5.2 平面向量数量积与应用挖命题【考情探究】分析解读在北京高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积,遇到向量模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决.主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合性问题.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是( )A.-B.[-1,1)C.-D.[-1,0)答案A2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为;·的最大值为.答案1;1考点二平面向量数量积的应用3.已知向量||=2,||=1,且|-2|=2,则向量和的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案C4.已知向量a=(cos θ,sinθ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是( )A.4,0B.4,4C.4,0D.16,0答案A5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,2),若a⊥(2a+b),则a,b的夹角为.答案炼技法【方法集训】方法1 求平面向量的模的方法1.已知平面向量,满足||=||=1,·=-,若||=1,则||的最大值为( )A.-1B.-1C.+1D.+1答案D2.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于( )A.6B.4C.2D.1答案C3.已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=x a+y b(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为( )A. B. C. D.3答案A方法2 求平面向量的夹角的方法4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案C5.若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°答案D6.已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为( )A. B. C. D.答案C方法3 用向量法解决平面几何问题的方法7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案B8.已知向量,的夹角为60°,||=||=2,若=2+,则△ABC为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A2.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(m a-b),则m= .答案-15.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为.答案 66.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0答案B2.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=( )A.30°B.45°C.60°D.120°答案A3.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5答案A4.(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .答案25.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .答案-26.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= .答案9考点二平面向量数量积的应用1.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则·的最小值为( )A. B. C. D.3答案A2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.-1B.+1C.2D.2-答案A3.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1答案B4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为( )A.4B.-4C.D.-答案B5.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )····A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B6.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=.答案C组教师专用题组1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )A.5B.4C.3D.2答案A2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+k b.若b⊥c,则实数k的值等于( )A.-B.-C.D.答案A3.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为.答案-34.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是. 答案4;25.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC 和DC上,且=,=,则·的值为.答案解析解法一:由题意可知CD=1,AD=BC=1,又因为=,=2,所以=,在△ADF中,=+=+,在梯形ABCD中,=++=-++=-+,在△ABE中,=+=+=+·-=+,所以·=·=+·+=×22+×2×1×+×12=.解法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的直角坐标系,由于AB=2,BC=1,∠ABC=60°,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为,所以A(0,0),B(2,0),D,C,所以=-,=(1,0),又因为=,=,所以E,F,因此·=·=×+×=+=.评析本题考查数量积的运算,向量共线的表示等基础知识,考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用.6.(2015安徽,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量; ②b为单位向量; ③a⊥b;④b∥; ⑤(4a+b)⊥.答案①④⑤7.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.答案228.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=,则a·b= .答案109.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=t a+(1-t)b.若b·c=0,则t= .答案 210.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= .答案 2【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018北京门头沟一模,6)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且AB=2CD=2AD=2,P是BC的中点,则·=( )A. B.3 C.2 D.答案C2.(2019届北京大兴9月统练,3)已知向量a=(1,2),b=(2,1),则cos<a,b>等于( )A. B.- C. D.-答案C3.(2018北京朝阳一模,4)已知a,b为非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B4.(2018北京朝阳二模,5)如图,角α,β均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A,B,则·=( )A.sin(α-β)B.sin(α+β)C.cos(α-β)D.cos(α+β)答案C5.(2019届北京海淀期中,7)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且a2>b2>c2,则a·b,b·c,c·a中最小的值是( )A.a·bB.b·cC.c·aD.不能确定答案A6.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=.若m∈R,则|a+m b|的最小值是( )A. B. C. D.答案C7.(2019届北京潞河中学10月月考,6)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,y),且a⊥b,则y=( )A.-4B.4C.1D.-1答案C二、填空题(每小题5分,共35分)8.(2019届北京人大附中期中,9)已知向量a=(3,-1),b=(-2,4),则向量a与b的夹角为.答案9.(2019届北京牛栏山一中期中,14)已知向量序列:a1,a2,a3,…,a n,…满足如下条件:|a1|=2,|d|=,2a1·d=-1,且a n-a n-1=d(n≥2,n∈N*).若a1·a k=0,则k= ;|a1|,|a2|,|a3|,…,|a n|,…中第项最小.答案9;310.(2019届北京十四中10月月考,12)已知正方形ABCD的边长为2,E是CD上的一个动点,则·的最大值为.答案 411.(2019届北京潞河中学10月月考文,14)已知梯形ABCD中,AD=DC=CB=AB,P是BC边上一点,且=x+y.当P是BC中点时,x+y= ;当P在BC边上运动时,x+y的最大值是.答案;高考加油！高考加油！高考加油！高考加油！12.(2019届北京朝阳期中,12)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G,若=λ+μ(λ,μ∈R),则= .答案13.(2018北京海淀二模,11)已知平面向量a,b的夹角为,且满足|a|=2,|b|=1,则a·b= ,|a+2b|= .答案1;214.(2018北京丰台期末,9)已知单位向量a,b的夹角为120°,则(a+b)·a= .答案。
5.2平面向量的数量积及其应用挖命题【考情探究】分析解读 1.向量的数量积是高考命题的热点,主要有以下几个方面:(1)平面向量的运算、化简、证明及其几何意义;(2)平面向量垂直的充要条件及其应用;(3)平面向量的综合应用,向量的坐标是代数与几何联系的桥梁,它融数、形于一体,具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的重要交汇点,常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透.2.预计2020年高考试题中,向量的数量积仍是高考的热点,应高度重视.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.(2018浙江温州二模(3月),9)已知向量a,b满足|a|=1,且对任意实数x,y,|a-xb|的最小值为,|b-ya|的最小值为,则|a+b|=()A. B.C.或D.或-答案C,其中A为△ABC的2.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三)已知向量a=(cos2A,-sin2A),b=-最小内角,且a·b=-,则角A等于 ()A. B.C. D. 或答案C考点二向量的综合应用1.(2018浙江名校协作体期初,12)在△ABC中,AB=3,BC=,AC=2,且O是△ABC的外心,则·=,·=.答案2;-2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,16)已知正三角形ABC的边长为4,O是平面ABC上的动点,且∠AOB=,则·的最大值为.答案炼技法【方法集训】方法1 利用数量积求长度和夹角的方法1.(2017浙江镇海中学模拟卷三,13)已知向量a,b满足|a-b|=1且|a|=2|b|,则a·b的最小值为,此时a与b的夹角是.答案-;π2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)若向量a,b满足a2+a·b+b2=1,则|a+b|的最大值为.答案方法2 利用向量解决几何问题的方法1.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),9)已知点P在边长为2的正方形ABCD的边上,点M在以P为圆心,1为半径的圆上运动,则·的最大值是()A.2B.1+C.1+2D.2+2答案C2.(2018浙江杭州二中期中,16)在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的动点,AB与OC交于点P,则·的最小值是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一平面向量的数量积1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3答案C2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则()A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2答案D3.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.答案4.(2015浙江文,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=,若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=.答案考点二向量的综合应用1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-答案A2.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;23.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b 的最大值是.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018课标全国Ⅱ理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1答案B3.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案D4.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=.答案-15.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案26.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=-,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解析(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0. 即sin x=cos x,又x∈,所以tan x==1. (2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos=··=-,则sin x-cos x=sin-=.又因为x∈,所以x-∈-.所以x-=,解得x=.考点二向量的综合应用1.(2018北京理,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·的值为()A.-15B.-9C.-6D.0答案C3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则·的最小值为()A. B. C. D.34.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是()A. B.C. D.答案B5.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.答案 36.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=.答案C组教师专用题组考点一平面向量的数量积1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为()A.-B.C.D.答案B3.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-答案B4.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于()A.13B.15C.19D.215.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=()A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案D6.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥答案D7.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A. B. C. D.π答案A8.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=()A.2B.C.1D.答案B9.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=()A.-2B.-1C.1D.2答案D10.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()A. B. C. D.答案C11.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A12.(2017课标全国Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=.答案 213.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为.答案 614.(2017山东理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.答案15.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-216.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.答案17.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·=.答案918.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为.答案19.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.答案2220.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值;②若a⊥b,则S min与|a|无关;③若a∥b,则S min与|b|无关;④若|b|>4|a|,则S min>0;⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为.答案②④考点二向量的综合应用1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A2.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为()A.6B.7答案B3.(2017课标全国Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案74.(2015江苏,14,5分)设向量a k=cos,sin+cos(k=0,1,2,…,12),则(a k·a k+1)的值为.答案9【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2019届浙江温州普通高中适应性测试,9)已知向量a,b满足|a|=2,a2+2a·b+2b2=8,则a·b的取值范围是()A.[2-2,2+2]B.[-2-2,2-2]C.[-1,+1]D.[--1,-1]答案B2.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,8)如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3是边长相等的等边三角形,且O,A1,A2,A3四点共线.若点P1,P2,P3分别是边A1B1,A2B2,A3B3上的动点(不含端点),记I1=·,I2=·,I3=·,则()A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1C.I2>I1>I3D.I3>I1>I2答案B3.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,10)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=2,该矩形所在的平面内一点P满足||=1,记I1=·,I2=·,I3=·,则()A.存在点P,使得I1=I2B.存在点P,使得I1=I3C.对任意的点P,有I2>I1D.对任意的点P,有I3>I14.(2018浙江台州第一学期期末质检,9)已知m,n是两个非零向量,且|m|=1,|m+2n|=3,则|m+n|+|n|的最大值为()A. B. C.4 D.5答案B5.(2018浙江台州第一次调考(4月),9)已知单位向量e1,e2,且e1·e2=-,若向量a满足(a-e1)·(a-e2)=,则|a|的取值范围为()A.-B.-C. D.答案B6.(2018浙江杭州第二次教学质量检测(4月),9)记 M 的最大值和最小值分别为 M max 和 M min.若平面向量a,b,c 满足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2,则()A.|a-c|max=B.|a+c|max=-C.|a-c|min=D.|a+c|min=-答案A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分)7.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,16)已知向量a,b满足|a|=2|b|,|a-b|=2,则a·b的取值范围为.答案-8.(2019届台州中学第一次模拟,14)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则a与a-2b的夹角为.答案9.(2019届镇海中学期中,15)已知两个不共线的非零向量a,b满足|a|=2,|a-b|=1,则向量a,b的夹角的最大值是.答案30°10.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,17)已知平面向量a,b,c满足|a|≤1,|b|≤1,|2c-(a+b)|≤|a-b|,则|c|的最大值为.答案。
5.2 平面向量的数量积及其应用挖命题【考情探究】分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.破考点【考点集训】考点一数量积的定义及平面向量的夹角、模长问题1.(2018湖北荆州12月联考,2)已知向量a,b的夹角是,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|的值是( )A. B. C.5 D.2答案A2.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考,4)已知a=(-2,1),b=(k,-3),c=(1,2),若(a-2b)⊥c,则|b|=( )A.3B.3C.2D.答案A3.(2017山西四校联考,5)向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( )A.0B.C.D.答案B4.(2018皖南八校三模,13)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a= .答案1+考点二平面向量数量积的应用1.(2018河北衡水中学四调,10)设向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos20°),若t是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值为( )A. B. C.1 D.答案B2.(2018河北唐山二模,7)在△ABC中,∠C=90°,AB=6,点P满足CP=2,则·的最大值为( )A.9B.16C.18D.25答案B3.(2017辽宁葫芦岛六校联考,3)同一平面内,非零向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则a+b+c=( )A. B.5 C.5或6 D.或6答案D4.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是( )A.-B.[-1,1)C.-D.[-1,0)答案A炼技法【方法集训】方法1 求解平面向量模长的方法1.(2018湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=( )A. B.1 C. D.2答案A2.(2017湖南长沙长郡中学12月模拟,4)已知向量a=(m,2),b=(-1,n)(n>0),且a·b=0,点P(m,n)在圆x2+y2=5上,则|2a+b|=( )A. B.4 C.4 D.3答案A3.(2018福建福州二模,14)若向量a=(cos θ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为.答案 4方法2 求解平面向量夹角的方法1.(2018河南商丘九校联考,6)向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为( )A. B. C. D.答案A2.(2018河北石家庄二模,5)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为( )A. B. C. D.答案D3.(2017吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120°的单位向量,a=e1+e2,b=2e1+x e2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为θ,则cos θ=.答案-方法3 数形结合的方法和方程与函数的思想方法1.(2018江西九江二模,6)在Rt△ABC中,AB=AC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足=k,当·取得最小值时,实数k的值为( )A. B. C. D.答案C2.(2018广东佛山二模,14)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若=2,则·= .答案3.(2015天津文,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为.答案过专题【五年高考】A组山东省卷、课标卷题组考点一数量积的定义及平面向量的夹角、模长问题1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0答案B2.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=( )A.30°B.45°C.60°D.120°答案A3.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5答案A4.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .答案-2考点二平面向量数量积的应用1.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1答案B2.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )A.3B.2C.D.2答案A3.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为( )A.4B.-4C.D.-答案B4.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案D5.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.答案B组其他自主命题省(区、市)卷题组考点一数量积的定义及平面向量的夹角、模长问题1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )····A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B3.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=m a+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )A.-2B.-1C.1D.2答案D4.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= .答案95.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=.答案考点二平面向量数量积的应用1.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则·的最小值为( )A. B. C. D.3答案A2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.-1B.+1C.2D.2-答案A3.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )A.-B.C.D.答案B4.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( )A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥答案D5.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()A. B. C. D.答案C6.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为.答案-37.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.答案C组教师专用题组考点一数量积的定义及平面向量的夹角、模长问题1.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是( )A. B. C. D.答案B2.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是. 答案4;23.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是.答案+14.(2013课标Ⅰ,13,5分,0.641)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=t a+(1-t)b.若b·c=0,则t= . 答案 25.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= .答案 26.(2012课标,13,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .答案3考点二平面向量数量积的应用1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3答案C2.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( )A.20B.15C.9D.6答案C3.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21答案A4.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.答案225.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=-,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解析(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.即sin x=cos x,又x∈,所以tan x==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos=··=-.则sin x-cos x=sin-=.又因为x∈,所以x-∈-.所以x-=,解得x=.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届山东曲阜夫子学校高三质检,6)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影为( )A. B.2 C. D.3答案A2.(2018广东广雅中学等四校2月联考,4)已知两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-k b|的最小值为( )A. B. C.1 D.答案B3.(2018河北石家庄3月质检,6)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为( )A. B. C. D.答案D4.(2018山东泰安二模,10)如图,平面四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=CD=2,点E在对角线AC上,AC=4,AE=1,则·的值为( )A.17B.13C.5D.1答案D5.(2018河北五个一名校联考,5)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.答案A6.(2018河南郑州二模,7)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,则(a+b)·(2b-c)的最小值为( )A.-2B.3-C.-1D.0答案B二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2019届山东淄博实验中学一诊,13)已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为.答案8.(2019届山东博兴一中高三10月质检,15)已知向量b为单位向量,向量a=(1,1),且|a-b|=,则向量a,b 的夹角为.答案120°9.(2018河北衡水二中4月模拟,15)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,AB∥CD,∠ADC=90°,若点M 在线段AC上,则|+|的取值范围为.答案三、解答题(共20分)10.(2019届山东博兴一中高三10月质检,17)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值及取得最大值时x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.所以tan x=-.因为x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤,当x+=,即x=0时, f(x)max=3,所以x=0时, f(x)取得最大值,最大值为3.11.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC中,⊥,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求·+·的最小值.解析(1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,因为⊥,所以·=0,所以cos θ=··=·,设||=||=a(a>0),则cos θ=·=.(2)因为||=||=,所以||=1,设||=x(0≤x≤1),则||=1-x.因为+=2,所以·+·=·(+)=2·=2||·||cos π=2x2-2x=2--. 因为0≤x≤1,所以当x=时,·+·取得最小值,最小值为-.。
