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百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力. 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．10. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围. 详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC 的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题. 详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。
江苏省高三百校大联考数学试卷参考答案与评分标准数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,0A =-，则满足{}1,0,1A B =-的集合B 的个数是 ▲ ．【答案】4【解析】本题考查集合的概念与运算．由题意，1B ∈，集合B 的个数即{}1,0-的子集个数，共4个．2. 已知2(,)a i b i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ．【答案】3【解析】本题考查复数的四则运算．因为22(,)a i ai b i a b R i+=-=-∈，所以，a＝1，b ＝2，所以a b +＝3．3． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ． 【答案】23【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23．4．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 4．【答案】3π【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥，所以(2)0j i i -=，即22 i j i⋅-＝0，所以，2||||cos 10i j θ-= ，即1cos 2θ=，则,i j 的夹角为3π．5. 设五个数值31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的方差是 ▲ ． 【答案】4【解析】由31373335345a ++++=，可得34a =，所以方差2222221(3134)(3734)(3334)(3434)(3534)45S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 6．已知实数x ，y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．【答案】32【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11(,)22．7．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．【答案】420（第6题）【解析】本题考查流程图和循环结构．20(240)246404202S +=++++==． 8．已知直线l 、m 与平面α、β，,l m αβ⊂⊂，则下列命题中正确的是 ▲（填写正确命题对应的序号）．①若//l m ，则//αβ ②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥ 【答案】③【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③．9．已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，3(,)444πππθ+∈，所以sin()410πθ+=，故24sin 2sin[2()]cos2()12cos ()42445ππππθθθθ=+-=-+=-+=，3cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445πππππθθθθθ=+-=+=++=-，因此413sin(2)()3525πθ-=⋅--=10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ． 解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．答案： 211．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ． 11．【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，2222200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -⋅=⋅====+---，可得2234a c =，从而2c e a ==．12．若0,0a b >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ．12．【解析】由22a b+得12，22142a b +≥，所以22221(4)(2)2S a b a b ⎡⎤=+=+-⎣⎦，当且仅当122a b ==时取到等号．13．已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,n k kk k a a a a 成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ▲ ．【答案】1312n -+【解析】本题考查等差数列和等比数列．由题意，2215a a a =⋅，2(1)1(14)d d +=⋅+，得2d =，即21n a n =-，所以21nk n a k =-．又等比数列125,,a a a 的公比为3，所以13n n k a -=．根据1213n n k --=可得1312n n k -+=．14．若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点，则实数k的取值范围是▲ ．14．【答案】[0,4)【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．解法一：由题意可知01012kx x k x x ⎧⎪>⎪+>⎨⎪⎪=++⎩，可设1()2,(1,0)g x x x x x =++>-≠，函数图象(图1)与直线y k =没有交点，则04k ≤<．解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出21(1),1y x x =+>-和2y kx =的图象．显然当4k =时直线与抛物线相切，所以当04k ≤<时，没有交点．故04k ≤<．图1y二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值．15．【解析】（1）由题意，sin2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分得2sin cos sin()sin A A B C A =+= (4)分由于ABC ∆中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1cos 2A =………………………………5分∴23sin 1cos 2A A =-=………………………………………………………6分（2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=，31sin cos 122C C ∴+=…………9分得sin()16C π+=，250,3666C C ππππ<<∴<+<，平方得3C π∴=……………12分所以ABC∆为正三角形，1c∴=………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（1）求证：AB⊥ED；（2）线段EA上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？请说明你的理由．解析：（1）证明：如图，取AB中点O，连结EO，DO.因为EA＝EB，所以EO⊥AB. …………………………1分因为AB∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD.又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，所以AB⊥DO. ……………………………………………4分因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD. ……………………………………5分又因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED. ……………………………………………6分（2）当点F为EA中点时，有DF∥平面BCE.证明如下：取EB中点G，连结CG，FG.因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG＝12AB. ………………………………8分因为AB∥CD，CD＝12 AB，………………………………9分所以FG∥CD，FG＝CD. ………………………………10分所以四边形CDFG是平行四边形，……………………11分所以DF∥CG. ……………………………………………12分因为DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE. ………………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．17．解析：（1）设,EC x CF y ==，则x y a +=（※）由基本不等式，(2x y +≥=……… 3分所以，△ECF的面积221122S xy =≤=……………… 5分当且仅当22x y ==时等号成立 故景观带面积的最大值为FEDC BA （第17题）234-……………………………………… 6分（2）记,EAD FAB αβ∠=∠=，,(0,),(0,)22ππαβαβ∈+∈,则tan 1,tan 1x y αβ=-=- 故22()tan()1(1)(1)x y x y x y x y xyαβ---++==---+-由（※）可得，2()2a xy a x y =+-，即2()2xy x y =+- (10)分代入上式可得，2()tan()2()x y x y αβ-++=-+=1所以()24EAF ππαβ∠=-+=故当2a =时，视角EAF∠为定值4π……………………………………………… 14分 18．（本小题满分16分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(1,0)F ，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△APB面积的最大值为．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AP 与直线2x =交于点D ，证明：以BD 为直径的圆与直线PF 相切．18．解析：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意知2221221, .a b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b ==故椭圆C的方程为22143x y +=．……………………6分（2）由题意，设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k=+=+．………………………………………10分因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．…11分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PFy kk x k ==--.所以直线PF的方程为24(1)14ky x k =--． …………………………………………13分 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-．…………15分又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =．故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，以BD 为直径的圆与直线PF相切． ………………………………………16分 19．（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）能否在数列{}n a 中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；（3）令131log 2n n b a =+，记函数212()2(*)n n n f x b x b x b n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为nc ，设122311()4n n n T c c c c c c -=+++(2)n ≥，求n T ，并证明：12342n n T T T T n->．【解析】（1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=…………………………………………4分（2） 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r =+，所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-< 所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列……………………9分（3）设()f x 与x 轴交点为12(,0),(,0)x x122n n n b b b ++=+，∴当()f x =0时有2(1)()0n n x b x b +++=21221,n n n n b b x x b b ++∴=-=-=- 1222|||1|||n n n n b c x x b b +∴=-=-+=又1311log 022n n b a n =+=->， 2n nc b ∴=11122114()n n n n n nc c b b b b ---∴=⨯=- 1223111111114[()()()]4n n nT b b b b b b -∴=⨯-+-++- 111112(1)111222n n b b n n -=-=-=--………………………………14分2(1)2(1)12n n n T n n --∴=>- 123422223242(1)22345n n n T T T T n n-⋅⋅⋅-∴>⋅⋅⋅=………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．20．解析：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23．当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：所以()f x 的极大值为24()327f b =+=427， 0b ∴=．…………………………………………………………………………………4分（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x ->22ln x xa x x-∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x-≤- (6)分令22(),([1,])ln x xt x x e x x-=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数， min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-．………………………………………………………………………………8分（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩11x x <≥，假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，……9分不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=， 232()()0t F t t t ∴-++= （*），是否存在P ，Q等价于方程()*在t >且1t ≠时是否有解．………………………11分①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；…………………………………………………………………………………………12分②若1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞， ∴当0a >时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE＝∠POC .【解析】因AE ＝AC ，AB 为直径，故∠OAC ＝∠OAE . ………………………………………………2分 所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC . …………………………6分又∠EAC ＝∠PDE ，…………………………………………………………………… 8分所以∠PDE ＝∠POC . ………………………………………………………………… 10分B ．选修42-：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12．求向量α，使得A 2α＝β． （第21(A)题）【解析】∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1，∴A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3．……………………………………3分 设α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则A2α＝β⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2． ……………………………………………………………………………10分C ．选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．22，…………………………………………3分 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －222＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －222＝1，…………………………6分∴圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22到直线l 的距离d ＝64，………………………………………………8分 ∴AB ＝102．……………………………………………………………………………10分D ．选修45-：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．【解析】因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ≥(1＋1＋1)2，…………6分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，…………………………………………………………8分当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1. …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三人商量周末自驾游，甲提议去六朝古都南京，乙提议去江南水乡无锡，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4)分（2）分布列为:……………………………8分 ∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (10)分23．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23. 解析：（1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--， PF EDCAB·21· 所以4cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为． --------------------------5分（2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =． 设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t -=-， 所以，121212||cos ,||||(n n n nn n ⋅<>===⋅- 解得23t =，或2t =（舍）． 所以||PF =． -------------------------10分 ∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………10分。
湖南省2018届高三 百校大联考 第二次考试数 学 (文) 试 卷总分：150分 时量：120分钟 2018年4月8日下午一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63,763==S S ，则公比q =（ ）。
A 、2B 、－2C 、3D 、－3 2、 已知命题a x q x p <<+|:|,113:，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）。
A 、1<aB 、1≤aC 、2<aD 、2≤a 3、 已知n x x)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）。
A 、 －20B 、20C 、－15D 、 15 4、 已知集合}1|),{(22=+=y x y x A ，}02|),{(≤--=y kx y x B ，其中R y x ∈,；若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是（ ）。
A 、]3,0[B 、]3,3[-C 、]0,3[-D 、),3[+∞- 5、 一个棱长均为a 的正三棱柱内接于球，则该球的表面积为（ ）。
A 、2411a π B 、22a π C 、 237a π D 、234a π 6、 已知函数)(46)(R k xkx x f ∈-+=，且0)32(=+f ，则)231(-f 的值等于（ ）。
A 、8B 、－8C 、4D 、－47、 正方形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，M 、N 为AD 、BC 的中点，将正方形沿MN 折成一个直二面角，则异面直线MF 与NE 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、6πC 、33arcsinD 、33arccos由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中 醴陵一中；澧县一中；郴州二中；益阳市一中；桃源县一中 联合命题8、 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．63<<-a B ． 63≤≤-a C ．63>-<a a 或 D ． 63≥-≤a a 或9、 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心10．．、． 已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误的是．．．．二、填空题：11、椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m = ； 12、 函数x x y 42sin sin -=的最小正周期T= 。
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）理数试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.L 已知集合 A ={x|2 <x <51B =（x|x （x-3）<0},则 ApB=（）2.已知复数4a =(x,1 )b =(2»),若(a +b )±b ,4.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪A. (0,5)(3,5) D ・(0,3)A. 8 B . 10C.11 D 12纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分V2 ~2 ,在如图所示的古代 AB BC ，则向正八边形倒花矢昂:图片中任投一点，落在正方形 DEFG 中的概C.5.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（正八边形窗花矢最图片中,率为（A. 5 B . 11 0.14 D . 192 26. 过双曲线E ：4-4=l （a >0,b>0）的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线 E 交于A.B 两点，与双曲线Ea b 的渐近线交于C,D 两点，若|AB|=^|CD| ,则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. v = 土麗x B . y =±V5x C. y =i?x D . y =42^7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画岀的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A. — + ^3+4^2 B . 10+力+4 也 2 28. 已知f (x )=3 +1X1 +|x|),则不等式f (Ig X )< f (1网解集为(A -B . ^,10 I c. (0,10) D9. 已知数列 虹｝中，a, =7, a n + -27a n +2 =& +1 ,则A. 1028 B . 1026 C. 1024 D . 102210. f [x -y +1 >0| 巳知 D =«x, y *x—t <0 >,若存在点产D ,便得x o -3y o =3 ,则t 的取值范围为（A. 11. 已知函数f (x )=2cos x +sin 2x ---------------- ，则函数f (X )在 K -2x 卜的所有零点之和为（DA・ 3力B・ 4了C・2jt D -7i212.在三棱锥P _ABC中，AB =BC =CP=1,匕ABC =zBCP=120气平面PBC和平面ABC所成角为120。
广东省百校2018届高三第二次联考数学（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•复数z满足（z ，则z=（）A. —2B. —C. 2D. 12 22•已知A=｛x|y =log2（3x-1）｝,B 二｛y|x2y2=4｝，则A B二（）1 111A. （0＜）B. [-2-）C. H,2]D. （;,2）3 3 3 33.下表是我国某城市在20XX年1月份至10月份各月最低温与最高温（C）的数据一览表椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A •最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D . 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4.已知命题p : x 2是x log 25的必要不充分条件；命题q :若sin x '，贝U32cos2x二sin x，则下列命题为真命题的上（）A. p q B . （—p） q C . p 广q）D . （一p）（一q）5.在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若SnA3n ,Bc5、、，且csC=5，6 则a =（）A . 2-2B . 3C . 3^2D . 46•某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为A . 8 4,2 2,5B . 6 4,2 4.5C . 6 2 2 2 5D . 8 2,2 2、5―17.将曲线C 1 : y =sin(x)上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的62C 2：y = g x ，则g x 在［-二，0］上的单调递增区间是(x -2y-2 _09.设x, y 满足约束条件 x • 2y -6 一 0y -2 <07 A .[-]]7B .[-甸Jt6]A . 7B . 10 B .［丁丐A . [「6 则输出的C . 13D . 1610.函数 f (X )二 2 x - xe 「e x 2+ x _2的部分图象大致是( 曲线向左平移 一个单位长度，得到曲线22y x z=的取值范围是(yA, B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且 ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为 （ ）A . （1,、.2）B . （、、2, .2 .2）C . （、.2,2）D . （1,、.2） （.2 .2,：：）1 x12. 已知函数f （x ）=e 2x 二g （x ）=：+1 ，若f （m ）=g （n ）成立，则n-m 的最小值为（ ）11 A . In2 B . In 2 C .2ln 2D . 2ln 222 第U 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 m 与向量n 互相垂直，且m —2n = （11 -2）,若m = 5，则n = ________14. 在二项式"』）6的展开式中，其3项为120，则x =——.15.如图，E 是正方体ABCD -A ]BC 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且 BD 1 / /平面BQF ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为216.已知点A 是抛物线C:x =2py （p 0）上一点，O 为坐标原点，若A, B 是以点M （0,8） 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 ABO 为等边三角形，则p 的 值是 __________ .、解答题 （本大题共6小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演2 211.过双曲线 笃-当 "（a 0,b 0）的右焦点且垂直于a bx 轴的直线与双曲线交于算步骤.）（一）必考题（60分）17.已知正项数列 & ?满足印=1, a2 - a^a 2^ a n ,，数列:b n ?的前n 项和S n 满足2Sn = n - a n.（1）求数列〔a n !, IbJ 的通项公式；1（2）求数列｛｝的前n 项和T n.an 1bn18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位， 在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第 一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立， 某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品， 根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件1 4 3丄，兰，3，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次2 5 54 1 2 5，2,3（1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率; （2）经过前后两次烧制后， 甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 X ，求随机变量X的数学期望•19•如图，四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC,PE _ 平面 ABCD,PE = 6. （1） 证明：平面PAC —平面PBE ； （2） 求二面角 A -PB -C 的余弦值.2 2 20.已知椭圆C :X2 -y ^=1（a b 0）的长轴长是短轴长的 2. 2倍，且椭圆C 经过点 a b工艺品合格的概率依次为42A(2,).2(1)求椭圆C的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线丨交椭圆C于M , N两点，MN| = 2J2，记直线丨在y轴上的截距为m,求m的最大值.221.函数f x ]=x mln(1 x).(1 )当m .0时，讨论f x的单调性；(2)若函数f x有两个极值点x,,x2，且为：::x2，证明：2f (x2) • -捲• 2x, In2 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.「X = cos日22•在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为G为参数)，曲线C2的y = 1 +si n 日X x = 2cos参数方程为(「为参数)畀=s in申(1 )将G，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为：-(COST -2sin二)=4，若G上的点P对应的参数为，点Q上在C?，点M为2PQ的中点，求点M到直线I距离的最小值•23.已知f(x)=x—a +x+2a+3 .(1)证明：f x 一2 ；3(2)若f( ) <3，求实数a的取值范围.2数学(理科)参考答案、选择题、填空题三、解答题所以 订,是以1为首项，1为公差的等差数列,当n_2时，b n =S n -S n 」=2n ，当n =1时b =2也满足，所以b n =2n .1 1 111（2）由（1）可知（），a n卅b n2n （n+1） 2 n n +11 11111 1 1 n 所以人兮73)GV(丁百)“冇18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件A, A, A 3,(1)设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格, 则 pg J 1 2.1 42 1 125525525550(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 所以随机变量X : B(3,0.4), 所以 E X P=3 0.4 = 1.2.19. （ 1）证明；设BE 交AC 于F ,因为四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC ,CE BC所以CE =寿3,,BC AB1-5: ACBAB6-10: CBDAD 11、 D 12: A13. 514.215.卫5216.—17•解：(1)因为 2 a n a n 二2a n 1-a n 1，所以,a n 1 a na n 1 - a n - 1= 0，因为 a n 10,a n，所以 a n 1 a n = 0，所以 a n 4 ~' a n-1，n又ABC 二BCD ，所以ABC ：：BCE, BEC 二ACB ,2JT因为BEC 二ACE 二ACB ACE ,2所以AC _ BE，又PE _平面ABCD .所以AC _ PE，而PE BE = E，所以平面PAC _平面PBE ;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得A(3, -2. 3,0), B(3,. 3,0), C(0,3,0), P(0,0,6),——J则AB =(0,3 .3,0), BP =(-3,-'、3, \6),CB =(—,3设平面APB的法向量3>/3y1 = 0厲=(捲，比，乙)，则——1-3捲- J3y1+ 46/=0=1，即n i =(±,0,1)3设平面BPC的法向量- 3x2 = 0"EM)，则_3X2「3y2 危2=0，取X2 =0,% =2, Z i =1，即m = (0^. 2,1)设平面APB与平面BPC所成的二面角为二，则cos日n1n2、、5jr n i - 5厂由图可知二面角为钝角，所以cos= = -—55n20.解：（1）因为 ^2 2b ，所以椭圆的方程为22 2xb =1,a =8，椭圆的方程为y8m 2 二73 ，满足 口2 :：: 1 . 8k 2，8所以m 的最大值为y14 - 7 .把点 A(2,的坐标代入椭圆的方程，得丄丄18b 2 b 2所以(2) 设直线I 的方程为y 二kx m,M (X i ,yJ,N(X 2, y ?),联立方程组 —y 2 -1I 8y = kx m2 2 2得(1 8k )x 16kmx 8m -8 = 0,由 256m 2 -32(m 2 -1)(1 8k 2)0 ,得:::1 8k 2，216km 8m -8所以 x | X 22 , X [ X 22 ，所以MN = J 1+k 2 \&花+x 2)2—4为屜mi)2 4 8m 2 -8 4、2 1 k 2 : 8k 21-m 21 8k 2由4zrv.8k 2，得(8k 2 1)(3-4k 2)令k 21 2m =21当且仅当1 8k 24(k 2 1)二t(t 1)= k 2二 t _ 1，所以 m^-32t2 84t -49，4t-(8t49)4t _21 -14，2，即8^49，4tt =3时，上式取等号, 8此时k 221.解：函数f X 的定义域为（-1,七），f X =21（1 ）令g x [=2x 2x m ，开口向上，x - - 为对称轴的抛物线， 当x • _1时，1 1 1①g （-2）m_0，即m_2时，gx_O ，即f x _ 0在（-1」：：）上恒成立,J - 2m 1 J - 2m —2 —必2 _ _2 —2—、、1-2m 1，当 X 1 ：：： X ：：： X 2 时,22即 f x ：0，当-1 . x x 1 或 x x 2 时，g x ]，0，即 f x 0，11 *, 1~2m 1 T1-2m 「¥ 亠综上，当0 ::: m 时，f x 在（， ）上递减，22 2 2 2亠 1 / —2m 1 J 1 —2m 、1在（-1,）和（ ，=）上递增，当m 时，在（-1,=）上递增.2 2 2 2 2（2）若函数f X 有两个极值点X j ,X 2且X^ X 2，1 1则必有0 ::: m ：：： £，且-1 ：：：洛 x 2 :: 0，且f x 在x 1, x 2上递减，在（-1,xJ 和（X 2, •：：）上递增，则 f (x 2) ：： f (0) =0,因为x , ,x 2是方程2x 2 2x ^0的两根，所以 X ! x 2 二-2,x 1x^-m ，即为=-1 - x 2, m = 2为，x 2，2要证 2f (x 2) -为 2x 1 In 2又 2 f (x 2) =2x ； 2mln(1 X 2)=2X ； 4x^21n(1 x 2)-2x | 4(1 x 2)x 2In(1 x 2)-(-1 x 2)2(-1 -x 2)ln 2=1 冷-2(1x 2)ln 2，2x 2 2x m1 ②当0 ：：： m 时,2由 g x ] = 2x 2x m ，得 x =-因为 g -1 二 m ・0,所以-r ：： x 1 < -1g X ：0，即证2x； -4(1 x?)x21n(1 %) -(1 x2)(1 -21 n 2) 0 对--■ x ■■■ 0恒成立,221设」x =2x -4(1 x)xln(1 x) -(1 x)(1 -2ln 2),( x ：：： 0)4则」x = -4(1 2x)ln(1 x) -Ine14 当 x :：: 0时，1 2x ■ 0,ln(1 x) ::: 0,ln — • 0 ,故’x 0 ,2e1所以，x 在(-3,0)上递增， J 1 1 1 1 故」x'( — )=2 4 — ln (1 —2ln 2) =0 , 2 4 2 2 2所以 2x ； -4(1 x 2)x 2ln(1 屜)-(1 x 2)(1 -2ln 2) 0 , 所以 2f (X 2)-为2x 1 ln2.22.解：(1) C 1的普通方程为x 2 (y -1)2 =1 , 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 2的普通方程为y 2 -1，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆.41(2 )由已知得 P(0, 2)，设 Q(2cos ysi nr)，则 M(cos\1si nJ , 2直线l : x -2y -4 =0，点M 至y 直线l 的距离为cos ： -sin v - 65 =所以d 兰异翌 =6血7° ，即M 到直线l 的距离的最小值为 6亦_后V555所以f x -2.3a 2 2a 3,a -3,a 2 _2a,a ：：： - 3 L 423. (1)证明：因为f X 二而 x +2a 十3 —x +a 2 2x -a+|x + 2a +3 > =a 2 +2a+3 2x 2a 3-x a =(a 1)22 一2 ,3 2丄3 丄3f (_—) =a 2 +— + 2a +_2 2 2(2)因为- 3 -3a v — — a八——吕F ~—4£4〉2- 2r a + 2a + 3 < 3 r a —。
百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}01234A =，，，，，{}3B x x =≥，则集合()RA B ð的子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82.已知i 是虚数单位，()()()432z i i i =++-，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．105i + B ．510i + C ．105i - D ．510i -3.已知x 与y 的取值如表所示，若x 与y 线性相关，且回归直线方程为 1.23y x a =+，则6x =时，y 的预测值为（保留到小数点后一位数字）（ ）A ．7.4B ．7.5C ．7.6D ．8.54.已知直线a ，b 及平面α，β，a α⊂，b β∈.命题p ：若αβ⊥，则 a ，b 一定不平行；命题://q αβ是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A ．7B ．4 C.72D ．2 6.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为（ ）A ．19 B ．110 C. 111 D ．1127.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．838.我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：1斛 1.62≈立方尺，3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ） A ．5尺 B ．9尺 C. 10.6尺 D ．21.2尺 9.已知函数()sin cos f x x x λ=-的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，若将函数()f x 图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间是（ ）A ．2,2,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．,,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ） A．1,23⎛ ⎝⎭ B．,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,43⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭ 11. 已知()()22,0,23,0,x a x f x x x a x ⎧--≥⎪=⎨---+<⎪⎩若x R ∀∈，()()0f x f ≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．()3,1- C. []2,0- D ． [)2,0-12. 已知数列{}n a 的通项公式为1221,21,2n n nn a n -⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，为偶数，则数列{}37n a n +-的前2n 项和的最小值为（ ） A ．514-B ．1854- C. 252- D ．1058- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为 ． 14.已知数列{}n a 满足241n n S a =-，当n N *∈时，(){}222log log n n a a λ+是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．15.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:0l x ky -=与圆22:4C x y +=的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，且//PQ BC ，则B Q C P ⋅的值为 ． 16.已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，点D 在边BC 上，且2CD AD DB ==，cos BAD ∠=b =（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）求ABC △周长的最大值.18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出1个利润为5元，未售出的每个亏损3元.根据以往100天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了130个这种蛋糕.以x （单位：个，100150x ≤≤）表示这天的市场需求量.T （单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.（Ⅰ）将T 表示为x 的函数，根据上表，求利润T 不少于570元的概率； （Ⅱ）估计这100天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅲ）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了50名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为5.完善上表，并根据上表，判断是否有97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.已知几何体EF ABCD -，其中四边形ABCD 为直角梯形，四边形EBCF 为矩形，//AD BC ，且222BC BE AD ===，45BCD ∠=.（Ⅰ）试判断线段BE 上是否存在一点H ，使得//AH 平面ECD ，请说明理由； （Ⅱ）若CD ED ⊥，求该几何体的表面积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，与点()2,3M -关于直线220x y -+=对称的点N 位于抛物线()2:20C x py p =>上.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点N 作两条倾斜角互补的直线交抛物线C 于A ，B 两点（非N 点），若AB 过焦点F ，求AF BF的值.21. 已知函数()1f x =1x =为函数()()ln g x x x c =-的极值点. （Ⅰ）证明：当1x >时，()22g x x x <-；（Ⅱ）对于任意12m ≤，都存在()0,n ∈+∞，使得()()nf m g n n =+，求n m -的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线11:x t l y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ，N ，P 为曲线1C 上任意一点，求PMN ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =-+-的最小值为M . （Ⅰ）若[],,m n M M ∈-，求证：24m n mn +≤+； （Ⅱ）若(),0,a b ∈+∞ ，2a b M +=，求21a b+的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10: CCDCA 11、12：CD 二、填空题13.214. ()1,+∞ 15.223- 16.()64,81三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为cos 4BAD ∠=，所以sin 4BAD ∠=.根据正弦定理，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin sin AD B BAD BD =∠=， 又B 为锐角，所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，所以()()()222222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-=⎪⎝⎭，∴a c +≤a c =时，等号成立.故a b c ++≤ABC △周长的最大值为18.【解析】（Ⅰ）当[)100,130x ∈时，()531308390T x x x =--=-， 当[]130,150x ∈时，5130650T =⨯=，所以8390,100130,650,130150.x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩当570T ≥时，8390570x -≥，∴130120x >≥，又650570≥，所以120150x ≤≤， 因此，利润T 不少于570元的概率为3025150.7100++=.（Ⅱ）这100天的平均需求量为1051011520125301352514515126.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为528207⨯=，男性为8人，填表如下：根据公式，()2250201488 6.15 5.024********K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.19.【解析】（Ⅰ）存在线段BE 的中点H ，使得//AH 平面ECD ，理由如下： 取EC 的中点G ，连接HG ，DG ，∵H 为BE 的中点，∴//HG BC ，且12HG BC =， 又∵四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且12BC AD =，∴//AD HG ，AD HG =，∴四边形ADGH 为平行四边形，∴//AH DG ， ∵AH ⊄平面ECD ，DG ⊂平面ECD ， ∴//AH 平面ECD .（Ⅱ）因为四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，45BCD ∠=，所以112BC AB ==，∴CD =又EC ==CD ED ⊥，所以DE ==因为BC AB ⊥，BC BE ⊥，ABBE B =，所以BC ⊥平面ABE ，又因为//BC AD ，∴AD ⊥平面ABE ，∴AD AE ⊥，所以AE ==AB BE ⊥.所以111122ABE S =⨯⨯=△,因为DCF △为直角三角形，所以1122DCF S ==△， 又四边形AEFD 也为直角梯形，()()1112222AEFD S AE AD EF =+=+=Y ， 又()()113112222ABCD S AB AD BC =+=⨯⨯+=Y ，2BEFC S =Y ，所以该几何体的表面积为31242222S =++++=+20.【解析】（Ⅰ）设(),N m n ，则31,2223220,22n m m n -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-+=⎪⎩解之得()2,1N ，代入()220x py p =>得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.（Ⅱ）显然直线NA 的斜率是存在的，设直线NA 的方程()12y k x -=-， 设直线NB 的方程()12y k x -=--，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()2412x y y k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩消元，得24840x kx k -+-=，所以124x k +=，∴142x k =-，∴()1411y k k =-+， 故()()42,411A k k k --+， 同理，()()42,411B k k k --++，所以()()41141114242AB k k k k k k k ++---==----+，若1AF BF <，因为cos45BF AF BF AF-=+，∴3AF BF==-若1AF BF>，同理可求3AF BF==+21.【解析】（Ⅰ）()()ln g x x x c =-，∴()'1ln g x x c =+-， 又∵1x =为极值点，1ln10c +-=，∴1c =， 经检验1c =符合题意，所以1c =，当1x >时，()22g x x x <-，可转化为当1x >时，ln 10x x -+<恒成立， 设()ln 1t x x x =-+，所以()'111x t x x x-=-=， 当1x >时，()'0t x <，所以()t x 在()1+∞，上为减函数，所以()()10t x t <=， 故当1x >时，()22g x x x <-成立. （Ⅱ）令()()1ln g n f m n k n=+==，则1k = 解得()22111222k m k k -=-=-，同理，由ln k n =，可得kn e =，因为(]1,1k =-∞，又ln k n R =∈，所以(],1k ∈-∞， 令()()2112kh k n m e k k k =-=-+≤， 则()'1kh k e k =-+，易知()'00h =，当0k <时，()'0h k <，当01k <<时，()'0h k >，即当0k <时，()h k 是减函数，当01k <<时，()h k 是增函数， 所以()h k 的最小值为()01h =，即n m -的最小值为1.22.【解析】（Ⅰ）把曲线1cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数可得(()2221x y +-=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线1C的极坐标方程为2cos 4sin 60ρθρθ--+=.把直线11:x tl y =+⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程)1y x =-.（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l的方程为y =，其极坐标方程为3πθ=.联立2cos 4sin 60,,3ρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩所以260ρ-+=，所以12126,ρρρρ⎧+=⎪⎨=⎪⎩- 11 - 故12ρρ-==，圆心到直线2l的距离为12d ==， 圆上一点到直线2l 的最大距离为131=22+，所以1322S =⨯=23.【解析】（Ⅰ）()()232123212f x x x x x M =-+-≥---==， 要证明24m n mn +≤+，只需证明()()2244m n mn +≤+， ()()()()()()22222222444216844m n mn m mn n mn m n m n +-+=++-++=--， ∵[],2,2m n ∈-，∴[]22,0,4m n ∈， ∴()()22440m n mn +-+≤，∴()()2244m n mn +≤+，可得24m n mn +≤+.（Ⅱ）由题意，22a b +=， 故()2112114122244222a b a b a b a b b a b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a =，12b =时，等号成立，所以21a b+的最小值为4.。
广东省百校联盟 2018届高三第二次联考数学（文）试题、单选题2 -i1.复数()3 -i7 1 . 7 1 .17 .1 7 A. iB. iC. iD. -- -10 1010 1010 1010 10【答案】 A【解析】由题意得2 -i 2-i 3i71 .i。
选 A 。
3-i 3-i3 i10 102.已知 A -「x| y =log 2 3x -1 B - ;y |x 2 y 2 =4?，则 A 一 B =()【解析】 因为 A=7 |x y 12 o g ：P X3-1-2,2 ]. A ' B l -,2 ，故选 C.13 J3•下表是我国某城市在 2017年1月份至10月份各月最低温与最高温C 的数据一览表12 31 57fl】059 $11 r24 272i-12 -3]—2717JS232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A.最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】BC. 1,2【答案】CD.将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前 8个月不是逐月增加，B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月，C 正确；由表格可知1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大，D 正确，故选B.4.已知等差数列 曲 的前n 项和为S n ，公差d ::: 0 , S 7 =7，且a ? Q =-15，则冇=（） A. —13 B. -14C. -15D. —16【答案】A【解析】3 =7a4 =7, a 4 =1，又 a 2 =印-2d ] [a 4 2d - -15,d ：： 0 , d - -2 ,an = a 4，7d=-13，故选 A.2 25•已知点P 在双曲线C : 笃-每=1 （ a 0 , b 0） 上, A , B 分别为双曲线 C 的左、右a b顶点，离心率为e ，若 ABP 为等腰三角形，其顶角为150，则e 2二（）2b 2 、、3 1 a,a ，代入双曲线C 的方程得4 2.3-笃=1, e 2 =1 •岂bax-2y-2 乞0,6•设x ,y 满足约束条件｛x • 2y -6 一 0,则z 二兰的取值范围是（）yy-2g'【答案】A【解析】]2\5 $8JO■ 9 g 11172*:inSi Mt 盘-12 —3 j —寸A耳 f17]Q1?128J3 ]0 7711A. 4 2 3B. 2C. 3D.2、3 3【答案】D【解析】不妨设点P 在第一象限，因为ABP 为等腰三角形，其顶角为150 ，贝U P 的坐标为故选 D.A. 1,4 丨B.易求得A 4,1 ,B 2,2 ,匕」，匕丿 -,1 ，从而X 1,41,4x ]4 一y故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题 •求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（-作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点 就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值7•某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为厂，臂"行―节*丰…： I ; ： j ! I ； "A/' ・ 、r *tSdx,y 连线的斜率,—则该几何体的表面积为（ ）O 与可行域的点A. 8 4、2 2 .5B. 6 4 迈4 5C. 6 2 2 2、5D. 8 2 2 2 5 【答案】C面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为2,2.2，另两个侧面为直角三角形面积都为 、、5，可得这个几何体的表面积为6^2 2 5，故选C.&将曲线C 1 : y =sin x-】 上各点的横坐标缩短到原来的 I 6丿由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E -ABCD ,如图，正方体的边长为2，该三棱锥底1-倍，纵坐标不变，再把得到的曲线2向左平移一个单位长度，得到曲线C 2:2y = g x ，则g x 在I-二，0 l 上的单调递增区间是5■: 兀'2 -JI ■2二心A. ,B.1 — , —C. ,0IL 6 6IL 36-3 '【答案】B【解析】将曲线G : y =sin x ' 上各点的横坐标缩短到原来的I 6丿倍，纵坐标不变，再把得到2的曲线向左平移2个单位长度可得gx -in2x?一6 ®2x *，令兀5兀兀2兀兀2兀兀2k 2x 2k ，得k x^k k Z ，再令k=0，得x 乞一一2 6 23 6 3 6则g（x ）在［-'0 ］上的单调递增区间是L—--［故选B.一3 ' 69.如图，E是正方体ABCD - A BC1D1的棱C i D i 上的一点（不与端点重合），BD i / /平面BQE ,则（）t =4，则输出的i =(A. BD 1 //CEB. AG _ BD 1C. D r E =2EGD. D r E = EC 1【答案】D』：乍 .. \【解析】1人设 B r C * BG = O ，如图， BD r / / 平面 BCE ，平面 BCQ -平面 B r CE = OE, BD r IIOE, O为BG 的中点，• E 为GD r 的中点，• D 正确，由异面直线的定义知 BD 仆CE 是异面直线，故A 错；在矩形ABC i D i 中，AC i 与BD,不垂直，故B 错；C 显然是错，故选 D.10 •执行如图所示的程序框图，若输入的第一次： 1 不是质数， S =0 _1 = _1 ：：：4,i =4; 4不是质数， S = _1 _4 = _5 ：：：4,i =7 ； 7 是质数， S = _5 • 7 = 2 ：：：4,i =10 ；故输出16。
百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|430A x x x =-+≤,{}1,2,3,4,5B =，则()R A B I ð的真子集个数为（ ） A ．9个B ．7个C ．3个D ．1个2.2356i i -=+（ ） A ．3286161i +B ．3286161i -+ C ．3286161i - D ．3286161i -- 3.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（ ）A ．甲应付4151109钱 B ．乙应付2432109钱 C ．丙应付5616109钱D ．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少4.已知公差不为零的等差数列{}n a 的首项150a =-，7a ，15a ，17a 成等比数列，则12345a a a a a ++++=（ ）A ．238B ．238-C ．220D ．220-5.运行如图所示的程序框图，若输入的i a （1,2,,10i =…）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）A．2 5B．49C．12D．596.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．16(1)3π+B．8(1)3π+C．4(23)3π+D．4(2)3π+7.已知tan2tanB A=，且4cos sin5A B=，则3cos()2A Bπ--=（）A．45-B．45C．25-D．258.已知函数12,1,2()12,1,2xxxxxf xx⎧->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩函数()()g x f x m=-，则下列说法错误的是（）A ．若32m ≤-，则函数()g x 无零点 B ．若32m >-，则函数()g x 有零点 C ．若3322m -<≤，则函数()g x 有一个零点 D ．若32m >，则函数()g x 有两个零点9.已知双曲线C ：22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F 且与双曲线C的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于M ，N 两点，若11||2||NF MF =，则双曲线C 的渐进线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．2y x =± 10.已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π,向量122e e +u r u u r 与122e e λ+u r u u r 的夹角为23π，则λ=（ ）A ．23-B ．3-C ．23-或3- D ．1-11.如图,点P 是正方形1111ABCD A B C D -外的一点,过点P 作直线l ,记直线l 与直线1AC ，BC 的夹角分别为1θ，2θ，若1sin(50)θ-︒2cos(140)θ=︒-，则满足条件的直线l （ ）A ．有1条B ．有2条C ．有3条D ．有4条12.已知关于x 的不等式ln mx x <有唯一整数解，则实数m 的最小值为（ ） A ．1ln 22B ．1ln 33C ．1ln 23D ．1ln 32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知圆O 的一条直径为线段BC ，A 为圆上一点，45ABC ∠=︒，30BCD CBD ∠=∠=︒，则向圆O 中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为 ．14.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的图象如图所示，其中5(,2)6A π-，19(,0)12B π，则函数()f x = ．15.已知实数x ，y 满足20,4,1,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2y x +的取值范围为 ．16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若11(1)(2)n n n n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦（*n N ∈），则100S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在ABC ∆中，ABC ∆的面积为S ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且203S BA AC ⋅+=u u u r u u u r ， 4C π=．（1）求cos B 的值；（2）若AB AC ⋅u u u r u u u r16=，求b 的值．18.如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA AD ⊥，//AD BC ，43SA BC AB ==24AD ==．（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ； （2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积． 19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示：（1）试计算该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x （元）与销量y （万件）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据：售价x （元） 25 30 38 45 52 销量y （万份）7.57.16.05.64.8据此计算出的回归方程为$10y bx =-$，求b $的值； （3）若从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（2m ≥，且*m N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}3(6)2n n m a -+⨯的前n 项和．21.已知椭圆C ：222112x y a +=过点，点A ，B 是椭圆上异于长轴端点的两个点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：8x =，且1AA l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若(3,0)D 且1115ABD A B D S S ∆∆=，求AB 中点的轨迹方程．22.已知函数()(2)xf x x e =-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若2()()2x g x f x e ax =+-，()h x x =，且1x ∀，2x ，[][]1122()()()()0g x h x g x h x -->，求实数a 的取值范围．百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)文科数学答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:ADABB 11、12：DA二、填空题14.2sin(2)6x π- 15.14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16.101223-三、解答题17.解：（1）因为203S BA AC ⋅+=u u u r u u u r ，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =，即222sin 9cos 9(1sin )A A A ==-，所以29sin 10A =，又3(0,)4A π∈，所以sin 0A >，故sin A =， 又∵203S BA AC ⋅+=u u u r u u u r ，故23S AB AC ⋅=u u u r u u u r ，即2||||cos 03S AB AC A =>u u u r u u u r ，所以cos 0A >，故cos A ==故cos cos()cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+===．（2）16AB AC ⋅=u u u r u u u r，所以cos 16bc A =，得bc =①，又4C π=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+==， 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C ==，得c =②， 联立①②，解得8b =．18.解：（1）如图，取SB 的中点M ，SC 的中点E ，连接AM ，ME DE ， ∵ME 是BCS ∆的中位线，∴//ME =12BC ，依题意得，//AD =12BC ，则有//AD =ME ，∴四边形AMED 是平行四边形，∴//ED AM ， ∵ED ⊄平面SAB ，AM ⊂平面SAB ，∴//ED 平面SAB ．（2）∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD I 平面ABCD AD =，SA AD ⊥，SA ⊂平面SAD ，故SA ⊥平面ABCD ， ∵E 是SC 的中点，∴E 到平面ABCD 的距离等于S 到平面ABCD 的距离的一半，且SA ⊥平面ABCD ，4SA =， ∴三棱锥E ACD -的高是2，E ACD S AED V V --=，在等腰ABC ∆中，3AC AB ==，4BC =，BC 边上的高为22325-=，//BC AD ，∴C 到AD 的距离为5，∴12552ADC S ∆=⨯⨯=，∴1255233S AED V -=⨯⨯=．19.解：（1）依题意，所求中位数为0.2(0.50.20.1) 2.50.28+--÷=．（2）25303845521903855x ++++===，7.57.1 6.0 5.6 4.8316.255y ++++===，∴10 6.20.138b-==$． （3）依题意，所有销量情况为(7.5,7.1)，(7.5,6.0)，(7.5,5.6)，(7.5,4.8)，(7.1,6.0)，(7.1,5.6)，(7.1,4.8)，(6.0,5.6)，(6.0,4.8)，(5.6,4.8)，恰有一组超过6万件的情况为(7.5,6.0)，(7.5,5.6)，(7.5,4.8)，(7.1,6.0)，(7.1,5.6)，(7.1,4.8)，故所求概率35P =．20.解：（1）由已知得14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=， 设数列{}n a 的公差为d ，则由2314m a d +=，∴2d =， 由0m S =，得1(1)202m m ma -+⨯=，即11a m =-，∴1(1)214m a a m m =+-⨯=-=， ∴5m =，故26n a n =-．（2）32(6)252n n n m a n --+⨯=⨯；下面先求{}22n n -⨯的前n 项和n T ，10321222(1)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⨯+⨯…①； 012121222(1)22n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯…②；两式相减得1212222n n n T n ----=+++-⨯…11112(12)1222122n n n n n n -----=-⨯=--⨯-，∴11(1)22n n T n -=-⨯+（*n N ∈）． 故{}3(6)2n n m a -+⨯的前n 项和为155(1)22n n --⨯+． 21.解：（1）依题意，2123112a +=，解得216a =， 故椭圆C 的方程为2211612x y +=，则其离心率为12． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r ，1|3|||2ABD A B S r y y ∆=⨯-⨯-，1115||2A B D A B S y y ∆=⨯⨯-，由于1115ABD A B D S S ∆∆=，即115A B D ABD S S ∆∆=，且11||||A B A B y y y y -=-，得11115||5|3|||22A B A B y y r y y ⨯⨯-=⨯⨯-⨯-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点(2,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)K x y ， ①直线AB 垂直于x 轴时，则AB 的重担为(2,0)F ；②直线AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为(2)y k x =-，则221,1612(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，21221634k x x k +=+，202834k x k =+，02634ky k-=+， 消去k ，整理得22004(1)13y x -+=（00y ≠）．经检验，点(2,0)也满足此方程． 综上所述，点K 的轨迹方程为224(1)13y x -+=（0x >）． 22.解：（1）依题意，'()(2)(1)x x xf x e x e x e =+-=-，令'()0f x >，解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞． （2）当11()()0g x h x ->，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x ->； 当11()()0g x h x -<时，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x -<；故()()0g x h x ->对(0,)x ∈+∞恒成立，或()()0g x h x -<对(0,)x ∈+∞恒成立， 而()()(1)xg x h x x e ax -=--，设函数()1xp x e ax =--，(0,)x ∈+∞．则()0p x >对(0,)x ∈+∞恒成立，或()0p x <对(0,)x ∈+∞恒成立，'()xp x e a =-， ①当1a ≤时，∵(0,)x ∈+∞,∴1x e >，∴'()0p x >恒成立， ∴()p x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，(0)0p =， 故()0p x >在(0,)+∞上恒成立，符合题意．②当1a >时，令'()0p x =，得ln x a =，令'()0p x <，得0ln x a <<， 故()p x 在(0,ln )a 上单调递减，所以(ln )(0)0p a p <=， 而2()1ap a e a =--，设函数2()1aa e a ϕ=--，(1,)a ∈+∞，则'()2aa e a ϕ=-，令()2aH a e a =-，则'()2aH a e =->（(1,)a ∈+∞）恒成立， ∴'()a ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴'()'(1)20a e ϕϕ>=->恒成立，∴()a ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()a ϕ(1)20e ϕ>=->恒成立， 即()0p a >，而(ln )0p a <，不合题意．综上，故实数a 的取值范围为(,1]-∞.。
2018年河南省百校大联考中考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1．（3分）﹣5的相反数是（ ）A ．﹣5B ．5C ．D ．﹣2．（3分）某种新研究的光纤传导材料的直径为0.000000037m ，将数据0.000000037用科学记数法表示为（ ）A ．3.7×10﹣8B ．3.7×10﹣7C ．37×10﹣6D ．3.7×10﹣73．（3分）下面几个平面图形中为圆锥的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．（3分）下列运算正确的是（ ）A ．3a 3+2a 2＝5a 5B ．5a 3b 2÷ab ＝5a 2bC ．（a ﹣b ）3＝a 3﹣b 3D ．（﹣a ）5+a 5＝2a 55．（3分）一组数1、2、2、3、3、a 、b 的众数为2，平均数为2，则这组数据的方差为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（3分）已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +1＝0有实数根，若k 为非负整数，则k 等于（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．7．（3分）不等式组的整数解有（ ）个． A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 8．（3分）一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的2个红球和1个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）小明和小华在一段公路上相向而行，小明骑自行车从甲地到乙地，小华骑摩托车从乙地到甲地，已知小明出发5分钟后小华才出发，在整个过程中，两人之间的距离y（千米）与小明出发时间x（分）之间的关系如图所示，当小明与小华相遇之后，小明到乙地还需要的时间为（）A．14B．17C．D．1910．（3分）如图所示，ABCD为边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D 点落在AE上的H处，连接PH并延长交BC于F点，则EF的长为（）A．B．C．3﹣3D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：2﹣2+（﹣1）0+|﹣4|＝．12．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝4，若过点C作CM⊥AB，垂足为M，则CM的长为．13．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝2，以A为圆心，AB为半径作弧交CD边于P 点，若P是CD中点，则阴影面积为．14．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝k1x+b与y＝（k1•k2≠0）的图象相交于点B（2，3），A（m，﹣4），则关于x的不等式k1x+b＞的解集是．15．（3分）如图所示，等边△ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将△ABC沿着PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：CD＝1：3，则AQ的长度为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）化简÷（），并从0，﹣1，1，2四个数中，取一个合适的数作为m的值代入求值．17．（9分）距最新消息称，2018河南中考科目中暂缓生物与地理科目，为此调查了家长针对此事的看法，某校“九年级中考培优小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）这次接受调查的家长总人数为人．（2）在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数，补全条形统计图；（3）若全市参加中考的学生有22万人，则持“很赞同”意见的家长约有多少人？18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，当∠D＝°时，四边形FOBE是菱形．19．（9分）在假期游玩中小明和同学利用所学三角函数知识进行数据测量，他们来到著名景区张亮村的挂壁悬崖处，在M点仰望悬崖璧上有一棵松树P，测得∠PMN＝30°，沿直线前行100米到点N处，再次仰望这棵松树，测得点P的仰角围45°，请你猜测一下他们测得这棵松树距离挂壁公路的距离约多少米？（结果保留根号）20．（9分）如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m．（1）求点P坐标；（2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M坐标．21．（10分）飞镖游戏规则如下：每人6次投掷机会，投进内圈（黄钻区）得分较高，投进环形区（金银区）得分较低，投到大圈以外（青铜区）不得分，请看图解答问题：（1）小红投掷飞镖如靶心所示，她得分多少分？（2）如果小华也参与了游戏，已知他全部中靶，请问他至少投进黄钻区几镖才能使得得分不低于92分？22．（10分）如图1所示，M，N是正方形ABCD的边AB上两个动点，满足AM＝BN，连接BD交CN于点P，连接AP交DM于点Q．（1）观察猜想：∠ADM，∠BAP有何数量关系？请写出你的猜想，并写出理由；（2）数学思考：试问，在M、N的移动过程中，线段AP、DM有何位置关系？请写出理由；（3）拓展延伸：如图2所示，若正方形的边长为1，则在点M，N移动过程中，线段BQ 长度的最小值是．23．（11分）抛物线y＝ax2+bx+分别交x轴于点A（1，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC 上的动点，且MN⊥AC．（1）求抛物线的表达式；（2）线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；（3）在M，N移动的过程中，DM+MC是否有最小值，如果有，请写出理由．2018年河南省百校大联考中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．﹣5B．5C．D．﹣【分析】根据相反数的定义直接求得结果．【解答】解：﹣5的相反数是5．故选：B．【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．（3分）某种新研究的光纤传导材料的直径为0.000000037m，将数据0.000000037用科学记数法表示为（）A．3.7×10﹣8B．3.7×10﹣7C．37×10﹣6D．3.7×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000037＝3.7×10﹣8，故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下面几个平面图形中为圆锥的俯视图的是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个有圆心圆，故选：B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见集合的三视图是解题关键．4．（3分）下列运算正确的是（）A．3a3+2a2＝5a5B．5a3b2÷ab＝5a2bC．（a﹣b）3＝a3﹣b3D．（﹣a）5+a5＝2a5【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、3a3+2a2＝3a3+2a2，错误；B、5a3b2÷ab＝5a2b，正确；C、（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，错误；D、（﹣a）5+a5＝0，错误；故选：B．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）一组数1、2、2、3、3、a、b的众数为2，平均数为2，则这组数据的方差为（）A．B．C．D．【分析】先根据平均数公式确定出a+b的值，再由众数确定这两个数字，最后利用方差公式计算可得．【解答】解：∵这组数据的平均数为2，∴1+2+2+3+3+a+b＝2×7，则a+b＝3，又这组数据的中位数为2，则a、b两个数据为1、2，所以这组数据为1、1、2、2、2、3、3，所以方差为×[2×（1﹣2）2+3×（2﹣2）2+2×（3﹣2）2]＝，故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于（）A．0B．1C．0或1D．【分析】根据根的判别式即可k的值．【解答】解：由题意可知：∴0＜k≤1，由于k是整数，∴k＝1故选：B．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．7．（3分）不等式组的整数解有（）个．A．7B．8C．9D．10【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其整数解．【解答】解：解不等式x+5≥0，得：x≥﹣5，解不等式3﹣x＞1，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣5≤x＜2，∴其整数解有﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1这7个，故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（3分）一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的2个红球和1个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的有1种情况，∴两次都摸到黑球的概率是，故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（3分）小明和小华在一段公路上相向而行，小明骑自行车从甲地到乙地，小华骑摩托车从乙地到甲地，已知小明出发5分钟后小华才出发，在整个过程中，两人之间的距离y （千米）与小明出发时间x（分）之间的关系如图所示，当小明与小华相遇之后，小明到乙地还需要的时间为（）A．14B．17C．D．19【分析】根据路程与时间的关系，可得小明小华的速度，根据相遇前小明行驶的路程除以小华行驶的速度，可得小华到达甲地需要的时间，根据相遇前小明行驶的路程除以小明行驶的速度，可得小明到达乙地需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：由纵坐标看出小明先行驶了2千米，由横坐标看出小明行驶2千米用了5分钟，小明的速度是2÷5＝0.4千米/分钟，由纵坐标看出甲乙两地的距离是12千米，设小华的速度是x千米/分钟，由题意，得8x+13×0.4＝12，解得x＝0.85千米/分钟，相遇后小华到达甲地还需（13×0.4）÷0.85＝分钟，相遇后小明到达乙地还需（8×0.85）÷0.4＝17分钟，故选：B ．【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键． 10．（3分）如图所示，ABCD 为边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D点落在AE 上的H 处，连接PH 并延长交BC 于F 点，则EF 的长为（ ）A ．B ．C ．3﹣3D ．【分析】首先证明Rt △AFB ≌Rt △AFH ，推出BF ＝FH ，设EF ＝x ，则BF ＝FH ＝﹣x ，在Rt △FEH 中，根据EF 2＝EH 2+FH 2，构建方程即可解决问题；【解答】解：连接AF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∵BE ＝EC ＝，∴AE ＝＝，由翻折不变性可知：AD ＝AH ＝AB ＝1，∴EH ＝﹣1，∵∠B ＝∠AHF ＝90°，AF ＝AF ，AH ＝AB ，∴Rt △AFB ≌Rt △AFH ，∴BF＝FH，设EF＝x，则BF＝FH＝﹣x，在Rt△FEH中，∵EF2＝EH2+FH2，∴x2＝（﹣x）2+（﹣1）2，∴x＝，故选：A．【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：2﹣2+（﹣1）0+|﹣4|＝．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝+1+4＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝4，若过点C作CM⊥AB，垂足为M，则CM的长为．【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式AB×CM＝AC•BD可得答案．【解答】解：连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝OA＝2，∵AB＝4，∴OB＝＝，∴BD＝2，＝×AC×BD＝AB×CM，∵S菱形ABCD∴CM＝，故答案为．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．13．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝2，以A为圆心，AB为半径作弧交CD边于P点，若P是CD中点，则阴影面积为π．【分析】连结AP，根据扇形面积公式以及梯形面积公式即可求出答案．【解答】解：连结AP，由题意可知：AB＝CD＝2，∴PC＝PD＝CD＝1，∴∠DAP＝30°，∴∠BAP＝60°，∴扇形BAP的面积为：＝π，∵PD＝1，AP＝2，∴由勾股定理可知：AD＝，∴BC＝AD＝，梯形PABC的面积为：（PC+AB）•BC÷2＝，∴阴影部分的面积为：﹣π．故答案为：﹣π．【点评】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式以及梯形的面积公式，本题属于中等题型．14．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝k1x+b与y＝（k1•k2≠0）的图象相交于点B（2，3），A（m，﹣4），则关于x的不等式k1x+b＞的解集是﹣1.5＜x ＜0或x＞2．【分析】将B（2，3），A（m，﹣4）代入解析式函数y＝k1x+b与y＝（k1•k2≠0），可求A点坐标，由图象可求不等式的解集【解答】解：∵函数y＝k1x+b与y＝（k1•k2≠0）的图象相交于点B（2，3），A（m，﹣4），∴3＝∴k2＝6，∴反比例函数解析式：y＝，即＝﹣4，∴m＝﹣∴A（﹣，﹣4）∴关于x的不等式k1x+b＞∴函数y＝k1x+b的图象在y＝的图象上方∴﹣＜x＜0或x＞2故答案为﹣＜x＜0或x＞2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．15．（3分）如图所示，等边△ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将△ABC沿着PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：CD＝1：3，则AQ的长度为．【分析】由△BPD∽△CDQ．可得＝＝，由BD：DC＝1：4＝3，BC＝4，推出DB＝1，CD＝3，设AQ＝x，则CQ＝4﹣x，构建方程即可解决问题；【解答】解：∵△ACB是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠PDQ＝60°，∵∠PDC＝∠B+∠BPD，∠B＝∠PDQ，∴∠BPD＝∠QDC，∴△BPD∽△CDQ．∴＝＝，∵DQ＝AQ，∴＝＝，∵BD：DC＝1：4＝3，BC＝4，∴DB＝1，CD＝3，设AQ＝x，则CQ＝4﹣x，∴＝＝∴DP＝，BP＝，∵BP+DP＝4，∴+＝4，解得x＝，∴AQ＝，故答案为．【点评】此题主要考查了翻折变换，等边三角形的性质等知识，关键是证明△BPD∽△CDQ得到，再利用含AQ的式子表示DP、BP．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）化简÷（），并从0，﹣1，1，2四个数中，取一个合适的数作为m的值代入求值．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝由分式有意义的条件可知：当m＝0时，原式＝1，【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．17．（9分）距最新消息称，2018河南中考科目中暂缓生物与地理科目，为此调查了家长针对此事的看法，某校“九年级中考培优小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）这次接受调查的家长总人数为160人．（2）在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数，补全条形统计图；（3）若全市参加中考的学生有22万人，则持“很赞同”意见的家长约有多少人？【分析】（1）根据表示赞同的人数是40，所占的百分比是25%即可求得总人数；（2）先用总人数乘以不赞同的人数求得其人数，再根据各态度的人数之和等于总人数求得很赞同的人数，利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；（3）用总人数乘以样本中“很赞同”人数所占比例．【解答】解：（1）这次接受调查的家长总人数为40÷25%＝160人，故答案为：160；（2）不赞同的人数为160×15%＝24人，则很赞同的人数为160﹣（40+24+80）＝16人，所以“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝36°，补全图形如下：（3）持“很赞同”意见的家长约有22×＝2.2（万人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，当∠D＝30°时，四边形FOBE是菱形．【分析】（1）利用切线的性质得∠CEO＝90°，再证明△OCA≌△OCE得到∠CAO＝∠CEO＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）利用四边形FOBE是菱形得到OF＝OB＝BF＝EF，则可判定△OBE为等边三角形，所以∠BOE＝60°，然后利用互余可确定∠D的度数．【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，又∵OC∥BE，∴∠COE＝∠OEB，∠OBE＝∠COA∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠COE＝∠COA，又∵OC＝OC，OA＝OE，∴△OCA≌△OCE（SAS），∴∠CAO＝∠CEO＝90°，又∵AB为⊙O的直径，∴AC为⊙O的切线；（2）解：∵四边形FOBE是菱形，∴OF＝OB＝BF＝EF，∴OE＝OB＝BE，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，而OE⊥CD，∴∠D＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．19．（9分）在假期游玩中小明和同学利用所学三角函数知识进行数据测量，他们来到著名景区张亮村的挂壁悬崖处，在M点仰望悬崖璧上有一棵松树P，测得∠PMN＝30°，沿直线前行100米到点N处，再次仰望这棵松树，测得点P的仰角围45°，请你猜测一下他们测得这棵松树距离挂壁公路的距离约多少米？（结果保留根号）【分析】分两种情形分别构建方程即可解决问题；【解答】解：情形①如图1中，由题意设PQ＝QN＝x，则MQ＝x，∵MN＝100，∴x+x＝100，∴x＝50（﹣1）．情形②如图2中，设PQ＝NQ＝x，则MQ＝x，∵MN＝100，∴x﹣x＝100，∴x＝50（+1），综上所述，这棵松树距离挂壁公路的距离约50（﹣1）或50（+1）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．20．（9分）如图所示，直线y ＝x 与反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象交于点Q （4，a ），点P （m ，n ）是反比例函数图象上一点，且n ＝2m ． （1）求点 P 坐标；（2）若点M 在x 轴上，使得△PMQ 的面积为3，求M 坐标．【分析】（1）将P ，Q 代入解析式可求P 点坐标．（2）延长PQ 交x 轴于A ，连接OM ，可得S △PQM ＝S △PAM ﹣S △QAM 可得M 坐标．【解答】解：（1）∵直线y ＝x 与反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象交于点Q （4，a ），∴a ＝×4＝2，a ＝ ∴k ＝8∴反比例函数y ＝（x ＞0）∵点P （m ，n ）是反比例函数图象上一点， ∴mn ＝8，且n ＝2m ，m ＞0 ∴m ＝2，n ＝4 ∴P （2，4） （2）延长PQ 交x 轴于A ，连接OM ， 设直线PQ 解析式y ＝kx +b ，∴解得：∴解析式y ＝﹣x +6， ∵直线PQ 交x 轴于A ， ∴A （6，0），设M （a ，0）且△PMQ 的面积为3 ∵S △PQM ＝S △PAM ﹣S △QAM∴3＝|6﹣a |×4﹣|6﹣a |×2， ∴a ＝3或a ＝9，∴M 坐标（3，0）或（9，0）【点评】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，关键根据S △PQM ＝S △PAM ﹣S △QAM 可得方程，求得M 坐标．21．（10分）飞镖游戏规则如下：每人6次投掷机会，投进内圈（黄钻区）得分较高，投进环形区（金银区）得分较低，投到大圈以外（青铜区）不得分，请看图解答问题： （1）小红投掷飞镖如靶心所示，她得分多少分？（2）如果小华也参与了游戏，已知他全部中靶，请问他至少投进黄钻区几镖才能使得得分不低于92分？【分析】（1）设掷中A 区、B 区一次的得分分别为x ，y 分，由题意得等量关系：①51 次A区的总分+3次B区的总分＝77分；②3次A区的总分+5次B区的总分＝75分．根据等量关系列出方程组，再解方程组即可；（2）设小华投进黄钻区a镖，根据得分不低于92分列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）设黄钻区每镖x分，金银区每镖y分，由题意可得：，解得：．所以小红得分为：20×2+6×4＝64（分）．答：小红得分为64分；（2）设小华投进黄钻区a镖才能使得得分不低于92分，由题意可得：20a+6（6﹣a）≥92，解得a≥4，则a的最小整数值为4．答：他至少投进黄钻区4镖才能使得得分不低于92分．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程组与不等式．22．（10分）如图1所示，M，N是正方形ABCD的边AB上两个动点，满足AM＝BN，连接BD交CN于点P，连接AP交DM于点Q．（1）观察猜想：∠ADM，∠BAP有何数量关系？请写出你的猜想，并写出理由；（2）数学思考：试问，在M、N的移动过程中，线段AP、DM有何位置关系？请写出理由；（3）拓展延伸：如图2所示，若正方形的边长为1，则在点M，N移动过程中，线段BQ长度的最小值是．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及正方形的性质进行解答即可；（2）根据全等三角形的性质和垂直的判定解答即可；（3）根据勾股定理解答即可．1 【解答】解：（1）∠ADM＝∠BAP，理由如下：∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，在△ADM与△BCN中，∴△ADM≌△BCN，∴∠ADM＝∠BCP，∴∠ADM＝∠BAP，（2）AP⊥DM，理由如下；由（1）知∠ADM＝∠BAP，∵∠BAD＝90°，∴∠BAP+∠DAP＝90°，∠ADM+∠DAP＝90°，∴∠AQD＝180°﹣90°＝90°，∴AP⊥DM；（3）线段BQ长度的最小值是，∵∠AQD＝90°，∴点Q在以AD中点为圆心，以AD长度一半为半径的弧上，连接BE，BE与圆的交点即为所求Q点，在Rt△BAE中，BE＝，故BQ的最小值为BE与QE的差，∴BQ＝．故答案为：【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的性质进行解答．23．（11分）抛物线y＝ax2+bx+分别交x轴于点A（1，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC 上的动点，且MN⊥AC．（1）求抛物线的表达式；（2）线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；（3）在M，N移动的过程中，DM+MC是否有最小值，如果有，请写出理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）在Rt△AOC中，根据∠OCA的正切可得结论；（3）先根据直角三角形30度角的性质得：MN＝CM，可得DM+MC的最小值是DM+MN的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，从而求DN的长即可．【解答】解：（1）把点A（1，0），B（﹣3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+；（3分）（2）NC＝MN，理由是：如图1，在Rt△AOC中，OC＝，OA＝1，∵MN⊥AC，∴∠MNC＝90°，∴tan∠OCA＝，∴＝，∴NC＝MN；（6分）（3）在M，N移动的过程中，DM+MC有最小值是，理由如下：如图1，由（2）知：tan∠OCA＝＝＝，∴∠OCA＝30°，∴MN＝CM，∴DM+MC的最小值是DM+MN的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，如图2，y＝﹣x2﹣x+；∴对称轴是：x＝﹣1，∴AD＝1+1＝2，Rt△ADN中，∠DAN＝60°，∴∠ADN＝30°，∴DN＝，即DM+MC＝DM+MN＝，∴在M，N移动的过程中，DM+MC有最小值是．（11分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角函数的定义及解含30度角的直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数关系式；（2）通过解直角三角形找出∠OCA＝30°或根据正切列方程；（3）利用垂线段最短找出DM+MC有最小值．。
广东省百校联盟2018届高三第二次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：.本题选择A选项.2. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故选C.3. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前个月不是逐月增加，错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在月，正确；由表格可知月至月的月温差（最高温减最低温）相对于月至月，波动性更大，正确，故选B.4. 已知命题是的必要不充分条件；命题若，则，则下列命题为真命题的上（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由对数的性质可知：，则命题是真命题；由三角函数的性质可知：若，则：，且：，命题是真命题.则所给的四个复合命题中，只有是真命题.本题选择A选项.5. 在中，角的对边分别为，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有：，不妨设，结合余弦定理有：，求解关于实数的方程可得：，则：.本题选择B选项.6. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为直角三角形面积都为，可得这个几何体的表面积为，故选C.7. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度可得，令，得，再令，得，则在上的单调递增区间是，故选B.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，1不是质数，；，4不是质数，；，7是质数，；，10不是质数，；，13是质数，，，故输出的.选D.9. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查的几何意义：可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则，令，换元可得：，该函数在区间上单调递增，据此可得：，即目标函数的取值范围是.本题选择A选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10. 函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，，排除；当时，，排除；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由通径公式有：，不妨设，分类讨论：当，即时，为钝角，此时；当，即时，应满足为钝角，此时：，令，据此可得：，则：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；...........................12. 已知函数，若成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则：，令，则，导函数单调递增，且，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合函数的单调性有：，即的最小值为.本题选择A选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则__________.【答案】【解析】由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 在二项式的展开式中，第3项为，则__________.【答案】其中，结合题意有：，计算可得：，即：.15. 如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】不妨设正方体的棱长为，设，如图所示，当点为的中点时，，则平面，据此可得为直线与所成的角，在中，边长：，由余弦定理可得：.即异面直线与所成角的余弦值为.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是__________.【答案】【解析】点A在线段OM的中垂线上，又，所以可设，由的坐标代入方程有：解得：点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题（60分）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足. （1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，利用前n项和与通项公式的关系可得的通项公式为.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.试题解析：（1）因为，所以，，因为，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知，所以.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为，求随机变量的数学期望.【答案】(1)；(2)1.2.【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量的数学期望为1.2.试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件,（1）设事件表示第一次烧制后恰好有一件合格，则.（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以随机变量，所以.19. 如图，四边形是矩形，平面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值为. 试题解析：（1）证明；设交于，因为四边形是矩形，,所以,又，所以,因为,所以，又平面.所以，而，所以平面平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得,则,设平面的法向量，则，取，即设平面的法向量，则，取，即设平面与平面所成的二面角为，则由图可知二面角为钝角，所以.20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可求得，则椭圆的方程为.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线在轴上的截距的最大值为.试题解析：（1）因为，所以椭圆的方程为，把点的坐标代入椭圆的方程，得，所以，椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，联立方程组得，由，得，所以，所以由，得，令，所以，，即，当且仅当，即时，上式取等号，此时，，满足，所以的最大值为.21. 函数 .（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得，分类讨论可得：当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.(2)由题意结合函数的性质可知：是方程的两根，结合所给的不等式构造对称差函数，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.试题解析：函数的定义域为，（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，当时，①，即时，，即在上恒成立，②当时，由，得，因为，所以，当时，，即，当或时，，即，综上，当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.（2）若函数有两个极值点且，则必有，且，且在上递减，在和上递增，则，因为是方程的两根，所以，即，要证又，即证对恒成立，设则当时，，故，所以在上递增，故，所以，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．（2）由已知得，设，则，直线：，点到直线的距离，所以，即到的距离的最小值为．23. 已知 .（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出的最小值为，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为而，所以.（2）因为，所以或，解得，所以的取值范围是.。
【题文】
已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示．
（1）试估计该产品收益率的中位数；
（2）若该产品的售价x （元）与销量y （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据：
根据表中数据算出y 关于x 的线性回归方程为10.0y bx =-，求b 的值；
（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X ，求X 的分布列及期望． 【答案】 【解析】
（1）依题意，设中位数为x ，0.3 2.5(0.2)0.5x +⨯-=，解得0.28x =．
（2）25303845521903855x ++++=
==，7.57.1 6.0 5.6 4.831
6.255
y ++++===，
∴10.0 6.20.138
b -==．
（3）X 的可能取值为0,1,2，故(0)P X =0223253
10C C C ==，1123256(1)10C C P X C ===，
20
232
51
(2)10
C C P X C ===， 故X 的分布列为
故
6
()
10105
E X=+=．
【标题】吉林省百校联盟2018届高三TOP20九月联考（全国II卷）数学（理）试题【结束】。
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）理数试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}25,30A x x B x x x =<<=-<，则A B ⋃=（ ） A ．()0,5 B ．()2,3 C.()3,5 D ．()0,32.已知复数12iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．35- B ．35i C.15- D ．15i -3.已知()(),1,2,4a x b ==- ，若()a b b +⊥，则x =（ ）A ．8B ．10 C.11 D ．124.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC =图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为（ ）A D 5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．5B ．11 C. 14 D ．196.过双曲线2222:10,0()x y E a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线E 交于,A B 两点，与双曲线E 的渐近线交于,C D 两点，若AB =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C.2y x =± D．y =±7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．212．10+212++8.已知()()()211f x x x =++，则不等式()()lg 1f x f <的解集为（ ）A ．()1,10,10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()0,10 D ．1,10100⎛⎫⎪⎝⎭9.已知数列{}n a中，117,1n n a a a +=-=+，则30a =（ ） A ．1028 B ．1026 C. 1024 D ．102210.已知()10,00x y D x y x t y t ⎧-+>⎫⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎨⎬⎪⎪⎪+>⎩⎩⎭，若存在点()00,x y D ∈，使得0033x y -=，则t 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11.已知函数()22cos sin 22f x x x x π=+--，则函数()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为（ ）A ．3πB ．4π C. 2π D ．32π12.在三棱锥P ABC -中，1,120AB BC CP ABC BCP ===∠=∠=︒，平面PBC 和平面ABC 所成角为120︒，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） ABD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数()221,1,log ,1,x x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩则()f f= ．14.已知()22nx x --的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含2x 项的系数为 ．(用数字 作答).15.抛物线24y x =的焦点为F ，其准线为直线l ，过点(5,M 作直线l 的垂线，垂足为H ，则FMH ∠的 角平分线所在的直线斜率是 ．16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin ,02a b bc A A π=+<<，则tan 4tan A B -的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N ∈满足123n n S a a =-，且22a +是13,a a 的等差中项，{}n b 是等差数列，2283,b a b a ==.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.如图所示，在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆和111A B C ∆均为等边三角形，四边形11BCC B 为直角梯形，1CC ⊥平面ABC ，111112B C CC BC ===，,D E 分别为11,AA CB 的中点.（1）求证://DE 平面ABC ； （2）求二面角11A A E C --的余弦值.19.某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值t ，得到如图所示的频率分布直方图，若20t <，亦则该产品为示合格产品，若2050t ≤<，则该产品为二等品，若50t ≥，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值t 在[)0,20的产品中随机选出3件，记X 为指标值t 在[)10,20中的件数，求X 的分布列和数学期望•20.已知N 为圆()221:224C x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点,M P 分别是线段12,C N C N 上的点，且2220,2MP C N C N C P ⋅== . （1）求点M 的轨迹方程；（2）直线:l y kx m =+与点M 的轨迹Γ只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线l '与圆228x y +=相交于,A B 两点，求PAB ∆面积的取值范围.21.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()1ln f x f e e x x ef e e '=+--++⎡⎤⎣⎦，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的最大值； （2）证明 ：()221x xf x e x x <-+-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数），直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴(取相同的长度单位）建立极坐标系. （1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲 已知()22f x x a x =+--.（1）当2a =-时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()2332f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACDCB 6-10: BDBDC 11、12：CA 二、填空题13. 0 14. 8- 16.12- 三、解答题17.（1）由题意知，当2n ≥时，11123n n S a a --=-， 又因为123n n S a a =-，且1n n n a S S -=-， 则()132n n a a n -=≥， 所以213213,39a a a a a ===， 又123,2,a a a +成等差数列，则()21822a a a +=+，所以()1112329a a a +=+， 解得19a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，故13n n a -=. 设{}n b 的公差为d ，则113,79b d b d +=+=， 解得11,2d b ==，所以()2111n b n n =+-⨯=+.（2）由（1）得()113n n n n c a b n -==+⋅， 所以()2121334313n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，()2313233343313n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ， 两式相减得()23122333313n n n T n --=+++++-+⨯ ，整理得113424n n n T ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.18.（1）取1BB 的中点F ，连接,EF DF ， 则//EF BC ，因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC ，因为三棱台111ABC A B C -中，11//AB A B ， 所以//DF AB ，因为DF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DF 平面ABC ，因为D F EF F ⋂=，所以平面//DEF 平面ABC ， 因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面ABC .（2）取BC 的中点O ，连接1,AO OB ， 因为1CC ⊥平面ABC ，AO ⊂平面ABC ， 所以1CC AO ⊥，因为1,CB AO CB CC C ⊥⋂=，所以AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO OB ⊥， 因为11BCC B 为直角梯形，11112B C CO BC ===， 所以11OCC B 为正方形，所以1OB BC ⊥，所以1,,OB OB OA 两两互相垂直，分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 因为111112B C CC BC ===，所以(()()()()1111,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,,,022A B B C C E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，由1112B A BA =，得112A ⎛- ⎝⎭，所以11111110,,,,,,022222EA EA EC ⎛⎛⎛⎫==-=- ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭， 设平面1AA 的一个法向量为()111,,m x y z =， 由10,0,m EA m EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,0,y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =(9,m =--，设平面11C A E 的一个法向量为()222,,n x y z =， 由110,0,n EA n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220,0,y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩令2x)1n =-，所以cos ,m n m n m n⋅==⋅由图观察可知，平面1AA E 与平面11C A E所成二面角为钝角，所以其余弦值为.19.（1）由频率分布直方图可知，甲生产线中二等品的概率为()100.0300.0200.0150.65⨯++=， —等品的概率为100.0050.05⨯=，乙生产线中二等品的概率为()100.0200.0350.0250.80⨯++=， 一等品的概率为100.0150.15⨯=，所以两件产品中一件为二等品，一件为一等品的概率为0.650.150.050.80=0.1375⨯+⨯. （2）设两条生产线样本的平均值分别为,x x 甲乙，则50.1150.2250.3350.2450.15550.0527.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲， 150.05250.2350.35450.25550.1537.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好. （3）甲生产线样本质量指标值t 在[)0,10的件数为400.01104⨯⨯=， 质量指标值t 在[)10,20的件数为400.02108⨯⨯=， 由题意可知X 的取值为0，1，2，3；所以()304831241022055C C P X C ====，()21483124812122055C C P X C ====，()124831211228222055C C P X C ====，()03483125614322055C C P X C ====.所以X 的分布列为：X 的数学期望()11228140123255555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.（1）因为222C N C P = ，所以P 为2C N 的中点，因为20MP C N ⋅= ，所以2MP C N ⊥，所以点M 在2C N 的垂直平分线上，所以2MN MC =，因为1214MN MC MC MC +=+=>，所以点M 在以12,C C 为焦点的椭圆上，因为2a c ==，所以22b =，所以点M 的轨迹方程为22162x y +=.（2）由22162x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得，()222316360k x kmx m +++-=，因为直线:l y kx m =+与椭圆Γ相切于点P ，所以()()()()2222264313612620km k m k m ∆=-+-=+-=，即2262m k =+，解得223,3131km mx y k k -==++， 即点P 的坐标为223,3131kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为点P 在第二象限，所以0,0k m >>，所以m所以点P的坐标为， 设直线l '与l 垂直交于点Q ，则PQ 是点P 到直线l '的距离，设直线l '的方程为1y x k =-，则PQ ==≤==当且仅当2213k k =，即2k =时，PQ，所以142PAB S PQ ∆=⨯≤，即PAB ∆面积的取值范围为(0,4⎤⎦.21.（1）因为()()()1ln f x f e e x x ef e e '=+--++⎡⎤⎣⎦，所以 ()()11f e e f x x +-'=-， ()()()()()1,11,f e f e e e ef e e f e e f e e '=+--++⎧⎪⎨+-'=-⎪⎩解得()()1,2,e f e e f e e -⎧'=⎪⎨⎪=-⎩则()ln 1f x x x =-+， 所以()1x f x x-'=， 令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<得1x >，所以当1x =时，()()max 10f x f ==.（2）由（1）得()f x 的最大值为0，所以ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-，从而()ln 1x x x x ≤-，要证22ln 21x x x x x e x x -+<-+-，即2ln 1x x x e x <--，故只需证()211x e x x x -->-，即证()22100x e x x x -+->>成立；令()()2210x h x e x x x =-+-≥则()41x h x e x '=-+，令()()F x h x '=，则()4x F x e '=-，令()0F x '=，得2ln 2x =，因为()F x '单调递增，所以当[]0,2ln 2x ∈时，()0F x '≤，()F x 单调递减，即()h x '单调递减. 当()2ln 2,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 即()h x '单调递增， 因为()2ln 258ln 20h '=-<，()()2020,2810h h e ''=>=-+>，由零点存在定理可知，[)()120,2ln 2,2ln 2,2x x ∃∈∃∈，使得()()120h x h x ''==， 故当10x x <<或2x x >时，()()0,h x h x '>单调递增；当12x x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()h x 的最小值是()00h =或()2h x .由()20h x '=，得2241x e x =-，()()()222222222221252221x h x e x x x x x x =-+-=-+-=---，因为()22ln 2,2x ∈，所以()20h x >，故当0x >时，()0h x >，所以原不等式成立.22.（1）依题意，曲线()()22:125C x y -+-=，即22240x x y y -+-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得，2cos 4sin ρθθ=+ 因为直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，故直线12,l l 的极坐标方程为()()12:,:24l R l R ππθρθρ=∈=∈. （2）设,A B 两点对应的极径分别为12,ρρ， 在2cos 4sin ρθθ=+中， 令2πθ=得，12cos 4sin 4ρθθ=+=，令4πθ=得，22cos 4sin ρθθ=+= 因为244πππ-=，所以AB =23.（1）当2a =-时，由()4f x ≤， 得2124x x ---≤，当1x ≤时，由()()2124x x ---≤，得41x -≤≤； 当12x <<时，由()()2124x x ---≤，得12x <<； 当2x ≥时，由()()2124x x ---≤，得24x ≤≤；综上所述，()4f x≤的解集为[]4,4-.（2）不等式()2332f x a x≥--，即为22423x a x a++-≥，即关于x的不等式22243x a x a++-≥恒成立，而()()2242244x a x x a x a++-≥+--=+，当且仅当()()2240x a x+-≤时等号成立，所以243a a+≥，解得243a a+≥或243a a+≤-，解得413a-≤≤或a∈∅.所以a的取值范围是41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|3410A x x x =-+≤,{}|43B x y x ==-,则A B =I ( )A ．3(,1]4B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13[,)342.已知实数m 、n 满足()(42)35m ni i i +-=+（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z m ni =+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．181 C ．112D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11927a a =+，则25S =（ ） A ．1452B ．145C ．1752D ．1755.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了6.运行如图所示的程序框图，若输入的i a （1,2,i =…，10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）A ．49B ．25C ．12D ．597.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．16(1)3π+ B ．8(1)3π+C ．4(23)3π+ D ．4(2)3π+ 8.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到其准线l 的距离为2，过焦点且倾斜角为60︒的直线与抛物线交于M ，N 两点，若'MM l ⊥，'NN l ⊥，垂足分别为'M ，'N ，则''M N F ∆的面积为（ ） A ．433B ．833C ．1633D ．32339.已知7cos()3sin()26ππαα+=+，则tan()12πα+=（ ） A ．423- B ．234-C ．443-D ．434-10.已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，向量122e e +u r u u r 与122e e λ+u r u u r 的夹角为23π，则λ=（ ）A ．23-B ．3-C ．3-或23- D ．1-或3-11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BB BC ==，点P 是长方体外的一点，过点P 作直线l ，记直线l 与直线1AC ，BC 的夹角分别为1θ，2θ，若1sin(50)θ-︒2cos(140)θ=︒-，则满足条件的直线l （ ）A ．有1条B ．有2条C ．有3条D ．有4条12.已知当(1,)x ∈+∞时，关于x 的方程ln (1)1x x k xk+-=-有唯一实数解，则距离k 最近的整数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.210(2018)()x y x y +-展开式中56x y 的系数为 ． 14.函数2()cos 3sin()2f x x x x π=-++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为 ．15.已知实数x，y满足20,4,1,x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2yx+的取值范围为．16.已知双曲线C：22221(0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F且与双曲线C的一条渐进线垂直的直线l与C的两条渐进线分别交于M，N两点，若11||2||NF MF=，则双曲线C的渐进线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC∆中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且23SBA AC⋅+=u u u r u u u r，其中S是ABC∆的面积，4Cπ=．（1）求cos B的值；（2）若24S=，求a的值．18.如图所示，在已知三棱柱ABF DCE-中，90ADE∠=︒，60ABC∠=︒，2AB AD AF==，平面ABCD⊥平面ADEF，点M在线段BE上，点G是线段AD的中点．（1）试确定点M的位置，使得//AF平面GMC；（2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值．19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示．（1）试估计该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x （元）与销量y （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据：售价x （元） 25 30 38 45 52 销量y （万份）7.57.16.05.64.8根据表中数据算出y 关于x 的线性回归方程为$10.0y bx =-$，求b $的值； （3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X ，求X 的分布列及期望．20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（2m ≥，且*m N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}3(6)2n n m a -+⨯的前n 项和．21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点(23,3)，A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：8x =，且1AA l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若(3,0)D ，且11A B D ∆的面积是ABD ∆面积的5倍，求ABD ∆面积的最大值． 22.已知函数()(2)xf x x e =-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若2()()2x g x f x e ax =+-，()h x x =，且对于任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，都有[][]1122()()()()0g x h x g x h x -->成立，求实数a 的取值范围．百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)理科数学答案一、选择题1-5:BABDC 6-10:CABBB 11、12：DB二、填空题13.210 14.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15.14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.y x = 三、解答题17.解:∵203S BA AC ⋅+=u u u r u u u r ，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =，即222sin 9cos 9(1sin )A A A ==-，所以29sin 10A =，又3(0,4A π∈），∴sin 0A >，故sin A =，cos A =， 故cos cos()cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+===．（2）24S =，所以sin 48bc A =，得bc =①，由（1）得cos B =，所以sin B =在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C ==② 联立①②，解得8b =，c =，则2222cos 72a b c bc A =+-=，所以a = 18.解：（1）取FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点． 连接PG ，∵G 是AD 的中点，P 是FE 的中点，∴//PG AF ， 又PG ⊂平面MGC ，AF ⊄平面MGC ，所以直线//AF 平面MGC ， ∵//PE AD ，//AD BC ，∴//PE BC ，∴2BM BC ME PE==， 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点． （2）不妨设2AD =，由（1）知PG AD ⊥，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD AD =，PG ⊂平面ADEF ，∴PG ⊥平面ABCD ．故PG GD ⊥，PG GC ⊥，以G 为坐标原点，GC ，GD ，GP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，∵60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==， ∴ADC ∆为正三角形，GC =∴(0,0,0)G，C ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E ，∴(0,1,1)GE =u u u r，GC =u u u r，设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =u r ，则由10n GE ⋅=u r u u u r ，10n GC ⋅=u r u u u r可得0,0,y z +=⎧⎪=令1y =，则1(0,1,1)n =-u r，∵(CD =u u u r BA =u u u r，且(0,1,0)A -，故2,0)B -，故(2,0)BG =u u u r ，故直线BG 与平面GCE所成角的正弦值为11||sin ||||n BG n BG θ⋅==⋅u r u u u r u r u u u r ．19.解：（1）依题意，设中位数为x ，0.3 2.5(0.2)0.5x +⨯-=，解得0.28x =．（2）25303845521903855x ++++===，7.57.1 6.0 5.6 4.8316.255y ++++===，∴10.0 6.20.138b-==$． （3）X 的可能取值为0,1,2，故(0)P X =022325310C C C ==，1123256(1)10C C P X C ===，2023251(2)10C C P X C ===，故X 的分布列为X 0 1 2P310 610 110故624()10105E X =+=． 20.解：（1）由已知得14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=， 设数列{}n a 的公差为d ，则由2314m a d +=，∴2d =， 由0m S =，得1(1)202m m ma -+⨯=，即11a m =-，∴1(1)214m a a m m =+-⨯=-=， ∴5m =，故26n a n =-． （2）32(6)252n n n m a n --+⨯=⨯；下面先求{}22n n -⨯的前n 项和n T ，10321222(1)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⨯+⨯…①； 012121222(1)22n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯…②；两式相减得1212222n n n T n ----=+++-⨯…11112(12)1222122n n n n n n -----=-⨯=--⨯-，∴11(1)22n n T n -=-⨯+（*n N ∈）． 故{}3(6)2n n m a -+⨯的前n 项和为155(1)22n n --⨯+．21.解：（1）依题意222221,21231,,c a a ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得4,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1|3|||2ABD A B S r y y ∆=-⋅-，111115||2A B D A B S y y ∆=⨯⨯-，由于115A B D ABD S S ∆∆=且11||||A B A B y y y y -=-， 得55|3|r =⨯-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点(2,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+，由222,3448,x my x y =+⎧⎨+=⎩即22(34)12360m y my ++-=， 1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+，121||2ABDS y y ∆=-===，令1t =≥，所以212121313ABD t S t t t∆==++， 因为11333()t t t t +=+，所以13t t+在)+∞上单调递增，所以在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以134t t+≥，所以3ABD S ∆≤（当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立），故ABD S ∆的最大值为3．22.解：（1）依题意，'()(2)(1)xxxf x e x e x e =+-=-，令'()0f x >，解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞．（2）当11()()0g x h x ->，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x ->； 当11()()0g x h x -<时，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x -<；故()()0g x h x ->对(0,)x ∈+∞恒成立，或()()0g x h x -<对(0,)x ∈+∞恒成立， 而()()(1)xg x h x x e ax -=--，设函数()1xp x e ax =--，(0,)x ∈+∞．则()0p x >对(0,)x ∈+∞恒成立，或()0p x <对(0,)x ∈+∞恒成立，'()xp x e a =-， ①当1a ≤时，∵(0,)x ∈+∞,∴1x e >，∴'()0p x >恒成立， ∴()p x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，(0)0p =， 故()0p x >在(0,)+∞上恒成立，符合题意．②当1a >时，令'()0p x =，得ln x a =，令'()0p x <，得0ln x a <<， 故()p x 在(0,ln )a 上单调递减，所以(ln )(0)0p a p <=， 而2()1ap a e a =--，设函数2()1aa e a ϕ=--，(1,)a ∈+∞，则'()2aa e a ϕ=-，令()2aH a e a =-，则'()2aH a e =->（(1,)a ∈+∞）恒成立， ∴'()a ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴'()'(1)20a e ϕϕ>=->恒成立， ∴()a ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()a ϕ(1)20e ϕ>=->恒成立， 即()0p a >，而(ln )0p a <，不合题意． 综上，故实数a 的取值范围为(,1]-∞.。
广东省百校联盟2018届高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．复数满足()()11z i i +-=，则z = （ ）A.2 B.3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】由题意可得： 1112i z i i ++==-，则： 2211112,22222z i z ⎛⎫⎛⎫=-∴=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项.2．已知(){}2|log 31A x y x ==-， {}22|4B y x y =+=，则A B ⋂=（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为(){}2|log 31A x y x ==-1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=[]12,2,,23A B ⎛⎤=-∴⋂= ⎥⎝⎦，故选C.3．下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C o的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ） A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加， B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月， C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大， D 正确，故选B. 4．已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若3sin x =2cos2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由对数的性质可知： 222log 4log 5=<，则命题p 是真命题；由三角函数的性质可知：若3sin 3x =，则： 2231sin 3x ==⎝⎭， 且： 211cos212sin 1233x x =-=-⨯=，命题q 是真命题.则所给的四个复合命题中，只有p q ∧是真命题.本题选择A 选项.5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin ,5A B c ==，且5cos 6C =，则a =（ ） A. 22 B. 3 C. 32 D. 4 【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有： 3a b =，不妨设(),30b m a m m ==>，结合余弦定理有： 222222955cos 266a b c m m C ab m +-+-===， 求解关于实数m 的方程可得： 1m =，则： 33a m ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 84225++B. 64245++C. 62225++D. 82225++ 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E ABCD -，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为2,22，5 ，可得这个几何体的表面积为62225+ C. 7．将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2C ： ()y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度可得()522266g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令5222262k x k πππππ-≤+≤+，得()236k x k k Z ππππ-≤≤-∈，再令0k =，得236x ππ-≤≤-，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选B. 8．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A. 7B. 10C. 13D. 16 【答案】D【解析】1i =，1不是质数， 0114S =-=-<； 4i =，4不是质数， 1454S =--=-<； 7i =，7是质数， 5724S =-+=<； 10i =，10不是质数， 21084S =-=-<； 13i =，13是质数， 81354S =-+=<， 16i =，故输出的16i =.选D.9．设,x y 满足约束条件220{260 20x y x y y --≤+-≥-≤，则2y xz x y=-的取值范围是（ ） A. 7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 72,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 77,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查yx的几何意义： 可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则1,14y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令y t x =，换元可得： 12z t t =-，该函数在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，据此可得： min max 174,21122z z =-=-=-=， 即目标函数的取值范围是7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 本题选择A 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10．函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】()()()2,2x xe ef x f x f x x x ---==-∴+-Q 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时， ()()()021x xe ef x x x --=<++-，排除B ；当()1,x ∈+∞时， ()0f x >，排除C ；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点， D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B.C.)2 D. ()⋃+∞【答案】D【解析】由通径公式有： 22b AB a =，不妨设()22,,,,0,b b A c B c D b a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分类讨论：当2b b a >，即1ba <时， DAB ∠为钝角，此时1e <<当2b b a >，即e >ADB ∠为钝角，此时： 442222220,2b b DA DB c b a b a a ⋅=-+<∴+<u u u v u u u v ，令22b t a=，据此可得： 2210,1t t t -->∴>则： e >本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()()231,ln 42x xf x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A. 1ln22+B. ln2C. 12ln22+ D. 2ln2【答案】A 【解析】设()231ln 042m nek k -=+=>，则： 143ln ,222k k m n e -=+=， 令()14ln 3222k k h k n m e-=-=--，则()141'22k h k e k-=-， 导函数()'h k 单调递增，且1'04h ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则函数()14ln 3222k k h k e-=--在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 结合函数的单调性有： ()min11ln242h k h ⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即n m -的最小值为1ln22+. 本题选择A 选项.二、填空题13．设平面向量m v 与向量n v 互相垂直，且()211,2m n -=-v v ，若5m =v ，则n =v__________． 【答案】5【解析】由平面向量m v 与向量n v 互相垂直可得0,m n ⋅=v v 所以()2222125,4125m n m n -=∴+=v vv v，又5,5m n =∴=v v，故答案为5.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v v v v ，二是1212a b x x y y ⋅=+vv ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ⋅=v v v v （此时a b ⋅v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a v 在b v 上的投影是a b b⋅v v v ；（3）,a bv v 向量垂直则0a b ⋅=vv ;(4)求向量ma nb +vv的模（平方后需求a b ⋅vv ）.14．在二项式6⎫的展开式中，第3项为120，则x = __________. 【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有：()()66216611222rrrrxr r r x T C C t --+-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中20rt =>，结合题意有：()2262262120C t-⨯=，计算可得： 24t =，即： 24,2xx =∴=.15．如图， E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为__________.【答案】15 【解析】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设11B C BC O ⋂=，如图所示，当点E为11C D 的中点时， 1BD OE P ，则1BD P 平面1B CE ， 据此可得OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角， 在OEC V 中，边长： 5,2,3EC OC OE ===， 由余弦定理可得： 15cos 5235OEC ∠==⨯. 即异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为155.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点， O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,8M 为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是__________． 【答案】23【解析】,MA OA =∴Q 点A 在线段OM 的中垂线上， 又()0,8M ，所以可设(),4A x ，由0tan30,4x x A ⎫=∴=∴⎪⎭的坐标代入方程22x py =有： 16243p =⨯ 解得： 2.3p = 点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题17．已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =， 2n b n =.(2) ()21n nT n =+.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列，则n a n =，利用前n 项和与通项公式的关系可得{}n b 的通项公式为2n b n =.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和()21n nT n =+. 试题解析：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以， ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时， 12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()111111111222334121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 18．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.【答案】(1)1350；(2)1.2. 【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为1350； (2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量X 的数学期望为1.2. 试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则()1121421131325525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量()3,0.4X B ~， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.19．如图，四边形ABCD 是矩形， 33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,6ABCD PE =.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 55-. 【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得AC ⊥平面PBE ，结合面面垂直的判断定理可得平面PAC ⊥平面PBE ；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角A PB C --的余弦值为5. 试题解析：（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形， 33,3,2AB BC DE EC ===, 所以3,CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆~∆∠=∠,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E ⋂=，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()()3,23,0,3,3,0,0,3,0,0,0,6A B C P -,则()()60,33,0,3,3,6,,0,13AB BP CB ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ,设平面APB 的法向量()1111,,n x y z =u v，则1111330{3360y x y z =--+=，取1116,0,1x y z ===，即16,0,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u v 设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z =u u v，则222230{3360x x y z =--+=，取2110,2,1x y z ===，即()10,2,1n =u v设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则1212125cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅u v u u vu v u u v u v u u v 由图可知二面角为钝角，所以5cos 5θ=-.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长是短轴长的22且椭圆C 经过点22,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点， 22MN =l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【答案】(1) 2218x y +=.(2)【解析】试题分析：(1)结合题意可求得221,8b a ==，则椭圆的方程为2218x y +=.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线l 在y轴上的截距的最大值为试题解析：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点A ⎛⎝⎭的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=， 所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立方程组22{ 1 8x y y kx m+==+ 得()2221816880k x kmx m +++-=，由()()222256321180m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k --+==++，所以MN ====()()()2222813441k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，249218214m t t ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭m ≤当且仅当4984t t=，即8t =时，上式取等号，此时2k =(2738m -=，满足2218m k <+，所以m21．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得()2221x x mf x x ++'=+，分类讨论可得：当102m <<时， ()f x在112222⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在11,2⎛-- ⎝⎭和12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增. (2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得121122x x =-=-+，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时， ()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时， ()f x 在1122⎛--+ ⎝⎭上递减，在11,2⎛--- ⎝⎭和12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增. （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增，则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e +>+，故()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增， 故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{ x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）．（1）将1C ， 2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）()2211x y +-=表示以()0,1为圆心，1为半径的圆， 2214x y +=表示焦点在x 轴上的椭圆；（2.【解析】试题分析：（1）分别将曲线1C 、2C 的参数方程利用平方法消去参数，即可得到1C ， 2C 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2）1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，利用点到直线距离公式可得M 到直线l的距离d =，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）1C 的普通方程为()2211x y +-=，它表示以()0,1为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．（2）由已知得()0,2P ，设()2cos ,sin Q ϕϕ，则1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线l ： 240x y --=，点M 到直线l的距离d ==所以5d ≥=，即M 到l． 23．已知()223f x x a x a =-+++ . （1）证明： ()2f x ≥； （2）若332f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) ()1,0-.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为223a a ++，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于a 的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+ 而()2222323122x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,33342{32222,4a a a f a a a a a ++≥-⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭-<-， 所以23{ 4233a a a ≥-++<或23{ 423a a a <--<，解得10a -<<，所以a 的取值范围是()1,0-.。
