北京市高考数学分项精华版 专题05 平面向量(含解析)

专题03平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型归类对基向量概念的理解1．（2021春•丰台区校级期中）1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是()A ．1232e e - 和2146e e -B ．12e e + 和12e e -C ．122e e + 和212e e + D ．2e 和21e e + 【解析】由题意1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，A 选项中，存在一个实数2-使得2112462(32)e e e e -=--，此两向量共线，故不能作为基底，A 可选；B 选项中找不到一个非零实数λ使得1212()e e e e λ+=-成立，故不能选B ；C 选项与D 选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，综上，A 选项中的两个向量不能作为基底．故选：A ．2．（2023春•新华区校级期中）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a =表示出来的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(1,2)e =- ，2(5,2)e =-C ．1(3,5)e = ，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =- ，2(2,3)e =-【解析】根据12a e e λμ=+，选项:(3A ，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项:(3B ，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项:(3C ，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项:(3D ，2)(2λ=，3)(2μ-+-，3)，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．（2022秋•北京期中）下列各组向量中，可以作为基底的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(3,4)e = ，2(1,2)e =C ．1(3,4)e = ，2(6,8)e =D ．1(3,4)e =- ，24(1,)3e =- 【解析】对于A ，因为1(0,0)e = ，0与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故A 错误；对于C ，因为1212e e =，两向量共线，不能做基底，故C 错误；对于D ，因为123e e =-，两向量共线，不能做基底，故D 错误；故选：B ．用基底表示向量4．（2023春•海淀区校级期中）已知非零向量OA ，OB 不共线，且13BM BA =，则向量(OM = )A ．1233OA OB + B ．2133OA OB +C ．1233OA OB -D ．2133OA OB-【解析】由题设1112()3333OM OB BM OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+．故选：A ．5．（2023春•东城区校级期中）已知P 为ABC ∆所在平面内一点，2BC CP =，则()A ．1322AP AB AC=-+B ．1233AP AB AC=+C ．3122AP AB AC=- D ．2133AP AB AC=+ 【解析】由于2BC CP =，利用向量的线性运算，22AC AB AP AC -=-，整理得：1322AP AB AC =-+．故选：A ．6．（2023春•东城区校级期中）设点D 为ABC ∆中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则()A ．1162BO AB AC=-+B ．1122BO AB AC=-C ．5166BO AB AC=- D ．5166BO AB AC=-+【解析】如图，D 为BC 中点，O 为靠近A 的三等分点，11()36AO AD AB AC ==+，151()666BO AO AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+．故选：D ．7．（2021春•东城区校级期中）在ABC ∆中，13BD BC =，若AB a = ，AC b = ，则(AD = )A ．1233a b -B ．1233a b +C ．2133a b +D ．2133a b- 【解析】在ABC ∆中，13BD BC = ，AB a =，AC b = ，如图，则D 为BC 的一个3等分点，作平行四边形，则2133AD AE AF a b =+=+ ．故选：C ．8．（2023春•海淀区校级期中）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC 、DB 相交于点O ．若AD a = ，AB b = ，(OC =)A ．36a b -B ．36a b +C ．233a b +D ．233a b -【解析】//AB CD ，2AB CD =，DOC BOA ∴∆∆∽且2AO OC =，则223AO OC AC == ，∴13OC AC = ，而1122AC AD DC AD AB a b =+=+=+ ，∴11111()33236OC AC a b a b ==+=+ ，故选：B ．9．（2021春•丰台区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则(DF = )A ．1233AB AD-+B ．1233AB AD-C ．1334AB AD-D ．1536AB AD-【解析】在平行四边形中，由已知可得：111()332DF AF AD AE AD AB BC AD=-=-=+-11153636AB AD AD AB AD =+-=-，故选：D ．10．（2023春•门头沟区校级期中）已知矩形ABCD 中，13AE AB =，若,AD a AB b == ，则(CE = )A ．23a b -+B ．23a b --C ．23a b +D ．23a b- 【解析】112333CE CD DA AE DC AD AB a b b a b =++=--+=--+=--，故选：B ．11．（2023春•台江区期中）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则(AF =)A ．3144AB AD +B ．1344AB AD+ C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+ ，12AE AB = ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+ ．故选：D ．12．（2023秋•顺义区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE =)A ．1136BA BC--B ．5163BA BC--C ．1163BA BC--D ．5163BA BC-+【解析】 点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，∴1123DE AE AD AB AC=-=-11()23AB AB BC =-+1163BA BC =--，故选：C ．利用平面向量基本定理求参数13．（2020春•朝阳区校级期中）设E 为ABC ∆的边AC 的中点，BE mAB nAC =+ ，则m n +=．【解析】如图，E 为ABC ∆的边AC 的中点，∴11111()22222BE BA BC AB AC AB AB AC =+=-+-=-+，又BE mAB nAC =+，∴11122m n +=-+=-．故答案为：12-．14．（2018秋•朝阳区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE 、DF ，交于点G ，若(,)CG CD CB R λμλμ=+∈，则λμ=．【解析】设1()222k CG kCE k CB CD CD kCF ==+=+．D ，G ，F 三点共线，∴212k k +=，25k ⇒=．12,55λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．15．（2023春•海淀区校级期中）如图，ABC ∆中，AB a = ，AC b =，D 为BC 中点，E 为AD 中点，CE 用a和b 表示为CE a b λμ=+ ，则(λμ=)A ．3B ．3-C ．13D ．13-【解析】D 为BC 中点，∴1()2AD AB AC =+，E 为AD 中点，∴1113()2444CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC =-=-=+-=-，AB a = ，AC b =，∴1344CE a b =- ，CE a b λμ=+，14λ∴=，34μ=-，∴13λμ=-．故选：D ．16．（2021春•顺义区校级期中）平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，点E 满足2AE EO = ，若BE BA BD λμ=+，λ，R μ∈，则(λμ+=)A ．0B ．13C ．23D ．12【解析】如图所示，由图可知112111()()333333BE BA AE BA AC BA AD AB BA BD BA BA BD =+=+=++=+-=+，∴13λ=，13μ=，23λμ∴+=．故选：C ．17．（2023秋•海淀区期中）在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，则y x=．【解析】 点M 为边AB 的中点，∴AM MB = ，即OM OA OB OM -=- 由此可得1()2OM OA OB =+//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，∴存在实数λ，使OM OP λ= ，即1()()2OA OB xOA yOB λ+=+由此可得12x y λλ==，得到x y =，所以1y x=故答案为：118．（2023春•顺义区期中）如图，在66⨯的方格中，已知向量a，b ，c 的起点和终点均在格点，且满足(,)a xb yc x y R =+∈，那么x y +=．【解析】分别设方向水平向右和向上的单位向量为i，j ，则2a i j =-，22b i j =+ ，24c i j =- ，又因为(22)(24)a xb yc x y i x y j =+=++-，所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11122x y +=+=．故答案为：1．19．（2023春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，若(,)AD AB AC R λμλμ=+∈ ，则λμ=．【解析】 在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴12AC AB =，BAC ∠ 的平分线交BC 于点D ，∴由三角形的内角平分线定理得：12CD AC DB AB ==，∴由分点恒等式得：1233AD AB AC =+，∴12,33λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．20．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+ ，则14m n+的最小值是()A ．4B ．9C ．8D ．13【解析】D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线， AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14144()559n m m n m n m n m n+=++=+++= ，当且仅当4n m m n =，即2n m =，又1m n += ，13m ∴=，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：B ．平面向量的坐标运算21．（2023春•东城区校级期中）若(2,2)OA = ，(1,1)OB =- ，则AB等于()A ．(1,3)--B ．(2,3)-C ．(1,2)-D ．(2,3)-【解析】由(2,2)OA = ，(1,1)OB =-，则(1,1)(2,2)(1,3)AB OB OA =-=--=--．故选：A ．22．（2022春•西昌市期中）已知向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，则13AB等于()A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-【解析】 向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，∴(9,3)AB OB OA =-=- 则1(3,1)3AB =-，故选：C ．23．（2022春•丰台区期中）若向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，则向量2a b -= ．【解析】 向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，∴向量22(1a b -=，2)(1--，3)(3=，1)．故答案为：(3,1)．24．（2021春•海淀区期中）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b = ，则2a b += ．【解析】 (1,2)a =-，(3,1)b = ，∴2(1a b +=，2)2(3-+，1)(7=，0)，故答案为：(7,0)．25．（2023秋•昌平区校级期中）已知向量a ，b满足(2,3)a b += ，(2,1)a b -=- ，则2a b -=．【解析】(2,3)a b += ，(2,1)a b -=-，则(0,2)a =，(2,1)b = ，故2(0a b -=，2)(4-，2)(4=-，0)．故答案为：(4,0)-．26．（2021春•石景山区校级期中）已知平面直角坐标系内一点(2,3)P -，向量(1,2)PM =，向量(2,0)PN =-，那么MN 中点坐标为()A ．3(,2)2-B ．3(,1)2--C ．5(,4)2-D ．3(,1)2-【解析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知1121(3)2x y -=⎧⎨--=⎩，2222(3)0x y -=-⎧⎨--=⎩，解得1131x y =⎧⎨=-⎩，2203x y =⎧⎨=-⎩，(3,1)M ∴-，(0,3)N -，MN ∴中点坐标为3(2，2)-，故选：A．向量共线的坐标表示27．（2022春•北京期中）已知向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，若//a b ，则(t =)A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】 向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，∴//a b⇒112t =-，故12t =-，故选：B ．28．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(,1)a m =，(1,2)b =- ．若//a b ，则(m =)A ．2B ．1C ．1-D ．12-【解析】向量(,1)a m =，(1,2)b =- ，//a b ，则21(1)m =⨯-，解得12m =-．故选：D ．29．（2022秋•顺义区校级期中）(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，若//a b ，则tan θ=．【解析】(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，//a b ，则cos sin θθ=，则sin tan 1cos θθθ==．故答案为：1．30．（2022秋•北京期中）已知向量(2,3)a = ，(1,2)b =- ，若ma nb + 与2a b -共线，则m n等于()A ．12-B ．12C ．2-D ．2【解析】(2,32)ma nb m n m n +=-+ ，2(4,1)a b -=- ，ma nb + 与2a b -共线，(2)(1)4(32)0m n m n ∴---+=，147m n ∴-=，则12m n =-，故选：A ．31．（2009秋•昌平区校级期中）已知向量(1,3)a =，(3,)b n = 若2a b - 与b 共线，则实数n 的值是()A ．6B ．9C ．3+D ．3-【解析】2(1,6)a b n -=--，2a b - 与b 共线，(1)3(6)0n n ∴-⨯-⨯-=，得9n =．故选：B ．32．（2023春•东城区校级期中）已知向量(2,1),(,2)a b x ==- ，若//a b，则(a b += )A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-【解析】 (2,1),(,2)a b x ==- ，且//a b，2(2)0x ∴⨯--=，解得4x =-，故(4,2)b =-- ，(2,1)a b +=--．故选：A ．33．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(21,3,1)a m m =+-，(2,,)b m m =- ，且//a b ，则实数m的值为．【解析】由题意得(21):23:(1):()2m m m m m +==--⇒=-．故答案为：2-．34．（2023秋•顺义区校级期中）已知平面向量(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，若()//a c b + ，则(t =)A ．52B ．45-C ．54-D ．74-【解析】由(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，可得(1,2)a c t t +=-+，又()//a c b +，则有3(2)2(1)0t t ++-=，解得45t =-．故选：B ．35．（2023秋•丰台区期中）已知平面向量(1,2),(2,1)a b ==- ，若ma b + 与a b -共线，则m 的值为．【解析】由(1,2),(2,1)a b ==- 可得(2,21)ma b m m +=+- ，(1,3)a b -=-，由ma b + 与a b -共线可得3(2)210m m ++-=，解得1m =-．故答案为：1-．36．（2023春•海淀区校级期中）已知(1,2)a =，(3,3)b = ，若()//()a b b a λ+- ，则λ=．【解析】由题设(3,2a b λλλ+=++，(2,1)b a -= ，又()//()a b b a λ+-，所以32321λλ++=，则1λ=-．故答案为：1-．37．（2022春•东城区校级期中）已知点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，若//AB a ，则实数y 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，∴(3,2)AB y =-， //AB a ，∴2231y -=，解得8y =．故选：D ．38．（2022春•东城区校级期中）已知(1,2)A ，(3,7)B ，(,1)a x =-，//AB a ，则()A ．25x =，且AB 与a方向相同B ．25x =-，且AB 与a方向相同C ．25x =，且AB 与a方向相反D ．25x =-，且AB 与a方向相反【解析】(1,2)A ，(3,7)B ，可得(2,5)AB =(,1)a x =-，//AB a ，可得52x =-，解得25x =-．2(5a =-，1)-，与AB 方向相反．故选：D ．39．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(1,1)a = ，(,2)b x tx =+ ．若存在实数x ，使得a与b 的方向相同，则t 的一个取值为．【解析】由a与b 共线，可得(2)0x tx -+=，化为21(0)t x x=-≠，取2x =，解得0t =，此时(2,2)2b a == ，满足a与b 的方向相同．故答案为：0（答案不唯一）．40．（2023秋•顺义区校级期中）在ABC ∆中，32AD DC = ，P 是直线BD 上的一点，若25AP t AB AC =+则实数t 的值为()A ．13-B ．13C ．23-D ．23【解析】因为32AD DC = ，且25AP t AB AC =+，所以2253AP t AB AC t AB AD =+=+ ；因为B ，P ，D 三点共线，所以213t +=，所以13t =．故选：B ．41．（2019秋•海淀区期中）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈ ．若32λμ+=，则||(||CD AB = )A ．13B ．12C ．1D ．2【解析】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．∴四边形AECD 是平行四边形．∴AC AE AD =+ ，又(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．1μ∴=，AE AB λ=，又32λμ+=，12λ∴=．则||||12||||CD AE AB AB ==．故选：B ．42．（2023春•东城区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE = )A ．1136BA BC --B ．1163BA BC -- C ．5163BA BC --D ．5163BA BC-+【解析】依题意，11111113233263DE DA AE AC BA BC BA BA BA BC =+=--=-+-=--．故选：B ．43．（2023春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--．（Ⅰ）若()//(2)a b a c +-，求实数t 的值；（Ⅱ）若()a b c ⊥+ ，求a与b 夹角的余弦值．【解析】（Ⅰ）(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--，则(1,1)a b t +=+ ，2(5,5)a c -=，()//(2)a b a c +-，则5(1)15t +=⨯，解得0t =；（Ⅱ）设a与b 夹角的余弦值为θ，[0θ∈，]π，(3,2)b c t +=-- ，(1,2)a =，()a b c ⊥+，则340t --=，解得7t =，(1,2)a =，(7,1)b =- ，则||a ==，||b ==故cos ||||a ba b θ⋅==44．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 在直线AD 上，且满足2DM AD = ，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=．【解析】设BD k BC k AC k AB ==-，2DM AD = ，∴33()(33)3AM AD AB BD k AB k AC ==+=-+ ，则(33)3(23)3BM AM AB k AB k AC AB k AB k AC =-=-+-=-+ ，BM AB AC λμ=+ ，23k λ∴=-，3k μ=，2λμ∴+=，故答案为：2．45．（2022春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a =，向量(3,2)b =- ．（Ⅰ）求||a和||b ；（Ⅱ）当k 为何值时，向量a kb + 与向量3a b -平行？并说明它们是同向还是反向．【解析】（Ⅰ）||a == ||b == ；（Ⅱ）3(10,4)a b -=-，由向量a kb + 与向量3a b -共线可得(13)(4)10(22)0k k -⨯--+=，解得3k =-，代入得(10,4)a kb +=-，即两个向量同向．46．（2021春•海淀区期中）已知点(5,2)A -，(1,4)B -，(3,3)C ，M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求点M 和AB的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足//BD CM，求点D 的坐标．【解析】（Ⅰ）(5,2)A - ，(1,4)B -，M 是线段AB 的中点，51(2M -∴，24(22-+=，1)，(1AB OB OA =-=-，4)(5-，2)(6-=-，6)；（Ⅱ）设(,0)D x ，则(1,4)BD x =+- ，(1,2)CM =--， //BD CM ，(1)(2)(4)(1)0x ∴+⋅---⋅-=，解得：3x =-，∴点D 的坐标是(3,0)-．。

2021年高考数学分项汇编专题5 平面向量（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国卷Ⅰ，理6】设a、b、c是单位向量，且a·b=0，则（a-c）·（b-c）的最小值为（）A.-2B.C.-1D.【答案】：D2. 【xx全国1，理3】在中，，．若点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A.3. 【xx课标Ⅰ，理15】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．【答案】．4. 【xx全国，理13】已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝__________．【答案】：5. 【xx高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（）（A） (B)（C） (D)【答案】A【考点定位】平面向量的线性运算二．能力题组1. 【xx全国，理9】设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0.如果平面各量b1，b2，b3满足│b i│=2│a i│，且a i的顺时针旋转后与b i同向，其中i-1，2，3，则（）（A）-b1+b2+b3=0 （B）b1-b2+b3=0（C）b1+b2-b3=0 （D）b1+b2+b3=0【答案】D2. 【xx课标全国Ⅰ，理13】已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝__________.【答案】：2三．拔高题组1. 【2011全国，理12】设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于( )A．2 B． C． D．1【答案】：A20493 500D 倍 gT25851 64FB 擻24874 612A 愪35674 8B5A 譚35228 899C 覜 31294 7A3E 稾n33973 84B5 蒵36567 8ED7 軗&。

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题06平面向量本专题考查的知识点为：平面向量，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的坐标表示，平面向量的数量积，平面向量基本定理，平面向量与充分必要条件综合问题等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以平面向量的数量积，平面向量基本定理为重点较佳.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝ ，y ＝ ．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝ ． 7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ=．8．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为 ．9．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝ ．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________．1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1B ．−1C ．4D ．−42．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0B ．1C ．√3D ．33．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（ ） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1B ．√3C ．2D ．与α有关5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b ⃑⃗为非零向量，“a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa ⇀+b ⇀与c ⇀共线,则实数λ=（）A ．−2B ．−1C ．1D ．29．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a ⇀，b ⇀满足a ⇀+b ⇀=(3,1)，a ⇀⋅b ⇀=1，则|a ⇀−b ⇀|=() A ．2B ．√6C ．2√2D ．√1010．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为60°,a ⃗=(√3,1),|b ⃑⃗|=1则|a ⃗+2b⃑⃗|=（） A ．2B ．√7C ．2√7D ．2√311．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a ⇀=(1,−3),b ⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2B ．3C ．2√2D ．512．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（ ） A ．13B ．12C ．√33D ．2313．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a ⃗，b ⃑⃗，“(a ⃗+b ⃑⃗)⋅a ⃗=2a ⃗2”是“a ⃗=b ⃑⃗”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a ⃗|=1，则“a ⃗⊥(a ⃗+b ⃑⃗)”是“a ⃗⋅b ⃑⃗=−1”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a ⃗=(0,5)，b ⃑⃗=(4,−3)，c ⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是() A ．a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗为共线向量 B ．a ⃗−b⃑⃗与c ⃗垂直 C ．a ⃗−b⃑⃗与a ⃗的夹角为钝角 D ．a ⃗−b⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为锐角 16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（ ） A ．−83B ．−1C ．1D ．317．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12B ．1C ．2D ．318．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−4319．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±1220．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．10021．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b⇀|=________. 22．【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】已知向量a ⇀=(2,4)，b ⇀=(−1,m)．若a ⇀//b ⇀，则a ⇀⋅b ⇀=__________．23．【2020届北京市顺义区高三二模】已知向量a ⃗=(−1,2)，b ⃑⃗=(x,1)，若a ⃗⊥b ⃑⃗，则实数x =___________. 24．【2020届北京市高考适应性测试】已知向量a ⃗=(1,m)，b ⃑⃗=(2,1)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则m =________． 25．如图所示，平面内有三个向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，其中OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为120°，OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为30°，且|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝1，|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝2√3.若OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝λOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋μOB⃑⃑⃑⃑⃑⃗(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．26．【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末】已知向量a ⇀=(−4,6),b ⇀=(2,x)满足a ⇀//b ⇀,其中x ∈R ,那么|b⇀|=_____________ 27．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高三上学期10月月考】在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60∘,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=16DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为． 28．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(12,√32)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(√32,12)，则∠ABC =______. 29．【2020届北京市高三高考模拟】已知向量a ⃗=(1,1),b ⃑⃗=(−3,m)，若向量2a ⃗−b ⃑⃗与向量b ⃑⃗共线，则实数m =__________．30．【2020届北京市第十一中学高三一模】平面向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(4,2)，c ⃗=ma ⃗+b ⃑⃗（m ∈R ），且c ⃗与a ⃗的夹角等于c ⃗与b ⃑⃗的夹角，则m =.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】解：点A ，B ，C 不共线，“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|＞|BC →|”， “|AB →+AC →|＞|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的充分必要条件． 故选：C ．2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】解：∵“|a →−3b →|＝|3a →+b →|” ∴平方得|a →|2+9|b →|2﹣6a →•b →=9|a →|2+|b →|2+6a →•b →， 即1+9﹣6a →•b →=9+1+6a →•b →， 即12a →•b →=0， 则a →•b →=0，即a →⊥b →，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的充要条件， 故选：C ．3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】解：m →，n →为非零向量，存在负数λ，使得m →=λn →，则向量m →，n →共线且方向相反，可得m →•n →＜0． 反之不成立，非零向量m →，n →的夹角为钝角，满足m →•n →＜0，而m →=λn →不成立． ∴m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是m →•n →＜0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（ ）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】解：若“|a →|＝|b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是菱形； 若“|a →+b →|＝|a →−b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是矩形； 故“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的既不充分也不必要条件； 故选：D ．5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝ ，y ＝ ．【答案】解：由已知得到MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →−AC →)=12AB →−16AC →； 由平面向量基本定理，得到x =12，y =−16；故答案为：12，−16．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝ ． 【答案】解：设a →=（x ，y ）．∵向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ）， ∴λa →+b →=λ（x ，y ）+（2，1）＝（λx +2，λy +1）， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2＝5．解得|λ|=√5． 故答案为：√5．7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ= ．【答案】解：以向量a →、b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得a →=（﹣1，1），b →=（6，2），c →=（﹣1，﹣3） ∵c →=λa →+μb →(λ，μ∈R)∴{−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ＝﹣2且μ=−12因此，λμ=−2−12=4故答案为：48．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为 ． 【答案】解：因为DE →⋅CB →=DE →⋅DA →=|DE →|⋅|DA →|cos ＜DE →⋅DA →＞=DA →2=1． 故答案为：19．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝ ．【答案】解：a →−2b →=(√3，3) ∵a →−2b →与c →共线， ∴√3×√3=3k 解得k ＝1． 故答案为1．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________． 【答案】√5−1【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A (0,0)、B (2,0)、C (2,2)、D (0,2)， AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1)， 则点P (2,1)，∴PD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)， 因此，|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(−2)2+12=√5，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×(−2)+1×(−1)=−1. 故答案为：√5；−1.1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1 B ．−1 C ．4 D ．−4【答案】D 【解析】向量a⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)， ∵a ⃗//b ⃑⃗，∴x =2×(−2)=−4 故选：D2．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0 B ．1C ．√3D ．3【答案】B 【解析】a ⃗−2b⃑⃗=(3,√3)因为a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，所以3k −√3×√3=0，解得：k =1 故选：B3．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（ ） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 【答案】C 【解析】解：a ⃗+b⃑⃗=(√3−12,√3−12)； ∴(a ⃗+b⃑⃗)•b ⃑⃗=3−√34−√3−14=2−√32≠0；∴a ⃗+b ⃑⃗不与b ⃑⃗垂直； ∴A 错误；(a ⃗+b ⃑⃗)•a ⃗=1−√34+3−√34=2−√32≠C ；∴a ⃗+b ⃑⃗不与a ⃗垂直； ∴B 错误；又(a ⃗+b ⃑⃗)•(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=1−1=0； ∴(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗)； ∴C 正确，D 错. 故选C ．4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1 B ．√3C ．2D ．与α有关【答案】B 【解析】根据题意，A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)). 则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα,sinα)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cos(α+π3),sin(α+π3))， 则有OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα+cos(α+π3),sinα+sin(α+π3))，故|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=[cosα+cos(α+π3)]2+[sinα+sin(α+π3)]2 =2+2cosαcos(α+π3)+2sinαsin(α+π3)=2+2cos π3=3，则|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√3； 故选：B.5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b⃑⃗为非零向量，“a⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】a⃑⃗|b ⃑⃗|,b ⃑⃗|a ⃑⃗|分别表示与a ⃗,b ⃑⃗同方向的单位向量， a⃑⃗|b⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|，则有a ⃗,b ⃑⃗共线， 而a ⃗,b ⃑⃗共线，则a ⃑⃗|b ⃑⃗|,b⃑⃗|a ⃑⃗|是相等向量或相反向量， “a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的充分不必要条件. 故选:B.6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为(a ⃗−b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，所以(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=a ⃗⋅b ⃑⃗−b ⃑⃗2=0，所以a ⃗⋅b ⃑⃗=b ⃑⃗2，所以cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|⋅|b ⃑⃗|=|b ⃑⃗|22|b⃑⃗|2=12，所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角为π3，故选B ．7．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a⃗=−12b⃑⃗时，|a⃗+b⃑⃗|=|−12b⃑⃗+b⃑⃗|=12|b⃑⃗|=|a⃗|，推不出|b⃑⃗|=0当|b⃑⃗|=0时，b⃑⃗=0⃑⃗，则|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗+0⃑⃗|=|a⃗|即“|a⃗|=|a⃗+b⃑⃗|”是“|b⃑⃗|=0”的必要不充分条件故选：B8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa⇀+b⇀与c⇀共线,则实数λ=（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】D【解析】由题中所给图像可得：2a⃗+b⃑⃗=c⃗，又c⃗=，所以λ=2.故选D9．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a⇀，b⇀满足a⇀+b⇀=(3,1)，a⇀⋅b⇀=1，则|a⇀−b⇀|=()A．2B．√6C．2√2D．√10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则可知：|a⇀−b⇀|=√(a⇀+b⇀)2−4a⇀⋅b⇀=√32+12−4×1=√6.本题选择B选项.10．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a⃗,b⃑⃗的夹角为60°,a⃗=(√3,1),|b⃑⃗|=1则|a⃗+2b⃑⃗|=（）A．2B．√7C．2√7D．2√3【答案】D【解析】|a⃗+2b⃑⃗|=√(a⃗+2b⃑⃗)2=√a⃗2+4a∙⃑⃑⃑⃑⃗b⃑⃗+4b⃑⃗2=√4+4×2×1×12+4=2√3，故选D. 11．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a⇀=(1,−3),b⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2 B ．3C ．2√2D ．5【答案】A 【解析】因为a ⃗=(1,−3),b ⃑⃗=(−2,0)， 所以a ⃗+2b ⃑⃗=(−3,−3)， 因此|a ⃗+2b ⃑⃗|=√9+9=3√2. 故选A12．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（ ） A ．13 B ．12C ．√33D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由∠BAC =π3可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为π3，所以圆心角为2π3.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为12BC tanπ3=√36，即圆心为(0,√36)，半径为√(12)2+(√36)2=√33. 所以点A 的轨迹方程为：x 2+(y −√36)2=13，则x 2≤13，则−√33≤x <0，由AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的几何意义可得：AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影为|DP|=|x|， 则AQ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是√33，故选C．13．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a⃗，b⃑⃗，“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2 a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，则a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=2a⃗2，即a⃗⋅b⃑⃗=a⃗2，取|b⃑⃗|=2|a⃗|，〈a⃗,b⃑⃗〉=π，此时满足(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，而a⃗≠b⃑⃗；3当a⃗=b⃑⃗时，(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2.故“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的必要而不充分条件.故选：B.14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a⃗|=1，则“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】C【解析】由a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)，则a⃗⋅(a⃗+b⃑⃗)=0⇒a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0又|a⃗|=1，所以a⃗⋅b⃑⃗=−1若a⃗⋅b⃑⃗=−1，且|a⃗|=1，所以a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)所以“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的充要条件故选：C15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是()A．a⃗−b⃑⃗与c⃗为共线向量B．a⃗−b⃑⃗与c⃗垂直C．a⃗−b⃑⃗与a⃗的夹角为钝角D．a⃗−b⃑⃗与b⃑⃗的夹角为锐角【答案】B【解析】解：∵a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，∴a ⃗−b⃑⃗=(−4,8)， ∵−4×(−1)−(−2)×8≠0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗不是共线向量， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=−4×(−2)+8×(−1)=0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗垂直， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅a ⃗=−4×0+8×5=40>0，则a ⃗−b ⃑⃗与a ⃗的夹角为锐角， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=−4×4+8×(−3)=−40<0，则a ⃗−b ⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为钝角， 故选：B ．16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（ ） A ．−83B ．−1C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：EB=EC=√7， 又tan∠BED =BD ED=√3=2√33所以cos∠BEC =1−tan 2∠BED 1+tan 2∠BED=−17所以EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=|EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗‖EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cos∠BEC =√7×√7×(−17)=−1 故选B ．17．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】因为平行四边形ABCD 中,AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点， 设AB =x ,由AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3得，(AB⇀+BC ⇀)⋅(BC ⇀+12BA ⇀) =(AB⇀+AD ⇀)⋅(AD ⇀−12AB ⇀) =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2=4+12|AB ⇀|×2×cos60∘−12AB ⇀2 =4−12x 2+12x =3即x 2−x −2=0解得x =2或x =−1（舍去）； 故选：C.18．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a ⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−43【答案】D 【解析】由题意b ⃑⃗在a ⃗上的投影为a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|=−163√22+(2√3)2=−43.故选：D.19．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±12【答案】A 【解析】设平面向量a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ，∵(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，可得|a ⃗|=|b ⃑⃗|， 在等式|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|两边平方得a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2=4a ⃗2−8a ⃗⋅b ⃑⃗+4b ⃑⃗2，化简得cosθ=35. 故选：A.20．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．100【答案】C 【解析】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=5， 原式=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2×25=50. 故选C.21．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b ⇀|=________. 【答案】5 【解析】因为a ⃗=(2,1)，所以|a ⃗|2=5，因为|a ⃗+b ⃑⃗|=5√2，所以|a ⃗+b ⃑⃗|2=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=50， 即5+|b⃑⃗|2+20=50，|b ⃑⃗|=5。

【十年高考】（新课标2专版）高考数学分项版解析 专题05 平面向量 理一．基础题组1. 【2012全国，理6】△ABC 中，AB 边的高为CD ．若CB u u u r ＝a ，CA u u u r＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD u u u r＝( )A ．1133-ab B ．2233-a b C ．3355-a b D ．4455-a b 【答案】D2. 【2015高考新课标2，理13】设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【考点定位】向量共线．3. 【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）−8 （B ）−6 （C ）6 （D ）8【答案】D 【解析】试题分析： (4,2)m +=-a b ，由()⊥a +b b 得43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解得8m =，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：几何表示坐标表示 模 |a |＝⋅a a |a |＝2211x y + 夹角cos θ＝⋅⋅a ba bcos θ＝121222221122x x y y x y x y ++⋅+a ⊥b 的充要条件a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0二．能力题组1. 【2014新课标，理3】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A2. 【2010全国2，理8】△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r ＝a ，CA u u u r＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD uuu r等于( )A. 13a ＋23bB. 23a ＋13bC. 35a ＋45bD. 45a ＋35b【答案】：B【解析】法一：(直接法)∵CD 平分∠ACB ，∴CACBu u u ru u u r＝ADDBu u u ru u u r＝21∴ADu u u r＝2DBu u u r＝23ABu u u r＝23(CBu u u r－CAu u u r)＝23(a－b)．∴CDuuu r＝CAu u u r＋ADu u u r＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.法二：(排除法)由角平分线的性质知λCDuuu r＝1aa＋1bb＝a＋12b.故CDuuu r＝1λa＋12λb.系数之比为2∶1，只有B项符合．3. 【2005全国3，理14】已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k===-u u u r u u u r u u u r，且A、B、C 三点共线，则k= .【答案】23-三．拔高题组1.1. 【2005全国2，理8】已知点(3,1)A，(0,0)B，(3,0)C．设BAC∠的一平分线AE 与BC相交于E，那么有BC CEl=u u u r u u u r，其中l等于（）(A) 2 (B)12(C) 3-(D)13-【答案】C【解析】2. 【2013课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD⋅u u u r u u u r ＝__________.【答案】：2。