精选16 直线与圆的方程（选择与填空）1．涉及直线被圆截得的弦长问题的两种求解方法：（1）利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形， 结合勾股定理222()2ld r +=求解；（2）若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-. 2．求两圆公共弦长的两种方法：（1）联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； （2）求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题. 3．两圆相交时公共弦所在直线的方程：设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D 1－D 2）x +（E 1－E 2）y +F 1－F 2=0 ③． 方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程． 4．距离公式：（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2| （2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．一、单选题1．直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，所以直线l 与圆相交，故选A ．2．直线过点()0,2P ，且截圆224x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为A ．32± B ．C ．±D ．【答案】C【解析】设所求直线方程为2y kx =+，即20kx y -+=，∴圆心到直线的距离d =，2∴==，解得k =．故选C ．3．已知点)P和圆C ：224x y +=，则过点P 且与圆C 相切的直线方程是A 4y -=B 4y +=C ．4x -=D ．4x =【答案】B【解析】可知)P在圆上，则PC k =，所以切线方程为1y x -=4y +=．故选B ． 4．若直线:10l x y -+=与圆22210x y ay +--=相切，则实数a = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】()222222101x y ay x y a a +--=⇒+-=+，所以圆心为()0,a ，半径r :10l x y -+=与圆()2221x y a a -=++相切，=，解得1a =-．故选A.5．已知()0,0A ，()1,1B ，直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，则直线l 的方程为A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为()0,0A ，()1,1B ，所以直线AB 的斜率为10110-=-， 因为直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，所以直线l 的方程为01(2)y x -=⋅-， 即20x y --=，故选A ．6．若直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是 A ．1 B ．1- C ．4D ．4-【答案】B【解析】直线210ax y ++=的斜率为2a-，直线220x y +-=的斜率为2-， 因为直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直， 所以()2112a a ⎛⎫-⨯-=-⇒=- ⎪⎝⎭，故选B ．7．若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为 A ．()()22212x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++=【答案】B【解析】设圆的半径为r ，圆心到直线10x y --=的距离d ==∴==，解得24r =，∴圆的方程为()()22214x y -++=．故选B ．8．过点()0,1P 的直线l 与圆()()22111x y -+-=相交于A ，B 两点，若该直线的斜率为1，则AB =A ．1BCD ．2【答案】B【解析】由题意可得直线l 的方程为1y x =+，圆()()22111x y -+-=的圆心()1,1，半径1r =，圆心()1,1到直线1y x =+的距离为d ==所以弦长22AB ===⨯= B. 9．已知过点()2,4M -的直线l 与圆C ：()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，则实数a 的值为A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】D【解析】因为点()2,4M -满足圆()()22125x y -++=的方程，所以M 在圆上，又过点()2,4M -的直线与圆()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，所以切点与圆心连线与直线230ax y -+=平行， 所以直线230ax y -+=的斜率为422221a -+==--，所以4a =-，故选D. 10．已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，若12l l //，则a 的值为 A ．7- B ．1- C ．7-或1-D ．2-或4【答案】A【解析】已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，且12l l //，则()()()()35883253a a a a ⎧++=⎪⎨+≠-⎪⎩，解得7a =-．故选A ．【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=． （1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠；（2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．11．若函数()f x x m =-有零点，则实数m 的取值范围是A ．⎡-⎣B ．4,⎡⎣C ．[]4,4-D ．4,⎡-⎣【答案】D【解析】由题意可知，若()f x x m =-有零点，则只需满足直线y x m =+与曲线y =当直线y x m =+4=，得m =y x m =+过点A 时，4m =-，故4m -≤≤D ．【名师点睛】解答根据函数有零点求参数的取值范围的问题时，可采用数形结合法，将问题转化为()()f x g x =有解，分别画出函数()f x 和()g x 的图象，根据图象的位置变化确定参数的取值范围．12．已知直线1l ：230ax y +-=，2l ：()310x a y a ++-=，若12l l ⊥．则a 的值为 A ．25- B ．25C ．1D ．-2【答案】A 【解析】12l l ⊥，显然两直线的斜率存在且都不为0，312+1a a ⎛⎫⎛⎫∴-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25a =-．故选A ． 13．圆22420x y x y ++-=和圆22230x y x +--=交于A 、B 两点，则相交弦AB 的垂直平分线的方程为 A ．6230x y -+= B ．310x y +-= C ．2230x y -+=D ．310--=x y【答案】B【解析】由两圆的方程可得两圆的圆心分别为()()2,1,1,0,M N - 两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心,M N 的直线方程， 由直线方程的两点式得到直线MN 的方程为120112y x -+=-+，整理得310x y +-=，故选B ． 14．若点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为d ，则d 的最大值是A ．2+B ．2C ．2-D ．2+【答案】A【解析】点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为cos sin 224d πθθθ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时max 22d == A.15．圆1C ：22430x y x +-+=与圆2C ：()()2214x y a ++-=外切，则实数a 的值为 A ．4 B ．16 C ．8D ．12【答案】B【解析】将圆22430x y x +-+=化为标准方程为()2221x y -+=，故圆1C 的圆心为()2,0，半径为1；圆2C 的圆心为()1,4-1=+16a =．故选B ．16．已知P 为圆22:1O x y +=上一个动点，O 为坐标原点，过点P 作圆O 的切线与圆221:28190O x y x y +---=相交于两点,A B ，则||AB 最小值是A 1B 1C ．2D ．2【答案】C【解析】由图象可知，当1O P AB ⊥时，且1O P 最大时，||AB 可取得最小值，()()22221:281901436O x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆心()11,6O ，半径16r =，而22:1O x y +=，圆心()0,0，半径1r =，又1OO ==1max 1O P =，在1Rt PO B 中，111,6O P O B ==，1PB ∴===，min 22AB PB ∴==．故选C.17．设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是A ．5[,)2+∞ B ．[,)2+∞C ．D ．5[,5)2【答案】C【解析】如图所示：222(0)x y r r +=>上存在点N 使得3OMN π∠=，则OMN ∠的最大值大于或者等于3π时，一定存在点N 使得3OMN π∠=，当MN 与圆相切时，OMN ∠取得最大值，此时，5OM =，sin 52ON ON OMN OM∠==≥，解得2ON ≥，即2r ≥，又(3,4)M 在圆外，22234r ∴+>，解得5r <，综上所述：52r ≤<．故选C ．18．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知(0,0),(3,0)O A ，动点(,)P x y 满足2PA PO=，则动点P 轨迹与圆22(1)1x y -+=位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，表示圆心为(1,0)-，半径为2R =的圆，圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)为圆心，1r =为半径的圆，两圆的圆心距为2，满足2R r R r -<<+，所以两个圆相交．故选C ．19．已知动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(2,)P n ，且(5,0)Q 到动直线l的最大距离为3，则22c a c+的最小值为A ．92B ．94C ．3D ．9【答案】C【解析】因为:20l ax by c ++-=恒过点(2,)P n ，所以220a bn c ++-=， 因为(5,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，所以||3PQ =，所以22(25)9n -+=，得0n =， 所以22a c +=，0,0a c >>，所以22c a c +22c a c a c +=+21132c a a c =++≥=，当且仅当1,12a c ==时，等号成立．故选C20．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是 A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤ D ．46m ≤≤【答案】B【解析】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =，设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =，以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得P A ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有25m -≤且25m +≥，即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤， 故选B ．21．已知圆C ：()()22122x y -+-=和点()00P x ,，若圆C 上存在两点,A B 使得3APB π∠=，则实数0x 的取值范围是A ．[]3,1-B ．[13]-,C ．[2,3]-D ．[2,4]-【答案】B【解析】圆C ：()()22122x y -+-=，圆心(1,2)C，半径r =由图可知，当PA 和PB 与圆C 相切时，APB ∠最大，要使圆C 上存在两点,A B ，使得3APB π∠=，则6APC π∠≥，sin6PC ∴≤=≤解得013x -≤≤，故选B．22．若关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，则实数k 的取值范围是A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，所以函数(1)3yk x =-+与函数y =(1)3yk x =-+与半圆y =直线(1)3y k x =-+经过定点(1,3)M ，当直线(1)3y k x =-+与半圆y =A1=，解得43k =，当直线(1)3y k x =-+经过点(1,0)B -时，32k，所以满足函数(1)3y k x =-+与函数y =的图象恰有两个交点的k 的范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦．故选B 23．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可．由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=．即四边形PACB 面积的最小值为2．故选B ．24．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是 A ．9 B ．4 C ．12D ．14【答案】D【解析】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3．因为直线截圆所得弦长为6， 故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选D ． 25．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于A ．8B ．4C ．24D ．16【答案】A【解析】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =PAOB 的面积的最小值为8=．故选A ．26．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为A B ．CD ．【答案】B【解析】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌， 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又PA ==所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离，所以min 3PC ==，所以min PA =，所以四边形PACB 面积的最小值2S PA == B.27．已知圆C 的方程为222610x y x y +-++=，点P 在圆C 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值为A ．3B 3C ．3-D ．2【答案】B【解析】化简得圆C 的标准方程为()()22139x y -++=，故圆心是()1,3C -，半径3r =，则连接线段OC ，交圆于点P 时||OP 最小，因为原点到圆心的距离OC =||3OP OC r =-=．故选B ．28．已知圆O 的半径为3，且经过点()5,12P ，若点C 的坐标为(),a b 小值为 A ．5 B ．7 C ．9D ．10【答案】D3=，即()()225129a b -+-=，所以点(),C a b 在以()5,12P 为圆心，3为半径的圆上．表示点(),a b 到原点的距离，3310PO -=-=．故选D ． 29．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A ．72B ．4C ．1D ．5【答案】C【解析】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =．由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+，即3=，所以，2249a b +=，所以，2222221114155199a b a b b a ⎛⎛⎫+=++≥⨯+=⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b+的最小值为1．故选C ．二、多选题30．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．12D ．0【答案】AD【解析】因为圆22240x y x y +--=的圆心为(1,2)，所以圆心(1,2)到直线0x y a -+=2=， 所以0a =或2a =．故选AD ．31．已知圆C ：()()223372x y -+-=，若直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m = A ．2 B ．4 C ．6D ．10【答案】AD【解析】因为直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离等于半径的13．由题意圆心为(3,3)C ，半径为r ==2m =或10m =．故选AD ．32．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的可能取值是 A ．－3 B ．3 C ．0D ．12【答案】CD【解析】由题意过点(2,0)有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切， 则点(2,0)在圆外，即222210m -⨯++>，解得1m >-，由方程222210x y x y m +-+++=表示圆，则22(2)24(1)0m -+-+>，解得1m <， 综上，实数m 的取值范围是(1,1)-． 即实数m 取值范围是0，12．故选CD ． 33．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则A ．PQ 的最小值为0B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --= 【答案】BC【解析】由已知1(0,0)C ，半径为1r =，圆2C 标准方程为22(3)(4)1x y -++=，2(3,4)C -，1R =，则125C C =，所以min 5113PQ =--=，A 错；max 5117PQ =++=，B 正确；4433PQ k -==-，C 正确； 又12C C R r >+，两圆相离，不相交，D 错．故选BC ．【名师点睛】本题考查两圆的位置关系，判断两圆12,C C 的位置关系，一般通过圆心距d 与两圆半径,R r 的关系判断．d R r >+⇔相离，d R r =+⇔外切，R r d R r -<<+⇔相交，d R r =-⇔内切，d R r <-⇔内含．34．已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点 C ．圆心C 到直线lD ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=． 【答案】BCD【解析】圆心坐标为(1,0)C ，代入直线l 得10m m +-=，无解，所以不论m 为何值，圆心都不在直线l 上，A 错；直线l 方程整理为(1)210m x y y +-++=，由10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l 过定点11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又12MC ==<，M 在圆C 内部，所以直线与圆相交，B 正确；设直线l 与圆相交于,A B 两点，弦AB 中点为N ，则CN AB ⊥，CN 为C 到直线AB 的距离，显然CN CM ≤，,N M重合时取等号．MC =C 正确；1m =时直线l 方程为0x y -=，(1,0)C 关于l 的对称点为(0,1)，因此对称圆方程为22(1)1y x +-=，D 正确．故选BCD ．35．圆221:(2cos )(2sin )1C x y θθ-+-=与圆222:1C x y +=，下列说法正确的是A ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切B ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线 C ．当6πθ=时，圆1C被直线10l y --=D ．P ，Q 分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则PQ 的最大值为4 【答案】ACD【解析】由已知1(2cos ,2sin )C θθ，2(0,0)C，122C C ==等于两圆半径之和，两圆始终相切，A 正确，B 错误；6πθ=时，1C ，1C 到已知直线l的距离为12d ==，则弦长为=，C 正确；由于122C C =，所以12max 114PQ C C =++=，12,,,P C C Q 共线时最大值．D 正确． 故选ACD ．36．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2221221x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．2D ．0【答案】BD【解析】设点(),M x y ，则()()1,,1,MA MB x y x y =---=-+-， 所以()()2113MA MB x x y =⋅---++=，所以M 的轨迹方程为224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，由此可知圆()()2221221x a y a -++--=与224x y +=有公共点，又圆()()2221221x a y a -++--=的圆心为()21,22a a -+，半径为1，所以13≤≤，解得112a -≤≤．故选BD ． 37．如图，直线12,l l 相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到12,l l 的距离，则称（x ，y ）为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是A ．距离坐标为（0，0）的点有1个B ．距离坐标为（0，1）的点有2个C ．距离坐标为（1，2）的点有4个D ．距离坐标为（x ，x ）的点在一条直线上【答案】ABC【解析】对于A ，若距离坐标为（0，0)，即P 到两条直线的距离都为0，P 为两直线的交点，即距离坐标为（0，0)的点只有1个，A 正确，对于B ，若距离坐标为(0，1)，即P 到直线1l 的距离为0，到直线2l 的距离为1，P 在直线1l 上，到直线2l 的距离为1，符合条件的点有2个，B 正确，对于C ，若距离坐标为（1，2)，即P 到直线1l 的距离为1，到直线2l 的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线1l 相距为2的两条平行线和与直线2l 相距为1的两条平行线的交点，C 正确，对于D ，若距离坐标为（x ，x )，即P 到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x ，x )的点在2条相互垂直的直线上，D 错误，故选ABC38．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C - ，()2,0D - ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则下面说法正确的是A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32πB ．CB 与BA 的公切线方程为10x y +--=C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为0x y -=D ．用直线y x =截CD 所在的圆，所得的弦长为2【答案】BC【解析】连BC 交y 轴于点Q ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点C 作CM x ⊥轴于M ， 各段圆弧所在圆的方程分别为CD ：()2211x y ++=；CB ：()2211x y +-=；BA ：()2211x y -+=；由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，所以围成的面积等于22242ππ⨯++=π+，故A 错误； 易知直线QN ：1y x =-+，公切线l 平行于NQ ，且两直线间的距离为1，设直线l ：()0y x b b =-+>1=，解得1b =+，所以直线l ：10x y +-=，故B 正确；将AB 所在圆与CB 所在圆方程相减，得交点弦方程为0x y -=，故C 正确；圆心()1,0-到直线y x =的距离为d =，所以弦长为=故D 错误． 故选BC.39．下列说法正确的是A ．直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点(3,3)--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -=的距离等于1C ．若圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，则4m =D ．若已知圆C ：224x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点（点P 在圆C 外），过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD 【解析】对于A ，将(3)4330m x y m ++-+=化为(3)3430x m x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3-，故A 不正确；对于B ，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离1d ==，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+=的距离等于1，故B 正确；对于C ，因为圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，所以两圆外切，因为1(1,0)C -，半径11r =，2(2,4)C ，半径2r =所以12||5C C ==，所以15=，解得4m =，故C 正确； 对于D ，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1010(,)PA x x y y =--，11(,)CA x y =， 因为PA CA⊥，所以101101()()0PA CA x x x y y y ⋅=-+-=，所以220101114x x y y x y +=+=，同理02024x x y y +=，所以直线AB 的方程为004x x y y +=，又00142x y +=，所以0042x y =-，所以00(42)4y x y y -+=，即044(2)x x y y -=-， 由44020x x y -=⎧⎨-=⎩得1,2x y ==，所以直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确．故选BCD40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是 A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【解析】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =12=， 化简得x 2+y 2+8x ＝0，即（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为=4，而3∈﹣4+4]，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |=，又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误； 对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=， 又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．故选ABD ． 41．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43r a =B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内 【答案】AD【解析】设(),P x y ，所以PA PB ==，因为PA PB λ=，所以PA ==()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭, A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径22413a ar λλ==-，故正确； B ． 当12λ=时，以AB 为直径的圆为222x y a +=，阿波罗尼斯圆为 22251639a x a y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心距为53a ，两半径之和为73a ，两半径之差的绝对值为13a ，不相切，故错误；C ． 当01λ<<时，圆心的横坐标为()22212111aa a λλλ+⎛⎫=+< ⎪--⎝⎭，所以点B 在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误； D ． 当1λ>时，点A与圆心的距离()22222122111aa aa r λλλλλλ++=>=---，在阿波罗尼斯圆外，点B与圆心的距离()2222122111aa aa r λλλλλ+-=<=---，在圆内，故正确；故选AD ．42．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为 A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=【答案】AD【解析】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离1d ==>， 又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-， 因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点； 此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又OA ==，OB ==，OC ==由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，，则圆的方程为2237x y +=．故选AD ．【名师点睛】解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果．43．“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线C ．PAB △的面积最大值为12D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = 【答案】ABC【解析】在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足||1||2PA PB =，设(,)P x y 12=，化简可得22(4)16x y ++=，故A 正确； 当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，可得射线PO 是APB ∠的平分线，故B正确；因为||6AB =，而P 在圆22(4)16x y ++=上，所以P 到AB 的最大距离为4，所以PAB△的面积最大值为164122S =⨯⨯=，故C 正确； 若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y ，=化简可得221616033x y x +++=，联立2280x y x ++=，可得方程组无解，故不存在M ，故D 错误．故选ABC【名师点睛】求平面上点的轨迹方程的一般步骤：建系，设点，建立方程，代入坐标化简方程；根据这一过程可求出满足12PA PB =的点P 的轨迹方程，圆上的动点到直径的距离的最大值即为半径，可求出该题中三角形面积的最大． 44．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是A ．数列{}n x 的通项为1n n x n =+ B ．数列{}n y的通项为1n y n =+C ．当3n >时，13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅>Dn nxy < 【答案】ABD【解析】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=， 得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=， 则由0∆=，即()()222222410n n n k nk k ∆=--+=，得n k =（负值舍去） 所以可得211n n n n k n x k n -==++，()1n n n y k x =+=AB 对；= 因为22441n n >-，则2211421n n n -<+，即()222121421n n n n --<+，所以212n n -<135211321242n n x x x x n --⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯<=C 错；因为n n x y ==()f x x x =，()1f x x =-'． 可得()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，可知x x <在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．4π≤<．< 故D 正确．故选ABD. 三、填空题45．直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为____________．【答案】【解析】224x y +=的圆心坐标为()0,0，圆心到直线3450x y ++=的距离1d ==，则直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为==46．直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是____________． 【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l的距离2d ==，所以AB ==所以1112222ABC S AB d =⋅==△，故答案为12. 47．已知两点()1,0M -，()1,0N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】[]5,5-【解析】因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，所以以MN 为直径的圆与直线340x y m -+=有公共点，2MN =，MN 中点为(0,0)O ，1≤，解得55m -≤≤．故答案为[5,5]-．48．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 、()4,0B ．若直线:0l x y m -+=上存在点P使得PB PA =，则实数m 的取值范围是____________．【答案】[]4,4-【解析】设点(),P x y，由于PB PA ==化简可得228x y +=，由题意可知，直线l 与圆228x y +=有公共点，≤解得44m -≤≤．因此，实数m 的取值范围是[]4,4-．故答案为[]4,4-．49．若直线1:26l x ay C +-=与直线()()2:150l x a y a +-++=平行，则实数a =_________． 【答案】2【解析】由题意2(1)0a a --=，解得2a =，2a =时，两直线方程分别为2260x y +-=和70x y ++=，平行．故答案为250．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =____________．【答案】32【解析】由方程可得圆C 1，C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+，()1,0-，半径都是1． 如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得PQ =PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，12C C === 当32k 时，12C C 最小，得到PQ 最小，故答案是32．51．已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，若12l l ⊥，则a =_________． 【答案】13-【解析】已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，且12l l ⊥， 所以，()210a a ++=，解得13a =-．故答案为13-． 【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=． （1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠； （2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．52．已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A 、B 两点（O 为坐标原点），且AOB 为等边三角形，则实数a =____________．【答案】【解析】因为OAB 是等边三角形，OA =所以圆心O 到直线AB 距离为d ==(0,0)O所以2d ==，解得a = 53．已知圆()()2245169x y -+-=，过点()1,1的直线交圆于A ，B 两点，则AB 的取值范围为____________． 【答案】[]24,26【解析】由题意可知，该圆的圆心为(4,5)O ，因为22(14)(15)169-+-<，所以点(1,1)C 在圆O 内部， 由圆的对称性可知，当(1,1)C 为弦AB 的中点时，弦AB 最短，且24AB ===，当弦AB 恰好为直径时，弦AB 最长， 即26AB =，则[]24,26AB ∈，故答案为[]24,26.54．已知直线():120l kx y k k R -+-=∈，则点()5,0A 到l 的距离的最大值为_________．【解析】由题意，直线():120l kx y k k R -+-=∈，可化为直线的点斜式方程1(2)y k x -=-，可得直线l 过定点(2,1)P ，又由点()5,0A ，可得PA ==当直线l 与PA 所在的直线垂直时，此时点()5,0A 到l ．．55．已知圆()()22:215C x y -+-=及点()0,2B ，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，则PB PQ +的最小值为____________．【答案】【解析】如图所示：设点B 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),B x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2B '--，因为PB PB '=，所以 PB PQ +的最小值为B C r '-==.56．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =____________．【答案】1【解析】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d==l的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为1．57．关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m +=⎧⎨+-=⎩无解，则实数m =_________．【答案】1-【解析】因为关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩无解，所以直线280mx y +-=与直线2(3)0x m y m +--=平行，所以(3)220m m --⨯=且216m -≠-，解得1m =-．故答案为1-．【名师点睛】利用两直线平行求参数时，容易忽视条件1221A C A C ≠造成增解的情况． 58．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为____________．【答案】【解析】根据题意，圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0即x 2＋(y －3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离3cos302d r =︒=，32=，解得a =59．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年．已知O 是坐标原点，3OP =，若1(2M -，则线段PM 长的最小值是___________． 【答案】2【解析】因为O 是坐标原点，3OP =，所以点P 在以坐标原点为圆心，3为半径的圆上，因为1OM ==，所以点M 在圆内， 所以当,,O P M 共线，且,P M 在点O 的同侧时，PM 长的最小，此时3312PM OM =-=-=，所以线段PM 长的最小值为2,故答案为2.60．已知圆22(1)4x y -+=上一动点Q ，则点()2,3P --到点Q 的距离的最小值为___________．【答案】2【解析】由题意圆22(1)4x y -+=的圆心为()1,0，半径为2r，所以圆心与P=所以点()2,3P--到点Q的距离的最小值为2，故答案为2．61．已知圆C 与y 轴相切于点(P ，与x 轴正半轴交于两点A ，B ，30APB ∠=，则圆C 的方程为___________．【答案】()(2224x y -+-=【解析】连接PC AC BC 、、，因为30APB ∠=，所以圆心角60ACB ∠=， ACB △是等边三角形，作CD AB ⊥于D ，所以D 是AB 的中点，因为圆C 与y 轴相切于点(P ，所以PO DC ==所以=2AC PC =，所以(C ，所以圆的方程为()(2224x y -+-=．故答案为()(2224x y -+-=．62．已知点()3,0A ，()0,4B ，点P 在圆221x y +=上运动，则22||||PA PB +的最小值为___________． 【答案】17【解析】设(),P x y ，则22||||PA PB +2222(3)(4)x y x y =-+++-223252(2)2524x y ⎡⎤⎛⎫=⨯-+--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若求()22min||||PA PB +，即求(),P x y 与3,22⎛⎫⎪⎝⎭距离的平方的最小值， 2222min511924d r ⎤⎤⎛⎫⎥⎥===-= ⎪⎥⎥⎝⎭⎦⎦，所以()22min925||||2251744PA PB ⎛⎫+=⨯-+= ⎪⎝⎭．故答案为17．63．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是____________． 【答案】2【解析】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，1222PACB PACS SPA AC PA ==⨯⨯⨯==则当PC 取得最小值时，PACB S最小，点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，min PC ∴==()min 2PACB S∴==．故答案为2．64．已知两定点()()1,0,1,0A B -，如果平面内动点C满足条件CA =，则ABC S ∆的最大值是___________．【解析】设(),C x y，由CA =，=整理得 22410x y x +-+=，即()2223x y -+=所以12ABC AB S AB h ∆=⨯⨯（AB h 表示ABC 中AB 边上的高）， 显然()max AB h=ABC S ∆65．过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为_________． 【答案】360xy +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-．在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=． 所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -．由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <．OAB 的面积为()131111136966222k S k k k k ⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣．当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=．故答案为360x y +-=． 【名师点睛】解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率k 有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率k 的取值范围的求解．66．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =____________．【答案】125【解析】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S aa >，234a =+=，，即()()4,04,0S L ∴-，．设方程为(0y kx mk =+≠），则三个圆心到该直线的距离分别为1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得240,21m k ==， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =，故答案为 125．67．已知圆M ：()()22004x x y y -+-=，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，切点分别为P ，Q ，若3PNQ π∠=，则点M 到直线34250x y ++=的最小距离为___________． 【答案】6【解析】如图所示，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，且3PNQ π∠=，可得在Rt MPN △中，6PNM π∠=，2PM =，所以4MN =，所以点M 的轨迹是以(3,4)N 为圆心，4为半径的圆， 因为N 到直线34250x y ++=的距离10d ==，所以点M 到直线34250x y ++=的最小距离为1046-=．故答案为6．68．圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称，则12a b+的最小值是___________． 【答案】3【解析】由已知得圆的圆心坐标为()1,2-，半径为2r，由于圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称， 所以直线30(00)ax by a b --=>>，过圆心， 所以23a b +=，00a b >>，，所以2133a b +=，00a b >>，，所以1212522233333533a b a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝+≥⎭+=， 当且仅当2233a bb a=，即1a b ==时等号成立，故答案为3. 69．已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =___________；若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为___________．【答案】3【解析】圆的标准方程为222(1)()124a a x y a ++-=+-，因为圆关于直线40x y +=对称，所以圆心(1,)2a-在直线40x y +=上，所以8a =，圆半径3r ==，设圆心为C ，则(1,4)C -，所以MC =所以MA ===，故答案为370．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中()2,0A -，()2,0B ，(),P x y ，且满足PA =，则点P 的运动轨迹方程为___________，点P 到直线40x y +-=的最小距离为___________．【答案】()22632x y ++=。
