高考数学复习 第6章第2节等差数列及其前n项和

- 1 - 等差数列及其前n项和

课时作业

1．在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝( )

A．2 B．3

C．－2 D．－3

答案 B

解析 由题意可得 a1＋d＝2，7a1＋7×62d＝56，

即 a1＋d＝2，a1＋3d＝8，解得 a1＝－1，d＝3，选B.

2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为( )

A．6 B．12

C．24 D．48

答案 D

解析 ∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，

∴由等差数列的性质可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.故选D.

3．(2020·荆州模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是( )

A．15 B．30

C．31 D．64

答案 A

解析 设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝－174，d＝74，则a12＝－174＋74×11＝15.故选A.

4．(2019·山东济南调研)已知数列{an}为等差数列，且满足a2＋a8＝8，a6＝5，则其前10项和S10的值为( )

A．50 B．45

C．55 D．40

答案 B

解析 因为数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝8，所以根据等差数列的性质得2a5＝8，所以a5＝4，又因为a6＝5，所以S10＝10(a1＋a10)2＝10(a5＋a6)2＝45.

5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，则a2＋a4＋a9＝( ) - 2 - A．9 B．15

C．18 D．36

答案 C

解析 由等差数列的通项公式及性质，可得

其次节等差数列及其前n项和

突破点(一) 等差数列的性质及基本量的计算

基础联通

抓主干学问的“源”与“流”

1．等差数列的有关概念

(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(5)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.

考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”

等差数列的基本运算

[例1] (1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

(2)(2022·惠州调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于( ) A．1 B.53

C．－2 D．3

[解析] (1)∵a1＋a5＝2a3＝10，

第2讲 等差数列及其前n项和

最新考纲 考向预测

1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4.体会等差数列与一元一次函数的关系． 命题趋势 等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.

核心素养 数学抽象、逻辑推理

1．等差数列与等差中项

(1)等差数列的定义：

①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2．

3．等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．

(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．

(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

常用结论

1．等差数列与函数的关系

(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．

(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数且常数项为0.

....

.... 第2节 等差数列及其前n项和

最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.

知 识 梳 理

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).

(2)等差数列的前n项和公式

Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d(其中n∈N*).

3.等差数列的有关性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.

(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

4.等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

[常用结论与微点提醒] ....

.... 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.