第四章2根轨迹分析
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第四章根轨迹法4-2
P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
即 其中
P( s ) Q( s ) P( s ) Q( s )
d [ln P(s)] d [ln Q(s)]
ds
ds
P(s) (s z1 )(s z2 ) (s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 ) (s pn )
的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等
于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程
求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
i1
ib
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G( j)H( j) 0 的 j 值；
（2）由劳斯判据求临界稳定时的特征根；
9
根之和与 根之积
n
pcj
n
p
j
j 1
j 1
n
j 1
pcj
1
n
n
j 1
pj
K1
m
i 1
zi
19
例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。
G(s)H(s)
K1
s(s 4)(s 6)
ω4 -36ω2 K0 jω80 - 8ω2 0
ω4 -36ω2 K0 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K0 260
( (4)出射角
极点-p3的出射角 ： 3 180 (2k 1) (2 90 180 2 ) 90
同理不难求得极点-p4处的出射角： 4 90
第4章_线性系统的根轨迹法(2)
3 0.82 2 0.91 1 Imag Axis 0.975 3 2.5 2 1.5 1 0.5
root locus plot of G(s)=K/[s(s+2)(s +s+2)]
0.7 0.56 0.42 0.28 0.14
2
0
-1
0.975 0.91
-2 0.82 -3 -3.5 0.7 -3 -2.5 0.56 -2 0.42 -1.5 0.28 0.14 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
∏ (s − p )
i =1
21
n
例4-7参数 不以乘法因子出现情况的处理方法
1)画零极点分布 2)实轴上的根轨迹 3)根轨迹的渐近线
(2 k + 1)π ϕa = n−m =π/2，3π/2 (k=0,1)
σa =
5 5 4 4 3 3 2 2 Imag Axis Imag Axis 1 1 0 0 -1 -2
2
2
0.91
1 0.975 Imag Axis 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
0
-1 0.975 0.91
-2
-3 -4
0.82 -3.5
0.7 -3 -2.5
0.56 -2
0.42 -1.5
0.28 0.14 -1 -0.5 0 0.5 1
11
Real Axis
开环零极点分布及相应的根轨迹图
0.72 0.58 0.44 0.32 0.22 0.1 0.96
1 2 3 4
-4
-3
-2 Real Axis
-1
0
1
7
Open-Loop Pole-Zero Configuration and Corresponding Root Locus
root locus plot of G(s)=K/[s(s+2)(s +s+2)]
0.7 0.56 0.42 0.28 0.14
2
0
-1
0.975 0.91
-2 0.82 -3 -3.5 0.7 -3 -2.5 0.56 -2 0.42 -1.5 0.28 0.14 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
∏ (s − p )
i =1
21
n
例4-7参数 不以乘法因子出现情况的处理方法
1)画零极点分布 2)实轴上的根轨迹 3)根轨迹的渐近线
(2 k + 1)π ϕa = n−m =π/2，3π/2 (k=0,1)
σa =
5 5 4 4 3 3 2 2 Imag Axis Imag Axis 1 1 0 0 -1 -2
2
2
0.91
1 0.975 Imag Axis 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
0
-1 0.975 0.91
-2
-3 -4
0.82 -3.5
0.7 -3 -2.5
0.56 -2
0.42 -1.5
0.28 0.14 -1 -0.5 0 0.5 1
11
Real Axis
开环零极点分布及相应的根轨迹图
0.72 0.58 0.44 0.32 0.22 0.1 0.96
1 2 3 4
-4
-3
-2 Real Axis
-1
0
1
7
Open-Loop Pole-Zero Configuration and Corresponding Root Locus
第四章 控制系统根轨迹分析法
i j 1 j
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
第四章 根轨迹分析法 2
4. 牛顿余数定理
（1）求出表达式 Ps D(s)N(s) N(s)D(s)
（2）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴 坐标附件找一个试探点 s1。
（3）用 s s1 去除 Ps ，得出商多项式 Qs 及余数，该余数记
为 R1 ；
（4）再用 s s1 去除商多项式 Qs，得第二个余数，定义为 R2 ；
s2 3
k gp
s1 6-kgp 3
s0 kgp
令 6-kgp 3
0 kgp
6
由辅助方程求交点坐标：
3s2 Hale Waihona Puke 6 0s1,2 2 j
法则10 闭环极点的和与积
若n-m>=2，则有
n
n
(sj ) ( pj ) const
j1
j1
证明：
开环传递函数：
m
根轨迹的入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点出的切线同正 实轴的夹角。
j
[s]
p1 p1 z1
z1
0 z2
z2 p2 p2
m
n
先求出射角： (s zi ) (s pj ) 180o (2k 1)
i 1
j 1
• s1 →-p1则 0, (s1 pa ) a
1802k 1 (180 arctan1) arctan 1 90 71.6
j
2
p4 p3 71.6
7) 根轨迹同虚轴的交点：
-p3
1.1j
p3
j
特征方程 s4 5s3 8s2 6s kg 0
令s j
-p2 s1
-3
4第四章__根轨迹法(2)
3
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章 线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点 要求内环的反馈系数 内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点 （3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点 均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章 线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章 线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )
Kc s2
K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。 解： （1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章 线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点 要求内环的反馈系数 内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点 （3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点 均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章 线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章 线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )
Kc s2
K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。 解： （1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
4-2根轨迹的基本规律及绘制-353
1
s 1
a1
b1 s
nm
K*
1
j2k 1
nm nm K*e nm
08:03
1
s
1
a1
s
b1
nm
的化简
由二项式定理
a b
n
n
Cni aibni
i0
n
i0
n! aibni i!(n i)!
1
a1
b1 s
1
nm
1
1 nm
a1
b1 s
11 2! n m
n
1 m
1
a1
渐近线与实轴的交点：
n
m
pi z j
a
i1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角：
a
2k1
n m
k 0,1, 2, , n m1
08:03
思路：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方
式（通过列写直线的方程）。
m
(s zj )
证明：
GsH s K*
j 1 n
(s pi )
i 1
K * (sm b1sm1 sn a1sn1
j1
K* = sj = z j(j = 1,2, ,m) 根轨迹终止于开环零点。
08:03
讨论：
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹 的起点与终点均为有限的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有 m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有nm条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。
只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之 和为奇数时，才满足相角条件。
四章线系统的根轨迹分析
根轨迹提供的信息： 1、K1从0→∞变化，根轨迹不
会进入右半平面。即：无论 如何该系统是稳定的 2、K1>16，根轨迹进入复平 面。即：此时系统阶跃响应 会振荡（ωd不为零） ； K1 越大振荡越厉害（ζ小）、 振荡频率越高（ωd大） 3、K1=16 时系统阶跃响应临 界振荡
§4-2 绘制根轨迹的 基本条件和基本规则
即：a
(2q 1) n-m
*180
渐进线与实轴的交点：
K1{Sm
m
[ (-Zj )]Sm -1
m
(Z j)}
G(s)H(s)
K1(S Z1)(S Z2)(S Zm) (S P1)(S P2)(S Pn)
记为：
j1
j1
Sn
n
[ (-Pi )]Sn -1
n
(Pi)
G(s)H(s)
K1(Sm bSm-1 ) Sn aSn-1
m
K1 (S Zj)
G(S )H（S）
j1 n
1
(S Pi)
i1
m
K ( zjS Zj)
G(S )H（S）
j1 n
1
( piS Pi)
i1
绘制根轨迹的两个基本条件 :
由于 S是复数 ，所以D(s)
幅值条件和幅角条件
也是复数；上式两边的幅 值和幅角应分别相等；从
幅值条件
m
|S Zj|
Sn - m
(n
K1 m)(a )Sn - m -1
对比两式系数得：
a a b 即： nm
n
m
(Pi)- (Zj)
a i1
j1
nm
例4-2：已 知
G(s)H(s)
S(S
会进入右半平面。即：无论 如何该系统是稳定的 2、K1>16，根轨迹进入复平 面。即：此时系统阶跃响应 会振荡（ωd不为零） ； K1 越大振荡越厉害（ζ小）、 振荡频率越高（ωd大） 3、K1=16 时系统阶跃响应临 界振荡
§4-2 绘制根轨迹的 基本条件和基本规则
即：a
(2q 1) n-m
*180
渐进线与实轴的交点：
K1{Sm
m
[ (-Zj )]Sm -1
m
(Z j)}
G(s)H(s)
K1(S Z1)(S Z2)(S Zm) (S P1)(S P2)(S Pn)
记为：
j1
j1
Sn
n
[ (-Pi )]Sn -1
n
(Pi)
G(s)H(s)
K1(Sm bSm-1 ) Sn aSn-1
m
K1 (S Zj)
G(S )H（S）
j1 n
1
(S Pi)
i1
m
K ( zjS Zj)
G(S )H（S）
j1 n
1
( piS Pi)
i1
绘制根轨迹的两个基本条件 :
由于 S是复数 ，所以D(s)
幅值条件和幅角条件
也是复数；上式两边的幅 值和幅角应分别相等；从
幅值条件
m
|S Zj|
Sn - m
(n
K1 m)(a )Sn - m -1
对比两式系数得：
a a b 即： nm
n
m
(Pi)- (Zj)
a i1
j1
nm
例4-2：已 知
G(s)H(s)
S(S
自动控制原理第四章2
10
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点(续)
F(s) =
K
,
s(s + a)(s + b)
C
a > 0, b > a.
z 给F(s)增加零点： s = – c， c > b .
原系统根轨迹的共轭复 根部分向左弯曲
增加零点可以改善系统 的相对稳定程度
12
开、闭环零极点与根轨迹设计
增加开环零点对根轨迹的影响
渐近中心: ？ C
有两条复根根轨迹，向右弯曲得更厉害
D
给F(s)增加极点将使根轨迹的 主导部分向右半s平面移动 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点
z增加一个实零点：
F (s)
=
K(s + b) ,
s(s + a)
a > 0, b > a.
z增加一对共轭复零点： B
σ
A
原系统根轨迹的共轭复根部分向
F(s)
=
K(s + s2(s +
b) a)
.
图C a = 8.
图D a = 3.
图E
a = b = 1.
极点 s = – a 和 零点 s = – b 相互抵消
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
± 1 a 2 − 10 a + 9 4
对于 a < 9 无意义
系统退化为二 阶情形，根轨 迹为整个虚轴
17
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
±
1 4
a2 − 10a + 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点(续)
F(s) =
K
,
s(s + a)(s + b)
C
a > 0, b > a.
z 给F(s)增加零点： s = – c， c > b .
原系统根轨迹的共轭复 根部分向左弯曲
增加零点可以改善系统 的相对稳定程度
12
开、闭环零极点与根轨迹设计
增加开环零点对根轨迹的影响
渐近中心: ？ C
有两条复根根轨迹，向右弯曲得更厉害
D
给F(s)增加极点将使根轨迹的 主导部分向右半s平面移动 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点
z增加一个实零点：
F (s)
=
K(s + b) ,
s(s + a)
a > 0, b > a.
z增加一对共轭复零点： B
σ
A
原系统根轨迹的共轭复根部分向
F(s)
=
K(s + s2(s +
b) a)
.
图C a = 8.
图D a = 3.
图E
a = b = 1.
极点 s = – a 和 零点 s = – b 相互抵消
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
± 1 a 2 − 10 a + 9 4
对于 a < 9 无意义
系统退化为二 阶情形，根轨 迹为整个虚轴
17
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
±
1 4
a2 − 10a + 9
第4章线性系统的根轨迹分析
➢根轨迹的渐近线 根轨迹的渐近线就是确定当开环零点数目m小于极点 数目n时，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无 穷远处。由式(4-1-7)及式(4-2-1)求得
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
第四章控制系统的根轨迹法(二)
1 System: sys Settling Time (sec): 0.409 0.8
Amplitude
0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5
2 Time (sec)
2.5
3
3.5
4
R(s)作用的时域输出k=80
比例控制方式
Step Response 1.8 1.6 1.4 1.2 System: sys Peak amplitude: 1.71 Overshoot (%): 71.3 At time (sec): 0.045
500
Imaginary Axis
0 System: sys Gain: 4.75e+003 Pole: 3.43 - 152i Damping: -0.0225 Overshoot (%): 107 Frequency (rad/sec): 152
-500
-1000
-1500
-2000 -3000
基本控制方式
Step Response 1 System: sys Settling Time (sec): 15.5 System: sys Rise Time (sec): 8.68 0.9 0.8
0.7
0.6
Amplitude
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10 Time (sec)
15
写成 变换为 假设
s 2 2s Ks KZ 0
1
KZ 0 2 s 2 s Ks
K 1
Z G1 ( s ) H1 ( s ) 2 s 3s
Z G1 ( s ) H1 ( s ) 2 s 3s
第四章 根轨迹分析法2_2
j 1 j i 1 i
nm
（7）根轨迹的出射角与入射角
出射角 入射角
θa =±180°(2k+1)+
i
j
i
-
ja
j
b=±180°(2k+1) +
j
-
i b
i
（8）根轨迹与虚轴交点。把 s j 代入特征方程式 ， 即可解出交点处的临界 K g 值和交点坐标。
§4.3
s(s 1)(s 2) Kg 0
或
s 3s 2s Kg 0
3 2
是三阶方程，应有3个闭环极点。闭环极点之 和等于开环极点之和，即
(s1 s2 s3 ) 0 (1) (2) 3
所以
(s3 ) 3 (s1 ) (s2 ) 3 j 2 ( j 2) 3
（2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数
特征方程 劳斯表
s3
s2
1
3
6 Kg 3
2
Kg
s
1
s0
Kg
在第一列中，令 s 1 行等于零，则得临界放大系数
K gp 6
根轨迹与虚轴的交点可根据 s 2 行的辅助方程求得，即
3s 2 K gp 0
即得根轨迹与虚轴的交点为
3s 6 0
2
分离点
会合点
0
0
(a) 两开环极点之间是根轨迹
(b) 两开环零点之间是根轨迹
会合点
分离点
0
0
分离点会合点求取：
基于代数重根法则，如果方程 重根法：
f(x)=0有重根，则f (x)=0的根也是 f(x)=0的根。
nm
（7）根轨迹的出射角与入射角
出射角 入射角
θa =±180°(2k+1)+
i
j
i
-
ja
j
b=±180°(2k+1) +
j
-
i b
i
（8）根轨迹与虚轴交点。把 s j 代入特征方程式 ， 即可解出交点处的临界 K g 值和交点坐标。
§4.3
s(s 1)(s 2) Kg 0
或
s 3s 2s Kg 0
3 2
是三阶方程，应有3个闭环极点。闭环极点之 和等于开环极点之和，即
(s1 s2 s3 ) 0 (1) (2) 3
所以
(s3 ) 3 (s1 ) (s2 ) 3 j 2 ( j 2) 3
（2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数
特征方程 劳斯表
s3
s2
1
3
6 Kg 3
2
Kg
s
1
s0
Kg
在第一列中，令 s 1 行等于零，则得临界放大系数
K gp 6
根轨迹与虚轴的交点可根据 s 2 行的辅助方程求得，即
3s 2 K gp 0
即得根轨迹与虚轴的交点为
3s 6 0
2
分离点
会合点
0
0
(a) 两开环极点之间是根轨迹
(b) 两开环零点之间是根轨迹
会合点
分离点
0
0
分离点会合点求取：
基于代数重根法则，如果方程 重根法：
f(x)=0有重根，则f (x)=0的根也是 f(x)=0的根。
自动控制原理 第四章 根轨迹c2
解（1）无开环零点，4个开环极点
p1 0 , p2 3 , p3,4 1 j
在实轴上根轨迹[-3，0]。
（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点
a
(2k 1)180o
4
45o
, 135o
a
0 31 4
j 1
j
1.25
15
（3）分离点 方法一：
p1 0 , p2 3 , p3,4 1 j
1 1 1 1 0 可解出d d d 3 d 1 j d 1 j
方法二：
G(s)H (s)
s(s
Kr 3)(s2
2s
2)
D(s) 1 G(s)H (s) 0
s(s 3)(s2 2s 2) Kr s4 5s3 8s2 6s Kr 0
60 180
0 -2
1c 45 2c 45
与虚轴的交点
-4
0 , j4 2 j5.657
-6
计算所得分离会合点，实际并不是分离点
-8
s 2.67 1.89 j
-8 -6 -4 -2 0 2
22
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)
s[( s
Kg 4)2
∵ d2不在根轨迹上，略去 分离角：
d 3.414
j
(2k 1) / l , l 2
3
22
2 1
3.414
0
复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，
半径为 2
8
规则7：根轨迹与虚轴的交点
方法一：令 s j代入特征方程1+G(s)H(s)=0，解出
4-2根轨迹的基本规律及绘制
3、只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现 复平面上的分离点。
02:08
例 已知系统的开环传函如下，试求出系统根轨迹的分
离点。
G(s) H(s)
K*
(s1)(s 2)(s 3)
解 本系统无有限开环零点，所以
1 1 1 0 d 1 d 2 d 3
3d 2 12d 11 0 d1 1.42, d2 2.58
(k 0)
3
(k 1)
(k 2)
3
02:08
j
A
a 60°
B
180 °
-4 -3 -2 -1 a 0
300°
-60°
C
根轨迹的渐近线
02:08
02:08
j
180
a
0
n m 1
j
90
a 90 0 nm2
j
180
a
1
1 nm
a1
b1 s
1
s 1
a1
b1 s
nm
s 1
n
1 m
a1
b1 s
s
a1 b1 nm
02:08
1
s 1
a1
b1 s
nm
s
a1 b1 nm
s 1
a1 b1 s
1
nm
nm
02:08
j
[s]
分离点
d1
d2
-4 -3 -2 -1
0
p3
C
p2
A
B
p4
j
[s]
第四章 根轨迹分析法1_2
试求根轨迹渐近线的夹角和截矩。
解 将系统的开环传递函数变换成以零、极点表示 的形式，即
K g ( s 4) 1.25 K ( s 4) Gk ( s ) s ( s 1)( s 5) s ( s 1)( s 5)
式中，Kg＝1.25K。
系统有3个开环极点：－p1＝0，－p2＝－1，－p3 ＝－5；有1个开环零点：－z1＝－4。所以有2条 根轨迹趋于无穷远处。其渐近线的方位是：
参数改变，系统性能如何改变！
伊万思（W . R . Evans）提出了 一种图解方法，即在复平面上由系统 的 开环
确定 根轨迹法的基本概念
1.引例
讨论Kg变化时闭环极点的 变化。 开环传函 闭环传函
闭环极点
闭环极点在S 平面上的变化
系统的开环传递函数中某一参数变化时，系统闭 环特征方程的根在S平面上的变化轨迹即为根轨迹
dK g
0
D' ( s) N ( s) N ' ( s) D( s) N ' ( s) D( s) D' ( s) N ( s) 0 2 2 ds N ( s) N (s)
D' (s) N (s) N ' (s) D(s) 0
例4-6 已知控制系统的开环传递函数为
Gk ( s ) G ( s ) H ( s ) Kg s ( s 1)( s 2)
j 1
2
arg(s1 p2 ) arg(s1 1) 90
所以s1不在根轨迹上。
同理，过两极点向s2连线，得向量 （s2＋p1）＝s2 （s2＋p2）＝（s2＋1） 计算可知满足相角条件，所以，s2在根轨迹上。
由满足相角条件的点就可连成根轨迹。这种逐 点试探的方法，称为绘制根轨迹的试探法。
解 将系统的开环传递函数变换成以零、极点表示 的形式，即
K g ( s 4) 1.25 K ( s 4) Gk ( s ) s ( s 1)( s 5) s ( s 1)( s 5)
式中，Kg＝1.25K。
系统有3个开环极点：－p1＝0，－p2＝－1，－p3 ＝－5；有1个开环零点：－z1＝－4。所以有2条 根轨迹趋于无穷远处。其渐近线的方位是：
参数改变，系统性能如何改变！
伊万思（W . R . Evans）提出了 一种图解方法，即在复平面上由系统 的 开环
确定 根轨迹法的基本概念
1.引例
讨论Kg变化时闭环极点的 变化。 开环传函 闭环传函
闭环极点
闭环极点在S 平面上的变化
系统的开环传递函数中某一参数变化时，系统闭 环特征方程的根在S平面上的变化轨迹即为根轨迹
dK g
0
D' ( s) N ( s) N ' ( s) D( s) N ' ( s) D( s) D' ( s) N ( s) 0 2 2 ds N ( s) N (s)
D' (s) N (s) N ' (s) D(s) 0
例4-6 已知控制系统的开环传递函数为
Gk ( s ) G ( s ) H ( s ) Kg s ( s 1)( s 2)
j 1
2
arg(s1 p2 ) arg(s1 1) 90
所以s1不在根轨迹上。
同理，过两极点向s2连线，得向量 （s2＋p1）＝s2 （s2＋p2）＝（s2＋1） 计算可知满足相角条件，所以，s2在根轨迹上。
由满足相角条件的点就可连成根轨迹。这种逐 点试探的方法，称为绘制根轨迹的试探法。
4-2 复域：根轨迹法2
K r ( s m zi s m 1 z m )
i 1 i 1
s n p j s n 1 p j
j 1 j 1
n
n
特征方程：
1 G( s) H ( s) s p j s
n j 1 n n 1 n
p j K r s K r zi s
1 ( a 1 2 3) (2 1)
所以 pa的出射角:
a (2 1) 1 (1 2 3 )
12
第四章 根轨迹法
例4－3中有两个复极点－2±2j,其中－2＋2j的出射角
2 180 (1 3 4 )
21
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容 规 则 1 分支数 等于开环传递函数的极点数（nm） 起点 起始于开环的极点， 终点 终止于开环传的零点（包括无限零点） 2 实轴上 实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹， 分布 则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为 奇数 3 对称性 对称于实轴 渐近线 相交于实轴上的同一点： 4 坐标为： n p m z 倾角为：
满足方程的根 s1 5.12,
s2 0.48 不在根轨迹上
s3, 4 1.54 1.42 j ,
带入 K r Z (s) P( s) 0 可求出Kr1 =50.4，Kr2 =0.39
5
第四章 根轨迹法
s1 5.12, s2 0.48
S1是分离点，S2是会合点
m
n
i , j 分别是其它各零点和极点到出射（或入射）
极点（或零点）向量的相幅角
11
第四章 根轨迹法
出射角(或入射角)是根轨 迹离开极点 (或终止零点) 处切线的倾角。
i 1 i 1
s n p j s n 1 p j
j 1 j 1
n
n
特征方程：
1 G( s) H ( s) s p j s
n j 1 n n 1 n
p j K r s K r zi s
1 ( a 1 2 3) (2 1)
所以 pa的出射角:
a (2 1) 1 (1 2 3 )
12
第四章 根轨迹法
例4－3中有两个复极点－2±2j,其中－2＋2j的出射角
2 180 (1 3 4 )
21
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容 规 则 1 分支数 等于开环传递函数的极点数（nm） 起点 起始于开环的极点， 终点 终止于开环传的零点（包括无限零点） 2 实轴上 实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹， 分布 则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为 奇数 3 对称性 对称于实轴 渐近线 相交于实轴上的同一点： 4 坐标为： n p m z 倾角为：
满足方程的根 s1 5.12,
s2 0.48 不在根轨迹上
s3, 4 1.54 1.42 j ,
带入 K r Z (s) P( s) 0 可求出Kr1 =50.4，Kr2 =0.39
5
第四章 根轨迹法
s1 5.12, s2 0.48
S1是分离点，S2是会合点
m
n
i , j 分别是其它各零点和极点到出射（或入射）
极点（或零点）向量的相幅角
11
第四章 根轨迹法
出射角(或入射角)是根轨 迹离开极点 (或终止零点) 处切线的倾角。
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K G ( s ) H ( s ) ，试绘制 s ( s 1 )( s )
α ＝0
1 K 0 2 s (s 1)
以α为参变量的根轨迹方程
s2(s1)K (s1 )s (s1 )s
s (s1 )K
2
－ 1
将特征方程进行数学处理，把待定 参数放到增益K的位置
以α为参变量的根轨迹方程 不同K值，可得到系统不 同根轨迹图，即根轨迹簇 根轨迹与虚轴交点
提高系统开环增益10倍
参数变化对闭环极点的影响 控制系统开环传递函数 以α为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。 闭环控制系统的特征方程
K 1 G ( s ) H ( s ) 1 0 s ( s 1 )( s )
2 s ( s 1 ) ( s 1 ) s K 0
（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统
0 . 8 s 1 0 . 8 s 1 5 ( 1 0 . 8 s ) ( s ) G ( s ) H ( s ) b 2 b b s 0 . 5 j 0 . 866 )( s 0 . 5 j 0 . 866 ) s s 1( s ( 5 s 1 )
增加开环极点的影响 增加开环零点的影响
s pc ) 增加一个惯性环节 1/(
加入一阶微分环节（s－zc）
( s z ) /( s p ) c c
增加一对开环零极点的影响 加入环节 |zc|<|pc| |zc|>|pc|
开环偶极子
参数变化对闭环极点的影响 (广义根轨迹、根轨迹簇) 比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响
（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统
控制理论基础(I)
课程负责人：丁 汉 教授
顾问：王显正 教授
交通大学精品课程系列
2004.4.30
第八章 根轨迹法
8.1 根轨迹法基本概念 8.2 绘制根轨迹图的基本规则 8.3 控制系统的根轨迹分析 8.4 根轨迹法设计与校正控制系统
8.3 控制系统的根轨迹分析 根轨迹图上希望闭环极点的位置 开环零点和极点对根轨迹的影响
根轨迹图上希望闭环极点的位置
二阶系统的等Mp线（即等ζ线） 二阶系统的等ts线
闭环传递函数特征根的分布与动态性能指标的关系
s j j 1 , 2 n d d
ts 3 3
Mp增大
n
0 . 05
由实部决定
等Mp线 Mp减小
β
Tp减小
等tp线
s s s s
3 2 1 0
(s 1 )s
s2(s 1 ) K
－ 1
1 a 1 a (a 1) K a ! K
a K 0
1 ( 1 ) K 0
14K 2
比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响 （a）为无校正的位置伺服系统
5 1 G ( s ) H ( s ) a a s ( 5 s 1 ) s ( s 0 . m )
a i i
渐近线与实轴倾角随着 n数增大而减小 根轨迹向右方向弯曲
渐近线与实轴交点随着pc增 大（pc点在实轴上向右移） 而右移，故更靠近原点 。 向右弯曲趋势随着所增加 的极点移近原点而加剧
降低了系统的相对稳定性
增加开环极点的影响
pc 2
增加一个极点的情况
右移极点
pc 1
开环传递函数上增加零点
( 2 k 1 ) 180 ( n m )
a
( p z ) ( n m )
a i i
渐近线与实轴倾角随着 m数增大而增加 根轨迹向左方向弯曲
渐近线与实轴交点随着 Zc增大（Zc点在实轴上 向右移）而左移
tp 2 1 d n
M e p e
σ
Ts减小 等ts线
1 2
由实部决定
100 % e
n
2 n 1
100 %
d
100 % tg d
由实部虚部比 值决定
开环传递函数上增加极点
( 2 k 1 ) 180 ( n m )
开环偶极子位于原点附近
零点zc和极点pc到主导极点的矢 量也基本相等；幅角条件和幅值 条件中作用也基本抵消。
不影响主导极点附近的 根轨迹及根轨迹增益K’ 零极点自身比值zc /pc- 较大 影响系统的开环增益、改变稳态误差。
K K'
i 1 i 1 n
m
zi pi
zc pc
p 0 .01 c zc 0 .1
“超前校正”
|zc|>|pc| 增加的极点相对靠近虚轴而起主导作用
c c
c) 附加提供一个滞后角 ( c
( s z ) ( s p ) c c
相当于附加极点的作用 (使根轨迹向右弯曲)
开环偶极子 开环偶极子距离原点较远 极点pc ’和零点zc ’到较远的s 点的矢量基本相等；幅值条件和 幅角条件中的作用相互抵消； 对离其较远的近虚轴区域的根轨 迹形状和开环增益几乎没有影响， 基本上不影响系统静动态性能。
（a）为无校正的位置伺服系统
5 1 G ( s ) H ( s ) a a s ( 5 s 1 ) s ( s 0 . 2 )
（c）为加入速度内反馈校正后的系统
0 . 8 ( s 1 . 25 ) G ( s ) H ( s ) c c s ( s 0 . 2 )
1 1 ( s ) c 2 s 0 . 5 j 0 . 866 )( s 0 . 5 j 0 . 866 ) s s 1(
提高了系统的相对稳定性
增加一个零点的情况
Zc 3
右移零点
Zc 2
|zc|<|pc| 增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用
零极点对应的矢量幅角
c c
( s z ) ( s p ) c c
c) 附加提供一个超前角 ( c
相当于附加零点的作用
(使根轨迹向左弯曲， 改善了系统动态性能。)