集合的含义与表示高一数学总结练习含答案

1 §1 集合的含义与表示

1.集合的概念:一般地,指定的某些对象的① 称为集合,集合常用大写字母A,B,C,D,…标记.集合中的每个对象叫作这个集合的② ,元素常用小写字母表示.

2.元素与集合的关系

关系 语言描述 记法 读法

属于 若对象a在集合A中,就说a属于集合A ③

a属于集合A

不属于 若对象a不在集合A中,就说a不属于集合A a∉A a④ 集合A

3.常用数集的记号

常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

记号 ⑤ N+或N* Z ⑥ R

4.集合中元素的性质

集合中的元素具有⑦ 、⑧ 、 ⑨ .

5.集合的常用表示方法

集合的常用表示方法有⑩

和

.

6.集合的分类

有限集 含 元素的集合

无限集 含 元素的集合

空集 不含有任何元素的集合叫作空集,记作⌀

一、集合中元素的特性及应用

1.(2012课标全国,理1,5分,★☆☆)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )

A.3 B.6 C.8 D.10

思路点拨 本题构思新颖,解题的关键是根据集合中元素满足的条件,将其一一列举出来.

2 2.(2013大纲全国,理1,5分,★☆☆)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

思路点拨 将A中元素与B中元素分别相加可得M中元素.

3.(2012江西,理1,5分,★☆☆)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )

A.5 B.4 C.3 D.2

思路点拨 根据集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}的特点,逐个求解其中的元素,当x+y的结果相同时算作一个元素.

二、集合问题中的分类讨论

4.(2010福建,文12,5分,★★☆)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S.给出如下三个命题:

①若m=1,则S={1};

②若m=-12,则14≤l≤1;

③若l=12,则-√22≤m≤0.

其中正确命题的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

思路点拨 对各个命题中设定的条件,根据方程和不等式的知识进行分析判断.

5.(高考预测,★★☆)已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若集合A中至多有一个元素,则实数a的取值范围是( )

A.a=0 B.a≥98

C.a=0或a≥98 D.不能确定

思路点拨 对于方程“ax2-3x+2=0”应首先考虑其是否是一元二次方程,即x2的系数是否为0.若为0,则此方程为一元一次方程,当然只有一个实根;否则,应通过Δ≤0求出a的取值范围.

三、集合中的探索性问题

6.(高考预测,★★☆)已知集合A={x|x=a+b√3,a,b∈Z},x1,x2∈A,下列结论不正确的是( )

A.x1+x2∈A

B.x1-x2∈A

3 C.x1x2∈A

D.当x2≠0时,𝑥1𝑥2∈A

思路点拨 判断一个元素是不是所给集合中的元素,就看这个元素是否符合所给集合中代表元素的特征.在集合中,当其代表元素的特征是确定的形式时,要判断一个元素是否是该集合中的元素,就要把这个元素按该集合代表元素的形式转化,如果转化的结果符合代表元素的形式,那么这个元素就是这个集合中的元素,否则不是这个集合中的元素.

7.(高考预测,★★☆)设集合M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}.

(1)请推断任意奇数与集合M的关系;

(2)关于集合M,你还可以得到一个什么样的结论?证明你的结论.

思路点拨 抓住集合中元素的构成特征检验或证明.

一、选择题

1.下列对象能构成集合的是( )

A.大于6而小于9的整数 B.长江里的大鱼

C.某地所有高大建筑群 D.√3的近似数

2.给出四个关系式:①0∉{0};②0∈{(0,0)};③0∈{0};④0∉N+.其中表述正确的是( )

A.①③④ B.②③

C.③④ D.①②③④

3.方程组{𝑥+𝑦=1,𝑥-𝑦=-1的解集是( )

A.{x=0,y=1} B.{0,1}

C.{(0,1)} D.{(x,y)|x=0或y=1}

4.点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指( )

A.第一象限内的点集

B.第三象限内的点集

C.第一、第三象限内的点集

D.不在第二、第四象限内的点集

4 5.下列集合属于有限集的是( )

①由不超过10的非负偶数组成的集合;

②由大于10的所有自然数组成的集合;

③方程x2-4=0的解集;

④由在平面上到两定点A、B距离相等的点组成的集合;

⑤方程x2+1=0的解集.

A.①④⑤ B.①③⑤ C.①③ D.③⑤

6.设x=13-5√2,y=3+√2π,集合M={m|m=a+√2b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )

A.x∈M,y∈M B.x∈M,y∉M

C.x∉M,y∈M D.x∉M,y∉M

二、填空题

7.用符号“∈”或“∉”填空:

(1)0 N,√5

N,√16

N;

(2)-12 Q,√2+12 Q.

8.下列结论:①a∈{a};②⌀∈{⌀};③a∈⌀;④a∉⌀.其中不正确的序号是 .

一、选择题

1.(2015安徽芜湖一中期中,★☆☆)集合A={x∈Z|-1

A.1 B.2 C.3 D.4

2.(2015广东广州培正中学期中,★☆☆)如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则a的值是( )

A.0 B.0或1

C.1 D.不能确定

3.(2015云南富民一中期中,★★☆)已知集合A={1,2,3},B={2,4}.定义集合A,B之间的运算A*B={x|x∈A,且x∉B},则集合A*B等于( )

A.{1,2,3} B.{2,4} C.{1,3} D.{2}

5 4.(2015浙江瑞安四校联考,★☆☆)方程组{𝑥+𝑦=2,𝑥-𝑦=0的解构成的集合是( )

A.{(1,1)} B.{1,1} C.(1,1) D.{1}

5.(2014广东揭阳一中期中,★☆☆)下列四个集合中,是空集的是( )

A.{⌀} B.{0}

C.{x|x>8或x<4} D.{x∈R|x2+2=0}

6.(2014陕西西安电子科技中学期中,★★☆)定义集合A、B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为( )

A.9 B.14 C.18 D.21

7.(2013辽宁盘锦模拟,★☆☆)若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

8.(2015上海交通大学附中期中,★☆☆)用描述法表示由被5除余3的整数所组成的集合: .

9.(2015广东深圳宝安中学期中,★★☆)集合M={m|m=a+b√2,a∈Q,b∈Q},如果x∈M,那么x2 M(填“∈”或“∉”).

6 知识清单

①全体 ②元素 ③a∈A ④不属于 ⑤N ⑥Q ⑦确定性 ⑧互异性 ⑨无序性 ⑩列举法 描述法 有限个 无限个

链接高考

1.D 由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;y=2时,x可取3,4,5,有3个;y=3时,x可取4,5,有2个;y=4时,x可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10个,选D.

2.B 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8,根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素.

3.C 因为x∈A,y∈B,所以当x=-1,y=0,2时,z=x+y=-1,1;当x=1,y=0,2时,z=x+y=1,3.所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},其共有三个元素,选C.

4.D ①中,若m=1,则S={x|1≤x≤l}.

∵l∈{x|1≤x≤l},∴l2∈{x|1≤x≤l},由于l≥1时l2≥l,此时只能l=l2,解得l=1,此时S={1},故①正确.

②中,若m=-12,则S={𝑥|-12≤x≤l}.

若-12≤l<14,则0≤l2≤14,此时14∉S;

若l>1,则l2>l,此时l2∉{𝑥|-12≤x≤l};若14≤l≤1,此时对任意x∈{𝑥|-12≤x≤l},有0≤x2≤l2≤l,故14≤l≤1,故②正确.

③中,若l=12,则S={𝑥|𝑚≤𝑥≤12}.当x∈{𝑥|𝑚≤𝑥≤12}时,若m>0,则m2≤x2≤14,要使x2∈S,则m2≥m,即m≥1,此时集合S为空集;若m<-√22,则m2>12,此时m2∉S;若-√22≤m≤0,则0≤m2≤12,此时m2∈S,故③正确.

综上所述,选D.

5.C 由题意知方程ax2-3x+2=0有一个实根或有两个相等实根或没有实根.

(1)当a=0时,方程ax2-3x+2=0可化为-3x+2=0,解得x=23,符合题意;

(2)当a≠0时,方程ax2-3x+2=0是一元二次方程,由Δ=9-8a≤0得a≥98,此时方程无实根或有两个相等的实根,符合题意.

综上可知,a=0或a≥98.

6.D 由于x1,x2∈A,故设x1=a1+b1√3,x2=a2+b2√3,a1,a2,b1,b2∈Z,则x1±x2=(a1±a2)+(b1±b2)√3,由于a1,a2,b1,b2∈Z,故a1±a2,b1±b2∈Z,所以x1+x2∈A,x1-x2∈A;x1x2=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)√3,由于