全等三角形的性质和判定
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全等三角形的性质和判定
要点一、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点二、对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E,点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF,AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
要点三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等。
要点四、全等三角形的判定
（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）
全等三角形判定一(SSS，SAS）
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS")。
要点诠释：如图，如果''AB＝AB，''AC＝AC，''BC＝BC，则△ABC≌△'''ABC.
要点二、全等三角形判定2——“边角边"
1. 全等三角形判定2—-“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS”). 2
要点诠释:如图,如果AB ＝ ''AB，∠A＝∠'A，AC ＝ ''AC,则△ABC≌△'''ABC. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2。 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B,但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、已知:如图，△RPQ中,RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
证明：∵M为PQ的中点（已知）,
∴PM＝QM
在△RPM和△RQM中，
(),,RPRQPMQMRMRM已知公共边
∴△RPM≌△RQM（SSS）．
∴ ∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．
即RM平分∠PRQ.
举一反三：
【变式】已知：如图,AD＝BC，AC＝BD.试证明:∠CAD＝∠DBC。 3
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证:BC＝DE．
证明： ∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD,即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
ABADBACDAEACAE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
证明：延长AE交CD于F，
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形
∴AB＝BC，BD＝BE
在△ABE和△CBD中 4 90ABBCABECBDBEBD
∴△ABE≌△CBD(SAS）
∴AE＝CD，∠1＝∠2
又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）
∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°
∴AE⊥CD
举一反三：
【变式】已知：如图，PCAC，PBAB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，
求证：QC＝QB
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝,他根据DE＝DF,EH＝FH,不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．
【答案与解析】
证明:在△DEH和△DFH中， 5 DEDFEHFHDHDH＝＝
∴△DEH≌△DFH（SSS)
∴∠DEH＝∠DFH．
一、选择题
1。 △ABC和△'''ABC中,若AB＝''AB，BC＝''BC，AC＝''AC.则（ ）
A。△ABC≌△'''ACB B. △ABC≌△'''ABC
C. △ABC≌△'''CAB D. △ABC≌△'''CBA
2。 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（ )
A.AB∥DC B.∠B＝∠D C。∠A＝∠C D。AB＝BC
3。 下列判断正确的是（ ）
A。两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D。直角三角形与锐角三角形不全等
6. 如图，已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（ )
A。EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D。DC ＝CB
二、填空题
9。 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS）
10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°,∠3＝26°，则∠CBE＝_______. 6
12. 已知,如图，AB＝CD，AC＝BD,则△ABC≌ ，△ADC≌ .
三、解答题
13。 已知:如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，
求证：CO＝DO．
14. 已知：如图,AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．
分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______,
又需证______≌______．
证明：∵ AB∥CD （ )，
∴ ∠______＝∠______ （ ），
在△______和△______中,
),______(______),______(______),______(______
∴ Δ______≌Δ______ ( )．
∴ ∠______＝∠______ （ ）．
∴ ______∥______（ ）．
7 15. 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证:AE＝DE。
全等三角形判定3—-“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图,如果∠A＝∠'A，AB＝''AB,∠B＝∠'B，则△ABC≌△'''ABC。
要点二、全等三角形判定4——“角角边"
1.全等三角形判定4—-“角角边"
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边"或“AAS”）
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C,又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定,见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
8 类型一、全等三角形的判定3-—“角边角”
1、已知：如图，E，F在AC上,AD∥CB且AD＝CB,∠D＝∠B．
求证:AE＝CF．
证明：∵AD∥CB
∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中
ACADCBDB
∴△ADF≌△CBE (ASA)
∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF
故得:AE＝CF
举一反三：
【变式】如图，AB∥CD,AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD。
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B,DE＝CB．
求证：AD＝AC． 9
证明:∵AB⊥AE,AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°
∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD
在△BAC和△EAD中
BACEADBECB=DE
∴△BAC≌△EAD（AAS)
∴AC ＝AD
举一反三：
【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE。
求证:BE＝CF.
【答案】
证明：∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
∵BE⊥AD，CF⊥AD,
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中
BEDCFDBDECDFBDCD（对顶角相等）
∴△BED≌△CFD(AAS）
∴BE＝CF
