小学奥数_几何五大模型(等高模型)
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小学奥数几何五大模型
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
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（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则
①AD AE DE
==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
G
F
E D C
B
A。
小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享
小学奥数-几何五大模型(等高模型)模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G D CB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
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模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。
⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍?因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
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（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
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一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何之五大模型
几何之五大模型在小学奥数知识体系中，几何五大模型是几何专题中非常重要的一块知识点，方法性很强，掌握了几何的五大模型，对于我们解决组合型直图形或者非规则图形是非常有帮助的，所以几何五大模型在小学几何体系中的重中之重！几何五大模型的难点在于我们要在掌握各个模型适用的题型、相应的方法、公式的基础上学会灵活运用，还有就是有时要根据题意同时运用多种模型，从而更好的解决问题！PS:对于不同题型均会有例题讲解分析以及精选练习题，以供大家有针对性学习巩固，相信大家对于应用题的攻克将不在话下！一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知S△ADE：S△ABE=AD：ABS△ABE：S△CBE=AE：CE所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC因此S△ADE：S△ABC =（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。
例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
小高奥数几何三角形五大模型及例题解析
小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．DC BAb二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;③S的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：S4S3s2s1ODC BAS4S3s2s1ba两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？G H F E D CB A FE DCB A【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
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一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于及它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系及四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到及面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，及相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数-几何五大模型(等高模型)
模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三角形等高模型与鸟头模型【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：C ED B AFC DB A G DB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
小学奥数-几何五大模型(等高线模型)
小学奥数-几何五大模型(等高线模型)一、引言本文档将介绍小学奥数中的几何五大模型之一：等高线模型。
等高线模型是一个有趣而重要的几何模型，它不仅可以帮助学生理解空间中的形状和结构，还能培养学生的观察力和空间想象能力。
二、等高线模型的基本概念等高线模型是通过连接相同高度的点所得到的曲线或曲面。
在地理中，等高线模型常用于表示山脉、山丘和河流等地形特征。
在几何学中，等高线模型是一个重要的图形展示方法，它可以用来表示并描述三维物体的形状、轮廓和高度变化。
三、等高线模型的应用等高线模型在现实生活和工程领域中有广泛的应用。
以下是等高线模型的一些应用案例：1. 地理学：用于绘制地图和描绘地形。
2. 工程学：用于设计山区公路、水坝和建筑物等。
3. 农业学：用于规划农田排水、灌溉和排污系统。
4. 水资源管理：用于分析和预测水流和洪水情况。
5. 生物学：用于模拟生物栖息地和物种分布情况。
四、如何绘制等高线模型绘制等高线模型需要掌握一些基本的技巧和规则，以下是一些建议：1. 根据所绘制的物体选择适当的比例尺。
2. 使用直尺和铅笔绘制基本轮廓。
3. 根据高度信息确定等高线的间距和密度。
4. 使用曲线工具或自由手绘法绘制等高线。
5. 将等高线逐渐升高或降低以绘制出真实的高度变化。
五、等高线模型的注意事项在绘制等高线模型时需要注意以下事项：1. 保持准确性和规范性，尽量避免绘制错误的轮廓。
2. 根据需要使用不同的线型和颜色来表示不同的高度变化。
3. 在绘制过程中要注意比例和尺寸的准确性。
4. 考虑地图或图纸上的标尺尺寸，以确保其他观看者可以正确理解模型。
结论等高线模型是一种重要的几何模型，它可以帮助学生理解空间中的形状和结构。
通过绘制等高线模型，学生可以培养观察力和空间想象能力，并应用于实际生活和工程领域。
希望本文对小学奥数学习者对等高线模型的理解有所帮助。
小学奥数之几何五大模型
五大模型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图；反之，如果，则可知直线平行于。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在中，分别是上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①②；③梯形的对应份数为。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①；②。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEECS△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFCS△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
例1图例2 如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE 。
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模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式 ：三角形面积二底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 •如果三角形的底不变，高越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 如果三角形的高不变，底越大（小）,三角形面积也就越大（小）;这说明当三角形的面积变化时 ，它的底和高之中至少有一个要发生变化 •但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的-,则三角形面积与原来3的一样•这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论 ① 等底等高的两个三角形面积相等 ；② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 S ：S 2 二a: b④ 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）；⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ；⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等 ，面积比等于它们的高之比③夹在一组平行线之间的等积变形反之，如果 ACD = BCD ,,如右上图 ACD = S A BCD ； 则可知直线AB 平行于CD •【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形：⑵4个面积相等的三角形⑶6个面积相等的三角形。
【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：三角形ABD的面积=12高＜2-6高三角形ABC的面积（12 4）高"2=8高三角形ADC的面积=4高“2=2高所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4倍；3三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_______ 平方厘米。
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4 3一：一2=6（平方厘米）。
巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示,平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米。
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半 等于平行四边形面积的一半 ，为50 - 2 =25平方厘米。
巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形 ABCD ，它内部阴影部分的面积是 _________【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用 连接BH 、CH 。
•/AE =EB ,…AEH - S ^BEH -冋理，S ^ BFH -S ^ CFH , S cGH =S_DGH ,1 1 、•'•S 阴影 S 长方形ABCD 56 =28（平方厘米）.2 2巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点的面积是 ________，所以阴影部分的面积也长方形ABCD 的长是20,宽是12，则【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半1，为—20 12 =120。
2【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为,如果正方形的边长是 12 ,那么阴影部分BEC【解析】把另外三个三等分点标出之后 ，正方形的3个边就都被分成了相等的三段 。
把H 和这些分点以及正 方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三角形 。
这9个三角形的底边分别是 在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。
阴影部分被分割成了 3个三角形，右边三角形的面积和第 1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第4个三角形相等；左边三角 形的面积和第5个第6个三角形相等。
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。
正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例5】长方形ABCD 的面积为36 cm 2，积是多少？这样阴影部分的面积就是 厶DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH HC ，如下图：可得：S EHB S AHB 、2 即 S EHB ' S BHF ' S D HGS FHB S CHB 、2丄(S AHB ' S CHB 2 - -1S DS.D HC ，而 S A BCD =S^HB +S 店HB * SfHD =36 1■ S CHD ) 36=18 ；2 所以阴影部分的面积是C 丄C 1 11 1 1二 So ■ S EBF ， S EBF BE BF ( AB) ( BC) 36=4.5。
2 2 2 2 8:S 阴影=18 - s EBF =18-4.5=13.5解法二：特殊点法。
找H 的特殊点，把H 点与D 点重合， 那么图形就可变成右图【解析】（法1）特殊点法。
由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，贝U 阴影部分变为如上中图所示 ,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的-和-,所以阴影部 4 6S阴影=S AB CD —'S AED —S BEF —'S CFD 1 1 =36362 2111 11 3636 = 13.5。
2 2 22 2【例6】长方形ABCD 的面积为36 , E 、 F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】（法1）特殊点法。
由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是 JAEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的-和-，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的丄」，为36 - =13.5 。
848 4 88（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、 可得:S EHB AHB 、 即 S EHB ' S BHF ' S DHG 而 S.EHB ' S.BHF ' SDHGHC ，如右上图。
1S DHG S.DHC ，而 S AB CD = S.AHB ' S.Q HB ' S £HD = 36，1■ S CHD )36 = 18 ；1 11 1 1 S FHB =】S CHB 、21(S.AHB ■ S CHB所以阴影部分的面积是 二 S 阴影■ S EBF ， S-EBFBE BF(— AB) (— BC) 36=4.5。
22 2 2 8:S 阴影=18 - S EBF =18 - 4.5=13.5。
巩固】在边长为6厘米的正方形 ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分 ，另一组对边三等分，分 别与P点连接，求阴影部分面积。
分的面积为62 （-」）=15平方厘米。
4 6 （法2）连接PA 、PC 。
由于 PAD 与PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积 之和等于正方形 ABCD 面积的1 ,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面4 积的1，所以阴影部分的面积为 62 （丄-）=15平方厘米。
6 4 6如右图，E 在AD 上, AD 垂直BC , AD =12厘米，DE =3厘米.求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？因为AD 垂直于BC,所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高，是：三角形ABC 的面积=BC 12-〉2=BC 6三角形EBC 的面积二BC 3"2=BC 1.5【解析】3 个， AEC 、n BED 、n DEC.巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对 ？【例7】 【解析】所以三角形ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的4倍.【例8】 如图，在平行四边形ABCD 中, 共有哪几个三角形？EF 平行AC ,连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形一【解析】n AEC 、n AFC 、「ABF . 巩固】如图，在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE,那么与3 ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？CC【解析】□ ABD 与| ACD, ABC 与DBC, ABO 与DCO.【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形ABC的面积为1,其中AE=3AB , BD=2BC ,三角形BDE 的面积是多少？【解析】连接CE，: AE =3AB ,••• BE=2AB , S BCE=2S A CB 又T BD =2BC ,• S B DE = 2S BCE =4S ABC =4.【例10】（2008年四中考题）如右图，AD二DB , AE二EF二FC ,已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是________ 平方厘米.【解析】连接CD .根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的-,DAC的面积为・\ABC面积的-,所3 2以ADEF的面积为UBC面积的-1=4 .而DEF的面积为5平方厘米，所以ABC的面积为2 3 615 30 （平方厘米）.6巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF 长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？【解析】ABD , L ABC等高，所以面积的比为底的比，有_S^匹二BD ,SBC 2ABC1 1 AE 1所以S ABD=—S ABC180 =90 （平方厘米）.同理有S ABE S ABD 90 =30 （平方厘米）,2 2 AD 3FE 3S AFE S ABE 30 =22.5 （平方厘米）.即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.BE 「 4巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC =8厘米，求三角形ZCY的面积.【解析】T Y是BD的中点，Z是DY的中点，••• ZY J 1DB , S ZCY二1 S DCB ,2 2 p 4 -、 1 11又• ABCD是长方形，…S|ZCY =— S DCB = —— S ABCD =24 （平方厘米）.屮 4 - 4 2 -巩固】如图，三角形ABC的面积是24 , D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24“ 2 =12 ,三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12“2=6.三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积=6“ 2 =3 .巩固】如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？【解析】• F是AC的中点…^ABC = 2^ ABF 冋理S ABF =2S_BEF••S[_BEF =S_ABC 4 =8 6 2 ^^=6（平方厘米）.【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位 .G【解析】如右图分割后可得，S E FG =S矩形DEFC »2 =気形ABCD 7 4 = 36乍4 = 9 （平方单位）.巩固】（97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1 , M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN = BN . 那么，阴影部分的面积是多少？【解析】 连接BM ,因为M 是中点所以 △ ABM 的面积为-又因为2AN 二BN ,所以△ BDC 的面积为41】=丄,又因为△ BDC 面积为-,所以阴影部分的面积为：1—丄-1 =—. 4 3 12 212 2 12【例12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成.求阴影部分的面积.【例13】 如图，三角形ABC 中，DC =2BD , CE =3AE ,三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？【解析】T CE =3AE ，— AC =4AE , S ADC = 4S ADE ；又 T DC =2BD ，二 BC =1.5DC , S ABC =1.5S AD ^6S ADE =120 (平方厘米).【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是 89, 28, 26 .那么三角形 DBE 的面积是 ______________ .12cm 2//48cm 212cm 2M/N48cm 2血4cm 2【解析】如图，将大长方形的长的长度设为则 AB 121, CD 夕一, 12 +364 24 +483所以MN =1—1 1 ,阴影部分面积为3 4 12(12 24 36 48) -15(cm 2).2 12A BC D【解析】根据题意可知，S ADC =S ADE S DCE =89 2^117 , 所以BD ： AD = S BDC : S ADC = 26 ：117 = 2 :9 ,那么S DBE : S ADE = BD : AD =2:9 ,2 2 2 7故S DBE— 89 (90 -1) 20 19 .凸9 9 9 9【例15】（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就是三【解角形BDC与三角形ABD的面积差（10平方分米）.从而，可求出梯形高（三角形DEC的高）是：2 10-：-5=4（分米）,梯形面积是：15 4-：-2=30（平方分米）.【例16】图中H AOB的面积为15cm2,线段0B的长度为0D的3倍，求梯形ABCD的面积.【解析】在L ABD 中，因为S AOB=15cm2,且OB =3OD ,所以有S AOD AOB“ 3 =5cm2.因为L ABD和L ACD等底等高，所以有S ABD =S_ACD .从而q°CD =15cm,在L BCD 中，BO^ = 3S OCD =45C m,所以梯形面积：215 5 15 • 45 =80( cm ).【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A处，ABD与ABD面积相等，从而A DC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形A DC .问题是A 位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A '点.具体做法：⑴连接BD;⑵ 过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A '.⑶ 连接A D,贝U A CD与四边形ABCD等积.(第三届 华杯赛”初赛试题)一个长方形分成 4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面 积的15%，黄色三角形面积是21cm 2 .问：长方形的面积是多少平方厘米？【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长 ，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 50% ,而绿色三角形面积占长方形面积的 15% ,所以黄色三角形面积占长方形面积的 50% _15% =35% .已知黄色三角形面积是 21cm 2,所以长方形面积等于 21-：-35% =60 ( cm 2).【例19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知.OBC 的面积是5cm 2 ,积是多少？1 、S ABCD , 所以 S AOD ' S，BOC = S 'ABD , 则 SBOC= S OAB S OBD ,所以 S OBD — S 'BOC -S OAB = 5 - 2 = 3cm .【例20】 如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ,若.PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米 ？【解析】根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平行四边 形BCFE的面积与平行四边形 ABHG 的面积差. 如右上图，连接CP 、AP .1由于 S BCP - S A DP = S A BP ' S B DP ' S A DP ="2 S ABCD ,所以 S 由CP — S 虫BP = S ^DP .1 1而 S.B CP ■ ■ S BCFE , S.A BP S ABHG , 所以 QcFE — S ABHG =2 （S 独CP — S 虫BP ） = 2S 冉DP =16 （平方分米）.【例18】OAB 的面积是 22cm , 求 OBD 的面、1【解析】由于ABCD 是长方形，所以S AOD ' S BOC S A BCD ,而S ABD【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20, 求阴影.：BPD的面积•【解析】连接AC交BD于O点，并连接PO •如下图所示,可得PO//DC ,所以DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有：SBPO . S CPO - S BPO . S PDO - S BPD ,1 1因为S BOC S ABCD20=5 ,所以S BPD—15 - 5 =10•好4 4 殍巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12 ,正三角形BPC的面积是5 ,求阴影BPD的面积.【解析】连接AC交BD于O点，并连接PO •如右上图所示，可得PO//DC ,所以DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有：S.BPO . S CPO - S BPO . S PDO - S BPD ,、1因为S BOC S ABCD二 3 ,所以S BPD = 5 - 3 = 2 .4【例22】在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰AAOB的面积为16 ,等腰DOC的面积占长方形面积的18% ,那么阴影厶AOC的面积是多少？【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去DOC的面积（长方形面积的18%）,再减去AOD的面积，即可求出「AOC的面积•1 1根据模型可知S COD ' S AOB S ABCD ,所以S ABCD =16 （18%）50 ,2 2又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD的面积等于长方形面积的1,41所以S A OC =S^CD - S 选OD —S^OD =§S ABCD —25%S ABCD T8%S ABC D =25—12・5—9 =3・5 •【例23】 （2008年陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级 ）如右图所示,在梯形ABCD 中，E 、F分别是其两腰 AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知.\ADG 的面积为15cm 2，而.BCG 的面积恰好是梯形 ABCD 面积的—，贝U 梯形ABCD 的面积是cm 220A D A D【解析】如果可以求出JABG 与.CDG 的面积之和与梯形 ABCD 面积的比，那么就可以知道.；ADG 的面积占 梯形ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形 ABCD 的面积.如图，连接 CE 、DE .则 S AEG - S DEG , S BEG = SCEG ,于是 S ABG ' S£DG = SCDE .要求ACDE 与梯形ABCD 的面积之比，可以把梯形 ABCD 绕F 点旋转180 ,变成一个平行四边 形.如下图所示：从中容易看出 CDE 的面积为梯形ABCD 的面积的一半.（也可以根据SBE c=gs ； ABC1 111/S.AED =S.AFD =2 S ADC ， S.BEC ■ S.AED = 2 S. ABC ■ 2 S.ADC = ? S AB CD 得来） 那么，根据题意可知UADG 的面积占梯形 ABCD 面积的1 -2 .3 215 100cm .20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形这是一个很有用的结论.本题中，如果知道这一结论CDE 的面积占梯形面积的一半 ，那么■ ADG 与 BCG 合起来占一半【例24】 如图所示,四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE .（我们通过△ ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起 .）1••在平行四边形 ABCD 中，S A ABE =- AB AB 边上的高，27 3--,所以梯形ABCD 的面积是 20 20,其面积等于梯形面积的一半，,直接采用特殊点法，假设G 与E 重合，则…S A ABE ■ S ABCD .21同理，氐AB^-S AEGF，-平行四边形ABCD与AEGF面积相等.巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）•三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接AG •（我们通过△ ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）•1•••在正方形ABCD中，S A ABG AB AB边上的高，2「•S A ABG =^S A BCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半同理，S A ABG二—S EFGB•••正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=8 8“10 = 6.4俚米）.【例25】如图，正方形ABCD的边长为6, AE=1.5, CF =2 .长方形EFGH的面积为【解析】连接DE, DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积S A DEF=6 6 -1.5 6一：一2-2 6一：一2-4.5 4一：一2二16.5,所以长方形EFGH 面积为33 .【例26】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果n ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积•【解析】连结AF 、CE.又• AC 与 EF 平仃，• • S ACE = S ACF •S A DE = S CDF =4（平方厘米）.巩固】如右图，在平行四边形 ABCD 中，直线CF 交AB 于E ,交DA 延长线于F ,若S ^ADE ",求A BEF 的面积.冋理 AD // BC ,…S\ ACF =S A ABF厘米，求阴影部分的面积【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形 ，一般可以连接正方形同方向的对角线 ，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化如右图所示,连接FK 、GE 、BD ,则BD//GE//FK ,根据几何五大模型中的面积比例模型 ，可 得S.DGE 二S.BGE , S.KGE 二S.FGE ,所以阴影部分的面积就等于正方形 GFEB 的面积，即为102 =100平方厘米.--S ADE = S_ACE ； S CDF =S ACF ； 【解析】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等相等）和等量代换的思想.连接AC .（或夹在一组平行线之间的三角形面积••• AB //CD , …S A ADE = S A ACE 又 S A ACF - S A ACES A AEF ,S\ ABFBEFS A AEF ,S A ACE = S A BEF ,即 S A BEF = S A ADE = 1 .【例27】 图中两个正方形的边长分别是 米.6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘【例28】如图，有三个正方形的顶点 D 、G 、 K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系•连接AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等•因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等.根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4 4“ 2 =8 .巩固1（2008年西城实验考题）如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为_________ •【解析】如图，连接AF ,比较.ABF与ADF ,由于AB=AD , FG =FE ,即.ABF与ADF的底与高分别相等，所以ABF与ADF的面积相等，那么阴影部分面积与：ABH的面积相等，为6平方厘米.巩固】正方形ABCD和正方形CEFG 且正方形【解析】方法一：三角形BEF的面积=BE EF"2 ,梯形EFDC的面积（EF CD）CE亠2二BE EF “ 2二三角形BEF的面积,而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积二三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=10 10^2=50（平方厘米）•方法二：连接CF,那么CF平行BD ,所以，阴影面积二三角形BDF的面积二三角形BCD的面积=50（平方厘米）•巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10 ,正方形BEFG边长为6 ,求阴影部分的面积CI 是平行的•所以可以连接 CI 、CF ,如上图.由于DF 与CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等•而 DFC 的面积为10 4 1 =20，所 2以.DFI 的面积也为20 •【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ,已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积•【解析】连接AC 、GF ,由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形•由于「HCG 面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的-,根据梯形蝴2蝶定理或相似三角形性质，可知.'FHG 的面积为12平方厘米，AAHF 的面积为 6平方厘米， AHC 的面积为3平方厘米•那么正方形CGEF 的面积为 6 12 2 =36平方厘米，所以其边长为6厘米.又■ AFC 的面积为6 *3=9平方厘米，所以AD =9 2" 6 =3（厘米）,即正方形ABCD 的边长为3厘 米.那么，五边形ABGEF 的面积为：36 9 32】=49.5（平方厘米）•2【例30】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF 二FC ,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等•已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米•求 图中阴影部分的面积•【解析】如果注意到DF 为一个正方形的对角线）,那么容易想到DF 与（或者说一个等腰直角三角形的斜边【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF =FC •所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即因为 AD =2BE ,所以 AG =2GE ,AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积1二平行四边形 ADCE 的面积的-,2所以阴影部分的面积 二乙的面积 2 •设甲、乙、丙的面积分别为 1份，则阴影面积为2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积=32-：-5 2 =12.8（平方厘米）•【例31】 如图，已知长方形 ADEF 的面积16,三角形ADB 的面积是 3 ,三角形ACF 的面积是4,那么三角形ABC 的面积是多少？【解析】方法一：连接对角线AE •••• ADEF 是长方形.__1--S ADE - S AEFSADEF.DB S.ADB 3FC S ACF DE S.ADE 8 EF S A EF ~2 .BE DE -DB 5 CE FE -CF DE•••S.BEC 二-8 DE ~8 ，EF1 5 116 2 2 EF--S ABC - S ADEF—■ S.ADB -'S .ACF -■S .CBE方法二：连接 BF ,由图知 S A ABF =16-：-2 =8 ,所以 SA BEF= 16-8-3 = 5 ,又由 S A ACF =4 ,恰好是△ AEF 面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此S A BC ^S A B ^5 + 2= 2 所以S A ABC =16- 3 -4 2.56【例32】 如图，在平行四边形 ABCD 中， BE 二EC , CF =2FD •求阴影面积与空白面积的比【解析】 方法一：因为BE =EC , CF =2FD， 所以 S A ABE ■绻边形ABCD， S A ADF "绻边形ABCD•46所以S A BGE同理可得， _1 _丄丄S A ABE S 四边形ABCD ,3 12 SS , _2 _1 S A ABG S A ABE S 四边形 ABCD • 3 6 丄因为S A BCD由边形ABCD，所以空白部分的面积A 丄 1 1 -一（……丿S 四边形ABCDS 四边形ABCD ,2 12 24 683所以阴影部分的面积是 1S 四边形ABCD • 31 2 =1:2 ,所以阴影面积与空白面积的比是3 31:2 •C【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上的一点，且AE =3EC ，O 为DC 与BE 的交点.若.QEO 的面积为a 平方厘米，厶BDO 的面积为b 平方厘米.且b_a 是2.5平方厘米，那么三角形 ABC 的面积是 ______________ 平方厘米.米）.所以S ABC =2.5 4 =10（平方厘米）.【例34】如图，在梯形 ABCD 中，AD:BE=4:3 , BE:EC=2:3 ,且 BOE 的面积比.：AOD 的面积小10平方厘米.梯形ABCD 的面积是 ___________ 平方厘米.【解析】根据题意可知AD:BE: EC =8:6:9 ,则S ^BD =8 , S AB ^- S-ABD ,S^BE 6母4燈1而 S ABD - S A BE 二S.AOD - S BOE =10 平方厘米,所以—S AB ^ -10，则 S ABD =40 平方厘米. 又,所以S .BCD40=75平方厘米.S 必BD 888所以 S 弟形ABCD =S 「ABD S BCD = 4075 =115（平方厘米）.巩固】（第五届《小数报》数学竞赛初赛）如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与DC 平行，AE 与BD相交于O 点.已知三角形BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大4平方米，并且E ^-BC .求5梯形ABCD 的面积.【解析】 连接AC .根据差不变原理可知三角形 ABE 的面积比三角形 ABD 大4平方米，而三角形ABD 与三 角形ACD 面积相等，因此也与三角形 ACE 面积相等，从而三角形 ABE 的面积比三角形 ACE 的大4 平方米.2 22 但EC =2BC ,所以三角形 ACE 的面积是三角形 ABE 的」22,从而三角形 ABE 的面积是55—2 3【解析】 1所以｛ S ABCS ，ABC = b - a = 2.5 （平方厘1S ABC二s BCD 二 b - S BCO-a SBCO4 M -2 =12（平方米），梯形ABCD 的面积为：I 3丿【例35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线 ，已知边上有三块面积分别是 13 , 35 , 49 •那么图中阴影部分的面积是多少 ？【解析】三角形ABC 的面积•三角形CDE 的面积・（13 • 35 • 49）=长方形面积•阴影部分面积；又因为三角1形ABC 的面积=三角形CDE 的面积=丄长方形面积，所以可得：2 阴影部分面积 =13 • 35 • 49 =97 •【例36】 图中是一个各条边分别为 5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母有.ABC 为直角，而.CED 二.ABC ,所以.CED 也为直角•而CE 二CB = 5 L ADE 与L CED 同高， 所以面积比为底的比，及S ^D E =坐=空 =8 ,设L ADE 的面积为 8”，则L CED 的面积为SI CED EC 5 55 ” .L CED 是由CDB 折叠而成,所以有CED 、L CDB 面积相等,L ABC 是由L ADE 、L CED 、1 5L C DB 组成，所以SI ABC= 8 ” + 5”+ 5 ” 18 ”对应为—X5X12=30,所以1 ”份对应为一,那么△ ADE 2 3的面积为8 -= 131平方厘米•即阴影部分的面积为13-平方厘米•3 3 3121-2 =28（平方米）. V 3丿【例37】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE , F 是DG 的中点•阴影部分的面积是 【解析】如下图，连接FC , L DBF 、L BFG 的面积相等，设为x 平方厘米；LFGC 、L DFC 的面积相等，设 为y 平方厘米，那么L DEF 的面积为1 y 平方厘米.311 1 x + y=0.5 ① SL B C =2 x 亠2 y ,=1S BDE =X + y=l.所以有.比较②、① 式，②式左边比33 3（3x +y =1②①式左边多2x ,②式右边比①式右边大0.5,有2x=0.5 ,即x = 0.25, y = 0.25 .而阴影部分面积为 2 55y 亠—y=- 0.25—平方厘米. 3 312【例38】（2007年六年级希望杯二试试题 ）如图，三角形田地中有两条小路 AE 和CF ,交叉处为D ,张大伯常走这两条小路，他知道DF 二DC ,且AD =2DE .则两块地ACF 和CFB 的面积比是【解析】方法一：连接BD .设A CED 的面积为1 , △BED 的面积x ,则根据题上说给出的条件，由DF = DC 得S A BDC =S A BDF ,即厶BDF 的面积为x 2ADC =S A ADF又有 AD =2DE , SA ABD -2SA BDE =2x,而 S A ABD = X ■ 12— 2x ；方法二：连接 BD ,设 S A CED —1 (份),则 S A ACD — S A ADF — 2 ,设 S A BED 二 X S A BFD 二 y 则有x 1 = yx 二 3 ,解得 ,所以 S A ACF : S A CFB 二(2 2):(4 3 1)二1：2B B BS A ADC - S A ADF = ZS A CDE - 2、 得 x =3,所以 S A ACF : S A CFB =(2 2)：(1 3 4) =1:2 .2x = y 2 ' y =4。