广东省深圳市高三数学下学期第一次调研考试试题 理(含
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1 2016年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{(1)(3)}Axyxx，2{log1}Bxx，则ABI（ ）
A．{31}xx B．{01}xx C．{32}xx D．{2}xx
【答案】B
【解析】{31}Axx，
∴{02}Bxx，ABI{01}xx．
2．设i为虚数单位，复数z满足i34iz，则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】34i43iiz，故选D．
3．已知平面向量a，b满足2a，1b，a与b的夹角为120o，且()(2)abab，则实数的值为（ ）
A．7 B．3 C．2 D．3
【答案】D
【解析】∵()(2)abab，
∴22()(2)2(21)abababab，
8(21)930，
∴3．
4．若变量,xy满足约束条件220,330,0.xyxyx则zxy的最小值为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．2
【答案】C
5．公差为1的等差数列{}na中，136,,aaa成等比数列，则{}na的前10项和为（ ）
A．65 B．80 C．85 D．170
【答案】C
【解析】∵2316aaa，
∴2111(2)(5)adaad，
∴2111(2)(5)aaa，即14a． 2 ∴101094101852S．
6．若函数()2sin(2)()2fxx的图像过点(,1)6，则该函数图像的一条对称轴方程是（
）
A．12x B．512x C．6x D ．3x
【答案】D
【解析】∵()2sin()163f，∴1sin()32．
∵2，5636，
∴36，∴6，()2sin(2)6fxx
∵()23f，故选D．
7．261(2)()xxx的展开式中常数项为（ ）
A．40 B．25 C．25 D．55
【答案】B
【解析】61()xx的通项662166(1)(1)rrrrrrrrTCxxCx，
令622r，得4r；令620r，得3r．
443366(1)2(1)25CC． ∴常数项为8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）
A．42
B．25
C．6
D．43
【答案】D
【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，
CDABP 3
如图，最长的边为43PC．
9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ）
A．49 B．427 C．964 D．364
【答案】A
【解析】∵23434439CAP．
10．点S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到平面ABC的距离为12，3ABBCCA，
则点S与ABC中心的距离为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．12
【答案】B
【解析】设球心为O,ABC中心为1O，
ABC外接圆半径3313r，
依题意，1OO平面ABC，
∴2211OORr．
作21SOOO，垂足为2O，则1212OO，
∴2O为1OO的中点，∴12SOSOR．
11．过点(0,2)b的直线l与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率为取值范围是（ ）
A．(1,2] B．(2,) C．(1,2) D．(1,2)
【答案】A
【解析】直线l的方程为2byxba，
∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，
直线l和直线byxa之间的距离22()1bbba，
∴2()14ba，∴2223caa，∴12e． O2ACBSOO1 4 12．函数2()lnfxxaxx有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． (0,1) B．(,1) C．21(,)ee D．21(0,)ee
【答案】A
【解析】2()ln0fxxaxx，
得2ln1xaxx， 令2ln1()xgxxx，则
24212ln1()xxxxgxxx312lnxxx，
令()12lnhxxx，则2()10hxx，
∴()12lnhxxx在(0,)上为单调减函数，
∵(1)0h，∴(0,1)x时，()0hx，(1,)x时，()0hx，
∴(0,1)x时，()0gx，(1,)x时，()0gx，
∴()gx在1x处取得极大值，也是最大值，
∵(1)1g，∴1a．
∵1xe时，2()0gxee，
x时，()0gx，∴0a，
综上，(0,1)a．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．已知(),()fxgx分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且()()3xfxgx，则(1)f的值为______．
【答案】43
【解析】∵()(),()()fxfxgxgx，
∵()()3xfxgx，
∴(1)(1)31(1)(1)3fgfg，∴(1)(1)31(1)(1)3fgfg，∴1343(1)23f．
14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为______．
（参考数据：sin150.2588o，sin7.50.1305o）
5
【答案】24
【解析】由程序框图可知：
15．过抛物线22(0)ypxp的焦点F，且倾斜角为4的直线与抛物线交于,AB两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0,2)，则p等于______．
【答案】45
【解析】直线AB的方程为2pyx，
由222(0)pyxypxp，得2220ypyp，
设1122(,),(,)AxyBxy，AB的中点00(,)xy，
则1202yyyp，00322pxyp，
∴弦AB的垂直平分线方程为3()2ypxp，
∵弦AB的垂直平分线经过点(0,2)，
∴322pp，∴45p．
16．数列{}na满足221211,,(2)2,.nnnnnananaan，若{}na为等比数列，则1a的取值范围是______．
【答案】9[,)2
【解析】当212a时，2224a，
∵2243a，∴2339a． n 6 12 24
S 23 3 3.1056 6 ∵2394a，∴24416a．
若{}na为等比数列，则2324aaa，即29416，显然不成立，∴14a．
当212a时，2128aa，
∵2283a，∴2339a．
若{}na为等比数列，则2213aaa，
即2849，显然不成立，∴14a．
当212a时，212aa．
①当2123a时，2339a，
若{}na为等比数列，则2213aaa，
即211(2)9aa，194a与14a矛盾，故192a．
②当2123a时，312aa，满足2213aaa．
∴1a的取值范围是9[,)2．
三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
如图，在ABC中，60Co，D是BC上一点，31,20,21ABBDAD．
（1）求cosB的值；
（2）求sinBAC的值和边BC的长．
【解析】（1）在ABD中，31,20,21ABBDAD，
根据余弦定理，有
222cos2ABBDADBABBD222312021232312031．
222cos2ABBDADBABBD
（2）∵0B，∴223123sin1()3131B．
∴sinsin[180(600)]sin(60)BACBBooo DBCA 7 sin60coscos60sinBBoo
323112335323123162．
在ABC中，根据正弦定理，有sinsinBCABBACC,
∴35331sin6235sin32ABBACBCC．
18．（本小题满分12分）
根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如下：
将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响
（1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X的概率（结果用分数表示）；
（2）该河流对沿河A企业影响如下：当[23,27)X时，不会造成影响；当[27,31)X时，损失10000元；当[31,35)X时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：
方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采取措施；
试比较哪种方案较好，并请说理由．
【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X的概率为：
