+b²+c²=9，ab+bc+ca=4，能迅速搞定时是不是超有成就感？
8. 总之，同学们，一定要把这些解题技巧牢牢掌握呀！它们就是我们在数学海洋里航行的帆。

遇到轮换对称式，大胆用技巧，就能到达成功的彼岸！。

第2讲轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z++（2）222++x y z（3）xy yz zx++（4）333++x y z（5）222++x y y z z x（6）222++xy yz zx（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z++（2）二次齐次轮换式：222+++++()()l x y z m xy yz zx（3）三次齐次轮换式：333222222+++++++++()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz 以上l m n k、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。

特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.、的多项式对于x y223322++++,,,,,x y xy x y x y x y xy、的对称式。

在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为x y、、的多项式类似的，关于x y z在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。

显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式.但是，关于x y z 、、的轮换式不一定是x y z 、、的对称式.例如222x y y z z x ++就不是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）。

数学思想方法谈（4） 代数中的对称思想——对称多项式 对称不仅是一种几何现象，在代数运算中，对称现象也普遍存在，在代数中合理地运用对称性，可以有效地简化计算。

因此，在许多情况下，我们应当有意识地利用对称多项式来解决复杂的问题。

1.对称多项式：对于一个含有多个字母的多项式，如果将多项式中所含的任意两个字母互换，所得的新多项式仍然与原多项式相同，那么这个多项式叫作关于这些字母的对称多项式。

例如：x y z ++，222x y z ++，……2.轮换对称多项式：在对称多项式中，如果把其中所含的字母按某种顺序（一般按字母表的顺序）排列，把第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母……依次类推，直到将最后一个字母换成第一个字母，所得的新多项式仍然与原多项式相同，那么这个多项式叫作关于这些字母的轮换对称多项式。

例如： 222x y z yz zx xy++，222xy yz zx ++，按x 、y 、z 的顺序依次轮换，分别变成：222y z x xy xy yz++和222yz zx xy ++，与原可以看出：对称多项式一定是轮换对称多项式，但轮换对称多项式并不一定是对称多项式。

例如：333()()()a b b c c a-+-+-是轮换对称多项式，但不是对称多项式。

经典例子：（1）解方程组x y ay z bz x c+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩、1312xyyzzx=⎧⎪=⎨⎪=⎩解题思路要点：要有整体思想，“统加统乘”是关键；练习题：1.已知：y z z x x ykx y z+++===，证明：2k=或1k=-。

2.已知bx cy cx ay ax bya b c+++==，证明：0a b c++=。

（2）设x 、y 、z 为互不相等的非零数，且满足：111x y z y z x+=+=+，证明：2221x y z =解题思路要点：利用对称性，将结论“翻倍”。

练习题：1.已知：x a y z =+，y b z x =+，z c x y=+，证明：1111a b c a b c++=+++。

八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

轮换对称式的最值问题学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。

自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。

本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。

1. 不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如①32a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。

如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如②2222220,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。

2. 对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。

关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①中可设a b c ≥≥），而关于12,,...,n a a a 是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如1n a a ≥，2n a a ≥，...，1n n a a -≥，即某一个是其中的最大或最小（如②中可设a c ≥，a b ≥），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。

轮换对称式因式分解例题哎呀呀，啥是轮换对称式因式分解例题呀？这可把我这个小学生难住啦！老师在课堂上讲轮换对称式因式分解的时候，我一开始那是一头雾水，就好像掉进了一个怎么也爬不出来的大坑。

比如说有这么一道题：(x + y + z)³ - x³ - y³ - z³ ，让我们来因式分解。

我当时瞅着这道题，心里直犯嘀咕：“这都是啥呀？怎么这么复杂！”我看看同桌，他也是眉头紧皱，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊？”我就问他：“你有啥想法没？”他摇摇头说：“我要是知道，我不就做出来啦！”这时候，学霸小李高高地举起了手，老师让他来回答。

他站起来，不慌不忙地说：“我们可以先把(x + y + z)³ 展开，然后再进行计算。

”我心里想：“哎呀，我怎么没想到呢？”老师听了他的回答，微笑着点点头，然后开始一步一步地给我们讲解。

我瞪大眼睛，竖起耳朵，生怕错过了任何一个细节。

老师说：“我们先把(x + y + z)³ 展开，得到x³ + 3x²y + 3x²z + 3xy² + 6xyz + 3xz² + y³ + 3y²z + 3yz² + z³ ，然后再减去x³ 、y³ 、z³ ，就可以得到3x²y + 3x²z +3xy² + 6xyz + 3xz² + 3y²z + 3yz² 。

” 我一边听一边在草稿纸上跟着写，心里还在琢磨：“这到底是怎么回事呢？”老师接着说：“接下来，我们可以把这个式子进行分组，分成3x²(y + z) + 3y²(z + x) + 3z²(x + y) + 6xyz 。

”我看着自己写的式子，好像有点明白了。

老师又说：“然后，我们提取公因式3(x + y)(y + z)(z + x) ，这就是最后的结果啦！”我恍然大悟，原来是这样啊！经过这道题，我明白了，遇到难题不能害怕，要多思考，多尝试。

初中数学竞赛中的轮换对称式求值问题
沈毅
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2014(0)12
【摘要】（本讲适合初中）所谓轮换对称式，是指将代数式中的变量按照任意次序轮换后代数式不变（如ab＋bc＋ca）．轮换对称式极具数学美感，而与其相关的求值问题对代数恒等变形技巧要求颇高，已成为近年来初中数学竞赛考查的热点．本文讨论这类问题求解的一些常用方法．
【总页数】5页(P2-6)
【作者】沈毅
【作者单位】四川省成都市第七中学初中学校,610041
【正文语种】中文
【中图分类】O122.1
【相关文献】
1.对称式和轮换对称式的性质及其应用 [J], 祝朝富
2.对称式、交代式、齐次式、轮换式在初中数学中的应用 [J], 杨龙田
3.对称式、交代式、齐次式、轮换式在初中数学中的应用 [J], 杨龙田
4.运用对称式智取二次根式的求值问题 [J], 王锋
5.一类对称式求值问题的探讨 [J], 付安高
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卜人入州八九几市潮王学校轮换对称分式问题的求值方法张明 张希超所谓轮换对称分式是指假设一个分式中的所有字母按某种次序轮换后，得到的分式与原分式一样，那么称这个分式为轮换对称分式。

如ca bc ab abc ,c 1b 1a 1++++ 一、倒数法例1.a 、b 、c 为实数，且满足51a c ca ,41c b bc ,31b a ab =+=+=+。

求ca bc ab abc ++的值。

解：分别取式的倒数得：5a1c 1,4c 1b 1,3b 1a 1=+=+=+。

以上三式相加，得：6c1b 1a 1=++。

所以6abcca bc ab =++， 所以61ca bc ab abc =++。

例2.设y x z c ,x z y b ,z y x a +=+=+=，且0z y x ≠++。

求1c c 1b b 1a a +++++的值。

解：对等式分别取倒数得：zy x c 1,y x z b 1,x z y a 1+=+=+=， 所以z z y x c 1c ,y z y x b 1b ,x z y x a 1a ++=+++=+++=+。

因为0z y x ≠++， 所以zy x z 1c c ,z y x y 1b b ,z y x x 1a a ++=+++=+++=+。

所以11c c 1b b 1a a =+++++。

二、整体处理例3.b a 5b 1a 1+=+，求ba ab +的值。

分析：等式中有两个未知数，一般不可能分别确定其值。

假设视ab b a +为整体，那么问题可获解。

解：因为ba 5b 1a 1+=+， 所以5bb a a b a =+++。

即51ba ab 1=+++， 所以3b a a b =+。

例4.0abc ≠，0c b a =++，求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 1a 1c a 1c 1b c 1b 1a 的值。

解：因为0abc ≠，0c b a =++，所以b a c ,a c b ,c b a -=+-=+-=+，所以原式=b c a c a b c b c a b a +++++ 三、重叠法例5.设a 、b 、c 是互不相等的实数，且a 1c c 1b b 1a+=+=+，求222c b a 1的值。