河南省南阳市2019年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷

2.下列值等于 的是（ )
A. B. C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
利用微积分基本定理逐个计算每个选项中的定积分，可得出正确选项.
【详解】由微积分基本定理可得 ， ，
, ，故选D.
【点睛】本题考查定积分的计算,解题的关键就是利用微积分基本定理进行计算,考查计算能力，属于基础题.
3。如图是函数 的导函数 的图像，则下面判断正确的是（ ）
【解析】
【分析】
设 ,由于 ,得到 小于 ，得到 为减函数,将所求不等式变形后,利用 为减函数求出 的范围，即为所求不等式的解集．
【详解】设 ,
， ， ∴ 为减函数，
又 ，所以
即 ,
又
∴
∴ ．
又 为底数是10的增函数，
∴ ，故不等式的解集为 。
故答案为： ．
【点睛】此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点,以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题．
【详解】根据图甲所示的分形规律， 个白圈分形为 个白圈1个黑圈, 个黑圈分形为 个白圈 个黑圈，第一行记为 ，第二行记为 ,第三行记为 ，第四行的白圈数为 ；黑圈数为 ，第四行的“坐标”为 ； 第五行的“坐标”为 ，各行白圈数乘以 ，分别是 ,即 ，
∴第 行的白圈数为 ,黑圈数为 ，
所以 ，即 。
故答案为： （ ）
【详解】 ，解不等式 ，得 ，
即函数的单调递减区间为 ，
又函数 在区间 上单调递减,
则 ，即 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选C
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

南阳市六校2019-2020学年高二(下)第一次联考数学试卷(理科) 一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若当limΔx→0f(x0)−f(x0+3Δx)2Δx=1，则f′(x0)等于()A. 32B. 23C. −32D. −232.观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为()．A.B.C.D.3.已知函数f(x)=2x2，则f′(1)等于()A. 4B. 2C. 4+2△xD. 4+2(△x)24.用反证法证明“∀x∈R，2x>0”，应假设()A. ∃x0∈R，2x0>0B. ∃x0∈R，2x0<0C. ∀x∈R，2x≤0D. ∃x0∈R，2x0≤05.下列类比推理正确的是()A. 把a(b+c)与a x+y类比，则有a x+y=a x+a yB. 把a(a+b)与a⇀·(a⇀+b⇀)类比，则有a⇀·(a⇀+b⇀)=a⇀2+a⇀·b⇀C. 把(abc)n与(x+y+z)n类比，则有(x+y+z)n=x n+y n+z nD. 把(ab)c与(a⇀·b⇀)·c⇀类比，则有(a⇀·b⇀)·c⇀=c·⇀(a⇀·b⇀)6.函数y=(3−x2)e−x的递增区间为()A. (−∞,0)B. (3,−1)C. (−∞,3)及(1,+∞)D. (−∞,−1)及(3,+∞)7.已知函数存在单调递减区间，则a的取值范围是()A. B. C. D.8.期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格．乙：丁肯定能及格．丙：我们四人都能及格．丁：要是我能及格，大家都能及格．成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9. 设曲线y =x n+1(n ∈N ∗)，在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1+log 2011x 2+⋯+log 2011x 2010的值为( )A. −log 20112010B. −1C. log 20112010−1D. 110. 已知函数f(x)=4x2x−1，M =f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(nn )(n ∈N ∗，且n 为奇数)，则M 等于( )A. 2n −1B. n −12C. 2n +2D. 2n +1211. 已知函数f(x)=x 2(e x +e −x )−(2x +1)2(e 2x+1+e −2x−1)，则满足f(x)>0的实数x 的取值范围是( )A. (−1,−13) B.C.D.12. 已知函数f(x)=a(e x−1+x 2)与g(x)=ax 2−|x −a|+1，若y =f(x)与y =g(x)的图像恰有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,1)B. {−1}∪[0,1)C. (−1)∪(1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线方程为______． 14. 设0<x <1，则函数y =1x +11−x 的最小值是________．15. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在代数式1+11+11+⋯中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则1+1t =t ，则t 2−t −1=0，取正值得t =√5+12，用类似方法可得√7+√7+√7+⋅⋅⋅= ．16. 函数g(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(2)=0，当 x >0时，xg(x)−f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 设函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a ．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若方程f(x)=0有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围．18. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a b =cos Bcos A ，判断△ABC 的形状．19. 己知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y =一1上，且椭圆的离心率e =√32．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点直线AM 交直线，于点C ，N 为线段BC 的中点，求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20.用数学归纳法证明：．21.已知函数f(x)=alnx+x2−x，其中a∈R．(Ⅰ)若a>0，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1．(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：(x−1)f(x)≥0．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考了导数的定义，属于基础题．根据导数的定义即可求出．lim Δx→0f(x0)−f(x0+3Δx)2Δx=−32limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0)3Δx=−32f′(x0)=1，∴f′(x0)=−23，故选：D．2.答案：B解析：本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：观察图形得到规律是每行有方块、三角形、圆各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应该填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应该是阴影部分的方块．故选B．3.答案：A解析：解：由f′(x)=4x，则f′(1)=4，故选：A先求导，再代值计算即可．本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的求导公式是解题之关键，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查反证法的概念，属于基础题．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，P(x0)成立的否定是使得P(x0)不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x>0”，应假设为∃x0∈R，2x0≤0．故选D．5.答案：B解析：解：对于选项A：把a(b+c)与a x+y类比，则有a x+y=a x+a y，当x=y=1时，不成立．对于选项C：当n=2时(x+y+z)2≠x2+y2+z2．对于选项D：向量是不成立的．故选：B．直接利用举例或特值法排除选项，从而求出结果．本题考查的知识要点：特值法在客观题中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.答案：D解析：解：y′=−2x⋅e−x+(3−x2)(−e−x)=e−x(x2−2x−3)，令y′>0，解得：x>3或x<−1，故f(x)在(−∞,−1)递增，在(3,+∞)也递增，故选：D．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．7.答案：B解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性.解题关键是由函数f(x)=lnx−a2x2−2x存在单调递减区间，等价于当x>0时f′(x)<0有解等价于a>1x2−2x在(0,+∞)上有解；然后求函数的最小值即可．解：∵函数f(x)=lnx−a2x2−2x存在单调递减区间，∴当x>0时f′(x)=1x−ax−2<0有解，即当x>0时，1x −ax−2<0有解，等价于a>1x2−2x在(0,+∞)上有解；令g(x)=1x2−2x(x>0)，则g′(x)=−2x3+2x2=2(x−1)x3(x>0);当x>1时，g′(x)>0，g(x)在此区间单调递增；当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在此区间单调递减；即g(x)min=g(1)=−1；∴a>−1;故选B．8.答案：A解析：本题考查的是推理和证明，只要加以正确推理不难得出结果．解：通过题设可知甲，丙显然是矛盾的，必然有一个不正确．假设甲正确，那么丙必然错误，即乙，丁必然正确，通过乙、丁，我们发现甲是及格的，想矛盾，故甲是错的．故答案为A．9.答案：B解析：解：y =x n+1在(1,1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1)，该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =nn+1，所以log 2011x 1+log 2011x 2+⋯+log 2011x 2010=log 201112×23…×20102011=−1， 故选B ．先求曲线在点(1,1)处的切线方程，从而得出切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，再求相应的函数值． 本题利用了导数的几何意义，同时利用了对数运算的性质求出函数10.答案：C解析：M =f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(nn )=f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(n−2n)+f(n−1n)+f(1) ①观察式子，易发现第一项f(1n )与倒数第二项f(n−1n)的关系，此时会考虑下f(1n )+f(n−1n)是否为定值.即f(1−x)+f(x)是否为定值.因为f(1−x)=4(1−x)2(1−x)−1=4x−42x−1，f(x)=4x2x−1，所以f(1−x)+f(x)=4x−42x−1+4x2x−1=8x−42x−1=4.将M 的项除f(1)外倒着排序.即M =f(n−1n)+f(n−2n)+⋅⋅⋅+f(2n)+f(1n)+f(1) ②由①②两式相加，得2M =4(n −1)+8=4n +4，所以M =2n +2．11.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查了导数的运用，属于中档题，设g(x)=x 2(e x +e −x )，则f(x)>0即为g(x)>g(2x +1)，利用导数研究函数的单调性，再结合奇偶性可得．解：设g(x)=x 2(e x +e −x )， 则f(x)>0即为g(x)>g(2x +1)， ∵g(x)=g(−x)， ∴g(x)为偶函数，当x ≥0时，g′(x)=2x(e x +e −x )+x 2(e x −e −x )≥0， ∴g(x)在[0,+∞)上为增函数，∴|x|>|2x +1|， ∴x 2>(2x +1)2， 解得−1<x <−13，即实数x 的取值范围是(−1,−13)． 故选A ．12.答案：B解析：本题考查了函数的零点与方程根的关系和利用导数研究函数的单调性，由f(x)=g(x)可得ae a =−|x|+1e x−1={−x+1e x−1,(x ≥0)x+1ex−1,(x <0),令ℎ(x)=−|x|+1e x−1，t(a)=ae a ，研究单调性和图像，由图像即可得出ae a ∈[0,e)和ae a =−1e ，即可得出a 的取值范围．解：由f(x)=g(x)可得，a(e x −1+x 2)=ax 2−|x −a|+1，⇒ae x −1=−|x −a|+1， 向左平移a 个单位，可得ae x+a −1=−|x|+1，⇒ae a ·e x−1=−|x|+1，⇒ae a=−|x|+1e x−1={−x +1e x−1,(x ≥0)x +1e x−1,(x <0), 令ℎ(x)=−|x|+1e x−1，求导后得ℎ(x)在x ∈(−∞,0)递增，x ∈(0,2)递减，在(2,+∞)递增，又ℎ(0)=e,ℎ(2)=−1e ，且x →+∞时，ℎ(x)→0，如图，所示， 以ae a ∈[0,e)或ae a =−1e 时，恰有两个零点， 令t(a)=ae a ，t′(a)=(a +1)e a ，由于t(a)=ae a 在(0,1)递增，又f(0)=0，f(1)=e ，f(−1)=−1e (为左侧极值点)，如图所示， 当ae a ∈[0,e)时，a ∈[0,1)，当ae a =−1e 时，解得a =−1， 综上所述，实数a 的取值范围是{−1}∪[0,1), 故选B ．13.答案：x −y +3=0解析：解：f(x)=e x +2的导数为f′(x)=e x ，可得曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线斜率为k =1，切点为(0,3)，则曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线方程为y =x +3，即x −y +3=0．故答案为：x −y +3=0．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．14.答案：4解析：本题考查了函数的最值，考查了计算能力，属于基础题．解：y =1x +11−x =1x (1−x )，当0<x <1时，x(1−x)=−(x −12)2+14≤14． ∵0<x <1，∴x =12时，y 取得最小值4，故答案为4．15.答案：1+√292解析：本题考查类比推理，可令√7+x =x ，求解出x 即可． 解：由题意可得，令√7+x =x ， 则x 2−x −7=0，取正值可得x =1+√292， 故答案为1+√292．16.答案：解析： 本题考查函数的奇偶性，利用导数判定函数的单调性，构造函数g(x)=xf(x)是解题的关键，属于中档题．构造函数f (x )x ，先判断f(x)x 在(0,+∞)上的单调性，由f(x)是奇函数，可得在(−∞,0)上的单调性，根据f (2)2=0，从而可得答案．解：构造函数f(x)x ， 其导数为g(x)x−f(x)x 2，当x >0时，g(x)x−f(x)x 2<0， 所以函数f(x)x 在(0,+∞)单调递减， 又f(2)2=0，所以当x >2时，f(x)x <0，即f(x)<0，因为f(x)为奇函数，所以f(x)x 为偶函数，所以当x <0时，f(x)x >0的解为−2<x <0，即f(x)<0的解为−2<x <0，综上x 的取值范围是．故答案为． 17.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=3x 2−9x +6=3(x −1)(x −2)，…………………………………(2分) 令f′(x)>0，得x >2或x <1；f′(x)<0，得1<x <2，…………………………(4分)∴f(x)增区间(−∞,1)和(2,+∞)；减区间是(1,2).……………………(6分)(Ⅱ)由(I)知 当x =1时，f(x)取极大值f(1)=52−a ，………………………………(7分)当x =2时，f(x)取极小值 f(2)=2−a ，………………………………………………(8分)因为方程f(x)=0仅有三个实根．所以{f(1)>0f(2)<0…………………………………………(10分) 解得：2<a <52，实数a 的取值范围是(2,52).……………………………………………………………(12分)解析：(Ⅰ)求出函数的导数f′(x)=3x 2−9x +6=3(x −1)(x −2)，令f′(x)>0；f′(x)<0，求解函数的单调区间即可．(Ⅱ)利用函数的极值列出不等式，即可求解实数a 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：a b =cos B cos A由正弦定理得sinAcosA =sinBcosB ,即sin2A =sin2B ，∵A,B ∈(0,π)，∴2A =2B ，或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解析：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．通过正弦定理化边为角，求解．19.答案：解：(Ⅰ)∵x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)且点B 在直线l ：y =一1上，∴b =1，又∵e =c a =√32，a 2−c 2=b 2=1∴a 2=4，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，x 0≠0，则Q(0,y 0)，且x 024+y 02=1， ∵M 为线段PQ 的中点，∴M(x02,y 0)， ∵A(0,1)，∴直线AM 的方程为：y =2(y 0−1)x 0x +1，令y =−1，得C(x 01−y 0,−1)， ∵B(0,−1)，N 为线段BC 的中点，∴N(x 02(1−y 0),−1)， ∵NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−x 02(1−y 0),y 0+1)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02,y 0)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02(x 02−x 02(1−y 0))+y 0(y 0+1) =x 024−x 024(1−y 0)+y 02+y 0 =x 024+y 02−x 024(1−y 0)+y 0 =1−(1+y 0)+y 0=0⋅解析：(Ⅰ)通过点B 在直线l ：y =一1上，得b =1，再根据e =c a =√32及a 、c 与b 之间的关系，易得a 2=4，从而可得椭圆的标准方程x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，x 0≠0，则点P 满足椭圆方程，根据题意，易得M(x 02,y 0)、N(x 02(1−y 0),−1)，计算OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可⋅ 本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题． 20.答案：证明：(1)当n =1时，32≤1+12≤32，命题成立；(2)假设当时命题成立，即1+k 2≤1+12+13+⋯+12k ≤12+k ， 则当n =k +1时，1+12+13+⋯+12k +12k +1+12k +2+⋯+12k +2k ≥1+k 2+2k ·12k+1=1+k+12，又1+12+13+⋯+12k +12k +1+12k +2+⋯+12k +2k ≤12+k +2k ·12k =12+(k +1)， 即n =k +1时，命题成立，由(1)和(2)可知，命题对所有都成立．解析：本题考查数学归纳法，着重考查推理、变形与论证能力，属于中档题．利用数学归纳法的证明方法，验证n =1时成立，假设n =k 时成立，证明n =k +1时等式也成立即可．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=a x+2x −1=2x 2−x+a x ，(x >0)， 令g(x)=2x 2−x +a =2(x −14)2+a −18，(x >0)， a ≥18时，g(x)≥0，即f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)递增， 0<a <18时，令g′(x)>0， 解得：x >1+√1−8a2或0<x <1−√1−8a2，令g′(x)<0，解得：1−√1−8a2<x <1+√1−8a2，故f(x)在(0,1−√1−8a 2)递增，在(1−√1−8a 2,1+√1−8a2)递减， 在(1+√1−8a 2,+∞)递增； (Ⅱ)x =1时，显然成立，x >1时，问题转化为a ≥−x 2+x lnx 在(1,+∞)恒成立， 令ℎ(x)=−x 2+xlnx ，则ℎ′(x)=(−2x+1)lnx+x−1(lnx)2，令m(x)=(−2x +1)lnx +x −1，(x >1)，则m′(x)=−2lnx +1−x x <0，故m(x)<m(1)=0，故ℎ′(x)在(1,+∞)递减，而x →1lim −x 2+x lnx =x →1lim −2x+11x =−1，故a ≥−1．解析：(Ⅰ)求出f(x)的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为a ≥−x 2+x lnx 在(1,+∞)恒成立，令ℎ(x)=−x 2+x lnx ，根据函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx −1=lnx +1x ， ∴xf′(x)=xlnx +1，题设xf′(x)≤x 2+ax +1等价于lnx −x ≤a ，令g(x)=lnx −x ，则g′(x)=1x −1．当0<x <1时，g′(x)>0；当x ≥1时，g′(x)≤0，∴x =1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)=−1．综上，a 的取值范围是[−1,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx −x +1≤0；当0<x <1时，f(x)=(x +1)lnx −x +1=xlnx +(lnx −x +1)≤0；当x ≥1时，f(x)=lnx +(xlnx −x +1)=lnx +x(lnx +1x −1)≥0所以(x −1)f(x)≥0．解析：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx −1=lnx +1x ，从而xf′(x)≤x 2+ax +1可转化为lnx −x ≤a ，令g(x)=lnx −x ，求出函数的最值，即可求得a 的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx−x+1≤0，可证0<x<1时，f(x)≤0；x≥1时，f(x)≥0，从而可得结论．本题考查导数知识的运用，考查分离参数法求参数的范围，考查不等式的证明，属于中档题．。

——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题1---6 BACBCC 7------12 DDABDA二、填空题13. 2 14. -615. )10,0( 16. 2136-(364也对） 三、解答题17证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.-------------------------5分 （2）因为a ＋b ＋c ＝1，所以1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ，因为2ab ≤a 2＋b 2, 2bc ≤b 2＋c 2, 2ac ≤a 2＋c 2，所以2ab ＋2bc ＋2ac ≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以1≤a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)，即a 2＋b 2＋c 2≥13.--------------------10分 18.解 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x 2，-------------2分 由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )＞0，x ＞0，得 0＜x ＜e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＜0，x ＞0，得x ＞e. 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． 所以，无极小值有极大值,11)()(-=ee f x f --------------------------------5分 (2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m ＞0，即0＜m ≤e 2时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (2m )＝ln(2m )2m－1；------------------------------------7分 ②当m ＜e ＜2m ，即e 2＜m ＜e 时，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e,2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1；--------------------------------9分 ③当m ≥e 时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递减，所以f (x )max ＝f (m )＝ln m m－1. --------------------------------11分 综上所述，当0＜m ≤e 2时，f (x )max ＝ln(2m )2m－1； 当e 2＜m ＜e 时，f (x )max ＝1e－1； 当m ≥e 时，f (x )max ＝ln m m－1.-------------------------------12分 19．证明：（1）2222(cos sin )cos 2cos sin sin cos 2sin 2n i i i θθθθθθθθ=+=+-=+当时， 所以，2=n 时，等式成立。

………外…………………订……级：___________考号：___………内…………………订……河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．若函数()f x 满足()24f '=，则()()22limh f h f h→--=（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-2．观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若()()222f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A ．4-B ．6-C ．2D ．44．用反证法证明“至少存在一个实数0x ，使030x >成立”时，假设正确的是（ ） A ．至少存在两个实数0x ，使030x >成立 B ．至多存在一个实数0x ，使030x >成立 C ．不存在实数0x ，使030x >成立 D ．任意实数x ，30x >恒成立5．下列使用类比推理正确的是（ ）A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若12x x +=，则2212x x+=”类比推出“若，则2212x x-=” C ．“实数a ，，满足运算()()ab c a bc =”类比推出“平面向量,,a b c r r r 满足运算()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r”D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心” 6．函数()()23xf x x e =-的单调递增区间是（ ）装…………○※※要※※在※※装※※装…………○A ．(),2-∞ B ．()2,+∞C ．5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()3,+∞7．已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．设曲线()1n y xn N +*=∈在()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则201812018220182017log log log x x x ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2018log 2017-B ．1-C ．2018log 20171-D ．110．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．27411．设函数()22,0,0x x x e x f x x x e⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则使得()()121f x f x +>-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．()2,-+∞C ．(),0-∞D ．()2,+∞12．对任意的实数x ，关于y 的方程()0xyxxe ae ye-+=都有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是_____________.14．若函数()()4240,12f x axaxa x =->≤≤的最小值为4-，则a =________.15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x ==__________． 16．设函数()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________.三、解答题17．已知函数31()3f x x ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 有三个单调区间，求实数a 的取值范围. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若2A B =，证明：2cos a b B =； （2）若112a b c +=，证明：2C π<． 19．已知若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）交x 轴于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，则AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值22b a -.（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由. 20．已知函数()933f x x -=++，数列{}n a 对于n *∈N ，总有()1n n a f a +=，112a =.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 21．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 22．设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n-++>+++L .参考答案1．D 【解析】 【分析】根据导数的定义可直接化简求得结果. 【详解】()()()()()002222lim 1lim 24h h f h f f h f f h h→→----'=-⨯=-=--. 故选：D . 【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题. 2．B 【解析】分析：观察图形不难发现每行有两个阴影图形，三个图形有长方形、圆、三角形详解：其规律是每行有方块，三角形，圆形各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应是阴影部分的方块 故选B点睛：本题属于规律题，只要观察图形做出判断不难发现规律。