湖南省湘西市2020年中考数学试题(原卷版)

2023年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −2023的相反数是( )A. −2023B. 2023C. −12023D. 120232. 今年五一假期，湘西州接待游客160.3万人次，实现旅游收入1673000000元，旅游复苏形势喜人将1673000000用科学记数法表示为( )A. 16.73×108B. 1.673×108C. 1.673×109D. 1.673×10103. 下列运算正确的是( )A. (−3)2=3B. (3a)2=6a2C. 3+2=32D. (a+b)2=a2+b24. 已知直线a//b，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放.若∠1=40°，则∠2的度数是( )A. 40°B. 50°C. 140°D. 150°5. 某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重(单位：kg)如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 42，36B. 42，42C. 40，40D. 42，406. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是( )A.B.C.D.7. 不等式组{x −1<21−x <4的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.8. 七边形的内角和是( )A. 1080°B. 900°C. 720°D. 540°9. 如图，点A 在函数y =2x(x >0)的图象上，点B 在函数y =3x(x >0)的图象上，且AB //x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为C ，D .若AB =10，PC =12，则sin ∠CAD 等于( )A. 125B.1312C. 135D. 1213二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 在实数3，−2，1，2中，最小的实数是______ ．212. 若二次根式2x−10在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．13. 分解因式：2x2−2=______ ．14. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是______ ．15. 在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，则a+b=______ ．16. 已知一元二次方程x2−4x+m=0的一个根为x1=1.则另一个根x2=______ ．17. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8，AD=DE=10，则B F的长为______ ．18. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，则CP+12BP的最小值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。

2020年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列各数中，比−2小的数是()A. 0B. −1C. −3D. 32.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是()A. 0.927×105B. 9.27×104C. 92.7×103D. 927×1023.下列运算正确的是()A. √(−2)2=−2B. (x−y)2=x2−y2C. √2+√3=√5D. (−3a)2=9a24.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是()A. B. C.D.5.从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 346.已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于12OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F.画直线EF，分别交OA于D，交OB于G.那么△ODG一定是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形7.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(−2,4)，下列说法正确的是()A. 正比例函数y1的解析式是y1=2xB. 两个函数图象的另一交点坐标为(4,−2)C. 正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D. 当x<−2或0<x<2时，y2<y18.如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是()A. △BPA为等腰三角形B. AB与PD相互垂直平分C. 点A、B都在以PO为直径的圆上D. PC为△BPA的边AB上的中线9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB =a ，BC =b ，∠DAO =x ，则点C 到x 轴的距离等于( )A. acosx +bsinxB. acosx +bcosxC. asinx +bcosxD. asinx +bsinx10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴为x =1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc >0，②b −2a <0，③a −b +c >0，④a +b >n(an +b)，(n ≠1)，⑤2c <3b ．正确的是( )A. ①③B. ②⑤C. ③④D. ④⑤二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. −13的绝对值是______．12. 分解因式：2x 2−2=______．13. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是______．14. 不等式组{x 3≥−11+2x ≥−1的解集为______． 15. 如图，直线AE//BC ，BA ⊥AC ，若∠ABC =54°，则∠EAC =______度．16. 从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量(单位：t)的数据，这两组数据的平均数分别是x −甲≈7.5，x −乙≈7.5，方差分别是S 甲2=0.010，S 乙2=0.002，你认为应该选择的玉米种子是______．17. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点A(6,0)，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO =30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD =2.将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为6√3时，则矩形CODE向右平移的距离为______．18.观察下列结论：(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，∠NOC=60°；(2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=90°；(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与A n M相交于O.也会有类似的结论，你的结论是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．(1)求口罩日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）20.计算：2cos45°+(π−2020)0+|2−√2|.21.化简：(a2a−1−a−1)÷2aa2−1．22.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．(1)求证：△BAE≌△CDE；(2)求∠AEB的度数．23.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析．部分信息如下：a.七年级参赛学生成绩频数分布直方图(数据分成五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)如图所示b.七年级参赛学生成绩在70≤x<80这一组的具体得分是：7071737576767677777879年级平均数中位数众数七76.9m80根据以上信息，回答下列问题：(1)在这次测试中，七年级在75分以上(含75分)的有______人；(2)表中m的值为______；(3)在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第______名；(4)该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．24.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若CA=6，CE=3.6，求⊙O的半径OA的长．25.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是______；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC= 2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离．26. 已知直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1,0)，点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点．(1)当直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；(2)在(1)的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；(3)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：将这些数在数轴上表示出来：∴−3<−2<−1<0<3，∴比−2小的数是−3，故选：C．利用数轴表示这些数，从而比较大小．本题考查数轴表示数，比较有理数的大小，在数轴表示的数右边总比左边的大．2.【答案】B【解析】解：92700=9.27×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．3.【答案】D【解析】解：A．√(−2)2=2，所以A选项错误；B.(x−y)2=x2−2xy+y2，所以B选项错误；C.√2+√3≠√5，所以C选项错误；D.(−3a)2=9a2.所以D选项正确．故选：D．根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，进行计算即可判断．本题考查了二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识．4.【答案】C【解析】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5.【答案】A【解析】解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，共有以下4种结果(不分先后)：1cm3cm5cm，1cm3cm6cm，3cm5cm6cm，1cm5cm6cm，其中，能构成三角形的只有1种，∴P(构成三角形)=14．故选：A．列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．6.【答案】C【解析】解：如图所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，由题可得，DG垂直平分OC，∴∠OED=∠OEG=90°，∴∠ODE=∠OGE，∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C．依据已知条件即可得到∠ODE=∠OGE，即可得到OD=OG，进而得出△ODG是等腰三角形．本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．7.【答案】D【解析】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,−4)，∴正比例函数y1=−2x，反比例函数y2=−8，x∴两个函数图象的另一个交点为(−2,4)，∴A，B选项说法错误；∵正比例函数y1=−2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2=−8中，在每个象限内xy随x的增大而增大，∴C选项说法错误；∵当x<−2或0<x<2时，y2<y1，∴选项D说法正确．故选：D．由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．8.【答案】B【解析】解：(A)∵PA、PB为圆O的切线，∴PA=PB，∴△BPA是等腰三角形，故A正确．(B)由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确．(C)连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确．(D)∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D正确．故选：B．根据切线的性质即可求出答案．本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．9.【答案】A【解析】解：作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠DAO=x，∵sin∠DAO=ODAD ，cos∠CDE=DECD，∴OD=AD×sin∠DAO=bsinx，DE=D×cos∠CDE=acosx，∴OE=DE+OD=acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；故选：A．作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，证出∠CDE=∠DAO=x，由三角函数定义得出OD=bsinx，DE=acosx，进而得出答案．本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项错误；②由于a<0，所以−2a>0．又b>0，所以b−2a>0，故此选项错误；③当x=−1时，y=a−b+c<0，故此选项错误；④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c>an2+bn+c，故a+b>an2+bn，即a+b>n(an+b)，故此选项正确；⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且该抛物线对称轴是直线x=−b2a=1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．11.【答案】13【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|−13|=13，故答案为：13．根据绝对值的意义，求出结果即可．本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．12.【答案】2(x+1)(x−1)【解析】解：2x2−2=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．故答案为：2(x+1)(x−1)．先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13.【答案】6【解析】解：设该多边形的边数为n，根据题意，得，(n−2)⋅180°=720°，解得：n=6．故这个多边形的边数为6．故答案为：6任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°.n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．14.【答案】x≥−1【解析】解：{x3≥−1 ①1+2x≥−1 ②，∵解不等式①得：x≥−3，解不等式②得：x≥−1，∴不等式组的解集为x≥−1，故答案为：x≥−1．求出每个不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．15.【答案】36【解析】解：∵BA⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=54°，∴∠C=90°−54°=36°，∵AE//BC，∴∠EAC=∠C=36°，故答案为：36．根据垂直的定义得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和定理得到∠C=90°−54°=36°，根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 16.【答案】乙【解析】解：∵x −甲=x −乙≈7.5，S 甲2=0.010，S 乙2=0.002，∴S 甲2>S 乙2， ∴乙玉米种子的产量比较稳定，∴应该选择的玉米种子是乙，故答案为：乙．在平均数基本相等的前提下，方差越小产量越稳定，据此求解可得．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．17.【答案】2【解析】解：∵点A(6,0)，∴OA =6，∵OD =2，∴AD =OA −OD =6−2=4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE//OC ，∴∠AED =∠ABO =30°， 在Rt △AED 中，AE =2AD =8，ED =√AE 2−AD 2=√82−42=4√3，∵OD =2，∴点E 的坐标为(2,4√3)；∴矩形CODE 的面积为4√3×2=8√3，∵将矩形CODE 沿x 轴向右平移，矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为6√3∴矩形CODE 与△ABO 不重叠部分的面积为2√3，如图，设ME′=x ，则FE′=√3x ，依题意有x ×√3x ÷2=2√3，解得x =±2(负值舍去)．故矩形CODE 向右平移的距离为2．故答案为：2．由已知得出AD =OA −OD =4，由矩形的性质得出∠AED =∠ABO =30°，在Rt △AED 中，AE =2AD =8，由勾股定理得出ED =4√3，作出图形，根据三角形面积公式列出方程即可得出答案．考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．18.【答案】A 1N =A n M ，∠NOA n =(n−2)×180°n【解析】解：∵(1)如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM =BN ，则AN =CM ，∠NOC =(3−2)×180°3=60°；(2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=(4−2)×180°4=90°；(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=(5−2)×180°5=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N=A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n．故答案为：A1N=A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n．根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．19.【答案】解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000(1+x)2=24200解得x1=−2(舍去)，x2=0.1=10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．(2)24200(1+0.1)=26620(个)．答：预计4月份平均日产量为26620个．【解析】(1)根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；(2)结合(1)按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．20.【答案】解：原式=2×√22+1+2−√2=√2+1+2−√2=3．【解析】分别根据特殊角的三角函数值，任何非零数的零次幂定义1以及绝对值的定义计算即可．本题主要考查了实数的运算，熟记相应定义以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．21.【答案】解：原式=(a2a−1−a2−1a−1)÷2a(a+1)(a−1)=1a−1⋅(a+1)(a−1)2a=a+12a．【解析】先计算括号内分式的减法、将除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22.【答案】(1)证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠AD=AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∴∠EAB=∠EDC=150°，在△BAE和△CDE中{AB=DC∠EAB=∠EDC AE=DE，∴△BAE≌△CDE(SAS)；(2)∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠EAB=150°，∴∠ABE=12(180°−150°)=15°．【解析】(1)利用等边三角形的性质得到∠AD=AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°，利用正方形的性质得到AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA=90°，所以∠EAB=∠EDC=150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；(2)先证明AB=AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．23.【答案】31 77.524【解析】解：(1)在这次测试中，七年级在75分以上(含75分)的有8+15+8=31(人)，故答案为：31．(2)七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，∴m=77+782=77.5，故答案为：77.5；(3)在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，故答案为：24；(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×4+15+850=270(人)．(1)将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)由90≤x≤100的频数为8、80≤x<90的频数为15，据此可得答案；(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．24.【答案】(1)证明：连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA+∠OEA=90°，即∠DEO=90°，∴DE是⊙O的切线；(2)解：∵∠AEC=∠CAB=90°，∠C=∠C，∴△AEC∽△BAC，∴ACBC =ECAC，∵CA=6，CE=3.6，∴6BC =3.66，∴BC=10，∵∠CAB=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴AB=√102−62=8，∴OA=4，即⊙O的半径OA的长是4．【解析】(1)连接AE，OE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据直角三角形的性质得到AD=DE，求得∠DAE=∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，等量代换得到∠DEO=90°，于是得到结论；(2)证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确的识别图形是解题的关键．25.【答案】EF=AE+CF【解析】解：问题背景：如图1，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；故答案为：EF=AE+CF；探究延伸1：如图2，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；探究延伸2：上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由：如图3，延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠BCH=∠BAE，∵BA=BC，CH=AE，∴△BCH≌△BAE(SAS)，∴BE=HB，∠ABE=∠HBC，∴∠HBE=∠ABC，又∵∠ABC=2∠MBN，∴∠EBF=∠HBF，∵BF=BF，∴△HBF≌△EBF(SAS)，∴EF=HF=HC+CF=AE+CF；实际应用：如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，因为舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以∠AOB=140°，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF=70°，所以∠AOB=2∠EOF．依题意得，OA=OB，∠A=60°，∠B=120°，所以∠A+∠B=180°，因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF，根据题意得，AE=75×1.2=90(海里)，BF=100×1.2=120(海里)，所以EF=90+120=210(海里)．答：此时两舰艇之间的距离为210海里．问题背景：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，即可得出结论：EF=AE+CF；探究延伸1：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；探究延伸2：延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，先证明△BCH≌△BAE，即可得到BE=HB，∠ABE=∠HBC，再证明△HBF≌△EBF，即可得出EF=HF=HC+CF= AE+CF；实际应用：连接EF，延长BF交AE的延长线于G，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．再根据探究延伸2的结论：EF=AE+BF，即可得到两舰艇之间的距离．本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．26.【答案】解：(1)∵直线y=kx−2与抛物线y=x2−bx+c(b,c为常数，b>0)的一个交点为A(−1,0)，∴−k−2=0，1+b+c=0，∴k=−2，c=−b−1，∴直线y=kx−2的解析式为y=−2x−2，∵抛物线y=x2−bx+c的顶点坐标为E(b2,4c−b24)，∴E(b2,−4b−4−b24)，∵直线y=−2x−2与抛物线y=x2−bx+c(b,c为常数，b>0)的另一个交点为该抛物线的顶点E，∴−4b−4−b24=−2×b2−2，解得，b=2，或B=−2(舍)，当b=2时，c=−3，∴E(1,−4)，故k=−2，b=2，c=−3，E(1,−4)；(2)由(1)知，直线的解析式为y=−2x−2，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，∴C(0,−3)，Q(2,−3)，如图1，设直线y=−2x−2与y轴交点为N，则N(0,−2)，∴CN =1，∴S △ACE =S △ACN +S △ECN =12×1×1+12×1×1=1， ∴S △EQM =12， 设直线EQ 与x 轴的交点为D ，显然点M 不能与点D 重合，设直线EQ 的解析式为y =dx +n(d ≠0)，则{2d +n =−3d +n =−4， 解得，{d =1n =−5， ∴直线EQ 的解析式为y =x −5，∴D(5,0)，∴S △EQM =S △EDM =S △QDM =12DM ×|−4|−12DM ×|−3|=12DM =12|5−m|=12， 解得，m =4，或m =6；(3)∵点D(b +12,y D )在抛物线y =x 2−bx −b −1上，∴y D =(b +12)2−b(b +12)−b −1=−b 2−34， 可知点D(b +12,−b 2−34)在第四象限，且在直线x =b 的右侧，∵√2AM +2DM =2(√22AM +DM)，∴可取点N(0,1)，则∠OAN =45°，如图2，过D 作直线AN 的垂线，垂足为G ，DG 与x 轴相交于点M ，∵∠GAM=90°−∠OAN=45°，得√22AM=GM，则此时点M满足题意，过D作DH⊥x轴于点H，则点H(b+12,0)，在Rt△MDH中，可知∠DMH=∠MDH=45°，∴DH=MH，DM=√2MH，∵点M(m,0)，∴0=(−b2−34)=(b+12)−m，解得，m=b2−34，∵√2AM+2DM=27√24，∴√2[(b2−14)−(−1)]+2√2[(b+12)−(b2−14)]=27√24，解得，Bb=3，此时，m=32−14=54>0，符合题意，∴b=3．【解析】(1)将A点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得k的值和b与c的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得b、c的值，进而求得E点的坐标；(2)先根据抛物线的解析式求得C、Q点坐标，用m表示△EQM的面积，再根据S△EQM=12S△ACE列出m的方程进行解答；(3)取点N(0,1)，则∠OAN=45°，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，此时√2AM+2DM=2DG的值最小，由2DG=27√24列出关于b的方程求解便可．本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，三角形面积公式，等腰直角三角形的性质，第(2)小题关键是由面积关系列出m的方程，第(3)小题关键是确定√2AM+2DM的最小值为2DG的值．。

专题15.解直角三角形一、单选题1．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+2．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米4．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米6．（2021·天津中考真题）tan30︒的值等于（ ）A B ．2 C ．1 D ．27．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米8．（2021·云南中考真题）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．809．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ）1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米10．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m11．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ） A ．163π B ．643π C ．16π D ．64π12．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =3，则cos B =BC AB=（ ）A ．35B ．45CD ．3413．（2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE 的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF//BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m14．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角ADE∠为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B 之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．6tan551x︒=-B．1tan556x-︒=C．1sin556x-︒=D．1cos556x-︒=15．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．100m B．C．D．m316．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y 轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（）A．35B．34-C．34D．4517．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD ＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cos B的值等于（）A ．25B ．12C ．35D ．71018．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小．下列关系式正确的是（ ）A ．sin BD A AB = B ．cos AB A AD =C ．tan AD A BD = D ．sin AD A AB=19．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（ ）A ．38B ．34CD ．1520．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ）A ．200tan70°米B ．200tan 70︒米C ．200sin70°米D ． 200sin 70︒米 21．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定22．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为（ ）A ．13BC ．23D ．3223．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（ ）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x24．（2019·浙江中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知,,AB m BAC a =∠=∠则下列结论错误．．的是（ ） A ．BDC α∠=∠ B ．tan BC m a =⋅ C ．2sin m AO α= D ．cos m BD a= 25．（2019·山东中考真题）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A ．11米B ．（36﹣C ．米D ．（36﹣）米26．（2019·四川绵阳市·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=( )A ．15BCD ．9527．（2019·重庆中考真题）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ） （参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．65.8米B ．71.8米C ．73.8米D ．119.8米三、填空题目28．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．29．（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =． （1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）30．（2021·浙江绍兴市·中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．31．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile （3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．32．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．33．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）34．（2021·浙江中考真题）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．35．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．36．（2021·四川乐山市·中考真题）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．37．（2021·浙江杭州市·中考真题）sin30°的值为_____．38．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________． 39．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角20α=︒，两树间的坡面距离5m AB =，则这两棵树的水平距离约为_________m （结果精确到0.1m ，参考数据：sin200.342,cos200.940,tan200.364︒≈︒≈︒≈）．40．（2020·湖北荆州市·中考真题）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的Rt ABC ∆，其中90︒∠=C ，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 的正中位置，E 地与C 地相距1km ，若3tan ,454ABC DEB ︒∠=∠=，小张某天沿A C E B D A →→→→→路线跑一圈，则他跑了_______km ．41．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，海中有个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D 处，测得小岛A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD 为________海里．42．（2020·湖北孝感市·中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为______m ．（结果保留根号）三、解答题43．（2021·青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．44．（2021·四川成都市·中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）45．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）46．（2021·四川广元市·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=，tan152︒=．计算结果保留根号）47．（2021·四川资阳市·中考真题）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i=的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45︒，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53︒（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：434sin53,cos53,tan53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．48．（2021·江苏宿迁市·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，≈1.414≈=1.732)．49．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）． （参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）50．（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）51．（2021·浙江绍兴市·中考真题）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．52．（2021·四川达州市·中考真题）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30的河床斜坡边，斜坡BC 长为48米，在点D 处测得桥墩最高点A 的仰角为35︒，CD 平行于水平线BM ，CD 长为AB 的高（结果保留1位小数）．（sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈ 1.73≈）53．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45︒，再从C 点出发沿斜坡走D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30︒，若斜坡CF 的坡比为1:3i =（点E C H ，，在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；（2）求大树AB 的高度（结果保留根号）．54．（2021·四川广安市·中考真题）如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB 与地面DE 平行，踏板CD 长为1.5m ，CD 与地面DE 的夹角15CDE ∠=︒，支架AC 长为1m ，75ACD ∠=︒，求跑步机手柄AB 所在直线与地面DE 之间的距离．（结果精确到0.1m .参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.73≈）55．（2021·湖南邵阳市·中考真题）计算：()020212tan 60π--︒．56．（2021·四川眉山市·中考真题）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A 处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B 处，测得顶端C 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：2sin 245≈°，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈）57．（2021·四川眉山市·中考真题）计算：(1143tan 602-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭58．（2021·安徽中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10AB cm =，6BC cm =．求零件的截面面积．参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈．59．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，A ，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C 点处遇险发出求救信号，此时测得C 点位于观测点A 的北偏东45°方向上，同时位于观测点B 的北偏西60°方向上，且测得C 点与观测点A 的距离为海里．（1）求观测点B 与C 点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B 的正南方向且与观测点B 相距30海里的D 点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C 点需要的最少时间．60．（2021·四川遂宁市·中考真题）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A 处看到B 、C 处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A 处测得B 在北偏西45°方向， C 在北偏东30°方向，他从A 处走了20米到达B 处，又在B 处测得 C 在北偏东60°方向．（1）求∠C 的度数；（2）求两颗银杏树B 、C 之间的距离（结果保留根号）．61．（2021·四川自贡市·中考真题）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan370.75︒≈，tan53 1.33︒≈ 1.73≈）62．（2020·四川广安市·中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平线AE 垂直，AB=154cm ，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm ，∠E=60°．（1）求CD 的长度．（结果保留根号）（2）求OD 的长度．（结≈1.414）63．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解：如图1，Rt △ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠C ＝90°，其外接圆半径为R ．根据锐角三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，可得sin a A ＝sin b B ＝c ＝2R ，即：sin a A ＝sin bB ＝sin c C＝2R ，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，其外接圆半径为R ，那么：sin aAsin bB sin c C（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠A ＝60°，∠B ＝45°，a ＝8，求b ． 综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD 的高度，在A 处用测角仪测得塔顶C 的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m 到达B 处，此时A ，B ，D 三点在一条直线上，在B 处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD 的高度（结果保留小数点后一位）．，sin15°64．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大A B C M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点,,,面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）50．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：︒=︒≈︒≈）（选择一sin670.92,cos670.39,tan67 2.36︒≈︒=︒=．sin220.37,cos220.93,tan220.40种方法解答即可）65．（2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝20.43dR（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．（1）数据6400000用科学记数法表示为；（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）66．（2020·山东烟台市·中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用厘米，女性应采用厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）67．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道AB 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P 处测得点A 的俯角为30,继续飞行1500米到达点Q 处，测得点B 的俯角为45︒．（1）填空：A ∠=__________度，B ∠=_________度；（2）求隧道AB 的长度(结果精确到1米)．( 1.732≈≈)68．（2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC 和DEF 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC 和EF 均垂直于地面，扇形的圆心角28ABC DEF ∠=∠=︒，半径60BA ED cm ==，点A 与点D 在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm ．（1）求闸机通道的宽度，即BC 与EF 之间的距离（参考数据：sin 280.47︒≈，cos280.88︒≈，tan 280.53︒≈）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．69．（2020·江西中考真题）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈，sin 26.60.448≈，cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）70．（2020·湖南衡阳市·中考真题）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．（1）求OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB '与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．（结果保留根号）71．（2019·上海中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米． （1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．72．（2019·江西中考真题）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B A O --表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量： 6.8cm AO =，8cm CD =，30cm AB =，35cm BC =．（结果精确到0.1）（1）如图2，70ABC ︒∠=，//BC OE ．①填空：BAO ∠=_________°；②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离．（2）如图3，将（1）中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时，求ABC ∠的大小．（参考数据：sin 700.94︒≈，cos200.94︒≈，sin36.80.60︒≈，cos53.20.60︒≈）。

专题09.反比例函数一、单选题1．（2021·山西中考真题）已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A ．图象位于第一，第三象限 B ．图象必经过点34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小2．（2021·四川达州市·中考真题）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<3．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 4．（2021·天津中考真题）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<5．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+或3-D ．36．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOFS =，则k 的值为（ ） A ．73B ．214C ．7D ．2127．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCDk kS-=；③()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数()1110y k x k =<的图象与反比例函数()2220k y k x=<的图象相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．2x <-或2x >B ．20x -<<或2x >C ．2x <-或02x <<D ．20x -<<或02x << 9．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数12y x=-的图象上．若120x x <<，则（ ） A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<10．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A ．y x =-B ．1y x=C ．2yx D ．1y x=-11．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，点A ，B 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23OC OD =，AC AE =，则k的值为（ ）A ．2B ．2C ．94D ．12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 在反比例函数2y x=的图象上，其中1230x x x <<<，下列结论中正确的是（ ） A ．2130y y y <<< B ．1230y y y <<< C ．3210y y y <<<D ．3120y y y <<<13．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1，则k 的值为（ ） A ．125B ．32C ．2D ．314．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O （单位：A ）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A ．函数解析式为13I R=B ．蓄电池的电压是18VC ．当10A I ≤时， 3.6R ≥ΩD ．当6R =Ω时，4A I = 15．（2021·浙江丽水市·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 F F F F 丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 F F F F <<<甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ） A ．甲同学B ．乙同学C ．丙同学D ．丁同学16．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y ＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若OA ＝2BC ，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020·辽宁铁岭市·）如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点(1,0)E 和点(0,1)F 在AB 边上，AE EF =，连接,//DF DF x 轴，则k 的值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．18．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，正比例函数y 1＝mx ，一次函数y 2＝ax+b 和反比例函数y 3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y 3＞y 1＞y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1B ．﹣0.5＜x ＜0或x ＞1C ．0＜x ＜1D ．x ＜﹣1或0＜x ＜119．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④20．（2020·山东威海市·中考真题）如图，点(,1)P m ，点(-2,)Q n 都在反比例函数4y x=的图象上，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）A ．12:2:3S S =B ．12:1:1S S =C ．12:4:3S S =D ．12:5:3S S =21．（2020·广西中考真题）如图，点,A B 是直线y x =上的两点，过,A B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线()10y x x=>于点,C D．若AC =，则223OD OC -的值为（ ） A ．5B．C ．4D．22．（2020·湖南郴州市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AOBO =，则12k k =（ ） A ．4B ．4-C ．2D ．2-23．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数4y x=()0x >与1y x =-的图像交于点(),P a b ，则代数式11a b-的值为（ ） A ．12-B ．12C ．14-D ．1424．（2020·湖北中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x =和2ky x=的图象上，若120BAD ∠=︒，则12k k =（ ） A ．13B ．3CD25．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >26．（2020·湖北咸宁市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x=D ．22y x x =-27．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点123,,A A A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点123,,n B B B B 在y 轴上，且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=，直线y x =与双曲线1y x=交于点111122123322,,A B A OA B A B A B A B A ⊥⊥⊥，，则n B （n 为正整数）的坐标是（ ） A．B．C． D．28．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A -，下列说法正确的是（ ）A ．正比例函数1y 的解析式是12y x =B ．两个函数图象的另一交点坐标为()4,2-C ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大D ．当2x <-或02x <<时，21y y < 29．（2020·天津中考真题）若点()()()123,5,,2,,5A x B x C x -都在反比例函数10y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．312x x x <<30．（2020·湖南衡阳市·中考真题）反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小31．（2019·湖南娄底市·中考真题）将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为( ) A ．111y x =++ B ．111y x =-+ C ．111y x =+- D ．111y x =--32．（2019·湖南娄底市·中考真题）如图，⊙O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x =和1y x=-，则阴影部分的面积是( ) A ．4π B ．3πC ．2πD ．π二、填空题目33．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2． 反比例函数ky x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______． 34．（2021·湖南中考真题）在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．35．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x+=（m是常数）的图象上，且12y y <，则a 的取值范围是__________．36．（2021·湖南株洲市·中考真题）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数ky x=图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________． 37．（2021·陕西中考真题）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”）38．（2021·浙江宁波市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x 的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．39．（2021·云南中考真题）若反比例函数的图象经过点()1,2-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．40．（2020·山东日照市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点B 位于y 轴的正半轴上，顶点C ，D 位于x 轴的负半轴上，双曲线y ＝kx（k ＜0，x ＜0）与▱ABCD 的边AB ，AD 交于点E 、F ，点A 的纵坐标为10，F （﹣12，5），把△BOC 沿着BC 所在直线翻折，使原点O 落在点G 处，连接EG ，若EG ∥y 轴，则△BOC 的面积是_____．41．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，()2,1B -，将OAB 绕点O 顺时针旋转，点B 落在y 轴上的点D 处，得到OED ，OE 交BC 于点G ，若反比例函数(0)ky x x=<的图象经过点G ，则k 的值为______． 42．（2020·广西中考真题）反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．43．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0,3），点A 在x 轴的正半轴上．直线1y x =-分别与边,AB OA 相交于,D M 两点，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D 并与边BC 相交于点N ，连接MN ．点P 是直线DM 上的动点，当CP MN =时，点P 的坐标是________________．44．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，点B 在x 轴负半轴上，直线AB 交y 轴于点C ，若AC BC＝12，△AOB 的面积为6，则k 的值为_____． 45．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点B 在y 轴上，点C ，点D 在x 轴上，AD 与y 轴交于点E ，若3BCES=，则k 的值为_______．46．（2020·江苏南通市·中考真题）将双曲线y ＝3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y ＝kx ﹣2﹣k （k ＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a ，另一个点的纵坐标为b ，则（a ﹣1）（b +2）＝_____．47．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD △的面积为_________．48．（2020·山东东营市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线1y x =+和双曲线1y x=-，在直线上取一点，记为1A ，过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过1B 作y 轴的垂线交直线于点2A ，过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过2B 作y 轴的垂线交直线于点3,A ······，依次进行下去，记点n A 的横坐标为n a ，若12,a =则2020a =______．49．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO 为平行四边形，O （0，0），A （3，1），B （1，2），反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过OABC 的顶点C ，则k =___．50．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数1y x =与函数21y x=的部分图像如图所示，有以下结论： ①当0x <时，12,y y 都随x 的增大而增大；②当1x <-时， 12y y >；③12,y y 的图像的两个交点之间的距离是2；④函数12y y y =+的最小值为2；则所有正确的结论是_________．51．（2020·辽宁抚顺市·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点A 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，点B ，C 在x 轴上，15OC OB =，延长AC 交y 轴于点D ，连接BD ，若BCD ∆的面积等于1，则k 的值为_________．52．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，已知点()5,2,54()(),81A B C ，，，直线l x ⊥轴，垂足为点0(),M m ，其中52m <，若A B C '''与ABC 关于直线l 对称，且A B C '''有两个顶点在函数(0)k y k x=≠的图像上，则k 的值为：_______________________．53．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，等腰ABC ∆的两个顶点(1,4)A --、(4,1)B --在反比例函数1k y x=（0x <）的图象上，AC BC =．过点C 作边AB 的垂线交反比例函数1k y x =（0x <）的图象于点D ，动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动到达反比例函数2ky x=（0x >）图象上一点，则2k =__________．54．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点A 是双曲线1(0)y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，且使3OB OA =，当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 在双曲线k y x=上移动，则k 的值为___________．55．（2020·河北中考真题）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1~8的整数）．函数ky x=（0x <）的图象为曲线L ．（1）若L 过点1T ，则k =_________；（2）若L 过点4T ，则它必定还过另一点m T ，则m =_________； （3）若曲线L 使得18~T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的整数值有_________个．56．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线y b =+与y 轴交于点A ，与双曲线ky x=在第三象限交于B C 、两点，且 ⋅=AB AC 16；下列等边三角形11OD E ，122E D E ，233E D E ，……的边1OE ，12E E ，23E E ，……在x 轴上，顶点123D ,D ,D ,……在该双曲线第一象限的分支上，则k = ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．57．（2019·贵州安顺市·中考真题）如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．59．（2019·湖南长沙市·中考真题）如图，函数ky x=(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则2k =+25MF MB =，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是_______．60．（2019·四川南充市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(3,2)A m n 在直线1y x =-+上，点(,)B m n 在双曲线ky x=上，则k 的取值范围为___________. 三、解答题61．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数2my x=（0m >）的图象交于点()1,2C ，()2,D n ． （1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD ，求BOD 的面积．62．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC 的中点，30ABC ∠=︒，4BC =，双曲线ky x=经过点A ．（1）求k ；（2）直线AC 与双曲线y =D ．求ABD △的面积．63．（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2my m 0x=≠的图象交于()1,A n -，()3,2B -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 在x 轴上，且满足ABP △的面积等于4，请直接写出点P 的坐标．64．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）若点B 的坐标为()1,2-，①求1k ，2k 的值．②当12y y <时，直接写出x 的取值范围． （2）若点B 在函数33k y x=（3k 是常数，30k ≠）的图象上，求13k k +的值．65．（2021·山东临沂市·中考真题）已知函数()()()31 31131x x y x x x x⎧≤-⎪⎪=-⎨⎪⎪≥⎩＜＜（1）画出函数图象；列表：描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由； （3）设1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，若120x x +=，证明：120y y +=．66．（2021·安徽中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m ，2）．（1）求k ，m 的值；（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．67．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，连结,AO AO 的延长线交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点B ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ．（1）如图1，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连结EF ．①若1k =，求证：四边形AEFO 是平行四边形； ②连结BE ，若4k =，求BOE △的面积．（2）如图2，过点E 作//EP AB ，交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点P ，连结OP ．试探究：对于确定的实数k ，动点A 在运动过程中，POE △的面积是否会发生变化？请说明理由．68．（2021·四川乐山市·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A 对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．69．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，a =_________，b =__________； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．70．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数28xy =-的图象，并探究其性质．列表如下：（1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数284xy x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -≤≤时，函数图象关于直线y x =对称；②2x =时，函数有最小值，最小值为2-；③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号） （3）结合图象，请直接写出不等式284xx x >+的解集_________．71．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，一次函数1y ＝k x ＋ b （k ≠0）与反比例函数2my x=（m ≠0）的图象交于点A （1，2）和B （－2，a ），与y 轴交于点M ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y 轴上取一点N ，当△AMN 的面积为3时，求点N 的坐标； （3）将直线1y 向下平移2个单位后得到直线y 3，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．72．（2021·四川凉山州·中考真题）如图，AOB 中，90∠=︒ABO ，边OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，912,2AOBS AN==．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．73．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数myx=的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQMN的值74．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数myx=（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．（1）请结合图象，直接写出：①点A的坐标是；②不等式mkx bx+>的解集是；（2）求直线AC的解析式．75．（2020·山东济南市·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，），反比例函数kyx=（x>0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．76．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣8x的图象交于点A(n，2)和点B．（1）n＝，k＝；（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．77．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；（3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．78．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与反比例函数y ＝k x（k ＜0）的图象在第二象限交于A （﹣3，m ），B （n ，2）两点．（1）当m ＝1时，求一次函数的解析式； （2）若点E 在x 轴上，满足∠AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，求反比例函数的解析式．79．（2020·云南昆明市·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min ；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min ．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y （单位：mg /m 3）与时间x （单位：min ）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为y ＝2x ，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A （m ，n ）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg /m 3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．80．（2020·四川眉山市·中考真题）已知一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于(3,2)A -、(1,)B n 两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）点P 在x 轴上，当PAO 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．81．（2020·湖北荆州市·中考真题）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数2y x=的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1①列表；下表是x 与y 的几组对应值，其中______m =；②描点：根据表中各组对应值(x ，y)在平面直角坐标系中描出了各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数2y x=的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于点C ，则________OABC S =；②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则________OABC S =； ③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数(0)ky k x=>的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于C ，则________OABC S =；82．（2020·湖南郴州市·中考真题）为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x <<≤，则1y 2y ；若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）． （3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元．①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内?83．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，一次函数()0y mx nm =+≠的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于第二、四象限的点()2,A a -和点(),1B b -，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC △的面积为4．（1）分别求出a 和b 的值；（2）结合图象直接写出kmx n x +>中x 的取值范围； （3）在y 轴上取点P ，使PB PA -取得最大值时，求出点P 的坐标．84．（2019·江苏泰州市·中考真题）已知一次函数()10y kx n n =+<和反比例函数()20,0my m x x=>>．（1）如图1，若2n =-，且函数1y 、2y 的图象都经过点()3,4A ． ①求m ，k 的值；②直接写出当12y y >时x 的范围；（2）如图2，过点()1,0P 作y 轴的平行线l 与函数2y 的图象相交于点B ，与反比例函数()30ny x x=>的图象相交于点C ．①若2k =，直线l 与函数1y 的图象相交点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时，求m n -的值；②过点B 作x 轴的平行线与函数1y 的图象相交于点E ．当m n -的值取不大于1的任意实数时，点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值d ．祝你考试成功!祝你考试成功!。

2020年湘西土家族苗族自治州初中学业水平考试数学试题卷（时量120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每个小题所给四个选项中有唯一正确选项）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．32．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A．0.927×105B．9.27×104C．92.7×103D．927×1023．下列运算正确的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．+＝D．（﹣3a）2＝9a24．如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A．B．C．D．5．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A．B．C．D．6．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正确的是（）A．正比例函数y1的解析式是y1＝2xB．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y18．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．acosx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．asinx+bsinx10．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．﹣的绝对值是．12．分解因式：2x2﹣2＝．13．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．14．不等式组的解集为．15．如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝度．16．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是甲≈7.5，乙≈7.5，方差分别是S甲2＝0.010，S2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是．乙17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为．18．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N 是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．三、解答题（本大題关8小题，共78分，写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（8分）计算：2cos45°+（π﹣2020）0+|2﹣|．20．（8分）化简：（﹣a﹣1）÷．21．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．22．（10分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七76.9 m 80d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；（2）表中m的值为；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．23．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．25．（12分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．26．（12分）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM＝S△ACE时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+，当AM+2DM的最小值为时，求b 的值．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每个小题所给四个选项中有唯一正确选项）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3【知识考点】有理数大小比较．【思路分析】利用数轴表示这些数，从而比较大小．【解题过程】解：将这些数在数轴上表示出来：∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜3，∴比﹣2小的数是﹣3，故选：C．【总结归纳】考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．2．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A．0.927×105B．9.27×104C．92.7×103D．927×102【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数．【解题过程】解：92700＝9.27×104．故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．3．下列运算正确的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．+＝D．（﹣3a）2＝9a2【知识考点】幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法．【思路分析】根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，进行计算即可判断．【解题过程】解：A.＝2，所以A选项错误；B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，所以B选项错误；C.+≠，所以C选项错误；D．（﹣3a）2＝9a2．所以D选项正确．故选：D．【总结归纳】本题考查了二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识．4．如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解题过程】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故选：C．【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A．B．C．D．【知识考点】三角形三边关系；列表法与树状图法．【思路分析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．【解题过程】解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，共有以下4种结果（不分先后）：1cm、3cm、5cm，1cm、3cm、6cm，3cm、5cm、6cm，1cm、5cm、6cm，其中，能构成三角形的只有1种，∴P（构成三角形）＝．故选：A．【总结归纳】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．6．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【知识考点】等腰三角形的判定；作图—基本作图．【思路分析】依据已知条件即可得到∠ODP＝∠OGP，即可得到OD＝OG，进而得出△ODG是等腰三角形．【解题过程】解：如图所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，由题可得，DG垂直平分OC，∴∠OPD＝∠OPG＝90°，∴∠ODP＝∠OGP，∴OD＝OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正确的是（）A．正比例函数y1的解析式是y1＝2xB．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．【解题过程】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），∴正比例函数y1＝﹣2x，反比例函数y2＝﹣，∴两个函数图象的另一个交点为（2，﹣4），∴A，B选项说法错误；∵正比例函数y1＝﹣2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2＝﹣中，在每个象限内y随x 的增大而增大，∴C选项说法错误；∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1，∴选项D说法正确．故选：D．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．8．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线【知识考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；切线的性质．【思路分析】根据切线的性质即可求出答案．【解题过程】解：（A）∵PA、PB为圆O的切线，∴PA＝PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意．（B）由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意．（C）连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意．故选：B．【总结归纳】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．acosx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．asinx+bsinx【知识考点】坐标与图形性质;矩形的性质；解直角三角形．【思路分析】作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，证出∠CDE＝∠DAO＝x，由三角函数定义得出OD＝bsinx，DE＝acosx，进而得出答案．【解题过程】解：作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO＝，cos∠CDE＝，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝CD×cos∠CDE＝acosx，∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；故选：A．【总结归纳】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤【知识考点】二次函数图象与系数的关系．【思路分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解题过程】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；故④⑤正确．故选：D．【总结归纳】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．﹣的绝对值是．【知识考点】绝对值．【思路分析】根据绝对值的意义，求出结果即可．【解题过程】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|﹣|＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．12．分解因式：2x2﹣2＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解题过程】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．【总结归纳】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．【知识考点】多边形内角与外角．【思路分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解题过程】解：设该多边形的边数为n，根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．故这个多边形的边数为6．故答案为：6【总结归纳】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．14．不等式组的解集为．【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】求出每个不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．【解题过程】解：，∵解不等式①得：x≥﹣3，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【总结归纳】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．15．如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝度．【知识考点】垂线；平行线的性质．【思路分析】根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠C＝90°﹣54°＝36°，根据平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝54°，∴∠C＝90°﹣54°＝36°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝36°，故答案为：36．【总结归纳】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．16．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是甲≈7.5，乙≈7.5，方差分别是S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是．【知识考点】算术平均数；方差．【思路分析】在平均数基本相等的前提下，方差越小产量越稳定，据此求解可得．【解题过程】解：∵甲＝乙≈7.5，S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，∴S甲2＞S乙2，∴乙玉米种子的产量比较稳定，∴应该选择的玉米种子是乙，故答案为：乙．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为．【知识考点】三角形的面积；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt △AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，作出图形，根据三角形面积公式列出方程即可得出答案．【解题过程】解：∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；∴矩形CODE的面积为4×2＝8，∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2，如图，设ME′＝x，则FE′＝x，依题意有x×x÷2＝2，解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．【总结归纳】考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．18．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N 是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．【知识考点】规律型：图形的变化类；全等三角形的判定与性质；正多边形和圆．【思路分析】根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．【解题过程】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n＝．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n＝．【总结归纳】本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．三、解答题（本大題关8小题，共78分，写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（8分）计算：2cos45°+（π﹣2020）0+|2﹣|．【知识考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】分别根据特殊角的三角函数值，任何非零数的零次幂定义以及绝对值的定义计算即可．【解题过程】解：原式＝＝＝3．【总结归纳】本题主要考查了实数的运算，熟记相应定义以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．20．（8分）化简：（﹣a﹣1）÷．【知识考点】分式的混合运算．【思路分析】先计算括号内分式的减法、将除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．【解题过程】解：原式＝（﹣）÷＝•＝．【总结归纳】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【思路分析】（1）利用等边三角形的性质得到AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠AEB的度数．【解题过程】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．【总结归纳】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．22．（10分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 7677 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七76.9 m 80d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；（2）表中m的值为；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．【思路分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）由90≤x≤100的频数为8、80≤x＜90的频数为15，据此可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．【解题过程】解：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有8+15+8＝31（人），故答案为：31．（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，∴m＝＝77.5，故答案为：77.5；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，故答案为：24；（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×＝270（人）．【总结归纳】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．23．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【知识考点】一元二次方程的应用．【思路分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．【解题过程】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接AE，OE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到AD＝DE，求得∠DAE＝∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，等量代换得到∠DEO＝90°，于是得到结论；（2）证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．【解题过程】（1）证明：连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠DEA+∠OEA＝90°，即∠DEO＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，∴△AEC∽△BAC，∴，∵CA＝6，CE＝3.6，∴，∴BC＝10，∵∠CAB＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB＝＝8，∴OA＝4，即⊙O的半径OA的长是4．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（4）——方程的解法和应用一．选择题（共19小题） 1．（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程( )A ．2932x x +=-B ．9232x x -+=C ．9232x x +-=D ．2932x x -=+2．（2019•怀化）一元一次方程20x -=的解是( ) A ．2x = B ．2x =- C ．0x = D ．1x = 3．（2020•益阳）同时满足二元一次方程9x y -=和431x y +=的x ，y 的值为( ) A ．45x y =⎧⎨=-⎩ B ．45x y =-⎧⎨=⎩ C ．23x y =-⎧⎨=⎩ D ．36x y =⎧⎨=-⎩4．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0~2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( )A ．7161328x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．(72)161328x y x y +-=⎧⎨+=⎩C ．716(132)28x y x y +=⎧⎨+-=⎩D ．(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩5．（2019•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( ) A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩6．（2020•邵阳）设方程2320x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．3B ．32-C ．32D ．2-7．（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2或4 8．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为( )A ．2352035202600x x x ⨯--+=B ．352035220600x x ⨯--⨯=C ．(352)(20)600x x --=D ．(35)(202)600x x --=9．（2020•怀化）已知一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为( ) A ．4k = B ．4k =- C ．4k =± D ．2k =± 10．（2019•湘潭）已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则(c = )A ．4B ．2C ．1D ．4- 11．（2019•湘西州）一元二次方程2230x x -+=根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断 12．（2019•郴州）一元二次方程22350x x +-=的根的情况为( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根13．（2019•淄博）若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是( ) A ．2320x x -+= B ．2320x x +-= C ．2320x x ++=D ．2320x x --=14．（2019•怀化）一元二次方程2210x x ++=的解是( )A ．11x =，21x =-B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．11x =-，22x = 15．（2019•衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得( )A ．9(12)1x -=B ．29(1)1x -=C ．9(12)1x +=D ．29(1)1x += 16．（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得( )A ．40050030x x =-B ．40050030x x =+C ．40050030x x =-D ．40050030x x=+ 17．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为( )A ．1209020x x =-B ．1209020x x =+C ．1209020x x =-D ．1209020x x =+ 18．（2019•益阳）解分式方程232112x x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．23x +=B ．23x -=C ．23(21)x x -=-D ．23(21)x x +=-19．（2019•株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为( )A ．3-B ．2-C ．2D ．3 二．填空题（共13小题） 20．（2020•株洲）关于x 的方程38x x -=的解为x = ． 21．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名． 22．（2019•湘西州）若关于x 的方程320x kx -+=的解为2，则k 的值为 ． 23．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 ． 24．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 次．25．（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ．26．（2020•邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为 ． 27．（2020•娄底）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． 28．（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． 29．（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．30．（2019•娄底）已知方程230x bx ++=，则方程的另一根为 ． 31．（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 32．（2019•邵阳）关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值是 ． 三．解答题（共8小题）（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？34．（2019•怀化）解二元一次方程组：37,31x y x y +=⎧⎨-=⎩35．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 36．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率． 37．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？ 38．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？39．（2020•郴州）解方程：24111x x x =+--．40．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（4）——方程的解法和应用一．选择题（共19小题） 1．（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程( )A ．2932x x +=-B ．9232x x -+=C ．9232x x +-=D ．2932x x -=+【解答】解：依题意，得：9232x x -+=．故选：B ． 2．（2019•怀化）一元一次方程20x -=的解是( ) A ．2x = B ．2x =- C ．0x = D ．1x = 【解答】解：20x -=， 解得：2x =． 故选：A ． 3．（2020•益阳）同时满足二元一次方程9x y -=和431x y +=的x ，y 的值为( ) A ．45x y =⎧⎨=-⎩B ．45x y =-⎧⎨=⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．36x y =⎧⎨=-⎩【解答】解：由题意得：9431x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，由①得，9x y =+③，把③代入②得，4(9)31y y ++=，解得，5y =-，代入③得，954x =-=，∴方程组的解为45x y =⎧⎨=-⎩，故选：A ． 4．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0~2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( )A ．7161328x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．(72)161328x y x y +-=⎧⎨+=⎩C ．716(132)28x y x y +=⎧⎨+-=⎩D ．(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩【解答】解：设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则所列方程组为(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，故选：D ． 5．（2019•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( ) A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩【解答】解：由题意可得， 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩， 故选：A ． 6．（2020•邵阳）设方程2320x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．3B ．32-C ．32D ．2-【解答】解：由2320x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数3b =-，由根与系数的关系：12331b x x a -+=-=-=．故选：A ． 7．（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2或4 【解答】解：2680x x -+= (4)(2)0x x --=解得：4x =或2x =，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A ． 8．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为( )A ．2352035202600x x x ⨯--+=B ．352035220600x x ⨯--⨯=C ．(352)(20)600x x --=D ．(35)(202)600x x --= 【解答】解：依题意，得：(352)(20)600x x --=． 故选：C ． 9．（2020•怀化）已知一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为( ) A ．4k = B ．4k =- C ．4k =± D ．2k =±【解答】解：一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根， ∴△2()4140k =--⨯⨯=， 解得：4k =±． 故选：C ． 10．（2019•湘潭）已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则(c = ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．4- 【解答】解：方程240x x c -+=有两个相等的实数根， ∴△2(4)411640c c =--⨯⨯=-=， 解得：4c =． 故选：A ． 11．（2019•湘西州）一元二次方程2230x x -+=根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 【解答】解：1a =，2b =-，3c =， 244441380b ac ∴-==-⨯⨯=-<， ∴此方程没有实数根． 故选：C ． 12．（2019•郴州）一元二次方程22350x x +-=的根的情况为( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 【解答】解：一元二次方程22350x x --=中， △23429(5)0=-⨯⨯->， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B ．13．（2019•淄博）若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是( ) A ．2320x x -+= B ．2320x x +-=C ．2320x x ++=D ．2320x x --=【解答】解：22125x x +=， 21212()25x x x x ∴+-=， 而123x x +=， 12925x x ∴-=， 122x x ∴=，∴以1x ，2x 为根的一元二次方程为2320x x -+=．故选：A ．14．（2019•怀化）一元二次方程2210x x ++=的解是( ) A ．11x =，21x =- B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．11x =-，22x =【解答】解：2210x x ++=， 2(1)0x ∴+=， 则10x +=，解得121x x ==-， 故选：C ． 15．（2019•衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得( )A ．9(12)1x -=B ．29(1)1x -=C ．9(12)1x +=D ．29(1)1x += 【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得： 29(1)1x -=， 故选：B ． 16．（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得( )A ．40050030x x =-B ．40050030x x =+C ．40050030x x =-D ．40050030x x=+ 【解答】解：设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产(30)x +万件产品，依题意，得：40050030x x =+． 故选：B ． 17．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为( )A ．1209020x x =-B ．1209020x x =+C ．1209020x x =-D ．1209020x x =+ 【解答】解：由题意可得， 1209020x x =+， 故选：B ．18．（2019•益阳）解分式方程232112x x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．23x +=B ．23x -=C ．23(21)x x -=-D ．23(21)x x +=- 【解答】解：方程两边都乘以(21)x -，得 23(21)x x -=-， 故选：C ．19．（2019•株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为( )A ．3-B ．2-C ．2D ．3 【解答】解：去分母得：2650x x --=， 解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解， 故选：B ．二．填空题（共13小题） 20．（2020•株洲）关于x 的方程38x x -=的解为x = 4 ． 【解答】解：方程38x x -=， 移项，得38x x -=， 合并同类项，得28x =． 解得4x =． 故答案为：4． 21．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名． 【解答】解：设女生有x 名，则男生人数有(217)x -名，依题意有 21752x x -+=， 解得23x =． 故女生有23名． 故答案为：23． 22．（2019•湘西州）若关于x 的方程320x kx -+=的解为2，则k 的值为 4 ． 【解答】解：关于x 的方程320x kx -+=的解为2， 32220k ∴⨯-+=， 解得：4k =． 故答案为：4． 23．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩ ．【解答】解：依题意，得：2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩．故答案为：2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩．24．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次． 【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： 1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩， 整理得：10530x y y +=⎧⎨=⎩，解得：46x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4．25．（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 22x y =⎧⎨=⎩．【解答】解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x =，即2x =， 把2x =代入①得：2y =， 则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩26．（2020•邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为 (12)864x x += ． 【解答】解：矩形的宽为x （步)，且宽比长少12（步)， ∴矩形的长为(12)x +（步)． 依题意，得：(12)864x x +=． 故答案为：(12)864x x +=．27．（2020•娄底）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = 1 ． 【解答】解：一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根， ∴△224(2)40b ac c =-=--=， 解得1c =． 故答案为1．28．（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c =258． 【解答】解：根据题意得△2(5)420c =--⨯⨯=，解得258c =．故答案为：258．29．（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ．【解答】解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．30．（2019•娄底）已知方程230x bx ++=【解答】解：设方程的另一个根为c ， (52)3c +=，c ∴． 31．（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 12 步． 【解答】解：设长为x 步，宽为(60)x -步， (60)864x x -=，解得，136x =，224x =（舍去）， ∴当36x =时，6024x -=，∴长比宽多：362412-=（步)， 故答案为：12． 32．（2019•邵阳）关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值是 0 ． 【解答】解：一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根， ∴△440m =+>， 1m ∴>-； 故答案为0；三．解答题（共8小题）（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？ 【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱， 依题意，得：500253514500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：300200x y =⎧⎨=⎩．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）(3525)300(4835)2005600-⨯+-⨯=（元)． 答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．34．（2019•怀化）解二元一次方程组：37,31x y x y +=⎧⎨-=⎩【解答】解：3731x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得： 28x =，解得：4x =， 则431y -=， 解得：1y =，故方程组的解为：41x y =⎧⎨=⎩．35．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得 220000(1)24200x +=解得1 2.1x =-（舍去），20.110%x ==， 答：口罩日产量的月平均增长率为10%． （2）24200(10.1)26620+=（个)．答：预计4月份平均日产量为26620个． 36．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．【解答】解：设平均增长率为x ，根据题意列方程得 230(1)36.3x +=解得10.1x =，2 2.1x =-（舍)答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%． 37．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？ 【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有x 人，由题意得，800650810(7)x x =-， 解得：20x =．经检验，20x =是原方程的解．答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y 天才能完成任务． 8005820=⨯（套)， 即每人每小时生产5套防护服．由题意得，106502051014500y ⨯+⨯⨯， 解得8y ．答：至少还需要生产8天才能完成任务． 38．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？word 可编辑文档11 【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有 1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解，1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．39．（2020•郴州）解方程：24111x x x =+--． 【解答】解：24111x x x =+--， 方程两边都乘(1)(1)x x -+，得(1)4(1)(1)x x x x +=+-+，解得3x =，检验：当3x =时，(1)(1)80x x -+=≠．故3x =是原方程的解．40．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为x 元，则第二批购进的消毒液的单价为(2)x -元， 依题意，得：200016002x x =-， 解得：10x =，经检验，10x =是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．。

专题16矩形菱形正方形（共50题）一．选择题（共24小题）1．（2020•荆门）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：13．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，AD ∥x 轴且AD ＝4，∠A ＝60°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是（ ）A ．（0，2√3）B ．（2，﹣4）C ．（2√3，0）D ．（0，2√3）或（0，﹣2√3）4．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8．则线段OH 的长为（ ）A ．125 B ．52 C ．3 D ．55．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8．BD ＝6，点E 是CD上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．46．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，S 菱形ABCD ＝48，则OH 的长为（ ）A ．4B ．8C ．√13D ．67．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．968．（2020•绥化）如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证△ABE 和△ADF一定全等的条件是（ ）A ．∠BAF ＝∠DAEB ．EC ＝FC C ．AE ＝AFD ．BE ＝DF9．（2020•乐山）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD ＝120°，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE⊥CD 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ）A ．9+2√3B ．9+√3C ．7+2√3D ．810．（2020•甘孜州）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点．若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．（2020•贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）A ．5B ．20C ．24D ．3212．（2020•南充）如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 的中点，过点E 作EF ⊥BD 于F ，EG ⊥AC 于G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．14SB ．18SC ．112S D ．116S13．（2020•遵义）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．125 B ．185 C ．4 D ．24514．（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x15．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．1016．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD 交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．117．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°19．（2020•天津）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）20．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM ＝45°，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+√22）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是18a2；⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②④⑤C ．①③④D ．①④⑤21．（2020•河南）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2） D ．（4，2）22．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）A ．1和1B ．1和2C ．2和1D ．2和223．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）A ．由②推出③，由③推出①B ．由①推出②，由②推出③C ．由③推出①，由①推出②D ．由①推出③，由③推出② 24．（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）A ．互相平分B ．相等C．互相垂直D．互相垂直平分二．填空题（共15小题）25．（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．26．（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD 的面积为．27．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．28．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．29．（2020•无锡）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝°．30．（2020•淮安）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为 ．31．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件： ，使▱ABCD 是菱形．32．（2020•菏泽）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，点P 在对角线BD 上，且BP ＝BA ，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为 ．33．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）．①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3． 34．（2020•青岛）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若DE ＝2，OF ＝3，则点A 到DF 的距离为 ．35．（2020•连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M 、N 的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A 的坐标为 ．36．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为 ．37．（2020•枣庄）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF的周长是 ．38．（2020•天水）如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为 ．39．（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312π；③△A ′AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ．三．解答题（共11小题）40．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．41．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．42．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．43．（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．44．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．45．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．46．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．47．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．48．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．49．（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．50．（2020•临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？。

2021年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.2021的相反数是()A. 1202B. −2021C. 11202D. −120212.计算−1+3的结果是()A. 2B. −2C. 4D. −43.据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛.如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的()A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差4.下列计算结果正确的是()A. (a3)2=a5B. (−bc)4÷(−bc)2=−b2c2C. a÷b⋅1b =ab2D. 1+1a=2a5.工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图()A.B.C.D.6.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF//CD，交AD于点F，如果EF=5.5，那么菱形ABCD的周长是()A. 11B. 22C. 33D. 447.如图，在△ECD中，∠C=90°，AB⊥EC于点B，AB=1.2，EB=1.6，BC=12.4，则CD的长是()A. 14B. 12.4C. 10.5D. 9.38.如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB⏜的长度为()A. 9ππB. 92πC. 32πD. 949.如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是()个解析式为y=2x−1A. 图象与x轴没有交点B. 当x>0时，y>0) D. y随x的增大而减小C. 图象与y轴的交点是(0,−1210.已知点M(x,y)在第一象限，且x+y=12，点A(10,0)在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为()A. (10,2)，(8,4)或(6,6)B. (8,4)，(9,3)或(5,7)C. (8,4)，(9,3)或(10,2)D. (10,2)，(9,3)或(7,5)二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）)2=______．11.计算：(−1212.北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星.其中，400000用科学记数法可以表示为______ ．13.因式分解：a2−2a=______．14.若二次根式√2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．15.实数m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个根，则多项式mn−m−n的值为______ ．+1的值为零，则y=______ ．16.若式子2y−217.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD//BE，∠1=20°，则∠2的度数是______ ．18.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1=1，第二个图形表示的三角形数记为a2=3，…，则第n个图形表示的三角形数a n=______ .(用含n的式子表达)三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.计算：(−2)0−√8−|−5|+4sin45°．20.解不等式组：{3(x−1)>x①1−2x≥x−32②，并在数轴上表示它的解集．21.如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB=CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA=∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B=70°，∠A=10°．(1)求证：AB=ED；(2)求∠AFE的度数．22.为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动(活动代号如下表)，要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查.根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．(1)该校此次调查共抽取了______ 名学生；(2)请补全条形统计图(画图后标注相应的数据)；(3)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文活动代号A B C D E23.有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度.(结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41，√3=1.73)24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AD=8，tan∠CAB=3，求：边AC及AB的长．425.2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍(注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数).假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？(2)求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；(3)每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(−1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，求直线BC的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为−2021．故选：B．绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为−2021．本题属于基础简单题，考查相反数的定义，即绝对值相等，符号相反的两个数叫作互为相反数．2.【答案】A【解析】解：−1+3=+(3−1)=2，故选：A．绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．根据有理数的加法运算法则进行计算即可．本题考查有理数的加法运算，理解有理数加法的运算法则是解题基础．3.【答案】B【解析】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．4.【答案】C【解析】解：A、(a3)2=a6，故此选项不符合题意；B、(−bc)4÷(−bc)2=(−bc)2=b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b⋅1b =a⋅1b⋅1b=ab2，正确，故此选项符合题意；D、1+1a =a+1a，故此选项不符合题意；故选：C．根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．本题考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．5.【答案】B【解析】解：从上面看该几何体，是两个同心圆．故选：B．根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提．6.【答案】D【解析】解：∵点E是AC的中点，∴AE=EC=12，∵EF//CD，∴△AEF∽△ACD，∴ AEAC =EFCD，∴CD=2EF=11，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴菱形ABCD的周长=4×11=44，故选：D．通过证明△AEF△ACD，可求CD=11，即可求解．本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，求出CD的长是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵EB=1.6，BC=12.4，∴EC=EB+BC=14，∵AB⊥EC，∴∠ABE=90°，∵∠C=90°，∴∠ABE=∠C，又∵∠E=∠E，∴△ABE∽△DCE，∴BACD =EBEC，即1.2CD =1.614，解得：CD=10.5，故选：C．由∠ABE=∠C，∠E=∠E，证明△ABE∽△DCE，得BACD =EBEC，即可求解．本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△DCE是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：如图连接OA，OB，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，∴AB=√18=3√2，∴OA=OB=3，故选：C．连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为3√2，进而可得半径为3，根据弧长公式可求弧AB的长．本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、弧长公式等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：A.由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；B.由图象可知，当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0，故说法错误；C.当x=0时，函数值为−2，故图象与y轴的交点是(0,−2)，故说法错误；D.当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而减小，故说法错误．故选：A．根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可．本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围．10.【答案】C【解析】解：分情况讨论：①若O为直角顶点，则点M在y轴上，不合题意舍去；②若A为直角顶点，则MA⊥x轴，∴点M的横坐标为10，把x=10代入y=−x+12中，得y=2，∴点M坐标(10,2)；③若M为直角顶点，可得△OMB∽△MAB．∴OB MB =MB AB ，∴MB 2=OB ⋅AB ．∴(−x +12)2=x(10−x)．解得x =8或9，∴点M 坐标(8,4)或(9,3)．∴当△OMA 为直角三角形时，点M 的坐标为(10,2)、(8,4)、(9,3)，故选：C ．分情况讨论：①若O 为直角顶点，则点M 在y 轴上，不合题意舍去；②若A 为直角顶点，则MA ⊥x 轴，所以点M 的横坐标为10，代入y =−x +12中，得y =2，求出点M 坐标为(10,2)；③若M 为直角顶点，可得△OMB∽△MAB ，根据相似三角形的性质求出M 点横坐标，进而得到M 点坐标．本题考查了勾股定理，图形与坐标性质，熟悉一次函数的性质以及三角形的面积公式以及懂得直角三角形的性质是解题的关键．11.【答案】14【解析】解：(−12)2=14．故答案为：14．本题考查有理数的乘方运算，(−12)2表示2个(−12)的乘积．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．12.【答案】4×105【解析】解：400000=4×105．故答案为：4×105．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当本题考查了用科学记数法表示较大的数．掌握用科学记数法表示较大数的方法是解决本题的关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.【答案】a(a−2)【解析】【分析】本题考查提公因式法−因式分解，较为简单，找准公因式即可．先确定公因式是a，然后提取公因式即可．【解答】解：a2−2a=a(a−2)．故答案为：a(a−2)．14.【答案】x≥12【解析】解：根据题意得：2x−1≥0，∴x≥12．故答案为：x≥12．根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．15.【答案】−1【解析】解：∵实数m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个根，a=1，b=−3，c=2，∴m+n=−ba =3，mn=ca=2，∴mn−m−n=mn−(m+n)=2−3=−1．故答案为：−1．由实数m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系可得出(m+本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba ，两根之积等于ca”是解题的关键．16.【答案】0【解析】解：由题意得：2y−2+1=0．∴2y−2=−1．∴y−2=−2．∴y=0．根据题意，得2y−2+1=0.再根据等式的基本性质，化简为2y−2=−1，故求出y=0．本题属于基础简单题，主要考查等式的基本性质以及分式的运算．17.【答案】40°【解析】解：如图分别延长EB、DB到F，G，由于纸带对边平行，∴∠1=∠4=20°，∵纸带翻折，∴∠3=∠4=20°，∴∠DBF=∠3+∠4=40°，∵CD//BE，∴∠2=∠DBF=40°．故答案为：40°．利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1=∠3=∠4=20°，进而得出∠2=40°．位角相等；两直线平行；内错角相等．18.【答案】n(n+1)2【解析】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2=3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3=6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4=10，.....第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+(n−1)+n=n(n+1)．2．故答案为：n(n+1)2由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+ 2=3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3=6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．19.【答案】解：原式=1−2√2−5+4×√2=1−2√2−5+2√2=−4．2【解析】利用绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂法则、二次根式化简方法计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：解不等式①，得x>3，2解不等式②，得x≤1，在数轴上表示不等式的解集为：，所以不等式组无解．【解析】先求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．21.【答案】(1)证明：∵∠ECA=∠DCB，∴∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD，即∠ECD=∠BCA，由旋转可得CA=CE，在△BCA和△DCE中，{CB=CD∠BCA=∠DCE AC=EC，∴△BCA≌△DCE(SAS)．∴AB=ED．(2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°，又CB=CD，∴∠B=∠CDB=70°，∴∠EDA=180°−∠BDE=180°−70°×2=40°，∴∠AFE=∠EDA+∠A=40°+10°=50°．【解析】(1)利用∠ECA=∠DCB，可证得∠ECD=∠BCA，结合CA=CE、CB=CD，用“SAS“可证△BCA≌△DCE；(2)由CB=CD可得∠B=∠CDB=70°，从而∠EDA=40°，再利用三角形外角关系可得∠AFE=∠EDA+∠A=40°+10°=50°．本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，证明△BCA≌△DCE是解题的关键．22.【答案】50【解析】解：(1)该校此次调查共抽取的学生数为：10÷20%=50(名)，故答案为：50；补全条形统计图如下：=240(名)，(3)2000×650答：估计该校有240名学生参加舞蹈活动．(1)根据选择B的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数；(2)根据(1)的结果及图中的数据可以计算出选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校参加舞蹈活动的学生有多少名．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23.【答案】解：设CH为x m，由题意得：∠AHC=90°，∠CBH=45°，∠A=30°，∴BH=CH=xm，AH=√3CH=√3x m，∵AH−BH=AB，∴√3x−x=20，解得：x=10(√3+1)≈27.3(m)，答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．【解析】设CH为x m，证出BH=CH=xm，AH=√3CH=√3x m，再由AH−BH=AB 得出方程，解方程即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、等腰直角三角形的与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；证出BH=CH，AH=√3CH是解答此题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OC ，如图，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，∴OC//AD ，∴∠DAC =∠OCA ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，∴∠DAC =∠OCA ，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：连接BC ，如图，∵∠DAC =∠OCA ，∴tan∠DAC =tan∠CAB =34， 在Rt △DAC 中，∵tan∠DAC =CD AD =34，∴CD =34×8=6，∴AC =√CD 2+AD 2=√62+82=10，∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∴tan∠CAB =BC AC =34，∴BC =34×10=152， ∴AB =√(152)2+102=252．【解析】(1)连接OC ，如图，根据切线的性质得OC ⊥CD ，然后证明∠DAC =∠OCA ，从而得到结论；(2)连接BC ，如图，利用正切的定义可求出CD =6，再利用勾股定理计算出AC =10，接着根据圆周角定理得到∠ACB =90°，则利用正切的定义求出BC ，然后利用勾股定理计算出AB ．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．25.【答案】解：(1)设团队制作一个A 类微课的成本为x 元，制作一个B 类微课的成本为y 元，根据题意得：{3x +5y =46005x +10y =8500， 解得{x =700y =500， 答：团队制作一个A 类微课的成本为700元，制作一个B 类微课的成本为500元；(2)由题意，得w =(1500−700)a +(1000−500)×1.5(22−a)=50a +16500；1.5(22−a)≥2a ，解得a ≤937，又∵每月制作的A 、B 两类微课的个数均为整数，∴0≤a ≤9(且a 为整数)；(3)由(2)得， ∵5>0，∴w 随a 的增大而增大，∴当a =9时，w 有最大值，w 最大=50×9+16500=16950(元)．答：每月制作A 类微课9个时，该团队月利润w 最大，最大利润是16950元．【解析】(1)设团队制作一个A 类微课的成本为x 元，制作一个B 类微课的成本为y 元，根据“制作3个A 类微课和5个B 类微课需要4600元成本，制作5个A 类微课和10个B 类微课需要8500元成本”列方程组解答即可；(2)由纯利润=销售利润−各种费用支出就可以得出结论；根据“团队每天可以制作1个A 类微课或者1.5个B 类微课，且团队每月制作的B 类微课数不少于A 类微课数的2倍”可得a 的取值范围；(3)根据(2)的结论，结合一次函数的性质解答即可．本题考查了一次函数的运用，二元一次方程组的运用，销售问题的数量关系月利润=每件利润×数量的运用，解答时求出函数的解析式是关键．26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(4,0)代入y =ax 2+bx +4，得到{a −b +4=016a +4b +4=0， 解得{a =−1b =3， ∴y =−x 2+3x +4．(2)设BC的解析式为y=kx+b，∵B(4,0)，C(0,4)，∴{b=44k+b=0，∴{k=−1b=4，∴直线BC的解析式为y=−x+4．(3)如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x=32对称，连接BC交直线x=32于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长=√42+42=4√2，此时P(32,5 2 ).(4)如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，对于抛物线y=−x2+3x+4，当y=4时，x2−3x=0，解得x=0或3，∴N1(3,4)．当y=−4时，x2−3x−8=0，解得x=3±√412，∴N2(3+√412,−4)，N3(3−√412,−4)，综上所述，满足条件的点N的坐标为(3,4)或(3+√412,−4)或(3−√412,−4)．【解析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)设BC的解析式为y=kx+b把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．(3)可以连接BC交直线x=32于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，把问题转化为解方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决．。

2020年中考数学试题《平行四边形》试题精编含答案1．（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．2．（2020•德阳）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．3．（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．4．（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．5．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．（1）求证：△AOM≌△CON；（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为．6．（2020•宿迁）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．7．（2020•大庆）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．8．（2020•呼和浩特）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE ⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．9．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．10．（2020•娄底）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．11．（2020•广西）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．12．（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．13．（2020•淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．14．（2020•张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．15．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．16．（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC 的延长线于点E，求证：AD＝CE．17．（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：EG＝FH．18．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．19．（2020•牡丹江）在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6．以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点，连接MN．请你画出图形，并直接写出线段MN的长．20．（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形．21．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．22．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．23．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE＝，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．24．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．25．（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD 和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．26．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．27．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．28．（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．29．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．30．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．31．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．32．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．33．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．34．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．35．（2020•绍兴）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．36．（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E 与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．37．（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．38．（2019•黑龙江）如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接P A，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）如图①所示，求证：AP＝OA；（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．39．（2019•西宁）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝BC，△AEC≌△BFD，连接BE，CF，EF．（1）求证：BE＝CF；（2）当∠A＝∠D时，求证四边形BCFE是矩形．1．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．2．【解答】解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，∴GB＝GC＝GD，∵CF＝GC，∴GB＝GC＝GD＝CF，∵四边形DCFE是菱形，∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，∴DE＝GC，∴四边形CEDG是平行四边形，∵GD＝GC，∴四边形CEDG是菱形；（2）方法1：过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，∴CH＝BH＝BC＝，△CDG是等边三角形，∴∠GCD＝60°，∴∠DCF＝180°﹣∠GCD＝180°﹣60°＝120°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠GCH＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝＝＝1，∴CD＝1，∵四边形DCFE是菱形，∴DN＝FN，CN⊥DF，∠DCE＝∠FCE＝∠DCF＝×120°＝60°，在Rt△CND中，DN＝CD•sin∠DCE＝1×sin60°＝1×＝，∴DF＝2DN＝2×＝．方法2：设DF交CE于点N，如图所示；∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，∴CH＝BH＝BC＝，△CDG是等边三角形，∴∠GDC＝60°，GD＝CD，在Rt△BCD中，∵BC＝，∠GDC＝60°，∴CD＝BC＝1，∴GD＝1，∵GD＝GC＝CF，∴CD＝GF，∴△GDF是直角三角形，∴DF＝GD×tan∠DGC＝1×＝．3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝tan30°BE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．4．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．5．【解答】解：（1）∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS）；（2）如图所示，连接CE，∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即32+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，即AE的长为．故答案为：．6．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，同理可得△BFC≌△DFC，所以BF＝DF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形BEDF是菱形．7．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．8．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．9．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠EAC＝∠F AC＝30°，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF＝AC，∵点H为对角线AC的中点，∴EH＝FH＝AC，∴CE＝CF＝EH＝FH，∴四边形CEHF是菱形；（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，∴AE＝8，∴AC＝＝4，连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，∵点H为对角线AC的中点，∴D、H、B在同一直线上，∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，∴△ABH∽△ACE，∴＝，∴＝，∴BH＝，∴BD＝2BH＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝20．10．【解答】（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．11．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．12．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，又∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．13．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．15．【解答】证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．方法二：∵ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，所以就能得到四个三角形全等，所以四条边相等，所以四边形BEDF为菱形．方法三：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，又∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是菱形．16．【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．17．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，在△BEG与△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．18．【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．19．【解答】解：∵BC＝6，S△ABC＝6，∴△ABC中BC边上的高为6×2÷6＝2，而矩形BCDE的周长为18，BC＝6，∴BE＝CD＝18÷2﹣6＝3，当矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，过A作AF⊥BC，垂足为F，与ED交于G，连接AD，∵AB＝AC，∴BF＝CF＝3，∵∠GFC＝∠FCD＝∠CDG＝90°，∴四边形CFGD是矩形，∴DG＝CF＝3，∵×6×AF＝6，∴AF＝2，∴AG＝GF﹣AF＝3﹣2＝1，∴AD＝＝，∵M，N分别为AC和CD中点，∴MN＝AD＝；当矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，过A作AF⊥ED，垂足为F，与BC交于G，连接AD，可知BG＝CG，AG＝2，GF＝3，F为ED中点，∴AF＝5，DF＝3，∴AD＝＝，∵M，N分别为AC和CD中点，∴MN＝AD＝，综上：MN的长为或．20．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝BC，FD＝AD，∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．21．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．22．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．23．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF＝，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．24．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵O为对角线AC的中点，∴AO：AC＝1：2，∵AE：AD＝1：2，∴＝，∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△AOE的面积为2，∴△ADC的面积为8，∴平行四边形ABCD的面积＝2×8＝16．25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．26．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．27．【解答】解：（1））∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．28．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．29．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB＝ED，AB∥CD，∴∠EBP＝∠EDQ，在△PBE和△QDE中，，∴△PBE≌△QDE（ASA）；（2）证明：如图所示：∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA），∴EM＝EN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形．30．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．31．【解答】解：证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．32．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．33．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△F AE（AAS）；（2）∵△BDE≌△F AE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．34．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE＝，∠DCF＝，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF．35．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝2；（2）∵∠BAF＝90°，添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．36．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．37．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．38．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵QO⊥BD，∴∠BOQ＝90°，∴∠BQO＝∠CBD＝45°，∴OB＝OQ，∵PQ＝BC，∴AB＝PQ，在△ABO和△PQO中，，∴△ABO≌△PQO（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∵∠BOP+∠POQ＝90°，∴∠BOP+∠AOB＝90，即∠AOP＝90°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴AP＝OA；（2）解：PQ在BC的延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵QO⊥BD，∴∠BOQ＝90°，∴∠BQO＝∠CBD＝45°，∴OB＝OQ，∵PQ＝BC，∴AB＝PQ，在△ABO和△PQO中，，∴△ABO≌△PQO（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∵∠BOP+∠POQ＝90°，∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴AP＝OA；PQ在BC的反向延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵QO⊥BD，∴∠BOQ＝90°，∴∠BQO＝∠CBD＝∠OBQ＝45°，∴OB＝OQ，∠ABO＝∠PQO＝135°，∵PQ＝BC，∴AB＝PQ，在△ABO和△PQO中，，∴△ABO≌△PQO（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∵∠BOP﹣∠POQ＝90°，∴∠BOP﹣∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴AP＝OA．39．【解答】（1）证明：∵△AEC≌△BFD，∴AE＝BF，∠EAB＝∠FBC，∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴BE＝CF；（2）解：∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF，∵△AEC≌△BFD，∴AC＝BD，∠ACE＝∠D，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠ACE＝∠DBF＝∠D，∴AE＝CE，BF＝DF，∴BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF，∴四边形BCFE是矩形．。

2020年湘西州中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0B．﹣1C．﹣3D．32．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A．0.927×105B．9.27×104C．92.7×103D．927×1023．下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．+＝D．（﹣3a）2＝9a24．如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A．B．C．D．5．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A．B．C．D．6．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正确的是（）A．正比例函数y1的解析式是y1＝2xB．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y18．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x10．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．﹣的绝对值是．12．分解因式：2x2﹣2＝．13．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．14．不等式组的解集为．15．如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝度．16．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是甲≈7.5，乙≈7.5，方差分别是S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是．17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE 沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为．18．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．三、解答题（本大題关8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．计算：2cos45°+（π﹣2020）0+|2﹣|．20．化简：（﹣a﹣1）÷．21．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．22．为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 7676 76 77 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七76.9m80d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；（2）表中m的值为；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．23．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？24．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．25．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC ＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．26．已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM＝S△ACE时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+，当AM+2DM的最小值为时，求b的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0B．﹣1C．﹣3D．3【分析】利用数轴表示这些数，从而比较大小．解：将这些数在数轴上表示出来：∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜3，∴比﹣2小的数是﹣3，故选：C．2．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A．0.927×105B．9.27×104C．92.7×103D．927×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解：92700＝9.27×104．故选：B．3．下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．+＝D．（﹣3a）2＝9a2【分析】根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，进行计算即可判断．解：A.＝2，所以A选项错误；B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，所以B选项错误；C.+≠，所以C选项错误；D．（﹣3a）2＝9a2．所以D选项正确．故选：D．4．如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故选：C．5．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A．B．C．D．【分析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，共有以下4种结果（不分先后）：1cm 3cm 5cm，1cm 3cm 6cm，3cm 5cm 6cm，1cm 5cm 6cm，其中，能构成三角形的只有1种，∴P（构成三角形）＝．故选：A．6．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【分析】依据已知条件即可得到∠ODE＝∠OGE，即可得到OD＝OG，进而得出△ODG是等腰三角形．解：如图所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，由题可得，DG垂直平分OC，∴∠OED＝∠OEG＝90°，∴∠ODE＝∠OGE，∴OD＝OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C．7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正确的是（）A．正比例函数y1的解析式是y1＝2xB．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，﹣4），∴正比例函数y1＝﹣2x，反比例函数y2＝﹣，∴两个函数图象的另一个交点为（﹣2，4），∴A，B选项说法错误；∵正比例函数y1＝﹣2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2＝﹣中，在每个象限内y随x的增大而增大，∴C选项说法错误；∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1，∴选项D说法正确．故选：D．8．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线【分析】根据切线的性质即可求出答案．解：（A）∵PA、PB为圆O的切线，∴PA＝PB，∴△BPA是等腰三角形，故A正确．（B）由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确．（C）连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确．（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D正确．故选：B．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x【分析】作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，证出∠CDE＝∠DAO＝x，由三角函数定义得出OD＝b sin x，DE＝a cos x，进而得出答案．解：作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO＝，cos∠CDE＝，∴OD＝AD×sin∠DAO＝b sin x，DE＝D×cos∠CDE＝a cos x，∴OE＝DE+OD＝a cos x+b sin x，∴点C到x轴的距离等于a cos x+b sin x；故选：A．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故此选项错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．﹣的绝对值是．【分析】根据绝对值的意义，求出结果即可．解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|﹣|＝，故答案为：．12．分解因式：2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．13．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是6．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．解：设该多边形的边数为n，根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．故这个多边形的边数为6．故答案为：614．不等式组的解集为x≥﹣1．【分析】求出每个不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．解：，∵解不等式①得：x≥﹣3，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．15．如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝36度．【分析】根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠C＝90°﹣54°＝36°，根据平行线的性质即可得到结论．解：∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝54°，∴∠C＝90°﹣54°＝36°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝36°，故答案为：36．16．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是甲≈7.5，乙≈7.5，方差分别是S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是乙．【分析】在平均数基本相等的前提下，方差越小产量越稳定，据此求解可得．解：∵甲＝乙≈7.5，S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，∴S甲2＞S乙2，∴乙玉米种子的产量比较稳定，∴应该选择的玉米种子是乙，故答案为：乙．17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE 沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为2．【分析】由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，作出图形，根据三角形面积公式列出方程即可得出答案．解：∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；∴矩形CODE的面积为4×2＝8，∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2，如图，设ME′＝x，则FE′＝x，依题意有x×x÷2＝2，解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．18．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n＝．【分析】根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝DM，∠NOD＝＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝EM，∠NOE＝＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n＝．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n＝．三、解答题（本大題关8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．计算：2cos45°+（π﹣2020）0+|2﹣|．【分析】分别根据特殊角的三角函数值，任何非零数的零次幂定义1以及绝对值的定义计算即可．解：原式＝＝＝3．20．化简：（﹣a﹣1）÷．【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．解：原式＝（﹣）÷＝•＝．21．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．【分析】（1）利用等边三角形的性质得到∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC ＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．22．为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 7676 76 77 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七76.9m80d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有31人；（2）表中m的值为77.5；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）由90≤x≤100的频数为8、80≤x＜90的频数为15，据此可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．解：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有8+15+8＝31（人），故答案为：31．（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，∴m＝＝77.5，故答案为：77.5；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，故答案为：24；（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×＝270（人）．23．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．24．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．【分析】（1）连接AE，OE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到AD＝DE，求得∠DAE＝∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，等量代换得到∠DEO＝90°，于是得到结论；（2）证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．【解答】（1）证明：连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠DEA+∠OEA＝90°，即∠DEO＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，∴△AEC∽△BAC，∴，∵CA＝6，CE＝3.6，∴，∴BC＝10，∵∠CAB＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB＝＝8，∴OA＝4，即⊙O的半径OA的长是4．25．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是EF＝AE+CF；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC ＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．【分析】问题背景：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，即可得出结论：EF＝AE+CF；探究延伸1：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF＝AE+CF；探究延伸2：延长DC到H，使得CH＝AE，连接BH，先证明△BCH≌△BAE，即可得到BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，再证明△HBF≌△EBF，即可得出EF＝HF＝HC+CF ＝AE+CF；实际应用：连接EF，延长BF交AE的延长线于G，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．再根据探究延伸2的结论：EF＝AE+BF，即可得到两舰艇之间的距离．解：问题背景：如图1，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG ≌△BFE，可得出结论：EF＝AE+CF；故答案为：EF＝AE+CF；探究延伸1：如图2，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG ≌△BFE，可得出结论：EF＝AE+CF；探究延伸2：上述结论仍然成立，即EF＝AE+CF，理由：如图3，延长DC到H，使得CH＝AE，连接BH，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，∴∠BCH＝∠BAE，∵BA＝BC，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，∴∠HBE＝∠ABC，又∵∠ABC＝2∠MBN，∴∠EBF＝∠HBF，∵BF＝BF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF；实际应用：如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，所以∠AOB＝140°，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF＝70°，所以∠AOB＝2∠EOF．依题意得，OA＝OB，∠A＝60°，∠B＝120°，所以∠A+∠B＝180°，因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．根据探究延伸2的结论可得：EF＝AE+BF，根据题意得，AE＝75×1.2＝90（海里），BF＝100×1.2＝120（海里），所以EF＝90+120＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离为210海里．26．已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM＝S△ACE时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+，当AM+2DM的最小值为时，求b的值．【分析】（1）将A点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得k的值和b与c的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得b、c的值，进而求得E点的坐标；（2）先根据抛物线的解析式求得C、Q点坐标，用m表示△EQM的面积，再根据S△EQM ＝S△ACE列出m的方程进行解答；（3）取点N（0，1），则∠OAN＝45°，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x 轴相交于点M，此时AM+2DM＝2DG的值最小，由2DG＝列出关于b的方程求解便可．解：（1）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A （﹣1，0），∴﹣k﹣2＝0，1+b+c＝0，∴k＝﹣2，c＝﹣b﹣1，∴直线y＝kx﹣2的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵抛物线y＝x2﹣bx+c的顶点坐标为E（，），∴E（，），∵直线y＝﹣2x﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E，∴＝﹣2×﹣2，解得，b＝2，或B＝﹣2（舍），当b＝2时，c＝﹣3，∴E（1，﹣4），故k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E（1，﹣4）；（2）由（1）知，直线的解析式为y＝﹣2x﹣2，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），Q（2，﹣3），如图1，设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交点为N，则N（0，﹣2），∴CN＝1，∴，∴，设直线EQ与x轴的交点为D，显然点M不能与点D重合，设直线EQ的解析式为y＝dx+n（d≠0），则，解得，，∴直线EQ的解析式为y＝x﹣5，∴D（5，0），∴＝，解得，m＝4，或m＝6；（3）∵点D（b+，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴，可知点D（b+，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵，∴可取点N（0，1），则∠OAN＝45°，如图2，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，∵∠GAM＝90°﹣∠OAN＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过D作DH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45°，∴DH＝MH，DM＝MH，∵点M（m，0），∴0＝（）＝（b+）﹣m，解得，m＝，∵，∴，解得，Bb＝3，此时，m＝，符合题意，∴b＝3．。

专题55 新冠疫情中的中考数学新冠疫情在中考考查的问题，体现在以下几个方面：1.统计与概率。

如对数据的统计和处理（统计图、频率问题）；数据分析（众数、平均数、中位数）。

2.从防控举措、防控物质的生产、调配上，考查科学计数法、方程（组）、不等式、函数等。

3.其他情况。

【例题1】（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种【例题2】（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．【例题3】（2020•齐齐哈尔）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：（1）本次被抽取的教职工共有名；（2）表中a＝，扇形统计图中“C”部分所占百分比为%；（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为°；（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？志愿服务时间（小时）频数A0＜x≤30 aB30＜x≤60 10C60＜x≤90 16D90＜x≤120 20一、选择题1．（2020•贵阳）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是（）A．直接观察B．实验C．调查D．测量2．（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是36.5℃B．众数是36.2°CC．平均数是36.2℃D．极差是0.3℃3．（2020•衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442二、填空题4.（2020贵州黔西南）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人．5．（2020•绥化）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为．6．（2020•泰州）据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42600用科学记数法表示为．7．（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人．三、解答题8．（2020•扬州）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．9．（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：x（元/件）12 13 14 15 16y（件）1200 1100 1000 900 800（1）求y与x的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．10．（2020•枣庄）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6 a1.6≤x＜2.0 122.0≤x＜2.4 b2.4≤x＜2.8 10请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a＝，b＝；（2）样本成绩的中位数落在范围内；（3）请把频数分布直方图补充完整；（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？11．（2020•贵阳）2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表时间/h 1.5 2 2.5 3 3.5 4人数/人 2 6 6 10 m 4（1）本次共调查的学生人数为，在表格中，m＝；（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是，众数是；（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．12．（2020•营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为；（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．13．（2020•盐城）在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如图统计图：图①为A地区累计确诊人数的条形统计图，图②为B地区新增确诊人数的折线统计图．（1）根据图①中的数据，A地区星期三累计确诊人数为，新增确诊人数为；（2）已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图．（3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析、推断．14．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求,工厂从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？。

专题16 图形变换（平移、旋转、对称（翻折））一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021·江西中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A．2B．3C．4D．5OP ．若点P关于3．（2021·河北中考真题）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且 2.8直线l，m的对称点分别是点1P，2P，则1P，2P之间的距离可能．．是（）A．0 B．5 C．6 D．74．（2021·湖北宜昌市·中考真题）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021·湖北武汉市·中考真题）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE ，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒7．（2021·四川广安市·中考真题）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．8．（2021·天津中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2M -关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()4,2-B ．4,2C ．()4,2--D ．()4,2-10．（2021·浙江丽水市·中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (−1，b )，(1，b )，(2，b )，(3.5，b )，平移y 轴右侧的一盏灯笼，使得y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位11．（2021·四川自贡市·中考真题）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．12．（2021·湖南中考真题）下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．（2021·湖北黄冈市·中考真题）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A．等边三角形B．正六边形C．正方形D．圆14．（2021·浙江绍兴市·中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形15．（2020·青海中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．16．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC''''，那么点B的对应点B'的坐标为（）先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到A B CA．（1，7）B．（0，5）C．（3，4）D．（﹣3，2）17．（2020·四川中考真题）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到A BC''△．此时恰好点C在A C''上，A B'交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（）A．13B．12C．23D．3418．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15B．18C．20D．2219．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条20．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形i i i i iOABC D E，则正六边形(2020)i i i i iOABC D E i=的顶点iC的坐标是（）A．(1,B．C．(1,2)-D．(2,1)21．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A ．5BC ．3D ．522．（2020·江苏南通市·中考真题）以原点为中心，将点P （4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．（2020·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．24．（2020·湖北黄石市·中考真题）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是()2,1-，连接OG ，将线段OG 绕原点O 旋转180︒，得到对应线段OG '，则点G '的坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1C ．()1,2-D ．()2,1--25．（2020·上海中考真题）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( ) A ．平行四边形 B ．等腰梯形 C ．正六边形D ．圆 26．（2020·湖北孝感市·中考真题）将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+72．（2020·黑龙江牡丹江市·中考真题）如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为（ ）A ．(2--,或2)-B ．C ．(-D ．(2--,或28．（2020·河北中考真题）如图，将ABC ∆绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的CDA ∆与ABC ∆构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB AD =，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且AB CD =，C ．应补充：且//AB CD D ．应补充：且OA OC =，29．（2020·天津中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC DE =B ．BC EF = C ．AEFD ∠=∠ D ．AB DF ⊥30．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ''，当A B ''恰好经过点D 时，△B 'CD 为等腰三角形，若B B '＝2，则A A '＝（ ）A B．C D31．（2019·台湾中考真题）图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟後，9号车厢才会运行到最高点？（）A．10B．20C．152D．45232．（2019·台湾中考真题）如图，ABC∆中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，求EAF∠的度数为何？（）A．113︒B．124︒C．129︒D．134︒33．（2019·山东济南市·中考真题）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线34．（2019·台湾中考真题）如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I．今固定C 点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A B C''的顶点A'落在L上，且其内心为I'．若A B C∠<∠<∠，则下列叙述何者正确？（）A．IC和I A''平行，II'和L平行B．IC和I A''平行，II'和L不平行C ．IC 和I A ''不平行，II '和L 平行D ．IC 和I A ''不平行，II '和L 不平行35．（2019·河北中考真题）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为（ ）A ．10B ．6C ．3D ．2二、填空题 1．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒，则OBA ∠的度数为______．2．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．3．（2021·青海中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm 2，∠AOB =120°，则图中阴影部分的面积为__________．4．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D '''的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．5．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）6．（2021·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．7．（2020·江苏镇江市·中考真题）点O 是正五边形ABCDE 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O 至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．8．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．9．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）一张菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，高AE 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，直线MN 交直线CD 于点F ，则DF 的长为____________cm ．10．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，矩形ABCD 中，AD=12，AB=8，E 是AB 上一点，且EB=3，F 是BC 上一动点，若将EBF ∆沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距为 ．11．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，P 为AD 上一个动点，连接BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ，当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积为_____．12．（2020·四川绵阳市·中考真题）平面直角坐标系中，将点A （﹣1，2）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点A 1的坐标为_____．13．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，把ABC 沿AB 边平移到111A B C △的位置，图中所示的三角形的面积1S 与四边形的面积2S 之比为4∶5，若4AB =，则此三角形移动的距离1AA 是____________． 14．（2020·广西河池市·中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD 点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B′处，则点B′到AC 的最短距离是_____． 15．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．16．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，将△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 处．若EC ＝2BE ＝2，则CF 的长为_____．17．（2020·广西玉林市·中考真题）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF 中，将四边形ADEF 绕点A 顺时针旋转到四边形AD E F '''处，此时边AD '与对角线AC 重叠，则图中阴影部分的面积是___________．18．（2020·广东广州市·中考真题）如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．19．（2020·广东广州市·中考真题）如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '，AC '分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为_______．20．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，,,3,5,2,DA AB CB AB AD AB BC P ⊥⊥===是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是________________21．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．22．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：()2,0A -，()1,2B ，()1,2C -．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为______．23．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．24．（2020·天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点,A C 均落在格点上，点B 在网格线上，且53AB =．（Ⅰ）线段AC 的长等于___________；（Ⅱ）以BC 为直径的半圆与边AC 相交于点D ，若,P Q 分别为边,AC BC 上的动点，当BP PQ +取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点,P Q ，并简要说明点,P Q 的位置是如何找到的（不要求证明）．25．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点A ，B 的坐标分别为，(4,0)，把OAB ∆沿x 轴向右平移得到CDE ∆，如果点D 的坐标为，则点E 的坐标为__________． 26．（2020·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是______．27．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为___________．28．（2019·江苏镇江市·中考真题）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝_________.（结果保留根号） 29．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC=4，将△ABC 绕点A 顺时针旋转30°，得到△ACD ，延长AD 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为__________80．（2019·辽宁营口市·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，点D 为BC 边上一点，122BD DC ==，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE BC =，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为________．31．（2019·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．三、解答题1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图44⨯与66⨯的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（23中．2．（2021·安徽中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90 得到221A B C △，画出221A B C △．3．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，4)，B(4，1)，C(4，3)．（1）画出将△ABC 向左平移5个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到的△A 2B 2C 2．4．（2020·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是A （1，3），B （4，4），C （2，1）．（1）把ABC 向左平移4个单位后得到对应的A 1B 1C 1，请画出平移后的A 1B 1C 1； （2）把ABC 绕原点O 旋转180°后得到对应的A 2B 2C 2，请画出旋转后的A 2B 2C 2；（3）观察图形可知，A 1B 1C 1与A 2B 2C 2关于点（ ， ）中心对称．5．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，ABC 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为()4,4A ，()1,1B ，()4,1C ．（1）画出与ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）将ABC 绕点1O 顺时针旋转90°得到222A B C △，2AA 弧是点A 所经过的路径，则旋转中心1O 的坐标为___________．（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．6．（2020·吉林中考真题）如图①、图②、图③都是33⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点． （3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．7．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B ，(2,3)C ，先以原点O 为位似中心在第三象限内画一个111A B C ∆，使它与ABC ∆位似，且相似比为2：1，然后再把ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90°得到222A B C ∆．（1）画出111A B C ∆，并直接写出点1A 的坐标；（2）画出222A B C ∆，直接写出在旋转过程中，点A 到点2A 所经过的路径长．8．（2020·湖北武汉市·中考真题）在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．。

2020年中考数学第二轮复习教案第十七讲三角形与全等三角形【强基知识】【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1（温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，11强基训练1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2B．4C．6D．8强基训练1－2(2019浙江台州)下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11考点二：三角形内角、外角的应用例2（2019青岛中考）如图，BD 是①ABC 的角平分线，AE① BD ，垂足为F ．若①ABC＝35°，① C＝50°，则①CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°强基训练2－1 （2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若①1＝23°，则①2＝°强基训练2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则①α的度数是（ ①. A. 45°B. 60°C. 75°D. 85°强基训练2－3 (2019浙江衢州)“三等分角“大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA 、OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动．C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D 、E 可在槽中滑动，若①BDE ＝75°，则①CDE 的度数是（ ） A ．60° B ．65° C ．75° D ．80°强基训练2－4 （2019浙江杭州)在ABC △中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）A. 必有一个角等于30°B. 必有一个角等于45︒C. 必有一个角等于60︒D. 必有一个角等于90︒强基训练2－5(2019浙江绍兴)如图，墙上钉着三根木条,,a b c ，量得170∠=︒，2100∠=︒，那么木条,a b 所在直线所夹的锐角是（ ）ECOAA. 5︒B. 10︒C. 30°D. 70︒考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在①OAB和①OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，①AOB=①COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；①①AMB=40°；①OM平分①BOC；①MO平分①BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1强基训练3－1（天门）如图，已知①ABC①①ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（①ABC①①ADE除外），并选择其中的一对加以证明．强基训练3－2（宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，①B=①C，求证：BE=CD．强基训练3－3(2019浙江温州)如图，在①ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF①AB交ED的延长线于点F．（1）求证：①BDE①①CDF；（2）当AD①BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．考点四：全等三角形开放性问题例4（云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个MCDB适当的条件，使①ABC①①ADE （只能添加一个）． （1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明①ABC①①ADE 的理由．强基训练4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC①EF ，只需补充一个条件 ，就得①ABC①①DEF ． 强基训练4－2(2019浙江台州)如图是用8块A 型瓷砖（白色四边形）和8块B 型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A 型瓷砖的总面积与B 型瓷砖的总面积之比为（ ） A ．2①1B ．3①2C ．3①1D ．2①2强基训练4－3 (2019浙江台州)我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形． （1）已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等．①如图1，若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE ，求证：五边形ABCDE 是正五边形； ①如图2，若AC ＝BE ＝CE ，请判断五边形ABCDE 是不是正五边形，并说明理由； （2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等①若AC ＝CE ＝EA ，则六边形ABCDEF 是正六边形；（ ） ①若AD ＝BE ＝CF ，则六边形ABCDEF 是正六边形．（ ）HGx FEDCBAy NM P DEADEADEFAB C第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 答案：C 强基训练1－1 答案：B 强基训练1－2答案：B考点二：三角形内角、外角的应用例2 答案：C 强基训练2－1 答案：68 强基训练2－2 答案：C 强基训练2－3 答案：D 强基训练2－4 答案：D 强基训练2－5答案：B考点三：三角形全等的判定和性质例3 答案：B 强基训练3－1 答案：①AEM①①ACN ，①BMF①①DNF ，①ABN①①ADM ． 选择①AEM①①ACN ， 证明：①①ADE①①ABC ，①AE=AC ，①E=①C ，①EAD=①CAB ， ①①EAM=①CAN ，①在①AEM 和①ACN 中， ①E ＝①C AE ＝AC①EAM ＝①CAN①①AEM①①ACN （ASA ）． 强基训练3－2 答案：证明：在①ABE 和①ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ①①ABE①①ACD （ASA ），①BE=CD （全等三角形的对应边相等）． 强基训练3－3答案：解：（1）①CF AB ∥，①B FCD BED F ∠=∠∠=∠，. ①AD 是BC 边上的中线，①BD CD =， ①①BDE①①CDF. （2）①①BDE①①CDF ， ①2BE CF ==，①123AB AE BE =+=+=. ①AD BC BD CD ⊥=，， ①3AC AB ==.考点四：全等三角形开放性问题例4 答案： 解：（1）①AB=AD ，①A=①A ，①若利用“AAS”，可以添加①C=①E ，若利用“ASA”，可以添加①ABC=①ADE ，或①EBC=①CDE ， 若利用“SAS”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为①C=①E （或①ABC=①ADE 或①EBC=①CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：①C=①E ； （2）选①C=①E 为条件． 理由如下：①在①ABC 和①ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E ＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ①①ABC①①ADE （AAS ）．强基训练4－1 答案：BC=EF ， 解析：①AF=DC ， ①AF+FC=CD+FC ， 即AC=DF ， ①BC①EF ，①①EFC=①BCF ，①在①ABC 和①DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF ＝∠EFC ∠BC ＝EF ①①ABC①①DEF （SAS ）． 故答案为：BC=EF ．强基训练4－2 答案：A 强基训练4－3答案：证明：（1）① ①AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE ①①ABC ①①BCD ①①CDE ①①DEA ①①EAB ①①ABC ＝①BCD ＝①CDE ＝①DEA ＝①EAD①五边形ABCDE 是正五边形 ①五边形ABCDE 是正五边形 理由如下：如图，设①1＝α，记AC 与EB 的交点为O ①AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝DA ，AC ＝EC ＝EB ①①ABC ①①CDE ①①EAB①①ABC ＝①D ＝①EAB ，①1＝①2＝①3＝①4＝①5＝①6＝α ①OA ＝OB ，OC ＝OE ①EB ＝EC ，①①EBC ＝①3＋①3＝2α①①ABC ＝①BCD ＝①CDE ＝①DEA ＝①EAB ＝3α ①五边形ABCDE 是正五边形（2）①假；①假【聚焦中考真题】一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中①C=90°，①B=45°，①E=30°，则①BFD 的度数是（ ） A ．15° B ．25° C ．30° D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则①α的度数是（ ） A ．165° B ．120° C ．150° D ．135° 3．（泉州）在①ABC 中，①A=20°，①B=60°，则①ABC 的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．2，2，4 C ．1，2，3 D ．2，3，4 5．（衡阳）如图，①1=100°，①C=70°，则①A 的大小是（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．80°87654321OCDE A6．（河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成①ABC，且①B=30°，①C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远7．（铁岭）如图，在①ABC和①DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使①ABC①①DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，①B=①E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，①A=①D D．①B=①E，①A=①D8．（台州）已知①A1B1C1①A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则①A1B1C1①①A2B2C2；①若①A1=①A2，①B1=①B2，则①A1B1C1①①A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，①错误B．①错误，①正确C．①，①都错误D．①，①都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．①AOB①①BOC B．①BOC①①EOD C．①AOD①①EOD D．①AOD①①BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若①3=50°，则①1+①2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知①A=①EDF=90°，AB=AC．①E=30°，①BCE=40°，则①CDF= ．13．（黔东南州）在①ABC中，三个内角①A、①B、①C满足①B-①A=①C-①B，则①B= 度．14．（柳州）如图，①ABC①①DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，①1=①2，BC=EF，要使①ABC①①DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使①ABE①①ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在①ABC中，①A=m°，①ABC和①ACD的平分线交于点A1，得①A1；①A1BC 和①A1CD的平分线交于点A2，得①A2；…①A2012BC和①A2012CD的平分线交于点A2013，则①A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，①A=①BCD=90°，BC=CD，CE①AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在①ABC中，AB=CB，①ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：①ABE①①CBD；（2）若①CAE=30°，求①BDC的度数．20．（临沂）如图，在①ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB①AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在①ABC中，①BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD①直线m，CE①直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在①ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有①BDA=①AEC=①BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为①BAC平分线上的一点，且①ABF和①ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若①BDA=①AEC=①BAC，试判断①DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，①1=①2，①C=①D．求证：①ABC①①AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB①ED，AC①FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，①ABC与①CDE均是等腰直角三角形，①ACB=①DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在①ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，①ABC和①ECD都是等腰直角三角形，①ACD=①DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，①ABC与①DCB中，AC与BD交于点E，且①A=①D，AB=DC．（1）求证：①ABE①DCE ；（2）当①AEB=50°，求①EBC 的度数？30．（荆门）如图1，在①ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF①AC ，垂足为F ，①BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：①AEF①①BCF ．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，①ABC=①DEF ．能否由上面的已知条件证明①ABC①①DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使①ABC①①DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；①AC=DF ；①AC①DF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：①A1B 平分①ABC ，A1C 平分①ACD ，①①A1=21①A ，①A2=21①A1=221①A ，…①①A2 015=201521①A=20152m。

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角形一．选择题（共17小题）1．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( )A ．62︒B ．56︒C ．28︒D ．72︒4．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处， （2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．115︒5．（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠6．（2020•岳阳）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒7．（2020•怀化）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α∠=︒，则β∠的度数为( )A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒8．（2020•常德）如图，已知//AB DE ，130∠=︒，235∠=︒，则BCE ∠的度数为( )A ．70︒B ．65︒C ．35︒D ．5︒9．（2019•岳阳）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒10．（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒11．（2019•长沙）如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，180∠=︒，则2∠的度数是( )A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒12．（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA13．（2020•益阳）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，CD 平分ACB ∠，若50A ∠=︒，则B ∠的度数为( )A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒14．（2020•怀化）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为( )A ．3B ．32C ．2D ．6 15．如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，若110ACD ∠=︒，50B ∠=︒，则(A ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．117．（2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，2AM MN ==，1NB =，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则ABC ∆一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形二．填空题（共20小题）18．（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．19．（2020•益阳）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=︒，则ACD ∠的度数为 ．20．（2020•湘西州）如图，直线//AE BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠= 度．21．（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则1∠的度数为 ．22．（2019•娄底）如图，//AB CD ，//AC BD ，128∠=︒，则2∠的度数为 ．23．（2019•益阳）如图，直线//AB CD ，OA OB ⊥，若1142∠=︒，则2∠= 度．24．（2019•张家界）已知直线//a b ，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30)BAC ∠=︒，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118∠=︒，则2∠的度数是 ．25．（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a b 时，ab 取得最大值．26．（2020•岳阳）如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则BCD ∠= ︒．27．（2020•株洲）如图所示，点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作//CF BE ，交DE 的延长线于点F ，若3EF =，则DE 的长为 ．28．（2020•湘潭）如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 ．29．（2020•怀化）如图，在ABC ∆和ADC ∆中，AB AD =，BC DC =，130B ∠=︒，则D ∠= ︒．30．（2019•永州）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF = ．31．（2019•永州）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S = ．32．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是 ．33．（2019•邵阳）如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB ∆≅∆，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）34．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，在直线1x =处放置反光镜Ⅰ，在y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB ，其中点(0,1)A ，点B 在点A 上方，且1AB =，在直线1x =-处放置一个挡板Ⅲ，从点O 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 ．35．（2019•株洲）如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = ．36．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 ．37．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得50DE m =，则AB 的长是 m ．三．解答题（共3小题）38．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．39．（2020•常德）已知D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，过点D 作Rt DEF ∆使90DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，连接CE 并延长CE 到P ，使EP CE =，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证：①EB EP =；②30EFP ∠=︒；（2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：30BFD EFP ∠+∠=︒．40．（2019•益阳）已知，如图，AB AE=，//∠=︒，求证：ABC EADD∆≅∆．ECBAB DE，70∠=︒，110湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角形一．选择题（共17小题）1．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是()A．B．C．D．【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．故选：B．2．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形组成的图形，故D错误．故选：C．3．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠的度数为()∠=︒，那么2A．62︒B．56︒C．28︒D．72︒【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：90BAC ∠=︒，162DAC BAC ∠=∠-∠=︒，//EF AD ，262DAC ∴∠=∠=︒，故选：A ．4．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处，（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．115︒【解答】解：折叠，且190PMA ∠=︒， 145DMP DMA ∴∠=∠=︒，即45ADM ∠=︒，折叠，1122.52MDP ADP PDM ADM ∴∠=∠=∠=∠=︒， ∴在△1DPM 中，11804522.5112.5DPM ∠=︒-︒-︒=︒， 故选：C ．5．（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠ 【解答】解：A 、当13∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意； B 、当24180∠+∠=︒时，//c d ，故此选项不合题意； C 、当45∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意； D 、当12∠=∠时，//a b ，故此选项符合题意； 故选：D ． 6．（2020•岳阳）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒ 【解答】解：DA AB ⊥，CD DA ⊥， 90A D ∴∠=∠=︒， 180A D ∴∠+∠=︒， //AB CD ∴，180B C ∴∠+∠=︒， 56B ∠=︒，180124C B ∴∠=︒-∠=︒， 故选：D ． 7．（2020•怀化）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α∠=︒，则β∠的度数为( )A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒【解答】解：40α∠=︒， 140α∴∠=∠=︒， //a b ，140β∴∠=∠=︒． 故选：D ．8．（2020•常德）如图，已知//AB DE ，130∠=︒，235∠=︒，则BCE ∠的度数为( )A ．70︒B ．65︒C ．35︒D ．5︒【解答】解：作//CF AB ， //AB DE ， //CF DE ∴，////AB DE CF ∴，1BCF ∴∠=∠，2FCE ∠=∠， 130∠=︒，235∠=︒，30BCF ∴∠=︒，35FCE ∠=︒， 65BCE ∴∠=︒， 故选：B ．9．（2019•岳阳）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒ 【解答】解：BE 平分ABC ∠，50ABC ∠=︒， 25ABE EBC ∴∠=∠=︒， //BE DC ，25EBC C ∴∠=∠=︒． 故选：B ． 10．（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒ 【解答】解：BE AF ⊥，40BED ∠=︒， 9050FED BED ∴∠=︒-∠=︒， //AB CD ，50A FED ∴∠=∠=︒． 故选：B ． 11．（2019•长沙）如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，180∠=︒，则2∠的度数是( )A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【解答】解：180∠=︒， 3100∴∠=︒，//AB CD，23100∴∠=∠=︒．故选：C．12．（2020•永州）如图，已知AB DC=，ABC DCB∠=∠，能直接判断ABC DCB∆≅∆的方法是()A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【解答】解：AB DC=，ABC DCB∠=∠，BC CB=，()ABC DCB SAS∴∆≅∆，故选：A．13．（2020•益阳）如图，在ABC∆中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分ACB∠，若50A∠=︒，则B∠的度数为()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒【解答】解：DE垂直平分AC，AD CD∴=，A ACD∴∠=∠又CD平分ACB∠，2100ACB ACD∴∠=∠=︒，1801805010030B A ACB∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B．14．（2020•怀化）在Rt ABC∆中，90B∠=︒，AD平分BAC∠，交BC于点D，DE AC⊥，垂足为点E，若3BD=，则DE的长为()A．3B．32C．2D．6【解答】解：90B∠=︒，DB AB∴⊥，又AD平分BAC∠，DE AC⊥，3DE BD∴==，故选：A．15．如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，若110ACD ∠=︒，50B ∠=︒，则(A ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒【解答】解：ACD ∠是ABC ∆的外角， ACD B A ∴∠=∠+∠， A ACD B ∴∠=∠-∠，110ACD ∠=︒，50B ∠=︒， 60A ∴∠=︒， 故选：D ．16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，8AC =，13DC AD =，18213CD ∴=⨯=+，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 2DE CD ∴==，即点D 到AB 的距离为2． 故选：C ．17．（2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，2AM MN ==，1NB =，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则ABC ∆一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 【解答】解：如图所示，4AC AN ==，3BC BM ==，2215AB =++=， 222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，且90ACB ∠=︒， 故选：B ．二．填空题（共20小题） 18．（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．【解答】解：过点B 作//EF a ． //a b ，////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠．ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒．60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒． 故答案为：35︒．19．（2020•益阳）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=︒，则ACD ∠的度数为 132︒ ．【解答】解：AB AE ⊥，42CAE ∠=︒， 904248BAC ∴∠=︒-︒=︒， //AB CD ，180BAC ACD ∴∠+∠=︒， 132ACD ∴∠=︒． 故答案为：132︒． 20．（2020•湘西州）如图，直线//AE BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠= 36 度．【解答】解：BA AC ⊥， 90BAC ∴∠=︒， 54ABC ∠=︒，905436C ∴∠=︒-︒=︒， //AE BC ，36EAC C ∴∠=∠=︒， 故答案为：36． 21．（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则1∠的度数为 105︒ ．【解答】解：如图，//AB CD ，45D ∠=︒， 245D ∴∠=∠=︒．123∠=∠+∠，360∠=︒，1234560105∴∠=∠+∠=︒+︒=︒． 故答案是：105︒．22．（2019•娄底）如图，//AB CD ，//AC BD ，128∠=︒，则2∠的度数为 28︒ ．【解答】解：//AC BD ，1A ∴∠=∠， //AB CD ， 2A ∴∠=∠，2128∴∠=∠=︒， 故答案为：28︒． 23．（2019•益阳）如图，直线//AB CD ，OA OB ⊥，若1142∠=︒，则2∠= 52 度．【解答】解：//AB CD ，32∴∠=∠， OA OB ⊥， 90O ∴∠=︒，13142O ∠=∠+∠=︒，211429052O ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：52． 24．（2019•张家界）已知直线//a b ，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30)BAC ∠=︒，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118∠=︒，则2∠的度数是 48︒ ．【解答】解：//a b ，21183048CAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为：48︒ 25．（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a = b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，2()0a b -，2220a b ab ∴+-，又222a b c +=，22a b +为定值，22c ab ∴， ab ∴最大值为22c ，a ，b 为直角边的直角三角形面积1122a b c h ==，∴22c c h =， 2c h ∴=，等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a b =时，2ch =，故答案为：=． 26．（2020•岳阳）如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则BCD ∠= 70 ︒．【解答】解：在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则70B ∠=︒，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的中线，BD CD AD∴==，70BCD B∴∠=∠=︒，故答案为70．27．（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是ABC∆的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作//CF BE，交DE的延长线于点F，若3EF=，则DE的长为32．【解答】解：D、E分别是ABC∆的边AB、AC的中点，DE∴为ABC∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC=，//CF BE，∴四边形BCFE为平行四边形，3BC EF∴==，∴1322 DE BC==．故答案为：32．28．（2020•湘潭）如图，点P是AOC∠的角平分线上一点，PD OA⊥，垂足为点D，且3PD=，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为3．【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM OC⊥时，PM最小，当PM OC⊥时，又OP平分AOC∠，PD OA⊥，3PD=，3PM PD∴==，故答案为：3．29．（2020•怀化）如图，在ABC∆和ADC∆中，AB AD=，BC DC=，130B∠=︒，则D∠=130︒．【解答】证明：在ADC∆和ABC∆中，AD ABAC ACCD CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS∴∆≅∆，D B∴∠=∠，130B∠=︒，130D∴∠=︒，故答案为：130．30．（2019•永州）已知60AOB∠=︒，OC是AOB∠的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE OA⊥，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若2DE=，则DF=4．【解答】解：过点D作DM OB⊥，垂足为M，如图所示．OC是AOB∠的平分线，2DM DE∴==．在Rt OEF∆中，90OEF∠=︒，60EOF∠=︒，30OFE∴∠=︒，即30DFM∠=︒．在Rt DMF∆中，90DMF∠=︒，30DFM∠=︒，24DF DM∴==．故答案为：4．31．（2019•永州）如图，已知点F是ABC∆的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB 于点D，过点F作//FG BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为1S，2S，则12:S S= 18．【解答】解：点F是ABC∆的重心，2BF EF∴=，3BE EF∴=，//FG BC，EFG EBC∴∆∆∽，∴13EFBE=，2111()39EBCSS∆==，121:8S S∴=；故答案为：18．32．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a=，弦10c=，则小正方形ABCD的面积是4．【解答】解：勾6a=，弦10c=，∴股221068=-=，∴小正方形的边长862=-=，∴小正方形的面积224==故答案是：433．（2019•邵阳）如图，已知AD AE=，请你添加一个条件，使得ADC AEB∆≅∆，你添加的条件是AB AC=或ADC AEB∠=∠或ABE ACD∠=∠．（不添加任何字母和辅助线）【解答】解：A A∠=∠，AD AE=，∴可以添加AB AC=，此时满足SAS；添加条件ADC AEB∠=∠，此时满足ASA；添加条件ABE ACD∠=∠，此时满足AAS，故答案为AB AC=或ADC AEB∠=∠或ABE ACD∠=∠；34．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线1x=处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点(0,1)A，点B在点A上方，且1AB=，在直线1x=-处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【解答】解：当光线沿O 、G 、B 、C 传输时，过点B 作BF GH ⊥于点F ，过点C 作CE GH ⊥于点E ，方法一：GOB ∆为等腰三角形， G ∴(1,1)，B 为CG 中点，C ∴(1,3)-，同理(1,1.5)D -，3 1.5 1.5CD ∴=-=方法二：OGH CGE α∠=∠=，设GH a =，则2GF a =-，则tan tan OGH CGE ∠=∠，即：OH BF GH GF=， 即：112a a=-，解得：1a =， 则45α=︒，2GE CE ∴==，123C y =+=，当光线反射过点A 时，同理可得： 1.5D y =，落在挡板Ⅲ上的光线的长度3 1.5 1.5CD ==-=，故答案为1.5．35．（2019•株洲）如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = 4 ．【解答】解：E 、F 分别为MB 、BC 的中点，22CM EF ∴==，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，24AB CM ∴==，故答案为：4．36．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 36︒ ．【解答】解：等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．37．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得50DE m =，则AB 的长是 100 m ．【解答】解：点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，2250100AB DE ∴==⨯=米．故答案为：100．三．解答题（共3小题）38．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【解答】（1）证明：DE AB ⊥，DF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒，D 是BC 的中点，BD CD ∴=，在BED ∆与CFD ∆中，BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED CFD AAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=；（2）解：40BDE ∠=︒，50B ∴∠=︒，50C ∴∠=︒，80BAC ∴∠=︒．39．（2020•常德）已知D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，过点D 作Rt DEF ∆使90DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，连接CE 并延长CE 到P ，使EP CE =，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证：①EB EP =；②30EFP ∠=︒；（2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：30BFD EFP ∠+∠=︒．【解答】证明（1）①90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，903060A ∴∠=︒-︒=︒，同理60EDF ∠=︒，60A EDF ∴∠=∠=︒，//AC DE ∴，90DMB ACB ∴∠=∠=︒，D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，//AC DM ，∴12BM BD BC AB ==， 即M 是BC 的中点，EP CE =，即E 是PC 的中点，//ED BP ∴，90CBP DMB ∴∠=∠=︒，CBP ∴∆是直角三角形，12BE PC EP ∴==； ②30ABC DFE ∠=∠=︒，//BC EF ∴，由①知：90CBP ∠=︒，BP EF ∴⊥，EB EP =，EF ∴是线段BP 的垂直平分线，PF BF ∴=，30PFE BFE ∴∠=∠=︒；（2）如图2，延长DE 到Q ，使EQ DE =，连接CD ，PQ ，FQ ，EC EP=，DEC QEP ∠=∠， ()QEP DEC SAS ∴∆≅∆，则PQ DC DB ==，QE DE =，90DEF ∠=︒EF ∴是DQ 的垂直平分线，QF DF ∴=，CD AD =，60ACD A ∴∠=∠=︒，60ADC ∴∠=︒，120CDB ∴∠=︒，120120(60)6060FDB FDC EDC EDC EQP FQP ∴∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒-∠=∠， ()FQP FDB SAS ∴∆≅∆，QFP BFD ∴∠=∠，EF 是DQ 的垂直平分线，30QFE EFD ∴∠=∠=︒，30QFP EFP ∴∠+∠=︒，30BFD EFP ∴∠+∠=︒．40．（2019•益阳）已知，如图，AB AE =，//AB DE ，70ECB ∠=︒，110D ∠=︒，求证：ABC EAD ∆≅∆．【解答】证明：由70ECB ∠=︒得110ACB ∠=︒ 又110D ∠=︒ACB D ∴∠=∠//AB DECAB E ∴∠=∠在ABC ∆和EAD ∆中，ACB D CAB E AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC EAD AAS ∴∆≅∆．。

2020年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1.下列各数中，比−2小的数是（）A.0B.−1C.−3D.32.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A.0.927×105B.9.27×104C.92.7×103D.927×1023.下列运算正确的是（）A.√(−2)2=−2B.(x−y)2＝x2−y2C.√2+√3=√5D.(−3a)2＝9a24.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A. B. C. D.5.从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A.14B.13C.12D.346.已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于12OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形7.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(−2, 4)，下列说法正确的是（）A.正比例函数y1的解析式是y1＝2xB.两个函数图象的另一交点坐标为(4, −2)C.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D.当x<−2或0<x<2时，y2<y18.如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）A.△BPA 为等腰三角形B.AB 与PD 相互垂直平分C.点A 、B 都在以PO 为直径的圆上D.PC 为△BPA 的边AB 上的中线9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ）A.acosx +bsinxB.acosx +bcosxC.asinx +bcosxD.asinx +bsinx10.已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为x ＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc >0，②b −2a <0，③a −b +c >0，④a +b >n(an +b)，(n ≠1)，⑤2c <3b ． 正确的是（ ）A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11.−13的绝对值是________．12.分解因式：2x 2−2＝________．13.若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是________．14.不等式组{x 3≥−11+2x ≥−1 的解集为________． 15.如图，直线AE // BC ，BA ⊥AC ，若∠ABC ＝54∘，则∠EAC ＝________度．16.从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t ）的数据，这两组数据的平均数分别是x ¯甲≈7.5，x ¯乙≈7.5，方差分别是S 甲2＝0.010，S 乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是________． 17.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A(6, 0)，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30∘，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为6√3时，则矩形CODE 向右平移的距离为________．18.观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60∘；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90∘；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108∘；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4...A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是________．三、解答题（本大題关8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19.计算：2cos45∘+(π−2020)0+|2−√2|．20.化简：(a 2a−1−a−1)÷2aa2−1．21.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≅△CDE；（2）求∠AEB的度数．七76.9m80 22.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x< 80，80≤x<90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x<80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含7的有________人；（2）表中m的值为________；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第_______名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．23.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？24.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．25.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90∘，∠BCD＝90∘，BA＝BC，∠ABC＝120∘，∠MBN＝60∘，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≅△BAE，再证明△BFG≅△BFE，可得出结论，他的结论就是________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90∘，∠BCD＝90∘，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180∘，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30∘的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70∘的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50∘的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70∘．试求此时两舰艇之间的距离．26.已知直线y＝kx−2与抛物线y＝x2−bx+c(b，c为常数，b>0)的一个交点为A(−1, 0)，点M(m, 0)是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx −2与抛物线y ＝x 2−bx +c(b ，c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值．2020年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1.下列各数中，比−2小的数是()A.0B.−1C.−3D.3【解答】解：将这些数在数轴上表示出来：∴−3<−2<−1<0<3，∴比−2小的数是−3.故选C.2.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A.0.927×105B.9.27×104C.92.7×103D.927×102【解答】92700＝9.27×104．3.下列运算正确的是（）A.√(−2)2=−2B.(x−y)2＝x2−y2C.√2+√3=√5D.(−3a)2＝9a2【解答】A.√(−2)2=2，所以A选项错误；B．(x−y)2＝x2−2xy+y2，所以B选项错误；C.√2+√3≠√5，所以C选项错误；D．(−3a)2＝9a2．所以D选项正确．4.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A. B. C. D.【解答】从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，5.从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A.14B.13C.12D.34【解答】从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，共有以下4种结果（不分先后）：1cm 3cm 5cm，1cm 3cm 6cm，3cm 5cm 6cm，1cm 5cm 6cm，其中，能构成三角形的只有1种，∴P（构成三角形）=14．6.已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于12OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【解答】如图所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，由题可得，DG垂直平分OC，∴∠OED＝∠OEG＝90∘，∴∠ODE＝∠OGE，∴OD＝OG，∴△ODG是等腰三角形，7.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(−2, 4)，下列说法正确的是（）A.正比例函数y1的解析式是y1＝2xB.两个函数图象的另一交点坐标为(4, −2)C.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D.当x<−2或0<x<2时，y2<y1【解答】∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2, −4)，，∴正比例函数y1＝−2x，反比例函数y2=−8x∴两个函数图象的另一个交点为(−2, 4)，∴A，B选项说法错误；中，在每个象限内y随x的增大∵正比例函数y1＝−2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2=−8x而增大，∴C选项说法错误；∵当x<−2或0<x<2时，y2<y1，∴选项D说法正确．8.如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A、B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线【解答】(A)∵PA、PB为圆O的切线，∴PA＝PB，∴△BPA是等腰三角形，故A正确．(B)由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确．(C)连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90∘，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确．(D)∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D正确．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y 轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A.acosx+bsinxB.acosx+bcosxC.asinx+bcosxD.asinx+bsinx【解答】作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90∘，∴∠CDE+∠ADO＝90∘，∵∠AOD＝90∘，∴∠DAO+∠ADO＝90∘，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO=ODAD ，cos∠CDE=DECD，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cos∠CDE＝acosx，∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；10.已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc>0，②b−2a<0，③a−b+c>0，④a+b>n(an+b)，(n≠1)，⑤2c<3b．正确的是（）A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤【解答】①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项错误；②由于a<0，所以−2a>0．又b>0，所以b−2a>0，故此选项错误；③当x＝−1时，y＝a−b+c<0，故此选项错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c>an2+bn+c，故a+b>an2+bn，即a+b>n(an+b)，故此选项正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c<0，且该抛物线对称轴是直线x=−b2a =1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故此选项正确；故④⑤正确．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）−13的绝对值是________．【解答】根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|−13|=13，分解因式：2x2−2＝________．【解答】2x2−2＝2(x2−1)＝2(x+1)(x−1)．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是________．【解答】设该多边形的边数为n，根据题意，得，(n−2)⋅180∘＝720∘，解得：n ＝6．故这个多边形的边数为6．不等式组{x 3≥−11+2x ≥−1 的解集为________． 【解答】{x 3≥−11+2x ≥−1 ， ∵解不等式①得：x ≥−3，解不等式②得：x ≥−1，∴不等式组的解集为x ≥−1，如图，直线AE // BC ，BA ⊥AC ，若∠ABC ＝54∘，则∠EAC ＝________度．【解答】∵BA ⊥AC ，∴∠BAC ＝90∘，∵∠ABC ＝54∘，∴∠C ＝90∘−54∘＝36∘，∵AE // BC ，∴∠EAC ＝∠C ＝36∘，从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t ）的数据，这两组数据的平均数分别是x ¯甲≈7.5，x ¯乙≈7.5，方差分别是S 甲2＝0.010，S 乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是________． 【解答】∵x ¯甲=x ¯乙≈7.5，S 甲2＝0.010，S 乙2＝0.002，∴S 甲2>S 乙2， ∴乙玉米种子的产量比较稳定，∴应该选择的玉米种子是乙，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A(6, 0)，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30∘，矩形CODE 的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO 重叠部分的面积为6√3时，则矩形CODE向右平移的距离为________．【解答】∵点A(6, 0)，∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA−OD＝6−2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE // OC，∴∠AED＝∠ABO＝30∘，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED=2−AD2=√82−42=4√3，∵OD＝2，∴点E的坐标为(2, 4√3)；∴矩形CODE的面积为4√3×2＝8√3，∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6√3∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2√3，如图，设ME′＝x，则FE′=√3x，依题意有x×√3x÷2＝2√3，解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60∘；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90∘；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108∘；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4...A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是________1N＝________，∠________．【解答】如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC=(3−2)×180=60∘；3如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD=(4−2)×180=90∘；4如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE=(5−2)×180=108∘；5…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4...A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n=(n−2)×180n故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n=(n−2)×180．n三、解答题（本大題关8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）计算：2cos45∘+(π−2020)0+|2−√2|．【解答】原式=2×√22+1+2−√2=√2+1+2−√2＝3．化简：(a 2a−1−a−1)÷2aa2−1．【解答】原式＝(a 2a−1−a2−1a−1)÷2a(a+1)(a−1)=1a−1⋅(a+1)(a−1)2a=a+12a．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≅△CDE；（2）求∠AEB的度数．【解答】证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60∘，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90∘，∴∠EAB＝∠EDC＝150∘，在△BAE和△CDE中{AB=DC∠EAB=∠EDCAE=DE，∴△BAE≅△CDE(SAS)；∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150∘，(180∘−150∘)＝15∘．∴∠AEB=12为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x< 80，80≤x<90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x<80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含7的有________人；（2）表中m的值为________；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第________名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【解答】在这次测试中，七年级在75分以上（含7的有8+15+8＝31（人），故答案为：31．七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，=77.5，∴m=77+782故答案为：77.5；在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，故答案为：24；=270（人）．估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×4+15+850某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【解答】设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000(1+x)2＝24200解得x1＝−2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．24200(1+0.1)＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．【解答】证明：连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，∴∠AEB＝90∘，∴∠AEC＝90∘，∵D为AC的中点，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90∘，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠DEA+∠OEA＝90∘，即∠DEO＝90∘，∴DE是⊙O的切线；∵∠AEC＝∠CAB＝90∘，∠C＝∠C，∴△AEC∽△BAC，∴ACBC =ECAC，∵CA＝6，CE＝3.6，∴6BC =3.66，∴BC＝10，∵∠CAB＝90∘，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB=2−62=8，∴OA＝4，即⊙O的半径OA的长是4．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90∘，∠BCD＝90∘，BA＝BC，∠ABC＝120∘，∠MBN ＝60∘，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≅△BAE，再证明△BFG≅△BFE，可得出结论，他的结论就是________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90∘，∠BCD＝90∘，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180∘，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30∘的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70∘的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50∘的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70∘．试求此时两舰艇之间的距离．【解答】故答案为：EF＝AE+CF(1)探究延伸1：如图2，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≅△BAE，再证明△BFG≅△BFE，可得出结论：EF＝AE+CF(2)探究延伸2：上述结论仍然成立，即EF＝AE+CF，理由：如图3，延长DC到H，使得CH＝AE，连接BH，∵∠BAD+∠BCD＝180∘，∠BCH+∠BCD＝180∘，∴∠BCH＝∠BAE，∵BA＝BC，CH＝AE，∴△BCH≅△BAE(SAS)，∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，∴∠HBE＝∠ABC，又∵∠ABC＝2∠MBN，∴∠EBF＝∠HBF，∵BF＝BF，∴△HBF≅△EBF(SAS)，∴EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF(3)实际应用：如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30∘的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70∘的B处，所以∠AOB＝140∘，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70∘，所以∠EOF＝70∘，所以∠AOB＝2∠EOF．依题意得，OA＝OB，∠A＝60∘，∠B＝120∘，所以∠A+∠B＝180∘，因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180∘，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．根据探究延伸2的结论可得：EF ＝AE +BF ，根据题意得，AE ＝75×1.2＝90（海里），BF ＝100×1.2＝120（海里），所以EF ＝90+120＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离为210海里．已知直线y ＝kx −2与抛物线y ＝x 2−bx +c(b ，c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1, 0)，点M(m, 0)是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx −2与抛物线y ＝x 2−bx +c(b ，c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值． 【解答】∵直线y ＝kx −2与抛物线y ＝x 2−bx +c(b ，c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1, 0)， ∴−k −2＝0，1+b +c ＝0，∴k ＝−2，c ＝−b −1，∴直线y ＝kx −2的解析式为y ＝−2x −2，∵抛物线y ＝x 2−bx +c 的顶点坐标为E(b 2, 4c−b 24)， ∴E(b 2, −4b−4−b 24)，∵直线y ＝−2x −2与抛物线y ＝x 2−bx +c(b ，c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E ， ∴−4b−4−b 24=−2×b 2−2， 解得，b ＝2，或B ＝−2（舍），当b ＝2时，c ＝−3，∴E(1, −4)，故k ＝−2，b ＝2，c ＝−3，E(1, −4)；由（1）知，直线的解析式为y ＝−2x −2，抛物线的解析式为y ＝x 2−2x −3，∴C(0, −3)，Q(2, −3)，如图1，设直线y ＝−2x −2与y 轴交点为N ，则N(0, −2)，∴CN ＝1，∴S △ACE =S △ACN +S △ECN =12×1×1+12×1×1=1， ∴S △EQM =12，设直线EQ 与x 轴的交点为D ，显然点M 不能与点D 重合， 设直线EQ 的解析式为y ＝dx +n(d ≠0)，则{2d +n =−3d +n =−4， 解得，{d =1n =−5， ∴直线EQ 的解析式为y ＝x −5，∴D(5, 0)，∴S △EQM =S △EDM =S △QDM =12DM ×|−4|−12DM ×|−3|=12DM =12|5−m|=12， 解得，m ＝4，或m ＝6；∵点D(b +12, y D )在抛物线y ＝x 2−bx −b −1上，∴y D =(b +12)2−b(b +12)−b −1=−b 2−34，可知点D(b +12, −b 2−34)在第四象限，且在直线x ＝b 的右侧， ∵√2AM +2DM =2(√22AM +DM)，∴可取点N(0, 1)，则∠OAN ＝45∘，如图2，过D 作直线AN 的垂线，垂足为G ，DG 与x 轴相交于点M ，∵∠GAM＝90∘−∠OAN＝45∘，得√22AM＝GM，则此时点M满足题意，过D作DH⊥x轴于点H，则点H(b+12, 0)，在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45∘，∴DH＝MH，DM=√2MH，∵点M(m, 0)，∴0＝(−b2−34)＝(b+12)−m，解得，m=b2−34，∵√2AM+2DM=27√24，∴√2[(b2−14)−(−1)]+2√2[(b+12)−(b2−14)]=27√24，解得，Bb＝3，此时，m=32−14=54>0，符合题意，∴b＝3．。

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。