浅谈混沌理论

浅谈混沌

与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。 然而有一句谚语却

说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。”混沌理论可以证明这一谚语。

对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的

缔造者之一。当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。洛伦兹完成了冗长的计算后，

需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。他

知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差

异。然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即

意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数

据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。这万分之一的误差——这种误差大约相当于

多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。他用图像来模拟气候的变化 ，

最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。这就是我们今天所熟知的 “蝴

蝶效应“， 从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行

为对初始条件的敏感依赖性。混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过

不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。正所谓失之毫厘，谬以千里。对气象工作

者来说，那一天是黑暗的日子。洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话， 那么要想

做出长期气象预报几乎是不可能了。”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。他冲破

了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。 我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬

挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。只要有一定

物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角

) ，回复力 F=一k x，单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反，单摆做简谐振动。

下面应用牛顿运动定律来清楚认识一下这个平面单摆。单摆受到的重力矩，

我们希望得到摆角的关于时间的函数来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得

到，，其 中 是单摆的转动惯量 ， 是角加速度。于是化简

得到运动微分方程：

5q<

sinMmglq=-

q

MJb=´2Jml=22ddtqb=

22sin0(1)dgdtlqq+=当研究小摆角( 通常指 ) 摆动的情况，，

则上式变为

( 2 ) 式是一个二阶线性微分方程， 解为，其中A称为振幅，称

为初相，频率 w表示振动的快慢，由决定的常数，此时单摆的运动是简单的简谐振动。

但是大摆角的情况又是怎样的呢?显然不会像上面所述的那么简单了，单摆的运动方程( 1 ) 式是一个二阶非线性微分方程，下面就用非线性力学中最基本的研究方法——相图法

来研究分析该系统。“相”的意思是运动状态，质点在某一时刻的运动状态就是它在该时刻

的位置和速度，位置和速度的关系曲线就是它的相图。相图法是一种图解分析方法，可用于

分析一阶、二阶非线性微分方程的动态过程，取得稳定性、时间响应等有关的信息。在现代

计算机模拟计算下，可比较迅速与精确地获得相轨迹图形，用于系统的分析与设计。现在我

们以质点的速度和位置作为坐标轴构成直角坐标平面，称之为相平面；质点的每一个运动状

态对应相平面上的一个点，称之为相点；质点运动发生变化时，相点就在相平面内运动，相

点的运动轨迹称为相迹线或相图；相点在相平面内运动的速度称为相速度。在相图中能得到

质点运动状态的整体概念。当摆角很大时， 用细线构成的单摆系统有可能无法完成摆动， 可

以用轻杆来代替细线完成大角度摆动。对单摆的运动方程( 1 ) 式进行积分，可得到

, 式中C为积分常数。设初始条件为t=0时，，，可

得，得出

由( 3 ) 式作出相图如下图所示。

5q<sinqq»

220(2)dgdtlqq+=

0cos()Awtqj=+0j

gl

21cos2dgCdtlqqæö-=ç÷èø0qq=0ddtq=

0cosgClq=-02(coscos)(3)dgdtlqqqq==±-中心0点对应单摆下垂的平衡位置， 是一个稳定的不动点， 在中心0周围

( ) ， 相图是椭圆，对于小角度摆动， 把( 2 ) 式积分得出的也是椭圆方程，两种

情况相符。摆动幅度再增大，相图不再是椭圆但仍然闭合，说明单摆仍作周期运动。若能量

再高，相图不再闭合，表示单摆不再往复摆动，而是沿正向或反向转动起来了。当

，即单摆摆到最高点时， ，，说明最高点是一个不稳定平

衡点。但是要让单摆摆到最高点时恰好静止是不可能的，因为两个分支点、是介于单

向旋转和往复旋转之间的一个临界状态，究竟如何运动取决于初始条件的细微差别。在求解

非线性力学问题时，相图中出现了分支点，这表明在该状态下力学系统的行为不是完全确定

的，于是，一个确定性方程演化出了内在的随机性，一个简单的系统顿时变得复杂起来了。

单摆系统的行为不是完全确定的，还有很多类似的情况，比如说滴水龙头。我们来做

一个小实验：很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来，通常会产生一系列规则

的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。但假如缓缓打开水龙头，使水流量

增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。

实验时要均匀地打开水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，我们需要的是中速滴

流,如果调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。水龙头滴下的水滴

是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况

完全由流体运动定律规定。但这个简单而有效的实验证明，显然这一确定性的系统可以产生

不可预言的行为。

单摆的运动和水龙头的花样由稳态变为随机，这种不可预测的、 随机的现象就是混沌。

实际上，混沌现象到处可见，比如风中的旗帜、滴水的水龙头、湍流、天体运动、气象变化、

股票市场的波动、种群的演化、贝纳德热对流、旋转圆柱、激光器中随即单模脉冲尖峰、地

壳运动与地震、脑电波、疾病的蔓延等例子，混沌现象是非线性系统的普遍属性，它揭示了

绚丽多彩、千姿百态的大干世界内在的一种机制，它是那么瞬息万变，充满复杂性，确定性

系统包含着混沌，混沌中也存在着特殊的有序。

让我们来观察掷到碗里的弹子吧。开始的时候，它顺着碗口向碗底滑，然后又从碗的

另一边向碗口滚上来。摩擦逐渐使弹子失去了滚动的能量。最终，弹子停在碗底。这时，弹

子停在自己的位置不动了，它的速度变成了零。在相空间图中，科学家用一条直线来描述这

一运动。直线的起始点标示弹子最初的位置和速度，运动的终点用另一个点来表示。我们会5q<

0qqp==0ddtq=220ddtq=

1G2G发现一种规律：直线的终点总表示速度为 0 ，位置为碗底最深的状态。因为相空间中的这

个“点”看起来似乎吸引这个弹子的轨迹，人们称它为吸引子，说得确切一点，是不动点吸

引子。吸引子是相空间图中最重要的环节。而在洛伦兹的例子中，他也用相空间图来描述天

气系统， 但天气系统在相空间里的图形并不是我们所熟悉的不动点吸引子， 这种图形看起

来像一对耳朵。我们称它为奇怪吸引子。吸引子的概念最早是由法国数学家 R．T h o r n 提

出的，这里所说的吸引不是实际的吸引力，而是系统变化的趋向，而奇怪吸引子是这么一种

趋势，在具有非整数维数的耗散系统中，相空间自由度减少，稳定性增加的同时，系统会经

过高级的有序阶段发展到混沌阶段，使得相空间在收缩的同时又出现局部不稳定的情况，可

以这么认为，耗散系统中有序与无序的统一、确定性与概率性并存等辩证统一的关系，都是

通过奇怪吸引子表现出来的，这也就解释了为什么到目前为止，混沌学中人们研究最多的就

是奇怪吸引子。奇怪吸引子的创造人之一 a k e n s曾对奇怪吸引子作过一个形象的比喻：他

把奇怪吸引子比作一个毛绒球，尽管它有一个比较明确的边界，但其中的 “ 线”可以有许

多头，每一个头都代表一条轨线的初始点。 过去的几百年中，我们一直用一种分析、定量、对称而又机械的眼光来看待这个世界。

混沌帮助我们解脱出来，我们开始把世界想象成各种模式的流动，其特有的魅力使世界变得

更为生动活泼。过去我们只知道，确定的系统只有确定的结果，现在我们更知道，确定的系

统也可以有不确定的结果，这是非线性动力系统的内在随机性。过去我们总认为 “ 海岸线

有多长”、“ 湍流中有多少涡旋”、“ 现在气候变暖了”的提法是正确的，但是现在知道这些

提法都是不适合的，因为海岸线的长度、涡旋的个数、气候的冷暖都是随尺度变化而变化的。

混沌，这个在中外文化渊源悠久的词，正在成为具有严格意义的科学概念，成为一门新科学

的名字——越来越多的人认识到，这是相对论和量子力学问世以来， 对人类整个知识体系

的又一次巨大冲击，这也许是 2 0世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。