高考数学一轮复习 第九章 算法初步、统计、统计案例 第一节 算法初步学案 理(含解析)新人教A版-新

第一节 算法初步

2019考纲考题考情

1．三种基本逻辑结构

名称

内容

顺序结构

条件结构

循环结构

定

义 由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构

从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体

程序框图

2．算法的特征

概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性

3．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能

语句 一般格式 功能 输入语句 INPUT“提示内容”；

变量 输入信息

输出语句 PRINT“提示内容”；

表达式 输出常量、变量的值和系

统信息

赋值语句 变量＝表达式 将表达式的值赋给变量

4．条件语句

(1)算法中的条件结构与条件语句相对应。

(2)条件语句的格式及框图。

①IF—THEN格式：

②IF—THEN—ELSE格式：

5．循环语句

(1)算法中的循环结构与循环语句相对应。

(2)循环语句的格式及框图。

①UNTIL语句：

②WHILE语句：

1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值。

2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反。

一、走进教材

1．(必修3P25例5改编)如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________。

解析 输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？。 答案 x<0?

2．(必修3P30例8改编)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )

A．－32 B．32

C．－12 D．12

解析 按照程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin5π6＝12。

答案 D

二、走近高考

3．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s的值为( )

A．12 B．56

C．76 D．712

解析 运行程序框图，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×12＝12，k＝2；s＝12＋(－1)2×13＝56，k＝3；满足条件，跳出循环，输出的s＝56。故选B。

答案 B

4．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和 两个空白框中，可以分别填入( )

A．A>1 000和n＝n＋1

B．A>1 000和n＝n＋2

C．A≤1 000和n＝n＋1

D．A≤1 000和n＝n＋2

解析 因为输出的n为偶数，所以

中应填n＝n＋2。因为输出的是3n－2n>1 000时n的值，所以中应填A≤1 000。故选D。

答案 D

三、走出误区

微提醒：①注意循环结构中控制循环的条件；②注意区分程序框图是条件结构还是循环结构。

5．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为________。

解析 由程序框图可以看出，当n＝8>6时，程序结束，故输出S＝[0 ]＋[2 ]＋[4 ]＋[6 ]＋[8 ]＝7。 答案 7

6．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”如图是关于该算法的程序框图，如果输入a＝153，b＝119，那么输出的a的值是________。

解析 第一次循环得，a＝153－119＝34；第二次循环得，b＝119－34＝85；第三次循环得，b＝85－34＝51；第四次循环得，b＝51－34＝17；第五次循环得，a＝34－17＝17，此时a＝b，输出a＝17。

答案 17

考点一算法的基本结构

【例1】 (1)(2019·沈阳质监)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为( )

A．－3 B．－3或9

C．3或－9 D．－3或－9

(2)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )

A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和

B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和

C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和

D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和

解析 (1)当x≤0时，12x－8＝0，x＝－3；当x>0时，2－log3x＝0，x＝9。故x＝－3或x＝9。故选B。

(2)由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 017－1)，可看作数列{2n－1}的前2 017项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项的和。故选C。

答案 (1)B (2)C

处理循环结构的程序框图问题时，一定要正确确定循环的次数，按照程序框图的规定逐次运算，直到退出循环。

【变式训练】 (1)已知如图所示的程序框图的输入值x∈[－1,4]，则输出y值的取值范围是( )

A．[0,2] B．[－1,2]

C．[－1,15] D．[2,15]

(2)如图所示的程序框图的运行结果为S＝20，则判断框中可以填入的关于k的条件是( )

A．k>9? B．k≤8?

C．k<8? D．k>8?

解析 (1)因为－1≤x≤4，所以当－1≤x≤1时，y∈[－1,0]；当1

(2)据程序框图可得，第一次循环后，S＝11，k＝9；第二次循环后，S＝11＋9＝20，k＝8，退出循环。所以判断框内可以填入“k>8？”。

答案 (1)B (2)D

考点二算法的交汇性问题微点小专题

方向1：与古代文化的交汇

【例2】 (2019·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为( )

A．20 B．25

C．30 D．35

解析 执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋803＝8623≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋793＝8913≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋783＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋773＝9423≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋763＝9713≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋753＝100，退出循环。所以输出的n＝25。

解析：设大和尚有x个，小和尚有y个，则 x＋y＝100，3x＋13y＝100，解得 x＝25，y＝75，根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25。

答案 B

读懂题意，用现代数学的方法解决。

方向2：与函数的交汇

【例3】 某市乘坐出租车的收费办法如下：

(1)不超过3千米的里程收费10元；

(2)超过3千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费)，当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元。

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填( )

A．y＝2[x＋0．5]＋4 B．y＝2[x＋0．5]＋5

C．y＝2[x－0．5]＋4 D．y＝2[x－0．5]＋5

解析 由题意结合程序框图可得，①处应填入当x>3时收取的费用，结合收费办法可得y＝10＋[x－3＋0．5]×2＋1＝2[x＋0．5]＋5。故选B。

答案 B

与函数交汇的程序框图问题，常见的有条件结构的应用、分段函数的求值问题，读图时应正确理解题意，根据相应条件选择与之对应的运算法则求值。

方向3：与数列的交汇

【例4】 如图是一个算法的程序框图，如果输入i＝0，S＝0，那么输出的结果为( )

A．23 B．34

C．45 D．56

解析 模拟程序框图运行过程，如下：

i＝1，S＝11×2，满足循环条件；

i＝2，S＝11×2＋12×3，满足循环条件；

i＝3，S＝11×2＋12×3＋13×4，满足循环条件；

i＝4，S＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，不满足循环条件。

此时S＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45。

答案 C

解决与数列求和交汇的程序框图问题的关键有以下两个方面：一是循环结构的识图、推理，将其输出结果呈现为一个数列求和的形式；二是结合数列求和的知识对结果进行求和运算。常见题型为等差数列、等比数列求和，裂项相消法求和以及周期分组法求和。

【题点对应练】

1．(方向1)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )

A．5 B．4

C．3 D．2

解析 n＝1，S＝2；n＝2，S＝2＋12＋2＝92；n＝3，S＝92＋14＋4＝354；n＝4，S＝354＋18＋8>10，结束循环。则输出的n为4。故选B。

答案 B

2．(方向2)执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则判断框中填入的条件可能是( )

A．k<18? B．k<17?

C．k<16? D．k<15?

解析 由题设中程序框图所提供的算法程序可知：S＝1×log2(2＋1)＝log23，k＝3；S＝log23×log34＝2，k＝4；S＝2×log45＝2log45，k＝5；S＝2×log45·log56＝2log46，k＝6；S＝2×log46·log67＝2log47，k＝7；…；S＝2log416＝4，k＝16，不满足循环条件，输出S＝4。所以判断框内可能为“k<16？”。

答案 C