算术平均数与几何平均数
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算术平均数与几何平均数(1)
教学目的：
１．学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理．
2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.
３．通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.
教学重点：均值定理证明
教学难点:等号成立条件
教学过程:
一、复习引入：不等式的基本性质.
二、讲解新课：
１．重要不等式：
如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba
２．定理：如果a,b是正数,那么).""(2号时取当且仅当baabba
说明：ⅰ我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数因而此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
ⅱ）abbaabba2222和成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数．
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.
3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.
以长为a+b的线段为直径作圆,在直径ＡB上取点Ｃ，使ＡＣ=a,CＢ＝b.过点C作垂直于直径AB的弦DＤ′,那么CBCACD2,即abCD
这个圆的半径为2ba,显然,它不小于CD,即abba2,其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时,等号成立.
三、讲解范例：
例1 已知x，y都是正数，求证:
（1）如果积xｙ是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值;2P
（2)如果和x＋ｙ是定值S,那么当ｘ=y时,积xｙ有最大值.412S
说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:
教学目标
（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；
（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；
（3）能够解决一些简单的实际问题；
（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；
（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式： ，根据这个结论，又得到了一个定理： ，并指出了 为 的算术平均数， 为 的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析
本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是 正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的 条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力， 帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．
㈠定理教学的注意事项
在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：
（1） 和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数。
例如 成立，而 不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当„„时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义： 当 时取等号，其含义就是：
仅当 时取等号，其含义就是：
综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式
6．2算术平均数与几何平均数
第一课时
教学目标：
1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2．理解定理的几何意义；
3．能够简单应用定理证明不等式.
教学重点：均值定理证明
教学难点：等号成立条件
教学方法：引导式
教学过程：
一、复习回顾
上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾.
（学生回答）由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.
二、讲授新课
1． 重要不等式：
如果
证明：
当
所以，
即
由上面的结论，我们又可得到
2． 定理：如果 是正数，那么 证明：∵
即
显然，当且仅当
说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
ⅱ） 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数.
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.
3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.
以长为 的线段为直径作圆，在直径AB上取点C， .过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么 即
这个圆的半径为 ，显然，它不小于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合；即 时，等号成立.
在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.
4． 例题讲解：
例1 已知 都是正数，求证：
（1）如果积 是定值P,那么当 时，和 有最小值
（2）如果和 是定值S,那么当 时，积 有最大值 证明：因为
都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有
上式当 时，取“=”号，因此，当 时，和 有最小值 .
（2）和 为定值S时，有
上式当 时取“=”号，因此，当 时，积 有最大值 .
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
（1）函数式中各项必须都是正数;
（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
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算术平均数与几何平均数数学教案
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