平均数和加权平均数

平均数与加权平均数平均数和加权平均数是数学中常用的统计概念，用于对一组数据或事件进行概括和描述。

平均数指的是一组数值的总和除以这组数值的个数，而加权平均数是根据每个数据的重要程度对其进行加权后得到的平均数。

下面将详细介绍平均数和加权平均数的计算方法、应用场景以及它们的特点。

一、平均数的计算方法平均数通常用于概括一组数据的集中趋势，计算方法简单、直观。

对于给定的一组数据x1，x2，x3，......，xn，平均数的计算公式为：平均数= (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n其中，x1，x2，x3，......，xn表示数据集合中的各个数据，n表示数据的个数。

举例来说，对于数据集合{1，2，3，4，5}，其中包含5个数据，它们的平均数计算公式为：平均数 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 15 / 5 = 3二、加权平均数的计算方法加权平均数是考虑到数据的重要程度后进行计算的一种平均数。

在实际应用中，不同数据可能具有不同的权重，因此简单的平均数无法全面反映数据的真实特征。

加权平均数通过给不同数据赋予不同的权重来解决这个问题，计算公式为：加权平均数= (x1*w1 + x2*w2 + x3*w3 + … + xn*wn) /(w1 + w2 + w3 + … + wn)其中，x1，x2，x3，......，xn表示数据集合中的各个数据，w1，w2，w3，......，wn表示相应数据的权重。

权重可以根据数据的重要程度或其他因素进行设定。

举例来说，假设一个学生的期末成绩由作业成绩（权重为40%）、考试成绩（权重为60%）组成，他的作业成绩为80分，考试成绩为90分，那么他的加权平均成绩计算公式为：加权平均成绩 = (80*0.4 + 90*0.6) / (0.4+0.6) = (32 +54) / 1 = 86三、平均数和加权平均数的应用场景平均数和加权平均数在实际生活中有广泛的应用。

23.1平均数和加权平均数【学习目标】1.会求加权平均数，并体会权的不同对结果的阻碍.2.明白得算术平均数和加权平均数的联系和区别，并能利用它们解决一些现实问题. 【重点难点】1.会求加权平均数，并体会权的不同对结果的阻碍，熟悉到权的重要性.2.探讨算术平均数和加权平均数的联系和区别. 【知识链接】在上节课咱们学习了什么叫算术平均数和加权平均数，及如何求一组数据的算术平均数和加权平均数.本节课咱们继续研究生活中的加权平均数，及算术平均数和加权平均数的联系与区别. 【学法指导和利用说明】注意：运用双色笔，第一次完成用蓝色，第二次课堂生成改动用红色。

认真试探学案中所提设的问题，并加以总结归纳。

【学习流程】自主学习一样的：在求n 个数的算术平均数时，若是1x 显现1f 次，2x 显现2f 次，…k x 显现k f 次（那个地址1f +2f +…k x =n ）那么着n 个数的算术平均数是x = .x 也叫这k 个数的加权平均数，其中1f ， 2f …k f 别离叫 的权。

1．某中学一次数学期中考试前10名同窗的成绩为129，133，125，120，107，125，107，129，120，125．求这10名同窗的平均成绩．2．某鱼塘放养鱼苗10万条，依照这几年的体会明白，鱼苗成活率为95％，一段时刻后预备打捞出售，第一次从中网出40条，称得平均每条鱼重2.5千克；第二次从中网出25条，称得平均每条鱼重2.2千克；第三次从中网出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，请估量鱼塘中鱼的总重量约是多少？合作探讨·展现提升1.某学校对各个班级的教室卫生情形的考察包括如下几项:下：（1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项的得分依次按15%，10%，35%，40%的比例计算各班的成绩，那么哪个班的成绩最高？（2）你以为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案。

依照你的方案，哪个班的成绩最高？同组比较，发觉什么？2.小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200 元，其他支出为7200 元。

平均数与加权平均数平均数与加权平均数是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的中心位置。

本文将详细介绍平均数和加权平均数的定义、计算方法以及它们在实际应用中的意义。

一、平均数平均数是一组数据的总和除以数据的个数，用于表示这组数据的中心位置。

它是最常见、最简单的描述中心位置的指标。

计算平均数的公式如下：平均数 = 数据的总和 / 数据的个数平均数的计算方法简单直观，但在某些情况下并不能很好地描述一组数据的中心位置。

这时就需要引入加权平均数的概念。

二、加权平均数加权平均数是对一组数据进行加权处理后得到的平均值。

在加权平均数中，不同的数据具有不同的权重，权重越大表示该数据对平均值的贡献越大。

计算加权平均数的公式如下：加权平均数 = （数据1 × 权重1 + 数据2 × 权重2 + ... + 数据n × 权重n）/ （权重1 + 权重2 + ... + 权重n）加权平均数在实际应用中具有重要意义。

它常用于计算指标的平均值，如学生成绩的加权平均分、产品的加权平均价格等。

通过给不同的数据赋予不同的权重，加权平均数能够更准确地反映数据的实际情况。

三、平均数与加权平均数的应用平均数和加权平均数在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 统计数据分析：在统计学中，常常使用平均数和加权平均数来分析数据的中心位置。

通过计算平均数和加权平均数，可以获得对数据整体特征的初步了解。

2. 经济学：在经济学中，加权平均数常用于计算价格指数，如消费者物价指数（CPI）和生产者物价指数（PPI），以反映物价的变动情况。

3. 财务管理：在财务管理中，加权平均数被广泛应用于计算企业的成本和投资回报率。

例如，加权平均成本资本（WACC）被用来衡量企业的资金成本，从而影响决策者的投资决策。

4. 市场营销：在市场营销中，平均数和加权平均数被用于计算市场份额和顾客满意度指数。

这些指标可以帮助企业了解市场的竞争力和顾客对产品或服务的评价。

1．知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数；(重点)2．理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决实际问题．(教学重点)探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.新课导入:1.数据2、3、4、5的平均数是 3 ，这个平均数叫做 算数 平均数2.一次数学测验，3名同学的数学成绩分别是60，80和100分，则他们的平均成绩是多少？你怎样列式计算？算式中的分子分母分别表示什么含义？⎺x=60+80+1003=80x,读作“新课讲解合作探究（探究加权平均数的概念及公式应用）乙的平均成绩为73+80+82+834=79.5显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲． 问题2 如果公司想招一名笔译能力较强的翻译，用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？ 听、说、读、写的成绩按照2:1:3:4的比确定，应该录取谁？．（重要程度不一样）852*********7952134+++==.+++x ⨯⨯⨯⨯甲7328018238348042134+++==..+++x ⨯⨯⨯⨯乙　问题3如果公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定，则应该录取谁？解：⎺x甲=85×3+78×3+85×2+73×23+3+2+2=80.5⎺x乙=73×3+80×3+82×2+83×23+3+2+2=78.9一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则112212+++=+++n nnx w x w x wxw w w叫做这n个数的加权平均数．问题4与问题（1）、（2）、（3）比较，你能体会到权的作用吗？问题1 -----结果甲去；问题2 -----结果乙去；问题3 -----结果甲去.同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋的权数不同，造成的录取结果截然不同. 所以说：数据的权能够反映数据的相对重要程度例1 以下表格是我班某位同学在上学期的数学成绩如果按照如图所示的月考、期中、期末成绩的权重，那么该同学的期末总评成绩应该为多少分？解：先计算该同学的月考平均成绩(89+78+85)÷3 = 84 分再计算总评成绩84×10%+ 90×30%+ 87×60%÷（10%+30%+60%）= 87.6 (分)例2某班级为了解同学年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人．求这个班级学生的平均年龄（结果取整数）．分析：13岁8人，14岁月16人，15岁24人，16岁2人，意思是这组数据中13岁出现8次，14岁出现16次，15岁出现24次，16岁出现2次.各个数据出现的次数，就是它们对应的权数.解：这个班级学生的平均年龄为：1381416152416214816242+++=+++x ⨯⨯⨯⨯≈所以，他们的平均年龄约为14岁．小结：算术平均数与加权平均数的比较 1. 平均数计算:算术平均数=各数据的和÷数据的个数 加权平均数=(各数据×该数据的权重)的和 2. 平均数的意义:算术平均数反映一组数据总体的平均大小情况 加权平均数反映一组数据中按各数据占有的不同. 权重时总体的平均大小情况. 3. 区别:算术平均数中各数据都是同等的重要, 没有相互间差异; 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位,彼此之间存在差异性的区别. 一）权的常见形式：1.数据出次的次数形式，如2，3，2，2. 2.比例的形式，如3：3：2：2.3.百分比的形式，如10%，30%，60%二）权数在计算加权平均数有什么具体涵义？在计算加权平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例,权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响也越大.课堂练习课堂小结1.加权平均数的意义2.数据的权的意义权反映数据的重要程度，数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平 3.加权平均数公式加权平均数反映一组数据中按各数据占有的不同权重时总体的平均大小情况.112212+++=+++n nnx w x w x w x w w w1122+++=k kx f x f x f xn。

平均数与加权平均数的应用在统计学中，平均数是最常见的一种描述数据集中趋势的指标。

它代表了一组数据的中心位置，通常以算术平均值的形式呈现。

而加权平均数则是在计算平均值时，给予不同数据的权重，以体现其重要性或影响力。

平均数与加权平均数在实际应用中具有广泛的用途，本文将就其应用进行探讨。

一、平均数的应用平均数的最基本用途是用来概括一组数据的集中趋势。

它可以被用于以下情景：1. 调查统计：在进行群体调研或问卷调查时，通过计算平均数可以了解被调查者的普遍看法或态度。

例如，某项调查显示市民对某政策的满意度为8.5分，这就代表着平均来说，市民对该政策比较满意。

2. 经济指标：平均数在统计国民经济方面也具有重要地位。

例如，国内生产总值（GDP）就是以平均数的方式来衡量一个国家的经济总量。

而每人GDP则使用人口数作为权重，以反映人均经济水平。

3. 学术评价：在学术研究中，评估学生的学业成绩时常常使用平均数。

通过计算学生的平均分数，可以综合考虑他们的考试表现，进一步评估他们的学习水平。

二、加权平均数的应用加权平均数在某些情况下比简单平均数更为合适，特别是当不同数据对结果的影响程度不同的时候。

下面是一些加权平均数的应用场景：1. 股票价格指数：在计算股票市场的价格指数时，常常使用加权平均数。

对于不同市值的股票，需给予不同的权重。

这样可以更准确地反映整个市场的波动情况。

2. 学校绩效评估：在评估学校的绩效时，常常使用加权平均数。

例如，可以根据学生的人数、师生比等因素，给予不同的权重，从而计算出综合考虑各方面因素的绩效评分。

3. 统计报告：在撰写统计报告时，对不同数据进行加权平均可以更准确地反映整体情况。

例如，在报告某地区收入水平时，可以根据不同人群的收入水平进行加权平均，以得到更全面的情况。

加权平均数相对于简单平均数的优势在于，可以更准确地反映一组数据中不同数据的影响程度，从而得出更有说服力的结论。

总结：平均数和加权平均数在统计学中是常用的指标，用以描述数据集中趋势和权衡不同数据的影响力。

平均数加权平均数的概念和计算平均数和加权平均数，听起来有点高大上对吧？但其实它们就像我们的生活，简单而又有趣。

平均数就像是大家一起吃饭时分摊的账单。

想象一下，几个人一起吃了一顿大餐，最后把所有的钱加起来，然后平均分摊，最后每个人都知道自己该出多少。

这个数字就是平均数。

说白了，平均数就是把所有数据加在一起，再除以数据的个数，得出的一个“平常心”值。

谁都不想多出钱，更不想少出，所以这个方法就特别公平。

我们来聊聊加权平均数。

想象一下，你在学校，考试成绩不止一次，有的考试重要性不同。

数学考得好，语文只考了个普普通通，这时候你可能会觉得数学的分数更值得重视。

于是，加权平均数就来了，给每个科目赋予不同的“重量”。

就像大妈称菜时，一斤的白菜和一斤的西红柿，虽然同样是“一斤”，但白菜可能更便宜，所以加权平均数就像给这两种菜贴上了不同的标签，按照重要性来加权计算。

怎么算加权平均数呢？假设你有三门课，数学、语文和英语，分数分别是90、70和80。

可是，数学重要得多，给它个权重5，语文权重3，英语权重2。

先把分数和权重相乘，90乘5，得450；70乘3，得210；80乘2，得160。

然后把这些结果加起来，450加210再加160，得820。

最后再把820除以所有权重的和，也就是5加3加2，等于10。

这样，820除以10，得出的结果就是82。

瞧，这就是加权平均数的魅力，它能让每个分数的价值都得到体现。

所以说，平均数和加权平均数，虽然都是在计算“平均”，但它们的侧重点不同。

平均数更简单，大家平等地分摊；而加权平均数就像个会做选择的朋友，知道哪个分数更重要。

生活中常常需要用到这些概念，比如说买东西的时候，我们会关注不同产品的价格和质量，挑选出最划算的选择。

这种情况下，运用加权平均数能帮助我们做出更明智的决定。

再说了，平均数和加权平均数其实在我们的日常生活中随处可见。

想想你最喜欢的综艺节目，观众投票的结果就是一种加权平均数。

平均数与加权平均数在统计学中，平均数是一种常用的数值表示方法，它可以用来描述一组数据的集中趋势。

加权平均数在某些情况下则更加实用，它考虑了不同数据的权重，更准确地反映了数据的分布情况。

一、平均数的概念与计算方法平均数，又叫算术平均数，是最简单常用的平均数。

它可以通过将一组数据的各个数据值相加，再除以数据的个数来计算得到。

例如，给定一个包含n个数据的集合X={x1, x2, x3, ..., xn}，它们的平均数记作X，计算公式如下：X = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n二、加权平均数的概念与计算方法加权平均数在一些实际问题中具有重要意义。

它不仅考虑了数据的数值大小，还考虑了数据的相对重要性或权重。

在计算加权平均数时，我们需要为每个数据值分配一个权重，并乘以对应数据的权重再相加，最后再除以总权重的值。

给定一个包含n个数据的集合X={x1, x2,x3, ..., xn}和对应的权重集合W={w1, w2, w3, ..., wn}，它们的加权平均数记作X，计算公式如下：X = (x1w1 + x2w2 + x3w3 + ... + xnwn) / (w1 + w2 + w3 + ... + wn)在实际应用中，我们可以通过设定不同数据的权重来调整数据对加权平均数的贡献程度。

具有较高权重的数据对加权平均数的影响更大，而具有较低权重的数据对加权平均数的影响相对较小。

三、平均数与加权平均数的比较平均数适用于数据分布相对均匀的情况，但当数据分布不均匀时，平均数可能无法准确地反映整体数据的特点。

在这种情况下，加权平均数更具有优势，它可以根据数据的权重对数据进行相应的调整，更准确地描述数据分布情况。

举例来说，假设某公司有100名员工，其中80名员工的工资为5000元，20名员工的工资为10000元。

如果我们使用平均数计算公司员工的工资，结果为6600元。

然而，这个平均数可能会导致误导，因为大部分员工的工资都远低于6600元。

加权平均法计算公式和平均数的关系
加权平均法是一种用于计算平均数的方法，它通过给不同数据点
分配不同的权重来反映它们在结果中的重要程度。

加权平均法的计算公式可表示为：
加权平均数= (数据点1 ×权重1 +数据点2 ×权重2 + ... +数
据点n ×权重n) / (权重1 +权重2 + ... +权重n)
其中，数据点是要计算平均值的数据值，权重是与每个数据点相
关联的权重。

加权平均数和普通平均数的关系是当所有数据点的权重都相等时，加权平均数等于普通平均数。

这是因为所有数据点的权重相等时，计
算公式简化为普通平均数的计算公式。

拓展：
加权平均法适用于一些特定情况下，其中不同数据点具有不同的
重要性。

通过分配更高的权重给较重要的数据点，加权平均法可以更
准确地反映它们对最终结果的影响。

加权平均法在许多领域中都有应用，例如金融学中的股票指数计算、教育评估中的成绩计算、市场调查中的调查结果计算等。

它能够
提供更精确的平均值，并允许根据数据的重要程度进行调整。

此外，加权平均法还可以用于处理带有缺失数据的情况。

通过根
据可用数据点的权重来计算加权平均数，可以更好地估计缺失数据的值。

总而言之，加权平均法通过给不同数据点分配不同的权重，使得
在计算平均值时可以更好地考虑数据点的重要性，提供更准确的结果。

20.1数据的集中趋势20.1.1平均数第1课时平均数和加权平均数1．知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数；(重点)2．理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决实际问题．(难点)一、情境导入在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用．你知道为什么要这样计算吗？例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2，作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算(如图)．二、合作探究探究点一：平均数【类型一】已知一组数据的平均数，求某一个数据如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则a的值是()A．8B．5C．4D．3解析：∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，∴(3＋7＋2＋a＋4＋6)÷6＝5，解得a＝8.故选A.方法总结：关键是根据算术平均数的计算公式和已知条件列出方程求解．【类型二】已知一组数据的平均数，求新数据的平均数已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，则另一组新数据x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数是() A．6B．8C．10 D．无法计算解析：∵x1、x2、x3、x4、x5的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5×5，∴x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数为(x1＋1＋x2＋2＋x3＋3＋x4＋4＋x5＋5)÷5＝(5×5＋15)÷5＝8.故选B.方法总结：解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．探究点二：加权平均数【类型一】以频数分布表提供的信息计算加权平均数某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是()A．6.2小时B．6.4小时C．6.5小时D．7小时解析：根据题意得(5×10＋6×15＋7×20＋8×5)÷50＝(50＋90＋140＋40)÷50＝320÷50＝6.4(小时)，故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．故选B.方法总结：计算加权平均数时，要首先明确各项的权，再将已知数据代入加权平均数公式进行计算．【类型二】 以频数分布直方图提供的信息计算加权平均数小明统计本班同学的年龄后，绘制如右频数分布直方图，这个班学生的平均年龄是( )A ．14岁B ．14.3岁C ．14.5岁D ．15岁解析：该班同学的年龄和为13×8＋14×22＋15×15＋16×5＝717岁．平均年龄是717÷(8＋22＋15＋5)＝14.34≈14.3(岁)．故选B.方法总结：利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．【类型三】 以百分数的形式给出各数据的“权”某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%、面试按60%计算加权平均数作为总成绩，小华笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小华的总成绩是( )A ．87分B ．87.5分C ．88分D ．89分解析：∵笔试按40%、面试按60%，∴总成绩为90×40%＋85×60%＝87(分)．故选A.方法总结：笔试和面试所占的百分比即为“权”，然后利用加权平均数的公式计算．【类型四】 以比的形式给出各数据的“权”小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是( )A ．255分B ．84分C ．84.5分D ．86分解析：根据题意得85×22＋3＋5＋80×32＋3＋5＋90×52＋3＋5＝17＋24＋45＝86(分)．故选D.方法总结：“权”的表现形式，一种是比的形式，如5∶3∶2；另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%.“权”的大小直接影响结果．【类型五】 加权平均数的实际应用学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩(百分制)如表：绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．解析：(1)先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平均成绩比较，结果大的胜出；(2)先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后比较计算结果，结果大的胜出．解：(1)x 乙＝(73＋80＋82＋83)÷4＝79.5，∵80.25＞79.5.∴应选派甲；(2)x 甲＝(85×2＋78×1＋85×3＋73×4)÷(2＋1＋3＋4)＝79.5，x 乙＝(73×2＋80×1＋82×3＋83×4)÷(2＋1＋3＋4)＝80.4，∵79.5＜80.4.∴应选派乙．方法总结：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，“权”的差异对结果会产生直接的影响．三、板书设计1．平均数与算术平均数2．加权平均数“权”的表现形式这节课，大多数学生在课堂上表现积极，并且会有自己的思考，有的同学还能把不同意见发表出来，师生在课堂上的交流活跃，学生的学习兴趣较高．在这种前提下，简便算法的推出就水到渠成了．教学设计也努力体现新课改的新理念，如培养学生数学的思维能力，教会学生从生活中学习数学，课内外结合等等．17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD ＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】 勾股定理的证明探索与研究： 方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计 1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．。