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专题十一 二次函数与几何图形综合题数学此类题型的出现位置为解答题中的压轴题，主要命题形式有：确定二次函数解析式；线段数量关系、最值问题；面积数量关系、最值问题；存在性问题(包含特殊三角形、特殊四边形)；探究相似等．这类题的综合性较强，所用到的知识点较多，难度也较大，但在中考中出现的频率较多．预计2018年中考继续考查的可能性非常大．【例1】(2017·赤峰)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；【思路引导】可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式．(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；【思路引导】设出P点坐标，表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值．【思路引导】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)利用方程组首先求出点D 坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，从而求出点P的坐标即可．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)，∴0＝－9＋3m＋3，解得m＝2.探究平面直角坐标系中图形的面积问题，主要有以下两种考查方式：1．图形的几个顶点都是定点，求图形的面积的方法：(1)根据点的坐标求线段的长度；(2)可利用割补法求不规则图形的面积．2．图形的几个顶点中有一个顶点是动点，求在某一时刻时，该图形面积的最大值或最小值的方法：(1)设动点的坐标为(t，at2＋bt＋c)；(2)用含t的代数式表示出三角形的底和高；(3)用含未知数t的代数式表示出图形的面积；(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．(1)试求A，B，C的坐标；(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD.①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】(1)直接利用y＝0，x＝0分别得出A，B，C的坐标．(2)①利用旋转的性质并结合三角形各边长可得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法并结合勾股定理的逆定理可得出四边形ADBC的形状．(3)直接利用相似三角形的判定与性质并结合三角形各边长即可得出答案．探究三角形全等、相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，一般都是一个三角形固定，探究由于点动而导致图形发生改变的另一个三角形，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：假设结论成立，先分析固定的三角形，求出边长，判断其特殊形态．再分析动态的三角形，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现要证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；若已经明确对应关系，则不需分类讨论．【例4】(2017·毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；【思路引导】由A，B，C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式．解：由A，B，C三点的坐标可得y＝x2－3x－4.(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；【思路引导】由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．【思路引导】过点P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．探究等腰三角形的存在性问题，具体方法与直角三角形的类似：(1)假设结论成立；(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，则满足条件的点不存在；②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，则满足条件的点不存在．以上方法即可找出所有符合条件的点；③计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．【例5】(2017·宜宾)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．(1)求抛物线的解析式；【思路引导】由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．解：将A(－1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c可求得b＝4，c＝5，∴y＝－x2＋4x＋5.(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；【思路引导】由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，从而可求得m的值．解：∵AD＝5，且OA＝1，∴OD＝6，又CD＝8，∴C(－6，8)，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8＝－x2＋4x＋5，解得x＝1或x＝3，∴C′点的坐标为(1，8)或(3，8)．∵C(－6，8)，∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位．∴m的值为7或9.(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】由(2)可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过点E作EF⊥x轴于点F，分别求当BE为平行四边形的边时和当BE为对角线时，Q点的坐标．解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴抛物线对称轴为x＝2，∴可设点P坐标为(2，t)，由(2)可知点E坐标为(1，8)，①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作QN⊥对称轴于点N，如图，则∠BEF＝∠BMP＝∠QPN，在△PQN和△EBF中，∠QPN＝∠BEF，∠PNQ＝∠EFB，PQ＝BE，∴△PQN≌△EBF(AAS)．∴QN＝BF＝OB－OF＝5－1＝4，设Q(x，y)，则QN＝|x－2|，∴|x－2|＝4，解得x＝－2或x＝6，当x＝－2或x＝6时，代入抛物线解析式可求得y＝－7，∴Q点坐标为(－2，－7)或(6，－7)．②当BE为对角线时，∵B(5，0)，E(1，8)，∴线段BE的中点坐标为(3，4)，则线段PQ的中点坐标为(3，4)，设Q(x，y)，且P(2，t)，∴x＋2＝3×2，解得x＝4，把x＝4代入抛物线解析式可求得y＝5.∴Q(4，5)．综上可知，Q点的坐标为(－2，－7)或(6，－7)或(4，5)．探究平行四边形的存在性问题的具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标．第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；(3)建立关系式，并计算．根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，根据方程组的解为交点坐标来求解．2．(导学号65244274)(2017·大庆)已知二次函数的解析式为y＝x2＋mx＋n.(1)若这个二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，求实数m，n 的值；(2)若△ABC是有一个内角为30°的直角三角形，∠C为直角，sin A，cos B是方程x2＋mx＋n＝0的两个根，求实数m，n的值．解：(1)将点A(1，0)，B(3，0)代入二次函数的解析式，可得m＝－4，n＝3.3．(导学号65244275)(2017·白银)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的解析式；(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．。
