2013届高考数学考点回归总复习《第六讲函数的单调性与最大(小)值》

A．(－∞，－3]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1)D．[－1，＋∞)
2.()下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()
A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|
3.()设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()
2.函数单调性的判断
(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；
(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
8. ()若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝_________.
类型三 抽象函数的单调性
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
()f(x)的定义域为(0，
＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.

1
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件 都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结 单调递增
论 当函数 f(x)在它的定义域上单调 当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结 如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规

减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由 此可得D项符合.故选D.
探究提高
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域；
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
2 x12 1 0, x2 1 0, | x1x2 | 1,
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
( x2 x1 )(x1 x2 1) 0. 2 2 ( x1 1)(x2 1)
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
数则可以利用导数解之.
ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x ) 2 , x∈(-1,1)的单 x 1 调性（其中a≠0）.
题型四
函数单调性与不等式
【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)
=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

4 解之得 1 m . 3 4 原不等式解集为 1, . 3
[反思感悟] (1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2,函 数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符 号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定 义域内或给定的范围内进行. (2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将 不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解, 导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄 清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等 式进行转化.
类型四
Hale Waihona Puke 抽象函数的单调性与最值解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质 的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值 转化或配凑.
【典例4】 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)1,并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函 数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出. 了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处: (1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数
单调性相反;
1 y f ( x)
与y=f(x)的
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ④ 0. x1 x2 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③