初中数学课件-旋转的定义及性质 最新

D．△ACE和△ADE
知1－练
4 如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕 点A按顺时针方向旋转50°，对应得 到△AB′C′，则∠B′AC的度数为________．
知2－导
知识点
做一做：
2
旋转的性质
(1)如图1，两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH 完全重合，在纸上选取旋转中心O, 并将其固定. 把其 中一张纸片绕点O旋转一定角度(如图2).
要点精析：
(1)旋转中心在旋转的过程中是静止不动的，旋转中
心可以在图形的外部，也可以在图形的内部，还 可以在图形上． (2)将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度， 意味着图形上每一个点同时按相同方向旋转相同 的角度． (3)旋转的三要素：旋转中心，旋转角，旋转方向． (4)旋转不改变图形的形状和大小．
知1－讲
总 结
一个图形由一个位置旋转到另一个位置，固
定不动的点是旋转中心，互换位置的点是对应点，
互换位置的边是对应边，对应边的夹角是旋转 角．
练习
1 将数字“6”旋转180°，得到数字
“9”．将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现 将数字“69”旋转180°，得到的数字是( A．96 B．69 )
①旋转中心；②旋转角；③旋转方向．
2. 旋转的性质： 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应
点到旋转中心的距离相等．任意一组对应点与旋
转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段 相等，对应角相等．
的方向旋转了相同的角度，任意一对对应点与旋
转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋 转中心的距离相等； (3)分析旋转形成的方法：“三个一”，即分析一个 中心，一个方向，一个角度．

⑴线段OA与线段OA′间有什么关系?
⑵∠ AOA′与∠BOB′有什么关系?
⑶ ⊿ABC与⊿A′B′C′形状和大小有 什么
关系?
OO
AA' ′
OA=OA ′ OB=OB ′
∠AOA ′ =∠BOB ′=∠COC ′ B
△ ABC ≌△A′B′C′
C'
C C′
BB' ′
A
◆对应点到旋转中心的距离 相等 .
本节知识点：会简单的旋转作图
∠ABE′=∠ADE=90°， BE′=DE .
6、如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )．
已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相等的正方形ABCD的对角线交点O旋转任意角度，求图中重叠部分的面积.
_________度，△ADP是___________三角
形.
A
P
D
B
C
如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点 ，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，已知 AD=3,BD=4,CD=5则∠ADB=______度.
A P
D
B
C
设点E的对应点为点E′，因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以
A 10、四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，求（1）指出旋转中心和旋转角度
对应角相等,对应线段相等） 因此，在CB的延长线上取点E′ ，使BE′ =DE，则△ABE′为旋转后的图形.
B/
对应角相等,对应线段相等）
A/
B
C
课本习题的处理： 1.如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了

• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日1时7分29秒13:07:297 November 2021
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午1时7分 29秒下午1时7分13:07:2921.11.7
教师边讲解边演示. 教师引导学生回答这些问题，教师书写. 学生理解认识有关概念. 学生积极思考，勇于发言.
三、课堂小结，梳理新知
1.旋转的概念. 2.旋转中心、旋转角、对应点.
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。202mber 7, 2021
二、合作探究，感受新知
1.概念的认识 （1）把一个图形绕着某一个点O转动一个角度的图形变换叫 做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. （2）旋转对应点.
2.例题分析例如图，△OAB绕O点按顺时针方向旋转得到 △OEF，在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
第1课时 旋转的概念和性质
教学重点：旋转的概念. 教学难点：能够正确地辨别出一种变换是否为旋转.
教学过程
一、创设情境，导入新课

旋转的对称性
中心对称
面对称
当一个图形绕着某一点旋转180度后 ，它与自身重合，这种性质称为中心 对称。
当一个图形绕着垂直于平面的轴旋转 180度后与自身重合，这种性质称为 面对称。
轴对称
如果一个图形绕着一条直线旋转180 度后与自身重合，这种性质称为轴对 称。
旋转的几何意义
旋转的向量表示
在二维空间中，一个向量绕着原 点旋转一定角度后可以用一个新 的向量表示，该向量由原始向量
旋转木马的转动原理
旋转木马的转动原理主要基于机械和电力驱动。每个木马 或其他座位的支撑结构都装有一个转轴，转轴通过轴承与 中心轴相连。
当中心轴转动时，通过轴承带动转轴，从而使每个座位围 绕中心轴进行旋转。为了保持旋转的平稳和均匀，通常会 使用减速器和电机等传动装置进行驱动和控制。
旋转磁场的产生原理
旋转在日常生活中的应用
旋转机械
旋转机械是日常生活中常见的机械装置，如电动机、发电机、涡 轮机等，通过旋转来传递能量和动力。
旋转运动
旋转运动是许多体育项目中的基本动作，如滑冰、自行车赛、篮球 等，通过旋转可以改变运动方向和速度。
旋转门
旋转门是建筑入口的一种常见设计，通过旋转门可以控制人流的进 出，同时具有美观和节能的效果。
和旋转角度决定。
旋转的矩阵表示
在二维空间中，旋转也可以用一 个2x2的旋转矩阵来表示，该矩 阵描述了旋转的方向和大小。
旋转的性质
在二维空间中，旋转具有一些重 要的性质，如旋转不改变向量的 长度和方向、不改变图形的形状
和大小等。
2023
PART 03
旋转的应用
REPORTING
旋转在几何图形中的应用
2023

x'=xcosθ-ysinθ, y'=xsinθ+ycosθ, z'=z。
线绕轴旋转
设直线L过原点，方向向量为 (m,n,0)，则L绕z轴旋转θ角度后 ，新的方向向量为(m',n',0)，其
中m'=mcosθ-nsinθ, n'=msinθ+ncosθ。
面绕轴旋转
设平面S法向量为(a,b,c)，则S绕 z轴旋转θ角度后，新的法向量为 (a',b',c')，其中a'=acosθ-bsinθ,
旋转定义与性质课件
目录
CONTENTS
• 旋转基本概念 • 旋转图形绘制技巧 • 旋转对称性质探讨 • 相似变换与旋转变换关系揭示 • 三维空间中旋转变换拓展应用 • 课程总结与思考题布置
01
旋转基本概念
旋转定义及性质
旋转定义
把一个平面图形绕着平面内某一点转 动一个角度，叫做图形的旋转。
旋转性质
学生自我评价报告收集
学生自我评价
请学生对本节课所学内容进行自我评价，包 括知识点掌握情况、课堂参与度、问题解决 能力等方面。
报告收集与整理
收集学生的自我评价报告，进行整理和分析 ，以便更好地了解学生的学习情况和问题所
在。
下节课预告及预备工作提示
要点一
下节课预告
要点二
预备工作提示
介绍下一节课将要学习的内容、重点和难点，以便学生提 前预习和准备。
VS
调整绘制过程
如发现错误或不满意的结果，可调整旋转 中心、角度或使用其他工具进行重新绘制 。
03
旋转对称性质探讨
旋转对称图形特点分析
图形特点
旋转对称图形在平面内，绕着一个定点旋转一定角度后，仍能与原图形重合。

02
4. 开始旋转平台，并观察物体在 旋转过程中的变化。
操作步骤及观察记录要点
观察记录要点 1. 记录物体在旋转过程中标记点的位置变化。
2. 观察物体形状、大小在旋转时是否发生变化。
操作步骤及观察记录要点
3. 注意观察物体是否有倾斜、翻滚 等现象发生。
4. 将观察结果详细记录在记录本中， 包括旋转速度、物体名称、形状、大 小等信息。
探讨多种解法
思考是否存在其他方法解决同一问题，比较不同解法的优 劣。
拓展思路
通过一题多解，培养发散思维和灵活运用数学知识的能力。
06 实验操作：观察并描述物 体在旋转时变化
准备实验器材和注意事项
实验器材
旋转平台、各种形状的小物体（如立方体、圆柱体、球体等）、彩色标记笔、测 量尺、记录本等。
注意事项
向量法
引入向量概念，根据向量 旋转的公式判断旋转方向。
02 平面图形在旋转中变化
点、线、面旋转规律
点的旋转
点在旋转时，会绕着旋转 中心作圆周运动，旋转角 度决定了点的新位置。
线的旋转
线段在旋转时，其两个端 点分别绕旋转中心旋转相 同的角度，得到新的线段。
面的旋转
平面图形在旋转时，其上 的每一点都绕旋转中心旋 转相同的角度，得到新的 平面图形。
确保旋转平台平稳且能够匀速旋转；选择的小物体应具有代表性且易于观察；在 物体上做好标记以便于观察其旋转时的变化。
操作步骤及观察记录要点
操作步骤 1. 将旋转平台放置在平稳的桌面上，并调整好旋转速度。
2. 选择一个小物体，将其放置在旋转平台的中心位置。
操作步骤及观察记录要点
01
3. 用彩色标记笔在物体上做好标 记，以便于观察其旋转时的变化 。

复习回顾
轴对称和成轴对称呢？
1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直 线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形. 2.成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折 叠，如果它能够于另一个图形重合，那么 就说这两个图形关于这条直线对称.
新课导入
你还记得这是什么运动吗？
在生活中你还见过哪些旋转现象？
4. 如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形. BE 与 DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明 上述关系成立的理由吗？ 【教材P63习题23.1 第10题】
D
A E
B
C
解：BE=DC. 理由如下:
∵△ABD 和△AEC 都是等边三角形，
∴AE=AC，AB=AD，∠DAB=∠CAE=60°，
∴△BAE 绕点 A 顺时针旋转60°就得到△DAC.
∴△BAE≌△DAC. D ∴BE=DC.
A E
B
C
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°， AB=BC=2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转60°得 到△DEC，D，E 分别为点 A，B 的对应点，连 接 BD，则 BD 的长是多少？
解：如图，连接 AD，设 AC 与 BD 相交于点 O.
变换 条件
平移方向和平移 距离
对称轴
旋转 绕某一点转动
对应点到旋转中 心的距离相等 旋转中心、旋转 方向和旋转角
巩固训练
1. 如图，已知 BC 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，D 是△ABC 内一点，连接 AD，BD. 若 将△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACD′的位置， 则∠ADD′ 的度数是 ( D )
等边三角形绕着中心旋转，旋转角为120°或120° 的整数倍时，旋转后的三角形能和自身重合.

插值与平滑
与OpenGL和DirectX类似，Unity也支持平滑地旋转物体，这有助于 创建更自然的动画效果。这通常通过内置的插值函数或使用平滑的数值 更新来实现。
THANKS
感谢观看
逆旋转
在某些情况下，可能需要先进行逆旋转以抵消之前的旋转 。OpenGL提供了相应的函数来处理这种情况。
DirectX中的旋转
1 2 3
D3DMatrix
DirectX使用D3DMatrix结构来表示旋转。与 OpenGL类似，需要指定旋转中心和旋转角度来 构建一个描述图形旋转的矩阵。
设备坐标
在DirectX中，图形首先在设备坐标系中进行绘 制，然后通过一系列变换（包括旋转）将其转换 到最终的窗口坐标系。
旋转的分类
旋转变换
图形绕某点按顺时针或逆时针方 向转动。
旋转矩阵
表示图形绕原点旋转的二维矩阵。 对于任意角度θ，旋转矩阵可以表 示为R(θ)，其中R(θ)是关于θ的函 数。
旋转群
在几何学中，旋转群是指由所有可 能的旋转变换组成的集合，通常用 SO(n)表示。
02
CATALOGUE
旋转的数学表达
旋转矩阵
应用
在游乐场中的旋转设施中，离心力使乘客感受到强烈的推背 感；在洗衣机中，离心力帮助洗涤衣物。
陀螺仪
定义
陀螺仪是一种能够测量或维持方 向和角速度的装置，广泛应用于
导航、制导、摄影等领域。
工作原理
陀螺仪利用角动量守恒原理，通 过高速旋转的转子来测量或维持
方向和角速度。
应用
在现代飞机和导弹中，陀螺仪用 于提供准确的姿态和导航信息； 在智能手机中，陀螺仪用于增强
旋转作图
在几何作图中，旋转经常被用来构造复杂的图形。例如，通过旋转一个半圆来 构造一个完整的圆。

D
O
C
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
2.如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么? 旋转中心是O （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 点D和点E的位置 （3）旋转角是什么？ ∠AOD和∠BOE都是旋转角 （4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？AO=DO，BO=EO （5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
7.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,△ABC是
格点三角形(顶点是网格线的交点). (1)画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90° 得到的△A1B1C1; (2)画出△A1B1C1向下平移5个单位长度 得到的△A2B2C2; (3)直接写出线段CC2的长是 3 5 .
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
5.本图案可以看做是什么“基本图案”旋转几次得到的？每次旋转了多少度？ 可以看作是由一个菱形旋转5次得到，每次旋转 的度数分别为60°,120°,180°,240°, 300°.
也可以看做是二个相邻菱形通过2次旋转得到, 每次旋转的度数分别为120°, 240°. 思考：还可以看做是什么“基本图案”旋转几次得到的？
2.不同点
平移 旋转
运动方向
直线
顺时针 逆时针
运动量的衡量 移动一定距离
转动一定的角度
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
活动：探究旋转的性质
1.观察所给图形的变化，回答下列问题：

(3)若连接BB′,则∠ABB′= 67.5°.
初中数学课件
能力提升：
K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、
M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的数量关系和位置关系.
D
L M
答：BK=DM,BK ⊥DM. C 简要思路：延长BK交AD于点N，交DM
确定一次图形的旋转时, 旋转中心
必须明确
旋转角
旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心， 旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换 同样属于全等变换.
填一填：
初中数学课件
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是___O___，
旋转角是_∠_A__O_B____，旋转角等于_6_0__度，其中的对应点有
初中数学课件
旋转的定义
P
对应点
把一个图形绕着平面内某点O沿某 个方向转动一个角度的图形变换叫 做旋转.
这个定点O称为旋转中心.
O
旋转中心
旋转角 120
P′
转动的角称为旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转 的对应点.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
初中数学课件
归纳总结
思考:怎样来定
义这种图形变换？
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点 转动一定角度.
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转 动了_1_2_0_°__度.
初中数学课件
怎样来定义 这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着 平面内中心固定点转动一定角度. 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.

02
旋转的分类
按旋转轴分类
绕固定点旋转
旋转围绕一个固定的点进行，所有的点都围绕这个点转动。
绕物体中心旋转
旋转围绕物体的中心进行，物体整体围绕这个中心转动。
绕物体表面某点旋转
旋转围绕物体表面的一点进行，使物体表面的点相对于这一点转动 。
按旋转方向分类
01
02
03
顺时针旋转
按照时针方向转动，即从 左向右或从上向下。
四元数的乘法
两个四元数相乘，可以得到一个新的四元数。
四元数的应用
四元数可以用于计算机图形学、机器人学等领域 ，特别是在处理一些需要避免欧拉角的问题时。
利用3D图形软件实现旋转
3D图形软件的介绍
常见的3D图形软件有Blender、Maya、3ds Max等，它们提供了 丰富的工具和功能，可以方便地实现物体的旋转操作。
稳定性问题
在旋转过程中，由于受到摩擦、空气阻力等因素的影响，旋转的稳定性 会受到影响。保持旋转的稳定性是旋转中的一个重要挑战。
03
稳定性分析
为了解决旋转稳定性问题，需要对旋转过程进行详细的分析，包括对各
种影响因素的识别和控制，以及建立相应的数学模型进行模拟和预测。
旋转中的优化问题
优化目标
在旋转过程中，需要追求的目标包括旋转速度、旋转精度 、旋转稳定性等。这些目标之间存在相互制约的关系，需 要进行综合考虑和优化。
定义
将旋转看作是三个基本旋转的复 合，这三个旋转分别绕着三个不 同的轴（x轴、y轴、z轴）旋转。
优点
直观易懂，在计算机图形学中应用 广泛。
缺点
存在万向节锁问题，即当旋转角度 为π的整数倍时，无法准确表示旋转 。
旋转矩阵模型

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
课堂检测
能力提升题
如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD,请设
计方案,使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,
你能写出几种方案?
解:
B
方案一: 把正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°.
A
方案二: 把正方形ABCD绕点C逆时针旋转90°.
方案三: 把正方形ABCD绕CD的中点O旋转180°.
D'
D
A
B'
C'
C
B
O
探究新知
平移和旋转的异同
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②不同
图形变换
运动方向
运动量的衡量
平移
直线
移动一定距离
旋转
顺时针或逆时针
转动一定的角度
探究新知
素养考点 1
旋转作图
例 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为
中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
链接中考
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别
是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出
△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°
后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O、A1、B为顶点的三角形
α=100°.
②点B落在AC上，如B″，在Rt△DCB″中，
∵B″D=BD=2CD，∴∠DB″C=30°，
∴∠B″DC=60°，∴∠BDB″=120°，
即α=120°.

点O；逆时针.
23.1 旋转的概念及性质
将△AOB绕点O逆时针方向旋转到△COD的位置. O
图形的旋转要指出哪些必要的条件呢？
D
旋转中心
P.
对应点
旋转角
A
旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.
P′ .
B
C
23.1 旋转的概念及性质
一、旋转的概念
像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的 图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心， 转动的角叫做旋转角.
若∠A=45°，则∠D=_4_5_°.旋转角为∠ACD 和∠BCE . 连接AD,若∠ACD=60°，则△ACD为_等__边___三角形
A
D
E
C
B
23.1 旋转的概念及性质
二、旋转的性质
B´ A
(1)OA=OA′, OB=OB′, OC=OC′.
C
(2)∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.
A´
(3)△ABC ≌△A'B'C' B
23.1 旋转的概念及性质
活动2.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转 中心在哪里？旋转角是哪个角？
A
B′ O
B
A′
旋转中心在支点O
旋转角为∠ AOA' 或∠ BOB'
23.1 旋转的概念及性质
活动3. 如图，将三角板△ACB绕点C 逆时针方向旋转到 △DCE的位置.
A (1)旋转中心是__点__C__.
O
C´
(1)对应点到旋转中心的距离相等.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
(3)旋转前、后的图形全等.
23.1 旋转的概念及性质