第五讲复习平均数,流水问题和容斥原理

容斥原理一、知识点包含与排除问题也叫容斥原理。

“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

思考方法。

1、如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。

（单位：厘米）2、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？3、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？ 4 图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？5：某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？6. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。

问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？7. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？7528. 1至100的自然数中：1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？9. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。

这个班共有学生多少人？10. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？11. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。

数学专项复习小升初——平均数问题知识回顾在小升初的数学复习中，平均数问题是一个重要的知识点。

它不仅在考试中经常出现，而且在我们的日常生活中也有着广泛的应用。

接下来，让我们一起对平均数问题进行一次全面的知识回顾。

首先，我们来明确一下什么是平均数。

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。

它反映的是一组数据的总体水平。

举个简单的例子，假如有三个数 5、8、10，那么它们的平均数就是（5 ＋ 8 ＋ 10）÷ 3 ＝ 767 。

在解决平均数问题时，我们常常会用到以下几个公式：平均数＝总和 ÷个数总和＝平均数 ×个数个数＝总和 ÷平均数理解并熟练运用这些公式，是解决平均数问题的关键。

接下来，我们看几种常见的平均数问题类型。

第一种是基本的求平均数问题。

比如，一组同学的身高分别是 140厘米、145 厘米、150 厘米、155 厘米、160 厘米，求这组同学的平均身高。

我们只需要将这五个身高相加，然后除以 5 就可以得到平均身高。

第二种是加权平均数问题。

假设某次考试中，语文、数学、英语的成绩权重分别为 3、4、3，小明的语文成绩是 80 分，数学成绩是 90 分，英语成绩是 85 分，那么小明的加权平均成绩就是（80×3 ＋ 90×4 ＋85×3）÷（3 ＋ 4 ＋ 3）。

第三种是连续几个数的平均数问题。

比如，连续 5 个自然数的平均数是 10，那么这 5 个数的和就是 10×5 ＝ 50 ，这 5 个数分别是 8、9、10、11、12 。

在解决平均数问题时，还有一些小技巧和注意事项。

要认真审题，看清题目中给出的条件和问题，确定是求简单平均数、加权平均数还是其他类型的平均数。

在计算过程中要仔细，避免计算错误。

特别是在涉及到多个数据相加或相乘时，更要小心谨慎。

有时候，我们可以通过画图或者列举的方法来帮助我们理解题目，找到解题的思路。

数量关系之容斥问题解题原理及⽅法 ⼀、知识点 1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。

每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。

A∪B读作“A 并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10} 3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰： 例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）： （⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3） 原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏： 第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）； 第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素） 总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 原理⼆：给定三个集合A，B，C。

要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏： 第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣； 第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣； 第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣ ⼆、例题分析： 例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

《平均数》讲义一、什么是平均数在我们的日常生活和学习中，经常会听到“平均数”这个词。

那么，究竟什么是平均数呢？简单来说，平均数是表示一组数据集中趋势的量数。

它是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。

比如说，有五个同学的考试成绩分别是 80 分、90 分、70 分、85 分和 95 分。

那么这组数据的平均数就是（80 ＋ 90 ＋ 70 ＋ 85 ＋ 95）÷ 5 ＝ 84 分。

这个 84 分就代表了这五个同学成绩的平均水平。

平均数可以帮助我们快速了解一组数据的大致情况。

但需要注意的是，平均数并不一定能完全反映出每一个个体的具体情况。

二、平均数的计算方法1、算术平均数这是我们最常见、最常用的平均数计算方法。

就像前面提到的例子，将所有数据相加，然后除以数据的个数。

算术平均数的公式为：平均数＝总和 ÷个数2、加权平均数当一组数据中的每个数据的重要程度不同时，我们就需要用到加权平均数。

比如说，在计算学生的综合成绩时，期末考试成绩占 70%，平时作业成绩占 30%。

假设期末考试成绩是 90 分，平时作业成绩是 80 分，那么综合成绩就是 90×70% ＋ 80×30% ＝ 87 分。

加权平均数的公式为：加权平均数＝（数值×权数）之和 ÷权数之和3、几何平均数几何平均数主要用于计算比率或者百分比数据的平均水平。

例如，某公司连续三年的增长率分别为 20%、30%和 40%，那么这三年的平均增长率就不是简单地（20% ＋ 30% ＋ 40%）÷ 3，而是用几何平均数来计算。

几何平均数的公式为：几何平均数＝（数值 1×数值 2×······×数值n）的 n 次方根三、平均数的特点1、平均数受极端值的影响如果一组数据中存在极大值或极小值，那么平均数可能会被这些极端值拉高或拉低。

人教版《平均数》精品课件【导言】平均数是数学中重要的概念之一，它是统计学中常用的指标之一。

人教版《平均数》精品课件旨在通过图文并茂的形式，生动地展示平均数的概念和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

以下为人教版《平均数》精品课件的内容概述：一、什么是平均数1. 平均数的定义2. 平均数在现实生活中的应用二、计算平均数的方法1. 简单平均数的计算步骤2. 加权平均数的计算方法3. 对比简单平均数和加权平均数的区别4. 平均数的计算示例三、平均数的性质1. 平均数的唯一性和局限性2. 平均数与数据的关系四、平均数的应用1. 平均数在调查统计中的应用2. 平均数在成绩管理中的应用3. 平均数在其他领域的应用【一、什么是平均数】平均数是一组数据的集中趋势指标，用于表示数据的平均水平。

在现实生活中，平均数有广泛的应用，比如我们常用的考试成绩的平均分、商品的平均价格等等。

【二、计算平均数的方法】1. 简单平均数的计算步骤：将一组数据相加，并除以数据的个数，即可得到简单平均数。

2. 加权平均数的计算方法：在计算平均数时，给不同数据设置不同的权重，再进行计算。

3. 对比简单平均数和加权平均数的区别：简单平均数对每个数据等权处理，而加权平均数则对不同数据设置不同的权重处理。

4. 平均数的计算示例：通过具体的计算示例，学生可以更好地理解和运用平均数的计算方法。

【三、平均数的性质】1. 平均数的唯一性和局限性：对于一组数据，它们的平均数是唯一的，但平均数无法完全反映数据的分布情况。

2. 平均数与数据的关系：平均数与数据的大小有关，当数据中有较大（或较小）的异常值时，平均数会受到影响。

【四、平均数的应用】1. 平均数在调查统计中的应用：进行调查时，可以计算出平均数来表示整体状况。

2. 平均数在成绩管理中的应用：学校可以通过计算平均数来评估学生的学习水平和班级的整体情况。

3. 平均数在其他领域的应用：平均数在经济、社会学等领域也有广泛的应用，可以用来分析和研究各种数据。

2024年【教学课件】《平均数》(一、教学内容本节课我们将学习《数学》教材第五章“数据分析”中的第二节“平均数”。

具体内容包括平均数的定义、计算方法、应用场景以及其在数据分析中的重要性。

我们将重点探讨如何通过平均数来描述一组数据的集中趋势。

二、教学目标1. 让学生理解平均数的概念，并掌握计算平均数的方法。

2. 培养学生运用平均数分析数据的能力，提高数据分析素养。

3. 培养学生的逻辑思维能力和实际应用能力，能将平均数应用于解决实际问题。

三、教学难点与重点难点：平均数的计算方法及其在数据分析中的应用。

重点：理解平均数的定义，掌握计算平均数的方法，并能将其应用于实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、PPT课件、计算器。

2. 学具：学生用计算器、练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一组学生的身高数据，让学生观察并思考如何描述这组数据的集中趋势。

2. 知识讲解：（1）介绍平均数的定义及计算方法。

（2）通过例题讲解，让学生掌握计算平均数的方法。

3. 例题讲解：给出一组数据，让学生计算其平均数，并解释平均数的实际意义。

4. 随堂练习：（1）让学生计算给定数据组的平均数。

（2）讨论平均数在实际问题中的应用。

5. 课堂小结：六、板书设计1. 平均数的定义及计算方法。

2. 例题及解析。

3. 随堂练习题目。

七、作业设计1. 作业题目：（2）某班学生的数学成绩如下：90，85，75，80，95，求该班数学平均成绩。

2. 答案：（1）6（2）85八、课后反思及拓展延伸1. 反思：让学生回顾本节课所学内容，思考自己在计算平均数时的注意事项。

2. 拓展延伸：引导学生思考平均数在生活中的应用，如统计学、经济学等领域。

鼓励学生利用所学知识解决实际问题，提高数据分析能力。

重点和难点解析1. 教学内容的安排与讲解。

2. 教学目标的设定。

3. 教学难点与重点的识别。

4. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习。

容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用来计算多个事件的概率或计数。

容斥原理的核心思想是通过逐步剔除重复计数的方式得到准确的计数结果。

下面将详细介绍容斥原理及其应用。

一、容斥原理的基本概念：设集合U为一个样本空间，A₁，A₂，...，Aₙ为U的n个子集，容斥原理给出了如下关于这些集合的计数或概率的公式：```P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ)=Σ[P(A₁)-P(A₁∩A₂)+P(A₁∩A₂∩A₃)-...+(-1)ⁿ⁻¹P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)]```其中P(A₁)表示事件A₁的概率，P(A₁∩A₂)表示事件A₁与A₂同时发生的概率，依此类推。

二、容斥原理的证明：容斥原理的核心思路是通过排除重复计数的方法得到准确的计数结果。

可以用一个数轴来表示样本空间U，集合A₁，A₂，...，Aₙ所对应的子集分别在数轴上画出，然后逐步排除交集的部分。

具体证明过程如下：1.先考虑只有两个集合A₁和A₂的情况，根据概率的加法原理可得：```P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁∩A₂)```这里P(A₁∩A₂)表示事件A₁和A₂同时发生的概率，由于在P(A₁)和P(A₂)中分别计算了P(A₁∩A₂)，所以要减去一次P(A₁∩A₂)去除重复计数。

2.推广到三个集合A₁、A₂、A₃的情况，根据加法原理得：```P(A₁∪A₂∪A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A₁∩A₂)-P(A₁∩A₃)-P(A₂∩A₃)+P(A₁∩A₂∩A₃)```这里减去了P(A₁∩A₃)和P(A₂∩A₃)是因为它们在P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)中分别计算了两次，要减去一次去除重复计数。

加上P(A₁∩A₂∩A₃)是因为它在前面的计算中被减去了两次，要加回来。

3.对于n个集合的情况，以此类推可以得到容斥原理的一般形式。

三、容斥原理的应用：容斥原理在组合数学和概率论中具有广泛的应用1.计数问题：利用容斥原理可以解决一些与集合计数相关的问题，如给定集合A₁，A₂，...，Aₙ，求它们的并集的元素个数。