四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析

四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。

1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。

共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。

每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。

⑵如图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想每栋楼到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？公交站要想每栋楼到达车站的距离之和最短车站应该设在何处？
1993名少先队员分散在一条公路上执勤宣传交通法规，问完成任⑶有名少先队员分散在一条公路上执勤宣传交通法规
务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
距离最短，试确定最合理的方案。

离最，最糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？
某5所学校A ，B ，C ，D ，E 之间有公路相通，图中标出了各段公拓展】(★★★☆)
路的千米数，现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席。

四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。

1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。

共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。

每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。

第八讲统筹优化与操作1、解决“时间最少”、“费用最低”、“效率最高”等问题；2、培养学员的动手操作能力；3、培养学员手脑并用的协调能力。

最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。

最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。

但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。

因此，主要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。

操作问题在于通过观察、枚举、计算、推理发现隐藏的规律。

25分钟讲演者：得分：将长为48厘米宽为2厘米的纸带沿着长对折二次，然后从一端开始，每隔2厘米剪一刀，最后可得到_________个正方形。

(2010年第8届走美杯3年级初赛)【解析】对折两次，折成4层纸，切成21段，有3个折痕，这3个折痕处的是长方形，剩下都是正方形，有21-3=18个正方形。

【答案】18讲演者：得分：小红中午放学回家煮饭。

淘米要3分钟，煮饭要25分钟，洗菜要8分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟。

如果煮饭和炒菜用不同的锅子和炉子。

小红要将饭、菜都煮好，最少需要多少分钟？【解析】解题前先要分析，要做的这些事，有些事有先后顺序、不能同时做的，例如必须要先淘米再煮饭；而有些事是可以同时做的，例如煮饭一般不需要人看的，而且煮饭、炒菜用不同的锅和炉子，所以煮饭、烧菜可以同时进行。

可以列出如下表格：小红可以先淘米再煮饭，在煮饭的同时洗菜、切菜、烧菜，最少需要时间：3+25=28（分钟）。

55分钟黑板上写着1～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。

例如，擦掉5和11，要写上15。

经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？【解析】每次两个数的和减少1，那么15个数一共算14次，减少14次1，所以（1+15）×15÷2-14=10610个人各提1只水桶，同时到水龙头前打水。

第16 讲统筹与对策内容概述生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.典型问题1．妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟?答案：16分钟解析：在试题中，烧开水之前一定要洗开水壶，但是在烧开水的同时，可以把洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶三件事都做完。

所以根据先洗水壶，然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，共需要1+15=16分钟。

2．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?答案：A先理发，然后B，最后C；81分钟解析：因为理发时间固定，为使所花时间总和最短，则只需三人等待时间最短，因此按照理发时间从短到长的顺序理发，这样A只理板寸，花费7分钟，B等待A并理光头，共花费7+10=17分钟，C等待A、B并烫卷发，共花费7+10+40=57分钟，三人共花费7+17+57=81分钟。

3．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?答案：76元解析：5个一袋的面包单价为8÷5=1.6元，3个一袋的面包单价为5÷3=1.67元，1.6<1.67，所以要尽量多购买5个一袋的面包，同时不要让面包有剩余。

47÷5=9……2，2不能被3整除，将两袋5个的与剩余的两个凑成12个，可正好换成4袋3个的，因此需购买7袋5个的和4袋3个的，共花8×7+5×4=76元。

3、6、16、112、8、6、112、8、6、3、13、133、12、812、812、8、6、1312、8、6、3、112、8、6、3、1第三讲 统筹与最优化最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，既要尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。

因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛应用。

作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。

一、例题讲解例1、分析：此题是典型的过河问题，习题的特点是：两个不同时间的人一起过河时，快的要就着慢的走，因此过河的时间以慢的为主。

所以我们尽量选最快的两个人先过（即：快的可以来回过桥传递油灯）。

最慢的两个也要同时过河，不要分开。

具体操作如下图：总时间：3+1+12+3+6+1+3=29分钟拓展练习：（1）小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥.......直到4人都通过小木桥。

已知，小强单独过桥要1分钟，小明单独过桥要1.5分钟，小红单独过桥要2分钟，小蓉单独过桥要2.5分钟，那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？提示：与例题分析过程相同。

答案：1.5+1+2.5+1.5+1.5=8分钟（2）小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要1分钟，乙过河要2分钟，丙过河要5分钟，丁过河要6分钟，每次只能赶2头牛问：要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？（小明回来赶牛过河，也得骑在牛上）提示：与例题分析过程相同。

答案：2+1+6+2+2=13分钟例2、分析：此题属于排队等待的问题。

此题的特点是：最后求的总时间为所有人的等待时间（即：第一个人打水若用5分钟的话，后面个人都要等待5分钟）。

统筹规划知识框架统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。

它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。

运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。

这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。

“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。

“小往大靠，支往干靠”。

例题精讲一、合理安排时间【例 1】星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。

要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。

【答案】60分钟【巩固】妈妈让小明给客人烧水沏茶。

1本讲主线
1. 2.
1.时间统筹：如何节约时间,考虑那些工作是可以同时进行.如何更好
的使总时间最少
的使总时间最少.
2.费用统筹：考虑位置和人数(或者货物重量)的综合影响.
【例1】(★★★)有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．爷爷过桥需要12分钟；
爸爸要8分钟；妈妈要6分钟；姐姐要3分钟，弟弟只要1分钟．他们有
一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．可这盏灯只能再维持30
分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？
统筹与最优化
11.时间统筹：烧水问题、过河问题、打水问题2.费用统筹：车站问题、仓库问题、水管问题。

四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。

1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。

共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。

每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。

四年级奥数第十二讲简单统筹规划（学生用）四年级奥数第十二讲-简单统筹规划（学生用）远辉教育远辉教育奥数班第十二讲简单的总体规划主讲人：杨老师学生：四年级电话：62379828一、学习要点：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益．因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用．作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的．二、典型示例分析：例1妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？例2：用平底锅煎煎饼。

你可以一次放两个煎饼。

如果煎一个煎饼需要2分钟（假设正面1分钟，背面1分钟），煎1993年的煎饼至少需要多少分钟？例35个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．例4从a地到B地需要运输157吨货物。

大型卡车的载货能力为5吨，小型卡车的载货能力为2吨。

大型卡车和小型卡车的油耗分别为10升和5升。

如何选择车辆以最大限度地减少运输的油耗？你需要多少升机油？远辉教育例5有十个村庄，位于从县城开始的公路上（如下图所示，距离单位为公里）。

应该安装水管，将自来水从县城输送到每个村庄。

可以使用两种厚水管和薄水管。

粗管足以为所有村庄供水，细管只能为一个村庄供水。

粗管每公里8000元，细管每公里2000元。

通过粗管和细管的合理匹配和连接，可以降低工程总成本。

根据你认为最经济的方法，费用应该是多少？例6有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？模拟试验1．妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼．他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少．2.用平底锅煎煎饼。

第7讲最优化问题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。

以上的问题实际上都是“最优化问题”。

二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。

问煎3个饼至少需要多少分钟？练习1：1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。

小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。

烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。

要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？练习2：1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。

他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。

为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。

赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。

卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？练习3：1、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。

热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。

2020-2021学年四年级数学：第七周最优化问题专题简析：在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。

以上的问题实际上都是“最优化问题”。

例1：用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。

问煎3个饼至少需要多少分钟？分析与解答：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。

又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。

所以，煎3个饼至少需要3分钟。

练习一1，烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。

小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2，用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。

烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？3，小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。

可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？例2：妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。

要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？分析：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。

水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。

而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。

根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。

练习二1，小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。