概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.

2.设 是连续型随机变量，则其概率密度 与概率分布函数 应有怎样的关系？（10分）
3.随机变量 的数学期望 是平均值吗？它是怎样的平均值？设 服从 上的均匀分布，则 的数学期望 是多少？它代表着什么？（15分）
三、论数理统计的基本知识（共35分）
1.我们总是用抽样的结果来对总体的分布做出判断与估计。那么一个简单随机样本的抽取，应具备哪两个条件？（10分）
中必然现象与随机现象有着怎样的区别，你能任意举出两种以上身边的随机现象吗？（10分）
2.古典概型在实际应用中是最常用的一种概型，它对样本空间有着怎样的要求？（10分）
3． 两个随机事件的独立性是如何定义的？ 相互独立与 互不相容有什么关系？（10分）
布律 应满足什么性质？（10分）
中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院期末考试
考试科目名称：概率论与数理统计
层次：专升本考试方式：考查
要求：1、独立完成; 2、答题要求正确运用所学本课程知识,同时联系实际进行分析；
3、逻辑清晰，内容完整，文字流畅；4、抄袭、雷同、非手写稿均记0分。
一、论随机事件与概率（共30分）
1.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。请问在自然界和人类社会生活
2.参数估计问题通常分为点估计问题与区间估计问题两类，它们最大的区别在那里？评价一个估计量的好坏通常有哪几个标准？（15分）
3.设单正态总体 ～ ，其中 已知， 未知， 是取自总体 的样本，则对给定的置信度 ，样本值 的置信区间是多少？（10分）

《概率论与数理统计》（46学时）课程教学大纲一、课程的基本情况课程中文名称：概率论与数理统计课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics课程编码：0702003课程类别：学科基础课课程性质：必修总学时：46 讲课学时：46 实验学时：0学分：2.5授课对象：本科相关专业前导课程：《高等数学》《线性代数》二、教学目的概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是理工科各专业的一门重要的学科基础课。

通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

同时，也为一些后续课程的学习提供必要的基础。

三、教学基本要求第一章概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间、随机事件1.3 频率与概率1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率1.6 独立性基本要求：1. 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念并掌握事件的关系与运算2. 掌握概率的定义与基本性质3. 理解古典概型的概念，掌握古典概率的计算方法4. 理解条件概率的定义，熟练掌握乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式并会灵活应用5. 理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及有关概率的计算重点与难点：1. 重点：随机事件；概率的基本性质及其应用；乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2. 难点：概率的公理化定义、条件概率概念的建立、全概率公式与贝叶斯公式的应用第二章随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其概率密度2.5 随机变量的函数的分布 基本要求：1. 理解随机变量的概念；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法2. 掌握分布律、分布函数、概率密度函数的概念及性质；掌握由概率分布计算相关事件的概率的方法3. 熟练掌握二项分布、泊松（Poisson ）分布、正态分布、指数分布和均匀分布，特别是正态分布的性质并能灵活运用；熟练掌握伯努利概型概率的计算方法4. 熟练掌握一些简单的随机变量函数的概率分布的求法 重点与难点：1. 重点：随机变量、分布律、密度函数和分布函数的概念；二项分布、均匀分布的概念和性质2. 难点：二项分布的推导及应用；随机变量函数的概率分布第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布 基本要求：1. 正确理解二维随机变量的定义，掌握二维随机变量的联合分布律、联合分布函数、联合概率密度函数及条件分布的概念2. 熟练掌握由联合分布求事件的概率，求边缘分布及条件分布的基本方法3. 理解随机变量独立性的概念，掌握随机变量独立性的判别方法4. 了解求二维随机变量函数分布的基本思路，会求,max{,},min{,}X Y X Y X Y 的分布 重点与难点：1. 重点：由联合分布求概率，求边缘分布及条件分布的方法2. 难点：求离散型随机变量联合分布律的方法，条件密度的导出，随机变量函数的分布第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 基本要求：1. 掌握随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式，熟悉数学期望的性质并能灵活运用2. 掌握方差的概念和性质；熟悉二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和均匀分布的数学期望和方差；了解切比雪夫（Chebyshev ）不等式3. 掌握协方差和相关系数的定义和性质，并会灵活应用4. 掌握矩、协方差矩阵的定义 重点与难点：1. 重点：数学期望、方差、相关系数与协方差的计算公式及性质2. 难点：随机变量函数的数学期望的计算，利用数学期望的性质计算数学期望，相关系数的含义第五章大数定律及中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理基本要求：1. 掌握依概率收敛的概念及贝努利大数定律和契比雪夫大数定律2. 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛－拉普拉斯(De Moivre-Laplace)极限定理3. 掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率近似值的方法重点与难点：1. 重点：用中心极限定理计算概率的近似值的方法2. 难点：依概率收敛的概念第六章样本及抽样分布6.1 随机样本6.2 抽样分布基本要求：1. 理解总体、个体、样本容量、简单随机样本以及样本观察值的概念2. 理解统计量的概念；熟悉数理统计中最常用的统计量（如样本均值、样本方差）的计算方法及其分布χ-分布，t-分布，F-分布的定义并会查表计算3. 掌握24. 熟悉正态总体的某些常用统计量的分布并能运用这些统计量进行计算重点与难点：χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表；正态总体常用统计量的分布1. 重点：2χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表2. 难点：2第七章参数估计7.1 点估计7.3 估计量的评选标准7.4 区间估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计7.7 单侧置信区间基本要求：1. 理解参数的点估计(矩估计、最大似然估计)的计算方法2. 掌握参数点估计的评选标准：无偏性，有效性和相合性3. 理解参数的区间估计的概念，熟悉对单个正态总体和两个正态总体的均值与方差进行区间估计的方法及步骤重点与难点：1. 重点：点估计的矩法、最大似然估计法；正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计法，两个正态总体的参数的区间估计四、课程内容与学时分配五、教材参考书教材：盛骤谢式千潘承毅《概率论与数理统计》（第三版）高等教育出版社2001. 参考书：[1] 茆诗松《概率论与数理统计教程》（第一版）高教出版社2004.[2] 王展青李寿贵《概率论与数理统计》（第一版）科学出版社2000.六、教学方式和考核方式1.教学方式：以课堂讲授为主，辅以答疑、课后作业。

第五章 极限定理
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研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式， 由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很 广泛, 最重要的有两种:
“大数定律”和“中心极限定理”。
第五章 极限定理
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§1 大数定律
对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出 现频率具有稳定性。
大量地掷硬币 正面出现频率
生产过程 中废品率
棣莫佛—拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时 ，二项分布可用正态分布近似。
总结/summary
第五章 极限定理
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切比雪夫不等式 理解切比雪夫不等式
大数定律
了解辛钦大数定理。
中心极限定理
掌握运用列维-林德伯格中心定理和棣 莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解独立 随机变量之和的近似概率值
第五章 极限定理
字母使用频率
第五章 极限定理
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1. 切比雪夫不等式
定理1: 设随机变量X有期望μ和方
差σ2，则对任给的ε> 0, 有
P
X
2
1
2
或
P | X |
2 2
.
第五章 极限定理
‹#›
证明：只对X 是连续型情况加以证明。
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
P | X | f (x) dx
2.5
1
P
X
n 14 0.2
2.5
1 (2.5) 0.0062 ；
第五章 极限定理
‹#›
(2).
P{X n
14}
P
X
n
14
14 14
2 / 100 2 / 100
1
P
X
n 14 0.2

则称随机变量序列 { X n }服从大数定律 .
二、基本定理
契比雪夫大数定理） 定理 （契比雪夫大数定理）
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D( X 1 ) ≤ C , D( X 2 ) ≤ C , ⋯ , D( X n ) ≤ C , ⋯ , 则对于任意正数 ε 有
n n
ε
i =1 2
C , ≤ 2 nε
在上式中令
n → ∞ ，则
[证毕 证毕] 证毕
1 n 1 n P ∑ X i − ∑ E( X i ) ≥ ε → 0. n i =1 n i =1
注:
当 n 很大时 , 随机变量 X1 , X 2 ,⋯ , X n 的算术平 1 n 均 ∑ X i 接近于它们的数学期望 的算术平均 n i =1 1 n 值 ∑ E( X i ) . n i =1 这个接近是概率意义下的接近） （这个接近是概率意义下的接近）
n →∞
则称序列 Y1 , Y2 ,⋯ , Yn依概率收敛于Y , 记为 Yn P Y →
定理的另一种叙述: 定理的另一种叙述
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D ( X 1 ) ≤ C , D ( X 2 ) ≤ C ,⋯ , D ( X n ) ≤ C ,⋯ , 则
证明
引入随机变量
, 0, 若在第k次试验中A不发生 Xk = , 1, 若在第k次试验中A发生 k = 1,2,⋯.
显然
µ A = X1 + X 2 + ⋯ + X n
是相互独立的， 因为 X 1 , X 2 ,⋯, X n ,⋯是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的 (0 − 1) 分布,