2023高考数学理科乙卷压轴题

2023年高考考前押题密卷（全国乙卷理）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．A．30％B．【答案】C【详解】由题可设2017、2018则12BD CD CB CA CB =-=-则1(3 CE CB BE CB CA =+=+所以21()CA CB C E BD⋅+⋅=A ．2300.88cmB ．313.52cm 【答案】B【详解】设该圆台的母线长为l ，两底面圆半径分别为【详解】与渐近线b y x a =交于M ，则2F 22sin OF MOF b =⋅∠=，OM =分别是12F F 与2PF 的中点，知OM第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．因为,30DN DF DFN ⊥∠=︒，故【答案】233/233【详解】因为直线,,a b AB三条直线两两垂直，如图，将图形还原为长方体APFE三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(1)求证：PD AD⊥；(2)若33CD DP BC==，且直线角的余弦值.【详解】（1）证明：在四棱锥P则()()()(0,0,0,0,0,1,0,1,0,D P C B ()()3,1,1,3,1,0,PB DA DP λ=-=- 设平面PAD 的一个法向量为(,n x =r 则0,0,n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()310,0,x y z λ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩直线l 与椭圆方程22184x y +=联立可得：x ⎧⎪⎨⎪⎩则121222460,,2121k x x x x k k --∆>+==++. 直线MA 的方程为：1122y y x x -=+，令y t =可得（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的普通方程为10x y -+=．(1)将C 的极坐标方程化为参数方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,2)-，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM = ，写出P 的轨迹1C 的参数方程并判断1C 与l 的位置关系．【详解】（1）因为2cos ρθ=，所以22cos ρρθ=，所以222x y x +=，整理得22(1)1x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，所以1cos ,sin ,x y θθ-=⎧⎨=⎩其中θ为参数．。

2023年全国乙卷高考数学(理科)试题及完整答案2023年全国乙卷高考数学(理科)试题2023年全国乙卷高考数学(理科)答案高中数学有什么必背知识1、函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(—x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(—x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2、复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3、函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x，y)=0，关于y=x+a(y=—x+a)的对称曲线C2的方程为f(y —a，x+a)=0(或f(—y+a，—x+a)=0);(4)曲线C1：f(x，y)=0关于点(a，b)的对称曲线C2方程为：f(2a—x，2b —y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a—x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x—a)与y=f(b—x)的图像关于直线x=对称;4、函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x—a)或f(x—2a)=f(x)(a0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a，0)，(b，0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a，x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=—f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5、方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6、a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max，;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;7、(1)(a0，a≠1，b0，n∈R+);(2)l og a N=(a0，a≠1，b0，b≠1);(3)l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)a log a N= N(a0，a≠1，N0);高中数学的学习方法1.高中数学学习方法—听好课在课堂上集中注意力是想要学好一门科目的关键，高中数学课也不例外。

2023年高考数学押题预测卷及答案解析（全国理科乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集{}2|560U x x x =∈--≤Z ，集合(){}|30A x x x =∈-≥Z ，{}1,2,4B =则集合{1,5,6}-等于（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U A B ðC ．()U A B ∩ðD ．()U A B ⋂ð【答案】B【分析】先表示出集合U 与集合A 的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即可．【详解】由题意知{}|16{1,0,1,2,3,4,5,6}U x x =∈-≤≤=-Z ，{}|03{0,1,2,3}A x x =∈≤≤=Z ，所以{0,1,2,3,4}A B ⋃=，{()1,5,6U A B ∴-= ð，故选：B ．2．设i 为虚数单位，且512i 1ia =++，则1i a -的虚部为（）A ．2-B ．2C ．2iD ．2i-【答案】B【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出2a =-，即可求出1i a -的虚部.【详解】由512i 1ia =++可得：()()()512i 1i 2i 21a a a =++=+-+，则202215a a a +=⎧⇒=-⎨-+=⎩，所以1i=1+2i a -的虚部为2.故选：B.3．已知向量a ，b 满足||2||1a b a b ==⊥ ，，，若()()a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（）A ．2B ．C ．4D ．92【答案】C【分析】由向量垂直列出方程，结合向量的数量积运算性质求解.【详解】∵a b ⊥，∴0a b ⋅= ∵()()a b a b λ+⊥-，∴22()()0a b a b ab λλ+⋅-=-=∵||2||1a b ==，，∴40λ-=，即4λ=.故选：C.4．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:1,1,2,3,5,8,⋯,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为*21,N n n n a a a n ++=+∈,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列{}n a 的通项公式为nnn a A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭,其中A B ，的值可由1a 和2a 得到,比如兔子数列中121,1a a ==代入解得A B ==.利用以上信息计算()[]5.(x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎝⎭⎣⎦表示不超过x 的最大整数)（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【分析】根据题不妨设1A B ==,求出1a ,2a ,进而得到5a ,通过{}n a 的第五项,即可得到55,⎛ ⎝⎭⎝⎭之间的关系,根据512⎛- ⎝⎭的范围可大致判断512⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围,进而选出选项.【详解】解:由题意可令1A B ==,所以将数列{}n a 逐个列举可得:11a =,23a =,3124a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=,故55511a ⎛=+= ⎝⎭⎝⎭,因为()511,02⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()5111,122⎛∈ ⎝⎭,故51112⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选:B5．已知抛物线28y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上（异于顶点），2OM ON =（点O 为坐标原点），过点N 作直线OM 的垂线与x 轴交于点P ，则2OP MF -=（）A ．6B ．C ．4D ．【答案】A【分析】设200,8y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由2OM ON = ，得N 为OM 的中点,表示NP 的方程，求出点P 的坐标，结合抛物线的定义求得结果.【详解】法一：依题意，设200,8y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由2OM ON = ，得N 为OM 的中点且200,162y y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则08=OMk y ，易得直线OM 的垂线NP 的方程为20002816y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，得20416y x =+，故204,016y P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义易知2028y MF =+，故220022426168y y OP MF ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:A.法二：特殊值法.不妨设()8,8M ，则()4,4N ，则1OM k =，易得直线OM 的垂线NP 的方程为()44y x -=--.令0y =，得8x =，故()8,0P ，又10MF =，故216106OP MF -=-=.故选:A.6．执行下面的程序框图，则输出的n =（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【分析】按照迭代方式代入根据格式判断规律为等比数列的求和，按照等比数列求和公式1(1)1-=-n n a q S q求出数据逐渐做判断即可得解.【详解】经过判断框时，第一个S 变为122022£，n 变为2，第二个S 变为1232222022+2=-£，n 变为3，第三个S 变为123422142022+2+2=2-=£，n 变为4，第四个S 变为1234522302022+2+2+2=2-=£，n 变为5，第九个S 变为123491022022+2+2+2++2=2-2=1022£L ，n 变为10，第十个S 变为12349101122022+2+2+2++2+2=2-2=2046>L ，判断框按照“否”输出n=10.故选：B.7．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为1A B ，11AC ，1A D 的中点，则下列结论中错误的是（）A ．1//MN ADB ．平面//MNP 平面1BCD C ．MN CD ⊥D ．平面MNP ⊥平面1A BD【答案】D【分析】求得MN 与1AD 位置关系判断选项A ；求得平面MNP 与平面1BC D 位置关系判断选项B ；求得MN 与CD 位置关系判断选项C ；求得平面MNP 与平面1A BD 位置关系判断选项D.【详解】对A ，在11A BC V 中，因为M ，N 分别为1A B ，11A C 的中点，所以1//MN BC ．又11//BC AD ，所以1//MN AD ，A 正确．对B ，在1A BD 中，因为M ，P 分别为1A B ，1A D 的中点，所以//MP BD ．因为MP ⊄平面1BC D ，BD ⊂平面1BC D ，所以//MP 平面1BC D ．因为1//MN BC ，MN ⊄平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，所以//MN 平面1BC D ．又因为MP MN M ⋂=，,MP MN ⊂平面MNP ，所以平面//MNP 平面1BC D ，B 正确．对C ，因为1//MN AD ，1AD CD ⊥，所以MN CD ⊥，C 正确．对D ，取BD 的中点E ，连接1A E ，1EC ，则11A EC ∠是二面角11A BD C --的平面角．设正方体棱长为a，则)222112221cos 032a A EC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==≠⎫⎪⎝⎭，又110180A EC ︒<∠<︒，则1190A EC ∠≠︒，所以平面1A BD 与平面1BC D 不垂直．又平面//MNP 平面1BC D ，所以平面MNP 与平面1A BD 不垂直，D错误．故选：D ．8．设等比数列{}n a 中，37,a a 使函数()3223733f x x a x a x a =+++在=1x -时取得极值0，则5a 的值是（）A．±BC．±D．【答案】D【分析】由极值点和极值可构造方程组求得37,a a ，代回验证可知3729a a =⎧⎨=⎩满足题意；结合等比数列性质可求得结果.【详解】由题意知：()23736f x x a x a '=++，()f x 在=1x -处取得极值0，()()23733711301360f a a a f a a '⎧-=-+-+=⎪∴⎨-=-+=⎪⎩，解得：3713a a =⎧⎨=⎩或3729a a =⎧⎨=⎩；当31a =，73a =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥，()f x \在R 上单调递增，不合题意；当32a =，79a =时，()()()23129313f x x x x x '=++=++，∴当()(),31,x ∈-∞--+∞ 时，()0f x ¢>；当()3,1x ∈--时，()0f x '<；()f x \在()(),3,1,-∞--+∞上单调递增，在()3,1--上单调递减，1x ∴=-是()f x 的极小值点，满足题意；253718a a a ∴==，又5a 与37,a a同号，5a ∴=故选：D.9．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，AB AC ==6BC =，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】M 是ABC 外心，O 是球心，求出OM ，当D 是MO 的延长线与球面交点时，三棱锥D ABC -体积的最大，由此求得最大体积即可．【详解】如图，M 是ABC 外心，即ABC 所在截面圆圆心，设圆半径为,r O 是球心，因为AB AC ==6BC =，由余弦定理可得：22261 cos2BAC+-∠==-，所以sin BAC∠=22r==r=MB=4OB=，OM⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，则OM BM⊥，所以2OM==，当D是MO的延长线与球面交点时，三棱锥D ABC-体积的最大，此时棱锥的高为246DM=+=，(21sin1202ABCS=⨯⨯︒=所以棱锥体积为11633ABCV S DM=⋅=⨯=．故选：B．10．2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P，则满足123P P P<<的分配方案的概率为（）A．13B．23C．120D．34【答案】A【分析】假设6位医务人员年龄排序为123456a a a a a a <<<<<，由6a 必在第三批，将派遣方式按第一批所派遣的人员不同分成四类，求出满足123P P P <<的派遣方法数，再计算总派遣方法数，即可求概率.【详解】假设6位医务人员年龄排序为123456a a a a a a <<<<<，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派4a ，第二批年龄最大者为5a ，第三批年龄最大者为6a ：剩下的医务人员一个在第二批，两个在第三批有133C =种方法，2、第一批派3a ，第二批年龄最大者为4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当第二批最大者为5a ，则有13C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有12C 种方法，共11325C C +=种方法；3、第一批派2a ，第二批年龄最大者为3a 或4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当第二批最大者为5a ，则有13C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有12C 种方法，当第二批最大者为3a ，则有1种方法，共113216C C ++=种方法；4、第一批派1a ，第二批年龄最大者为3a 或4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当第二批最大者为5a ，则有13C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有12C 种方法，当第二批最大者为3a ，则有1种方法，共113216C C ++=种方法；∴356620+++=种方法，而总派遣方法有12365360C C C =种，∴满足123P P P <<的分配方案的概率为201603=.故选：A.【点睛】关键点点睛：应用分类分步计数原理，结合题设含义，按第一批派遣的人员不同将派遣方式分类，再根据第二批的最大年龄者的不同确定各类的派遣方法数.11．已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD【答案】D【分析】设出点P ，M 的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得MN x ⊥轴，再利用和角的正切公式求出a ，b 的关系作答.【详解】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k，点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此22PA PB b k k a ⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2211221x y a b +=，有211211y y b x a x a a ⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有22MA MB b k k a⋅=-，即22PA MBb k k a⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a=，显然222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a --∠==，22222222222tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a acAMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMFb a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率3e a ==.故选：D【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.12．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '．若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A ．()20231k f k ==∑B ．()202310k g k ==∑C ．x ∀∈R ，()()20f x f x ++-=D ．()()354g g +=【答案】A【分析】由()(2)g x f x ''=-得()()2g x f x a =-+，结合已知得()()22f x f x a =-++，进而有2a =-，由()(2)f x f x =-可判断C 项中的对称性；由()2f x +为奇函数可得()y f x =的周期、对称性及特殊值，从而化简判断A 正误；B 、D 由()()22g x f x =--，结合A 即可判断.【详解】C ：由()(2)g x f x ''=-，则()()2g x f x a =-+，则()()42g x f x a -=-+，又()()42f x g x --=，所以()()22f x f x a =-++，令1x =得20a +=，即2a =-.所以()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，而x ∀∈R ，()()20f x f x ++-=，则()f x 的图象关于()1,0对称，错；A ：()2f x +为奇函数，则()y f x =关于()2,0对称，且()()220f x f x ++-=，∴()20f =，()00f =，()()130f f +=，()()400f f +=，∴()40f =.又()()()22f x f x f x +=--+=-，∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()y f x =的周期4T =，∴[]20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑，对；D ：因为()()()4222g x f x a f x -=-+=--，所以()()22g x f x =--，所以()()()()3512324g g f f +=-+-=-，错；B ：20231()(1)2(0)2(1)2(2021)2k g k f f f f ==--+-+-+⋯+-∑20231()220234046k f k ==-⨯=-∑，错.故选：A【点睛】关键点睛：利用导数得()()2g x f x a =-+，结合已知得到()(2)f x f x =-，进而求其周期和对称性，应用周期和对称性求()12023k f k =∑、()20231k g k =∑、()()35g g +的值.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．【答案】96【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可.【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，则有：24C 6=种情况，剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：①2名同学选择1个学科竞赛则有：14C 4=种情况，②2名同学各选择1个学科竞赛则有1134C C 12=种情况，所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：()612496⨯+=种情况，故答案为：96.14．直线240x y --=分别与x 轴､y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)5x y +-=上，则PAB 面积的取值范围是___________.【答案】[]1,11【分析】首先由直线方程求得,A B 坐标，得到AB ；利用点到直线距离公式求得圆心到直线AB 的距离1d ，从而得到点P 到直线距离2d 的范围，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】因为直线240x y --=分别与x 轴､y 轴交于,A B 两点，所以()2,0A ，()0,4B -所以AB ==圆22(2)5x y +-=的圆心的坐标为()0,2，半径r =，所以圆心到直线240x y --=距离1d =，所以P 到直线240x y --=距离[]211,d d r d r ∈-+，即2d ∈⎣⎦，[]211,112ABP S AB d ∴=⋅∈ .故答案为：[]1,11.15．已知函数1π()sin sin 224f x m x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则满足条件的所有m 的值组成的集合是_________．【答案】{}3--【分析】将原函数转化为同角三角函数21π1π()sin 2sin 12424f x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用对勾函数的性质数形结合，分类讨论处理即可.【详解】解：21ππ1π1π()sin cos 2sin 2sin 12422424f x m x x m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1ππsin [0,1],2π242t x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，则221π1πsin 2sin 1212424m x x t mt ⎛⎫⎛⎫-+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()20210f x t mt =⇔++=*当0=t 时，显然()0f x =无解；当10t ≥>时()*可化为12m t t-=+.利用对勾函数的性质与图象可知（如下图所示）：)22,m ⎡-∈+⎣∞①当22m -=1π2sin 242x t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，此时πx =或2πx =，符合题意；②当3m -=时，即1t =或12t =，此时3π2x =或5π6x =，符合题意；③当3m ->时，即12t <，由1π1πsin ,,2π2422t x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-<∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭可得1ππ0,246x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，易知当012t t =<时，只有一个解0x 满足，不符合题意；④当()22,3m -∈时，1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即1π1sin ,1242x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程12m t t -=+有两根，不妨记为12,t t ，其中11π12sin ,2422t x ⎛⎛⎫=-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，只有一个根，21π2sin ,1242t x ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有两个根，故方程有3个解，也不符合题意.∴满足条件的所有m 的值组成的集合是：{}22,3--.故答案为：{}22,3--16．在同一平面直角坐标系中，P ，Q 分别是函数()e ln()x f x ax ax =-和2ln(1)()x g x x-=图象上的动点，若对任意0a >，有PQ m ≥恒成立，则实数m 的最大值为______．【答案】2【分析】利用同构思想构造()e xw x x =-，得到其单调性，得到e ln()1x ax ax x --≥，再构造()2ln(1)xx j x x -=-，1x >，求导得到其单调性及其最小值，设设()()2ln 1,e ln(),,n t P n an an Q t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用基本不等式得到2PQ ≥，求出答案.【详解】()ln e ln()eln x x axax ax x x ax +--=-+，令()e x w x x =-，x ∈R ，则()e 1xw x '=-当()0,x ∈+∞时，()0w x '>，()e xw x x =-单调递增，当(),0x ∈-∞时，()0w x '<，()e x w x x =-单调递减，故()e x w x x =-在0x =处取得极小值，也是最小值，故()0e 01w x ≥-=，故()ln e ln()eln 1x x axax ax x x ax +--=-+≥，当且仅当ln 0x ax +=时，等号成立，令()2ln(1)xx j x x -=-，1x >，则()222222ln(1)2ln(1)111x x xx x x x x j x x---+---'=-=，令22()2ln(1)1xk x x x x =-+--，则()()22222222()2201111x xk x x x x x x x --'=-+=++>----在()1,+∞上恒成立，故22()2ln(1)1xk x x x x =-+--在()1,+∞上单调递增，又(2)0k =，故当()1,2x ∈时，()0k x <，当()2,x ∈+∞时，()0k x >，故()1,2x ∈时，()0j x '<，()j x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0j x '>，()j x 单调递增，故()2ln(1)xx j x x -=-在2x =处取得极小值，也时最小值，最小值为()22j =，设()()2ln 1,e ln(),,nt P n an an Q t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭，由基本不等式得，()()()2222ln 1()e ln n P t t n an an t Q -⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭222ln(1)e ln (21)9222n t t an an n t -⎛⎫-+-- ⎪+⎝⎭≥≥=，当且仅当()()()2ln 1e ln n t t n an an t--=--，2t =，ln 0n an +=时，等号成立，故2PQ ≥，则max 2m =．故答案为：2【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题e ln()x ax ax x --变形得到()ln e ln x axx ax +-+，从而构造()e x w x x =-进行求解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足236sin 02A Ba b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；(2)求tan A 的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，结合半角公式，可得答案；（2）利用正弦定理，三角函数内角性质以及同角三角函数的基本关系，整理出关于角B 的函数解析式，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）∵236sin 02A Ba b b +-+=，∴22π36sin 36cos 022C Ca b b a b b --+=-+=，∴1cos 3602Ca b b +-+⋅=，∴3cos 0a b C +=．（2）由（1）可得：sin 3sin cos 0A B C +=，且C 为钝角，即4sin cos cos sin 0B C B C +=，即4tan tan 0B C +=，tan 4tan C B =-，()2tan tan 3tan 3tan tan 11tan tan 4tan 14tan tan B C B A B C B C B B B+=-+=-==-++34≤=，当且仅当14tan tan B B=，即1tan 2B =时取等号．故tan A 的最大值为34．18．如图，在Rt AOB △中，π2AOB ∠=，4AO =，2BO =，Rt AOC 可以通过Rt AOB△以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在线段AB上．(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值大小；(2)求CD 与平面AOB 所成角最大时正弦值．【答案】(1)23(2)3【分析】（1）建系，利用空间向量求异面直线夹角；（2）设BD BA λ=uu u r uu r可得()()0,21,4D λλ-，利用空间向量求线面夹角结合二次函数分析运算.【详解】（1）由题意可得：,AO OB AO OC ⊥，平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB 平面AOC AO =，OB ⊂平面AOB ，所以OB ⊥平面AOC ，如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,0,4,2,0,0,0,2,0O A C B ，若D 为AB 的中点，则()0,1,2D ，可得()()0,0,4,2,1,2OA CD uu r uu u r==-，设异面直线AO 与CD 所成角π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则82cos cos ,433OA OA O CD CD CD A θ⋅===⨯⋅uu r uu u r uu r uu u r uu r uu ur .（2）若动点D 在线段AB 上，设()[],,,,0,1D x y z BD BA λλ=∈uu u r uu r，则()(),2,,0,2,4BD x y z BA =-=-uu u r uu r ，可得0224x y z λλ=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得()0214x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即()()0,21,4D λλ-，则()()2,21,4CD λλ=--uu u r，由题意可知：平面AOB 的法向量为()1,0,0n =r，设CD 与平面AOB 所成角为π0,2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则sin cos ,n CD n CD n CD α⋅==⋅r uu u r r uu u r r uu u r ，对于2522y λλ=-+开口向上，对称轴为[]10,15λ=∈，可得当15λ=时，2522y λλ=-+取到最小值2min 119522555y ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭，所以sinα=，注意到π0,2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故CD 与平面AOB 所成角的最大时正弦值3.19．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得5-分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为1p ，2p .(1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果12p p -，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；(2)用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望.【答案】(1)甲、乙获得冠军的实力没有明显差别(2)分布列见解析，5.25【分析】（1）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,A B C ，利用互斥事件和独立事件的概率共求得10575p =.和20.425p =，结合12p p -<，即可得到结论；（2）根据题意，得到X 的可能取值为15,0,15,30-，利用独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.【详解】（1）解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,A B C ，则教师甲获得冠军的概率()()()()1p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++0.40.50.750.60.50.750.40.50.750.40.50.25=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.150.2250.150.050575=+++=.，由对立事件的概率公式，可得得2110.425p p =-=，0.4=，解得120.15p p -=，因为12p p -，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.（2）解：根据题意知，X 的可能取值为15,0,15,30-，可得()150.40.50.750.15P X =-=⨯⨯=，()00.60.50.750.40.50.750.40.50.250.425P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()150.40.50.250.60.50.250.60.50.750.35P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()300.60.50.250.075P X ==⨯⨯=.所以随机变量X 的分布列为所以期望为150.35300.075 5.25+⨯+⨯=.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，P 为C 上一点，O 为原点，PA PO =，90APO ︒∠=，APO △的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为C 的右顶点，过点(1,0)且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：3tan tan MAB NBA ∠=∠．【答案】(1)223144x y +=(2)见解析【分析】（1）通过分析得,22a a P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将其坐标代入椭圆方程，结合APO △面积和,,a b c 的关系即可求出椭圆方程；（2）设直线AM 的斜率为1k ,直线BN 的斜率为()()21122,,,,k M x y N x y ,直线MN 的方程为x =1my +，再将其与椭圆联立得到韦达定理式，通过化简得()121223my y y y =+，最后计算12k k ，将上式代入即可证明其为定值.【详解】（1）不妨设点P 在x 轴的上方,由椭圆的性质可知||OA a =.APO △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形,,22a a P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭代人22221x y a b+=,得2222221a a a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,整理得223a b =.APO △的面积为22141,1,4,223a a ab ∴⋅⋅=∴=∴=.故椭圆C 的方程为223144x y +=.（2）设直线AM 的斜率为1k ,直线BN 的斜率为()()21122,,,,k M x y N x y ,直线MN 的方程为x =1my +.不妨设210y y <<,则12tan ,tan k MAB k NBA =∠=∠.联立221,34x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=,216360m ∆=+>,则12122223,33m y y y y m m +=-=-++,121223y y my y +∴=，即()121223my y y y =+，()()112111212122121212221222332y y my k x y x my y y y k x y my y my y y x -+--∴==⋅==+++-()()1211212212313122233933222y y y y y y y y y y +-+===+++，123,k k ∴=故3tan tan MAB NBA ∠=∠得证.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键第一是要找到正切值与直线斜率的关系，再通过设直线MN 的方程为x =1my +，将与椭圆联立，利用化积为和的方法得到()121223my y y y =+，最后再计算斜率比值为定值，化积为和是处理非对称韦达形式的常用方法.21．已知函数()ln ,R.xf x x a a x=-+∈(1)若0a =，求不等式()()2211x xf x x x -+≥+的解集；(2)若()f x 存在两个不同的零点1x ，212()x x x <，证明：121212ln ln 2x x x x x x a ++++>+.【答案】(1)[1,)+∞;(2)详见解析.【分析】（1）()21()1ln x x g x x -=-+由()g x 的单调性及(1)0g =可求解；（2）根据函数()f x 存在两个不同的零点12,x x ，得1201x x <<<，()12211221ln ln x x x x x x x x -=-，将所证不等式转化为()()()()112212*********ln 1ln ln ln 20x x x x x x x x x x x x x x +-++-+---<，利用由(1)的过程知()()1111ln 21x x x +<-及()()2221ln 21x x x -+<-，代入可证得结论.【详解】（1）令()()()2212l 1(n )11x x g x xf x x x x x --=+-=-++，()g x 的定义域为(0,)+∞，则22214(1)()0(1)(1)x g x x x x x -'=-=≥++，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增.因为(1)0g =，所以当1x ≥时，()0g x ≥，当01x <<时，()0g x <，所以原不等式的解集为[1,)+∞.（2）证明:221ln ()x x f x x--'=，令2()1ln h x x x =--，易知()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =.当01x <<时，()0h x >，此时()0,()>f f x 单调递增;当1x ≥时，()0≤h x ，此时()0,()f x f x '≤单调递减.所以max ()(1)1f x f a ==-.因为函数()f x 存在两个不同的零点12,x x ，所以10a ->，即1a >，由图可知1201x x <<<，由题意知()()12112212ln ln 0,0x xf x x a f x x a x x =-+==-+=，所以22111222ln ,ln x x ax x x ax =-=-，两式相减得211212ln ln x x a x x x x -=++-.所以121212ln ln 2x x x x x x a ++++>+等价于()()()()1212121212ln ln 2x x x x x x x x x x -++---+12ln ln 0x x -<，也等价于()()()()112212*********ln 1ln ln ln 20x x x x x x x x x x x x x x +-++-+---<.因为1201x x <<<，所以由(1)的解题过程知()()1111ln 21x x x +<-……①()()2221ln 21x x x -+<-……②因为121212ln ln x xx a x a x x -+=-+，所以21121212ln ln x x x x x x x x -=-，即()12211221ln ln x x x x x x x x -=-……③①+②+③得()()()()112212*********ln 1ln ln ln 20x x x x x x x x x x x x x x +-++-+---<，所以121212ln ln 2x x x x x x a ++++>+.【点睛】关键点点睛：本题难点在零点的转化应用：由()f x 的零点为12,x x 得：（1）22111222ln ,ln x x ax x x ax =-=-，两式相减得211212ln ln x x a x x x x -=++-，使用此时代入消去a .（2）由121212ln ln x x x a x a x x -+=-+得21121212ln ln x x x x x x x x -=-即()12211221ln ln x x x x x x x x -=-，使用此时代入消去()1221x x x x -.本题中两次对零点的使用都富有创新性.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ+-=．(1)设曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB ；(2)若M ，N 是曲线1C 上的两个动点，且OM ON ⊥，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】(1)(2)32,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立两曲线方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得；（2）首先求出曲线1C 的坐标方程，设()11,M ρθ，21π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可表示出OM ON ⋅，再利用二倍角公式公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为曲线1C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以cos 4sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又22sin cos 1αα+=，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=，又曲线2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线2C 的直角坐标方程为240x y +-=，由222401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以AB =（2）又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以()()22cos sin 1164ρθρθ+=，所以ρ=，即曲线1C的极坐标方程为ρ=，因为OM ON ⊥，所以设()11,M ρθ，21π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以OM ON ⋅===所以当21sin 21θ=时OM ON ⋅取得最小值325，当21sin 20θ=时OM ON ⋅取得最大值8，所以OM ON ⋅的取值范围为32,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，112ab+=．(1)证明：11111a b +≤++．(2)证明：22835ab a b a b+≤+++．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件及基本不等式即可求解；（2）利用分析法及作差比较法即可求解.【详解】（1）由基本不等式可得112ab=+≥可得1,ab ≥当且仅当1a b ==时，等号成立.又由112ab+=，得2a b ab +=，所以11222241,11131393a b ab a b ab a b ab ab ++++===+≤+++++++当且仅当1a b ==时，等号成立.故原不等式得证.（2）要证22835ab a b a b+≤+++，即证2455(),ab a b ab +≤++即证224554,ab a abb +≤+令1t ab =≥，即证24554,t t t+≤+因为32244(1)(1)(44)5455(1),t t t t t t t t t t---++--=-=且2216310,4440,816t t t t ⎛⎫-≥-+=-+> ⎪⎝⎭故245450t t t+--≥，即原不等式得证.。

1.(2023,乙，理10)数列{a n }是公差为2π3的等差数列，集合S={a n cos |n ∈N *},若S ={a ,b },2023年高考理科数学（乙卷）试题及解析则ab =A.12B .-12C .0D .1【答案】B【解析】a n cos =(2π3n +a 1-2π3)cos ,周期T =3,要使集合S 中只有两个元素，则可想到利用对称性取数，如a 1=-π3,a 2=π3,a 3=π⋯,或a 1=0，a 2=2π3,a 3=4π3,a 4=2π,⋯代入算得：ab =-12,故选B 2.(2023,乙，理11)已知A ,B 双曲线x 2-y 29=1上两点，则可以作为A ,B 中点的是A .(1,1)B .(-1,2)C .(1,3)D .(-1,-4)【答案】D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为(x 0,y 0),则用点差法可得：k AB =y 2-y 1x 2-x 1=9×x 2+x 1y 2+y 1即,-3<9×x 0y 0<3⇒-13<x 0y 0<13,⇒y0x 0>3，或y 0x 0<-3,故选D .3.(2023,乙，理12)已知圆的半径为1，P A 与圆O 相切,切点为A ,过点P 的直线与圆交于,B ,C 两点,D 为BC 的中点,OP =2,则PA ∙PD的最大值为A .12+22B .1+22C .1+2D .2+2【答案】【解析】设∠OPC =α，-π4≤α≤π4则由题意：∠APO =45°，PA ∙PD=|PA |∙|PD |(α+π4)cos =1×2αcos (α+π4)cos =12+22(2α+π4)cos ∴当(2α+π4)cos =1,即：α=-π8时，PA ∙PD 最大，为12+22.4.(2023,乙，理16)已知a ∈(0,1),f (x )=a x +(1+a )x 在x ∈(0,+∞)为增函数,则a 的取值范围为.【答案】[5-12,1)【解析】f '(x )=a x ln a +(1+a )x ln (1+a )≥0在(0,+∞)上恒成立，⇒(1+a )x ln (1+a )≥-a x ln a ⇒(1+a a )x>1≥-aln (1+a )ln ⇒ln (1+a )≥ln 1a⇒1+a ≥1a⇒a 2+a -1≥0⇒a ≥5-12又0<a <1∴a 的取值范围为[5-12,1).AB COPDαr=125.(2023,乙，理17)在∆ABC 中，∠A =120°，AB =2,AC =1.(1)求∠ABC sin ;(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求∆BAD 的面积.【解析】(1)由余弦定理可知:BC 2=22+12-2×1×2×120°cos =7,故BC =7,∴∠ABC cos =7+4-12×7×2=5714,又∠ABC ∈(0,π)∴∠ABC sin =1-2∠ABC cos =1-2528=2114.(2)由(1)知：∠ABC cos =5714,∠ABC sin =2114,故∠ABC tan =35,∴AD 2=35,得：AD =235,∴S ∆BAD =12×2×235=235.6.(2023,乙，理19)三棱锥P -ABC 中,∠ABC =90°，AB =2,BC =22,PB =PC =6,AD =5DO ,BF ⏊AO ,O ,D ,E 分别为BC ，PB ,PA 的中点.(1)求证：EF ⎳平面ADO ;(2)求证：平面ADO ⏊平面BEF ;(3)求二面角D -AO -C 的大小.【解析】(1)连接DE ,OF ,(难点在证明F 为AC 中点)设AF =tAC ,则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ;AO =-BA +12BC ，∵BF ⏊AO ,故BF ∙AO =[(1-t )BA +tBC ]∙(-BA +12BC )=(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0,解得：t =12.故F 为AC 的中点。

2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）压轴真题解读11．双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）AB ．32CD【命题意图】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力【答案】C【解析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos b cβ=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得21225sin sin 2NF c cαβ==，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==C【方法归纳】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.12．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【命题意图】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【易错提醒】函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.16．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【命题意图】本题主要考查利用导函数研究函数极值点存在大小关系时，导函数图像的问题【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>，若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾，故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln e ln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11e a <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.【规律总结】1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.20．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【命题意图】本题考查了直线与椭圆的综合应用【解析】(1)设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得M，(1,N ，代入AB 方程223y x =-，可得26(63,)3T +，由MT TH = 得到26(265,)3H +.求得HN 方程：26(2)23y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-21．已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力【解析】(1)()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e xx f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =(2)()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【解后反思】(1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．压轴模拟专练1．（2022山东滕州一中高三模拟）已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上的一点，I 为12PF F △的内心，且1222IF IF PI +=，则C 的离心率为（）A ．13B ．25C D ．2【答案】D【解析】如下图示，延长IP 到A 且||||IP PA =，延长2IF 到B 且22||||IF F B =，所以1222IF IF PI +=，即10IF IB IA +=+ ，故I 是△1ABF 的重心，即11AIF BIF AIB S S S == ，又1111222,2,4AIF PIF BIF F IF AIB PIF S S S S S S === ，所以11222PIF F IF PIF S S S == ，而I 是12PF F △的内心，则1122||||2||PF F F PF ==，由21212||||,||2c PF PF a F F -==，则2||2PF a =，故24c a =，即2ce a==.故选：D 2．（2022天津南开中学高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A2B C ．2D 【答案】A【解析】由题意得：渐近线方程为b y x a=±，设切线方程为()312y k x -=+，联立22143x y +=得：()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭，由()()22223Δ64434412302k k k kk ⎛⎫=+-++-= ⎪⎝⎭得：()2210k -=，解得：12k =，所以切线方程为122y x =+，令0y =得：4x =-，所以()4,0M -，联立b y x a =与122y x =+，解得：42Q a x b a =-，联立b y x a =-与122y x =+，解得：42N a x b a=-+，因为N 为MQ 的中点，所以4144222a a b a b a ⎛⎫-=- ⎪+-⎝⎭，解得：32b a =，所以离心率为21312b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：A3．（2022成都七中高三模拟）若函数()f x 满足()()31f x f x +=-，且当[]2,0x ∈-时，()31x f x -=+，则()2022f =（）A ．109B ．10C ．4D ．2【答案】B【解析】由()()31f x f x +=-，得()()4f x f x +=，∴函数()f x 是周期函数，且4是它的一个周期，又当[]2,0x ∈-时，()31xf x -=+，∴()()()20224506229110f f f =⨯-=-=+=；故选：B.4．（2022安徽六中高三模拟）已知直线y kx m =+与函数22()22x x f x --=-图象交于不同三点M ，N ，P ，且17||||4PM PN ==，则实数k 的值为（）A ．14B ．18C ．154D ．158【答案】D【解析】因为函数22x x y -=-为奇函数，且在R 上为增函数，所以函数22()22x x f x --=-关于点(2,0)对称，且在R 上为增函数，设点P 的坐标为(2,0)，且M ，N 关于P 对称，设()00220,22x x M x ---，17||4PM ==，解得00x =或4，不妨设150,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以150154208k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以实数k 的值为158．故选：D ．5．（2022山师大附中高三模拟）设12,x x 是函数()3222f x x ax a x =-+的两个极值点，若122x x <<，则实数a 的取值范围是______．【答案】26a <<【解析】22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--,因为12,x x 是函数()3222f x x ax a x =-+的两个极值点，且122x x <<，所以12,x x 是方一元二次方程()0f x '=的两个实根，且122x x <<，所以(2)0f '<，即(6)(2)0a a --<，解得26a <<.故答案为：26a <<6．（2022山东潍坊一中高三模拟）已知三次函数()3223f x ax ax x =-+的两个极值点1x ，2x 均为正数，()2110g x x x=-，且不等式()()1212ln 21g x g x x x t +-<-对于所有的a 都恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】ln 51,2∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭【解析】令()22210f x ax ax =-+='，由题可知21212Δ480102102a a x x a x x a ⎧⎪=->⎪+=>⇒>⎨⎪⎪=>⎩，()()22121212121211ln 1010ln g x g x x x x x x x x x +-=-+--()21212121212102ln x x x x x x x x x x +⎡⎤=+---⎣⎦11012ln 2a aa ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭10102ln 2a a a=--+，令()10102ln 2h a a a a=--+，2a >，()()()222252210a a a a h a a a'--+-++==，当522a <<时，()0h a '>，()h a 单调递增，当52a >时，()0h a '<，()h a 单调递减，∴max 5()1ln 52h a h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴ln 5211ln 512t t ->+⇒>+，故答案为：ln 51,2∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭.7．（2022湖南长沙长郡中学高三模拟）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4e <(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N 两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点.【解析】(1)由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则24a =，122c b ⨯⨯=222a b c =+又2e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=，222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，..由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.是1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444(4y x y x x y x y --=--，令0x =，则122114(4)44x y y x y x -=+-1122114(1)4(1(1)4x x kx x kx x -+=++-112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=，则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.8．（2022江苏金陵中学高三模拟）已知抛物线()2:21C y px p =>上的点()0,1P x 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点(),4E t 在抛物线C 上，直线l 与抛物线交于()11,A x y 、()()2212,0,0B x y y y >>两点，点H 与点A 关于x 轴对称，直线AH 分别与直线OE 、OB 交于点M 、N （O 为坐标原点），且AM MN =.求证：直线l 过定点.【解析】(1)由点()0,1P x 在抛物线上可得，2012px =，解得012x p=.由抛物线的定义可得0152224p p PF x p =+=+=，整理得22520p p -+=，解得2p =或12p =（舍去）.故抛物线C 的方程为24y x =.(2)由(),4E t 在抛物线C 上可得244t =，解得4t =，所以()4,4E ，则直线OE 的方程为y x =.易知()11,H x y -且1x 、2x 均不为0，易知12y y ≠，因为10y >，20y >，121222121212404AB y y y y k y y x x y y --===--+，所以，直线l 的斜率存在且大于0，设直线l 的方程为()0y kx m k =+>，联立得24y kx my x=+⎧⎨=⎩化为2440ky y m -+=，则16160km ∆=->，且124y y k+=，124m y y k =，由直线OE 的方程为y x =，得()11,M x x .易知直线OB 的方程为22y y x x =，故1212,x y N x x ⎛⎫⎪⎝⎭.由AM MN =，则M 为AN 的中点，所以，12M N y y y =+，即121122x y x y x =+，即1221122x x x y x y =+，所以，()22221212121212844y y y y y y y y y y ++==，化为()12122y y y y =+，则48m =得2m =，所以直线l 的方程为2y kx =+，故直线l 过定点()0,2.9．（2022东北育才中学高三模拟）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性；(2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．【解析】(1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a>-综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增(2)()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈∴212112ln ln ln x x x xa x x t --==-()1a g x x'=+∴122112122221122ln 2x x x x g ax x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+⎪+++⎝⎭()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，∴ln 0t <∴()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t t t λλ+-=++，∴()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ⅰ）24λ≥时，201t λ-<，∴()0h t '>，∴()h t 在()0,1上单调递增∴()()10h t h <=恒成立，∴(][),22,λ∈-∞-+∞ 合题ⅱ）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0h t '>，∴()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，∴()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减∴2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞ 10．（2022大连二十四中学高三模拟）已知函数()21e 2=--xf x x ax ax ．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()()212h x f x ax =+在(),0∞-上单调递增，求a 的取值范围；(3)当1a >时，确定函数()f x 零点的个数.【解析】(1)当2a =时，()2e 2xf x x x x =--，()()()1e 2x f x x =+-'，令()0f x '=有121,ln 2x x =-=，故当(),1x ∈-∞-和()ln 2,+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,ln 2x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()ln 2,+∞，单调递减区间为()1,ln 2-(2)由题可得()e x h x x ax =-的导函数()()1e 0xh x x a '=+-≥在(),0∞-上恒成立，故()1e x a x ≤+，令()()1e x g x x =+，则()()2e x g x x '=+，易得当2x <-时()0g x '<，()g x 单调递减；当2x >-时()0g x '>，()g x 单调递增；故()()22e g x g -≥-=-，故()()min 2e 12a g x g ≤=-=-，故a 的取值范围为21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦(3)当1a >时，()21e 02xf x x ax ax =--=即1e 02x x a ax ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故()f x 有一根为0x =，令()1e 2x h x ax a =--，则()1e 2x h x a '=-，因为1a >，故令1e 02x a -=有ln 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；故()ln 2min 1ln l 22e n 2a a a h x h a a ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11ln 1ln 02222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+<-+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()min 0h x <.故()h x 最多有两个零点.又()00e 10h a a =-=-<，()()2212e 2e 02h a a ---=-⨯--=>，故()h x 在()2,0-之间有1个零点，又()()()2ln 212ln e 2ln ln ln 12a h a a a a a a a a a a a =--=--=--，设()()ln 1,1t x x x x =-->，则()110t x x =->'，故()t x 为增函数，故()()11ln110t x t >=--=，故ln 10a a -->，故()2ln 0h a >，故()h x 在()0,2ln a 上有1个零点，故()h x 有2个零点.故当1a >时，函数()f x 零点的个数为3。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学（含参考答案）一、选择题1.设252i1i i z +=++，则z =（）A.12i- B.12i+ C.2i- D.2i+2.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A.∁∪B.∪∁C.∁∩D.∪∁3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.304.已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A.2- B.1- C.1 D.25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18 B.16C.14D.126.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.27.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种8.已知圆锥PO的底面半径为O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB的面积等于4，则该圆锥的体积为（）A.πB.C.3πD.9.已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D --为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.15B.25C.35D.2510.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A.－1B.12-C.0D.1211.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--12.已知O 的半径为1，直线P A 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A.12B.12+C.1+D.2二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.15.已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.16.设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率ix 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18.在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的正弦值.20.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是3，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．21.已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.参考答案（2023·全国乙卷·理·1·★）设252i1i i z +=++，则z =（）（A ）12i -（B ）12i+（C ）2i -（D ）2i+答案：B解析：由题意，2252222i 2i 2i (2i)i i 2i 12i 1i i 11(i )i i iz ++++=====--=-++-+，所以12i z =+.（2023·全国乙卷·理·2·★）设全集U =R ，集合{|1}M x x =<，{|12}N x x =-<<，则{|2}x x ≥=（）（A ）∁∪（B ）∪∁（C ）∁∩（D ）∪∁答案：A解析：正面求解不易，直接验证选项，A 项，由题意，{|2}M N x x =< ，所以(){|2}U M N x x =≥ ð，故选A.（2023·全国乙卷·理·3·★）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）（A ）24（B ）26（C ）28（D ）30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.（2023·全国乙卷·理·4·★★）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（）（A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）2答案：D解法1：要求a ，可结合偶函数的性质取特值建立方程，由()f x 为偶函数得(1)(1)f f -=，故1e ee 1e 1a a ---=--①，又111e e e e 11e e 1a a a a ------==---，代入①得1e ee 1e 1a a a -=--，所以1e e a -=，从而11a -=，故2a =，经检验，满足()f x 为偶函数.解法2：也可直接用偶函数的定义来分析，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=恒成立，从而e e e 1e 1x x ax ax x x ---=--，故e e e 1e 1x x ax ax ---=--，所以e e e 1e e 1x ax x axax --⋅=--，从而e e e 1e 1ax x xax ax -=--，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，故(2)0a x -=，此式要对定义域内任意的x 都成立，只能20a -=，所以2a =.（2023·全国乙卷·理·5·★）设O 为平面坐标系的原点，在区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4的概率为（）（）（A ）18（B ）16（C ）14（D ）12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·理·6·★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2(,)63ππ单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图象的两条对称轴，则5()12f π-=（）（A ）（B ）12-（C ）12（D 答案：D解析：条件中有两条对称轴，以及它们之间的单调性，据此可画出草图来分析，如图，2362T T πππ-=⇒=，所以22Tπω==，故2ω=±，不妨取2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，再求ϕ，代一个最值点即可，由图可知，()sin(2)sin()1663f πππϕϕ=⨯+=+=-，所以232k ππϕπ+=-，从而52()6k k πϕπ=-∈Z ，故55()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=+-=-，所以5555(sin[2()]sin()sin 12126332f πππππ-=⨯--=-==.（2023·全国乙卷·理·7·★★）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）（A ）30种（B ）60种（C ）120种（D ）240种答案：C解析：恰有1种课外读物相同，可先把相同的课外读物选出来，再选不同的，由题意，先从6种课外读物中选1种，作为甲乙两人相同的课外读物，有16C 种选法，再从余下5种课外读物中选2种，分别安排给甲乙两人，有25A 种选法，由分步乘法计数原理，满足题意的选法共1265C A 120=种.（2023·全国乙卷·理·8·★★★）已知圆锥PO ，O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，o 120AOB ∠=，若PAB ∆的面积等于，则该圆锥的体积为（）（A ）π（B （C ）3π（D ）答案：B解析：求圆锥的体积只差高，我们先翻译条件中的PAB S ∆，由于P A ，PB 和APB ∠都未知，所以不易通过1sin 2PAB S PA PB APB ∆=⋅⋅∠求P A ，再求PO ，故选择AB 为底边来算PAB S ∆，需作高PQ ，而AB 可在AOB ∆中求得，在AOB ∆中，由余弦定理，222AB OA OB =+-2cos 9OA OB AOB ⋅⋅∠=，所以3AB =，取AB 中点Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ AB ⊥，PQ AB ⊥，所以1133222PAB S AB PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⨯=，又4PAB S ∆=，所以324PQ =，故2PQ =，在AOQ ∆中，o 1602AOQ AOB ∠=∠=，所以cos OQ OA AOQ =⋅∠=OP =所以圆柱PO 的体积213V π=⨯=.（2023·全国乙卷·理·9·★★★）已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角C ABD --为o 150，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）（A ）15（B ）25（C （D ）25答案：C解析：两个等腰三角形有公共的底边，这种情况常取底边中点构造线面垂直，如图，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，由题意，DA DB =，AC BC =，所以AB DE ⊥，AB CE ⊥，故DEC ∠即为二面角C AB D --的平面角，且AB ⊥平面CDE ，所以o 150DEC ∠=，作DO CE ⊥的延长线于O ，则DO ⊂平面CDE ，所以DO AB ⊥，故DO ⊥平面ABC ，所以DCO ∠即为直线CD 与平面ABC 所成的角，不妨设2AB =，则1CE =，DE =，因为o 150DEC ∠=，所以o 30DEO ∠=，故3cos 2OE DE DEO =⋅∠=，sin OD DE DEO =⋅∠=52OC OE CE =+=，所以tan OD DCO OC ∠==.【反思】两个等腰三角形有公共底边这类图形，常取底边中点，构造两个线线垂直，进而得出线面垂直.（2023·全国乙卷·理·10·★★★★）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{cos |}n S a n =∈N ，若{,}S a b =，则ab =（）（A ）1-（B ）12-（C ）0（D ）12答案：B解析：由题意，S 中的元素为1cos a ，2cos a ，3cos a ，…，由于cos y x =周期为2π，恰为公差的3倍，所以cos n a 必以3为周期重复出现，故只需考虑前三个值.但题干却说{,}S a b =，只有两个元素，为什么呢？这说明前三个值中恰有两个相等，若讨论是哪两个相等来求1a ，则较繁琐，我们直接画单位圆，用余弦函数的定义来看，如图，由三角函数定义可知，在终边不重合的前提下，余弦值相等的两个角终边关于x 轴对称，所以要使1cos a ，2cos a ，3cos a 中有两个相等，则1a ，2a ，3a 的终边只能是如图所示的两种情况，至于三个终边哪个是1a ，不影响答案，只要它们逆时针排列即可，若为图1，则131cos cos 2a a ==，2cos 1a =-，所以S 中的元素是12和1-，故12ab =-；若为图2，则1cos 1a =，231cos cos 2a a ==-，所以S 中的元素是1和12-，故12ab =-.（2023·全国乙卷·理·11·★★★）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可能为线段AB 中点的是（）（A ）(1,1)（B ）(1,2)-（C ）(1,3)（D ）(1,4)--答案：D解析：涉及弦中点，考虑中点弦斜率积结论，A 项，记(1,1)M ，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，因为1OM k =，所以9AB k =，又直线AB 过点M ，所以AB 的方程为19(1)y x -=-，即98y x =-①，只要该直线与双曲线有2个交点，那么A 项就正确，可将直线的方程代入双曲线方程，算判别式，将①代入2219y x -=整理得：272144730x x -+=，21(144)47273144(144273)2880∆=--⨯⨯=⨯-⨯=-<，所以该直线与双曲线没有两个交点，故A 项错误，同理可判断B 、C 也错误，此处不再赘述；D 项，记(1,4)N --，则4ON k =，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，所以94AB k =，又直线AB 过点N ，所以AB 的方程为91(1)4y x -=-，整理得：9544y x =-②，将②代入2219y x -=整理得：263901690x x +-=，判别式2290463(169)0∆=-⨯⨯->，所以该直线与双曲线有两个交点，故D 项正确.（2023·全国乙卷·理·12·★★★★）已知⊙O 半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）（A ）122（B ）1222+（C ）1+（D ）2+答案：A解析：1OA =，1PO PA =⇒==，所以cos cos PA PD PA PD APD PD APD ⋅=⋅∠=∠ ①，且PAO ∆是等腰直角三角形，所以4APO π∠=，因为D 是BC 的中点，所以OD BC ⊥，求PA PD ⋅要用APD ∠，故可设角为变量，引入CPO ∠为变量，可与直角PDO ∆联系起来，更便于分析，设CPO θ∠=，则04πθ≤<，有图1和图2两种情况，要讨论吗？观察发现图2的每一种PD ，在图1中都有一个对称的位置，二者PD相同，但图2的夹角APD ∠更大，所以cos APD ∠更小，数量积也就更小，从而PA PD ⋅的最大值不会在图2取得，故可只考虑图1，如图1，4APD APO CPO πθ∠=∠-∠=-，代入①得cos()4PA PD PD πθ⋅=- ①，注意到PD与θ有关，故将它也用θ表示，统一变量，由图可知，cos PD PO DPC θ=∠=，代入①得：cos()4PA PD πθθ⋅=-222sin)cos sin cos22θθθθθθ=+=+1)1cos214sin2222πθθθ+++=+=，故当8πθ=时，sin(214πθ+=，PA PD⋅取得最大值12+.（2023·全国乙卷·理·13·★）已知点A在抛物线2:2C y px=上，则点A到C的准线的距离为_____.答案：94解析：点A在抛物线上25212p p⇒=⋅⇒=，所以抛物线的准线为54x=-，故A到该准线的距离591()44d=--=.（2023·全国乙卷·理·14·★）若x，y满足约束条件312937x yx yx y-≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y=-的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：=2−，移项得=2−，联立有3129x yx y-=-⎧⎨+=⎩，解得52xy=⎧⎨=⎩，设()5,2A，显然平移直线2y x=使其经过点A，此时截距−最小，则最大，代入得=8（2023·全国乙卷·理·15·★★）已知{}na为等比数列，24536a a a a a=，9108a a=-，则7a=_____.答案：2-解析：已知和要求的都容易用通项公式翻译，故直接翻译它们，34252453611111a a a a a a qa q a q a q a q=⇒=，化简得：11a q=①，8921791011188a a a q a q a q=-⇒==-②，由①可得11aq=，代入②得：158q=-，所以52q=-③，结合①③可得6557112a a q a q q q==⋅==-.（2023·全国乙卷·理·16·★★★★）设(0,1)a ∈若函数()(1)x x f x a a =++在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____.答案：51[,1)2解析：直接分析()f x 的单调性不易，可求导来看，由题意，()ln (1)ln(1)x x f x a a a a '=+++，因为()f x 在(0,)+∞上，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即ln (1)ln(1)0x x a a a a +++≥，参数a 较多，没法集中，但x 只有两处，且观察发现可同除以x a 把含x 的部分集中起来，所以(1)ln ln(1)0x xa a a a +++≥，故1ln (1)ln(1)0x a a a+++≥①，想让式①恒成立，只需左侧最小值0≥，故分析其单调性，因为111a+>，11a +>，所以ln(1)0a +>，从而1ln (1)ln(1)x y a a a =+++在(0,)+∞上，故011ln (1ln(1)ln (1ln(1)ln ln(1)x a a a a a a a a+++>+++=++，所以①恒成立ln ln(1)0a a ⇔++≥，从而ln[(1)]0a a +≥，故(1)1a a +≥，结合01a <<解得：112a ≤<.（2023·全国乙卷·理·17·★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验，选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，(1,2,,10)i y i =⋅⋅⋅，试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s .（1）求z ，2s ，（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）解：（1）由题意，i z 的数据依次为9，6，8，8-，15，11，19，18，20，12，所以10111()(9688151119182012)111010i i i z x y ==-=++-++++++=∑，10222222222111()[(911)(611)(811)(811)(1511)(1111)(1911)1010i i s z z ==-=-+-+-+--+-+-+-+∑222(1811)(2011)(1211)]61-+-+-=.（2）由（1）可得z =，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·理·18·★★★）在ABC ∆中，已知o 120BAC ∠=，2AB =，1AC =.（1）求sinABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且o 90BAD ∠=，求ADC ∆的面积.解：（1）（已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角）由余弦定理，22222o 2cos 21221cos1207BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯==，由正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，所以o sin sin 14AC BAC ABC BC ⋅∠∠===.（2）如图，因为o 120BAC ∠=，o 90BAD ∠=，所以o 30CAD ∠=，（求ADC S ∆还差AD ，只要求出ABC ∠，就能在ABD ∆中求AD ，ABC ∠可放到ABC ∆中来求）由余弦定理推论，222cos2AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅，所以cos AB BD ABC ==∠，AD ==故o 11sin 1sin 3022ADCS AC AD CAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=.（2023·全国乙卷·理·19·★★★★）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD ，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的大小.解：（1）证法1：（由图可猜想DEFO 是平行四边形，故尝试证DE 平行且等于OF .注意到D ，E ，O 都是所在棱的中点，故若能证出F 是中点，则DE ，OF 都平行且等于AB 的一半，问题就解决了.那F 的位置由哪个条件决定呢？显然是BF AO ⊥，我们可以设AF AC λ=，利用向量来翻译BF AO ⊥，求出λ）设AF AC λ= ，则()(1)BF BA AF BA AC BA BC BA BA BC λλλλ=+=+=+-=-+ ，12AO AB BO BA BC =+=-+ ，因为BF AO ⊥，所以1((1))()2BF AO BA BC BA BC λλ⋅=-+⋅-+ 22(1)4(1)402BA BC λλλλ=-+=-+= ，解得：12λ=，所以F 是AC 的中点，又D ，E ，O 分别是BP ，AP ，BC 的中点，所以DE 和OF 都平行且等于AB 的一半，故DE 平行且等于OF ，所以四边形DOFE 是平行四边形，故EF ∥OD ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .证法2：（分析方法同解法1，证明F 为AC 中点的过程，也可用平面几何的方法）如图1，在ABC ∆中，因为BF AO ⊥，所以o 21AOB AOB ∠+∠=∠+∠=12∠=∠又2AB =，BC =O 为BC 中点，所以BO =tan 1BO AB ∠==tan 3AB BC ∠==，所以tan 1tan 3∠=∠，故13∠=∠，结合①可得23∠=∠，所以BF CF =，连接OF ，因为O 是BC 中点，所以OF BC ⊥，又AB BC ⊥，所以OF ∥AB ，结合O 为BC 中点可得F 为AC 的中点，接下来同证法1.（2）（要证面面垂直，先找线面垂直，条件中有AO BF ⊥，于是不外乎考虑证AO ⊥面BEF 或证BF ⊥面AOD ，怎样选择呢？此时我们再看其他条件，还没用过的条件就是一些长度，长度类条件用于证垂直，想到勾股定理，我们先分析有关线段的长度）由题意，1622DO PC ==，302AD ==，AO ==所以222152AO DO AD +==，故AO OD ⊥，（此时结合OD ∥EF 我们发现可以证明AO ⊥面BEF ）由（1）可得EF ∥OD ，所以AO EF ⊥，又AO BF ⊥，且BF ，EF 是平面BEF 内的相交直线，所以AO ⊥平面BEF ，因为AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .（3）解法1：（此图让我们感觉面PBC ⊥面ABC ，若这一感觉正确，那建系处理就很方便.我们先分析看是不是这样的.假设面PBC ⊥面ABC ，由于AB BC ⊥，于是AB ⊥面PBC ，故AB BD ⊥，但我们只要稍加计算，就会发现222AB BD AD +≠，矛盾，所以我们的感觉是不对的，也就不方便建系.怎么办呢？那就在两个半平面内找与棱垂直的射线，它们的夹角等于二面角的大小.事实上，这样的射线已经有了）由题意，AO BF ⊥，由前面的过程可知AO OD ⊥，所以射线OD 与BF 的夹角与所求二面角相等，（OD 与BF 异面，直接求射线OD 和BF 的夹角不易，故考虑通过平移使其共面，到三角形中分析）因为OD ∥EF ，所以EFB ∠的补角等于射线OD 和BF 的夹角，由题意，AC ==，12BF AC =，12EF PC ==（只要求出BE ，问题就解决了，BE 是ABP ∆的中线，可用向量来算，先到ABD ∆中求cos ABP ∠）在ABD ∆中，2226cos 26AB BD AD ABP AB BD +-∠==-⋅，因为1()2BE BA BP =+ ，所以2221163(2)[4622()]4462BE BA BP BA BP =++⋅=⨯++⨯⨯-= ，故62BE =，在BEF ∆中，2222cos 22BF EF BE BFE BF EF +-∠==⋅，所以o 45BFE ∠=，故二面角D AO C --的大小为o 135.解法2：（得出所求二面角等于射线OD 与BF 夹角的过程同解法1.要计算此夹角，也可用向量法.观察图形可发现OA ，OB ，OD 的长度都已知或易求，两两夹角也好求，故选它们为基底，用基底法算OD 和BF的夹角）1113122()2()22222BF BCCF OB CA OB CBBA OB OB OA OB OB OA =+=-+=-++=-++-=-+，所以31313()cos 22222OD BF OD OD OB OD OA DOB BOD ⋅=⋅-+=-⋅+⋅=-⨯∠=-∠，又222cos 2OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，所以32OD BF ⋅=- ，从而32cos ,ODBF OD BF OD BF-⋅<>==-⋅，故o ,135OD BF <>=，所以二面角D AO C --为o 135.解法3：（本题之所以不便建系，是因为点P 在面ABC的射影不好找，不易写坐标.那有没有办法突破这一难点呢？有的，我们可以设P 的坐标，用已知条件来建立方程组，直接求解P 的坐标）以B 为原点建立如图2所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，C ，O ，设(,,)(0)P x y z z >，则(,,222x y z D，由PB PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得2222226(6x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得：y =，代回两方程中的任意一个可得224x z +=②，（此时发现还有AD =这个条件没用，故翻译它）又AD =，所以222222(2)5[(]244424x y z x y z -++=+-+，将y =代入整理得：22220x z x ++-=③，联立②③结合0z >解得：1x =-，z =，（到此本题的主要难点就攻克了，接下来是流程化的计算）所以123()222D -，故123()222DO =-，(AO =- ，设平面AOD 的法向量为(,,)xy z =m，则10220DO x y AO x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩m m ，令1x =，则y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以=m 是平面AOD 的一个法向量，由图可知(0,0,1)=n 是平面AOC 的一个法向量，所以2cos ,2⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角D AO C --为钝角，故其大小为o 135.【反思】当建系后有点的坐标不好找时，直接设其坐标，结合已知条件建立方程组，求解坐标，这也是一种好的处理思路.（2023·全国乙卷·理·20·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x +=（2）证明见详解解析：（1）由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得325a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.（2023·全国乙卷·理·21·★★★★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1(y f x=关于直线x b =对称？若存在，求a ，b 的值；弱不存在，说明理由；（3）若()f x 在(0,)+∞上存在极值，求a 的取值范围.解：（1）当1a =-时，1()(1)ln(1)f x x x =-+，2111()ln(1)(1)1f x x x x x'=-++-⋅+，所以(1)0f =，(1)ln 2f '=-，故所求切线方程为0ln 2(1)y x -=--，整理得：(ln 2)ln 20x y +-=.（2）由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞，定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =-，即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =，经检验11,22a b ==-满足题意，故11,22a b ==-.即存在11,22a b ==-满足题意.（3）由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点;令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意;当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()''1201g x a x =-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x-+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+<⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x-++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x--⎛⎫=-+=≤ ⎪⎝⎭'，则()n x 单调递减，注意到()10n =，故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+-+⨯+-⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得2x =0g >，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]-；（2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-（2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--=.。

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）A．1-2i B．1+2i C．2-i D．2+iA．∁U （M∪N）B．N∪∁U M C．∁U （M∩N）D．M∪∁U N（2023•乙卷）设z=，则z =（ ）2+i 1++i 2i 5答案：B 解析：先对z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．解答：解：∵i 2=-1，i 5=i,∴z===1-2i,∴z =1+2i.故选：B．2+i1++i 2i 52+i i （2023•乙卷）设集合U=R，集合M={x|x＜1}，N={x|-1＜x＜2}，则{x|x≥2}=（ ）答案：A 解析：由数据可直接判断，必要时可借助数轴分析．解答：解：由题意：M∪N={x|x＜2}，又U=R，∴C U （M∪N）={x|x≥2}．故选：A．（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A．24B．26C．28D．30A．-2B．-1C．1D．2答案：D 解析：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．解答：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30．故选：D．（2023•乙卷）已知f（x）=是偶函数，则a=（ ）xe x -1e ax 答案：D 解析：根据偶函数的性质，运算即可得解．解答：解：∵f（x）=的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴=，∴=，∴ax-x=x,∴a=2．故选：D．xe x -1e ax -xe -x -1e -ax xe x -1e ax xe ax -x -1e ax xe x -1e ax （2023•乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x 2+y 2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）π4A．B．C．D．A．-B．-C．D．18161412答案：C 解析：作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．解答：解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为=．故选：C．π42814（2023•乙卷）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x=和x=为函数y=f（x）的图像的两条对称轴，则f（-）=（ ）π62π3π62π35π12√321212√32答案：D解析：先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．解答：解：根据题意可知=-=，∴T=π，取ω＞0，∴ω==2，又根据“五点法”可得2×+φ=-+2kπ，k∈Z，∴φ=-+2kπ，k∈Z，∴f（x）=sin（2x -+2kπ）=sin（2x-），∴f（-）=sin（--）=sin（-）=sin =故选：D．T 22π3π6π22πTπ6π25π65π65π65π125π65π65π3π32（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A．30种B．60种C．120种D．240种A．πB．πC．3πD．3π答案：C 解析：根据排列组合数公式，即可求解．解答：解：根据题意可得满足题意的选法种数为：•=120．故选：C．C 61A 52（2023•乙卷）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）√39√34√6√6答案：B解析：根据题意，设该圆锥的高为h,即PO=h,取AB的中点E，连接PE，利用余弦定理求出AB的长，分析可得PE⊥AB，由三角形面积公式求出PE的长，由此求出h的值，由圆锥的体积计算可得答案．解答：解：根据题意，设该圆锥的高为h,即PO=h,取AB的中点E，连接PE、OE，由于圆锥PO的底面半径为，即OA=OB=，而∠AOB=120°，故AB===3，同时OE=OA×sin30°=，△PAB中，PA=PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE•AB=，变形可得PE=，而PE=2+=，解可得h=，故该圆锥的体积V=π×（）2h=π．故选：B．√3√3√O +O -2OA •OB •cos 120°A 2B 2√3+3+3√329√34129√343√3234274√613√3√6（2023•乙卷）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D 为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）A．C．D．A．-1B．-C．0D．155√3525答案：C 解析：取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得二面角C-AB-D的平面角为∠CED=150°，又易知平面CED⊥平面ABC，从而得直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，再解三角形，即可求解．解答：解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角C-AB-D的平面角为∠CED=150°，∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE=E，∴AB⊥平面CED，又AB ⊂平面ABC，∴平面CED⊥平面ABC，∴CD在平面ABC内的射影为CE，∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得CE=1，DE=，又∠DEH=30°，∴DH=，EH=，∴CH=1+=，∴tan∠DCE===．故选：C．√3√3233252DH CH252√35（2023•乙卷）已知等差数列{a n }的公差为，集合S={cosa n |n∈N *}，若S={a,b}，则ab=（ ）2π31212答案：BA．（1，1）B．（-1，2）C．（1，3）D．（-1，-4）解析：根据等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，即可求解．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，又公差为，∴=+（n -1），∴cos =cos （+-），其周期为=3，又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n 取特值，如a 1=0，=，=，…，或=-，=，a 3=π，…，代入集合S中计算易得：ab=-．故选：B．2π3a n a 12π3a n 2nπ3a 12π32π2π3a 22π3a 34π3a 1π3a 2π312（2023•乙卷）设A，B为双曲线x 2-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）y 29答案：D解析：根据点差法分析可得k×k AB =9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断．解答：解：设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），AB中点为M（x 0，y 0），，①-②得k×k AB =9，对于选项A：可得k=1，k AB =9，则AB：y=9x-8，联立方程，消去y 得72x 2-2×72x+73=0，此时Δ=（-2×72）2-4×72×73=-288＜0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=-2，k AB =-，则AB：y=-x -，⎧⎨⎩-=1①-=1②x 12y 129x 22y 229{y =9x -8-=1x 2y 29929252A．B．C．1+D．2+联立方程，消去y 得45x 2+90x+61=0，此时Δ=（2×45）2-4×45×61=-4×45×16＜0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k=3，k AB =3，则AB：y=3x,由双曲线方程可得a=1，b=3，则AB：y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4，k AB =，则AB：y=x -，联立方程，消去y 得63x 2+126x-193=0，此时Δ=1262+4×63×193＞0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D正确．故选：D．⎧⎨⎩y =-x --=19252x 2y 29949474⎧⎨⎩y =x --=19474x 2y 29（2023•乙卷）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则PA •PD 的最大值为（ ）√2→→1+√221+2√22√2√2答案：A 解析：设∠OPC=α，则-≤α≤，根据题意可得∠APO=45°，再将PA •PD 转化为α的函数，最后通过函数思想，即可求解．π4π4→→解答：解：如图，设∠OPC=α，则-≤α≤，根据题意可得：∠APO=45°，∴PA •PD =|PA |•|PD |•cos （α+）=1×cosαcos （α+）=cos 2α-sinαcosα==+（2α+），又-≤α≤，∴当2α+=0，α=-，cos（2α+）=1时，π4π4→→→→π4√2π41+cos 2α-sin 2α122π4π4π4π4π8π4PA •PD 取得最大值+ 故选：A．→→122（2023•乙卷）已知点A（1，）在抛物线C：y 2√5答案：．94解析：根据已知条件，先求出p,再结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：点A（1，）在抛物线C：y 2=2px上，则5=2p,解得p=，由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为+=1+=．故答案为：．√552x A p 2549494（2023•乙卷）若x,y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为 8．{x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7答案：8．解析：作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x,由截距的几何意义可得．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=2x-y可得y=2x-z,则-z表示直线y=2x-z在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可知，当y=2x-z经过点A时，Z最大，由可得y=2，x=5，即A（5，2），此时z取得最大值8．故答案为：8．{x -3y =-1x +2y =9（2023•乙卷）已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=-2．答案：-2．解析：根据等比数列的性质即可求解．解答：解：∵等比数列{a n }，∴a 2a 4a 5=a 2a 3a 6=a 3a 6，解得a 2=1，而a 9a 10=a 2q 7a 2q 8=（a 2）2q 15=-8，可得q 15=（q 5）3=-8，即q 5=-2，a 7=a 2•q 5=1×（-2）=-2．故答案为：-2．（2023•乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）=a x +（1+a）x 在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 [，1）．-1√52答案：2解析：由函数f（x）=a x +（1+a）x 在（0，+∞）上单调递增，可得导函数f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．解答：解：∵函数f（x）=a x +（1+a）x 在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）=a x lna+（1+a）x ln（1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，即（1+a）x ln（1+a）≥-a x lna,化简可得（≥-在（0，+∞）上恒成立，而在（0，+∞）上（＞1，故有1≥-，由a∈（0，1），化简可得ln（1+a）≥ln ，即1+a ≥，a 2+a-1≥0，解答≤a ＜1，故答案为：[，1）．1+a a）x lna ln （1+a ）1+a a）x lna ln （1+a ）1a 1a-1√522-1√52（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i （i=1，2，…10）．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率x i545533551522575544541568596548伸缩率y i 536527543530560533522550576536记z i =x i -y i （i=1，2，⋯，10），记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z ，样本方差为s 2．（1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果z ≥2缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）答案：见试题解答内容解析：（1）根据表中数据，计算z i =x i -y i （i=1，2，…，10），求平均数z 和方差s 2．（2）根据z 和2解答：解：（1）根据表中数据，计算z i =x i -y i （i=1，2，…，10），填表如下：试验序号i12345678910伸缩率x i545533551522575544541568596548伸缩率y i536527543530560533522550576536z i =x i -y i 968-8151119182012计算平均数为z =z i =×（9+6+8-8+15+11+19+18+20+12）=11，方差为s 2==×[（-2）2+（-5）2+（-3）2+（-19）2+42+02+82+72+92+12]=61．（2）由（1）知，z =11，2＜2=5，所以z ≥2缩率有显著提高．110∑10i =1110110∑10i =1-z ）（z i 2110√6.1√6.25（2023•乙卷）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．（1）求sin∠ABC；（2）若D为BC上一点．且∠BAD=90°，求△ADC的面积．答案：见试题解答内容解析：（1）由余弦定理可求BC，进而可求sin∠ABC；（2）由已知可求tan∠ABC，进而可得AD，可求面积．解答：解：（1）在△ABC中，由余弦定理可知BC 2=22+12-2×1×2×cos120°=7，BC =，∴由余弦定理可得cos∠ABC==，又∠ABC∈（0°，60°），∴sin∠ABC===，，∴AD=∴△ADC的面积为×AD×AC×sin∠DAC=××1×=√75√714√1-co ∠ABC s 2√2114145125121251210（2023•乙卷）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2，PB=PC=，AD=DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．（1）证明：EF∥平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值．√2√6√5答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）．√22解析：（1）利用向量法可得OF∥AB，OF=AB，四边形ODEF为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）由勾股定理可得AO⊥OD，AO⊥EF，根据面面垂直的判定定理即可证明；12（3）设二面角D-AO-C的平面角为θ，可知θ为OD 和BF 的夹角，利用向量的夹角公式求解即可．→→解答：证明：（1）由题可知，|AC |=2，设AF =λAC ，∵AB •AC =|AB ||AC |cos∠BAC=4，则BF •AO =（λAC -AB ）•（AB +AC ）=|AC -|AB +（λ-）AB •AC =8λ-4=0，解得λ=，∴OF∥AB，OF=AB，而DE∥AB，DE=AB，∴DE∥OF，DE=OF，∴四边形ODEF为平行四边形，∴EF∥OD，∵OD ⊂平面ADO，EF ⊄平面ADO，∴EF∥平面ADO．证明：（2）AO===PC=2OD，AD=OD，∴AD 2=AO 2+OD 2，即AO⊥OD，AO⊥EF，∵BF⊥AO，BF∩EF=F，∴AO⊥平面BEF，∵AO ⊂平面ADO，∴平面ADO⊥平面BEF．解：（3）设二面角D-AO-C的平面角为θ，∵AO⊥OD，AO⊥BF，∴θ为OD 和BF 的夹角，|BF |=|AC |=，|OD |=|PC |cosθ====-，∴二面角D-AO-C的正弦值为．→√3→→→→→→→→→→12→12→λ2→|212→|21212→→121212√A +O B 2B 2√6√5→→→12→√3→12→2BF •OD →→|BF ||OD |→→（OA -3OB ）•OD 12→→→|BF ||OD |→→-OB •OD32→→|BF ||OD |→→-32√222√22（2023•乙卷）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为（1）求C的方程；y 2a 2x 2b 23（2）过点（-2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．答案：（1）椭圆C的方程为+=1；（2）MN的中点为定点（0，3），证明过程见解析．y 29x 24解析：（1）由题意列关于a,b,c的方程组，求得a,b,c的值，可得椭圆C的方程；（2）设PQ：y-3=k（x+2），即y=kx+2k+3，k＜0，P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x 1+x 2与x 1x 2的值，写出直线AP、AQ的方程，求得M与N的坐标，再由中点坐标公式即可证明MN的中点为定点．解答：解：（1）由题意，，解得．∴椭圆C的方程为+=1；证明：（2）如图，要使过点（-2，3）的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0，设PQ：y-3=k（x+2），即y=kx+2k+3，k＜0，P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），联立，得（4k 2+9）x 2+8k（2k+3）x+16k（k+3）=0．Δ=[8k（2k+3）]2-4（4k 2+9）•16k（k+3）=-1728k＞0．+=，=，直线AP：y=（x +2），取x=0，得M（0，）；直线AQ：y =（x +2），取x=0，得N（0，）．∴+=⎧⎨⎩=b =2=+c a √53a 2b 2c 2{a =3b =2c =√5y 29x 24{y =kx +2k +3+=1y 29x 24x 1x 2-8k （2k +3）4+9k 2x 1x 216k （k +3）4+9k 2y 1+2x 12y 1+2x 1y 2+2x 22y 2+2x 22y 1+2x 12y 2+2x 22（+2）+2（+2）y 1x 2y 2x 1（+2）（+2）x 1x 2=2=2=2=2=2×=6．∴MN的中点为（0，3），为定点．（k +2k +3）（+2）+（k +2k +3）（+2）x 1x 2x 2x 1+2（+）+4x 1x 2x 1x 22k +（4k +3）（+）+4（2k +3）x 1x 2x 1x 2+2（+）+4x 1x 2x 1x 22k •+（4k +3）•+4（2k +3）16k （k +3）4+9k 2-8k （2k +3）4+9k 2+2•+416k （k +3）4+9k 2-8k （2k +3）4+9k 232+96-64-96-48-72k +32+72k +48+108k 3k 2k 3k 2k 2k 3k 216+48k -32-48k +16+36k 2k 2k 210836（2023•乙卷）已知函数f（x）=（+a）ln（1+x）．（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在a,b,使得曲线y=f（）关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由；（3）若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围．1x1x答案：见试题解答内容解析：（1）a=-1时，求得f（1）=0，再根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式求解即可；（2）根据函数的定义域和对称性可求得b=-，再利用赋值法求a；（3）要使f（x）在（0，+∞）存在极值点，则f′（x）=0有正根，即方程ln（x+1）-=0有正根，记g（x）=ln（x+1）-，x＞0，利用导数与极值的关系分类讨论即可求解．12a +x x 2x +1a +x x 2x +1解答：解：（1）a=-1时，f（1）=0，f′（x）=-ln（x+1）+（-1）（），f′（1）=-ln2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-ln2（x-1）．（2）f（）=（x+a）ln（），定义域为（-∞，-1）∪（0，+∞），要使函数f（）的图像关于x=b对称，则由x≠0，且x≠-1，可知b=-，即f（）=（x+a）ln（）的图像关于x=-对称，则f（1）=（1+a）ln2，f（-2）=（-2+a）ln =（2-a）ln2，1x 21x 1x +11xx +1x 1x 121x x +1x 1212得1+a=2-a,解得a=．设F（x）=（x+）ln（），由F（x）-F（-1-x）=（x+）ln（）-（-1-x+）ln（1+）=（x+）ln •=0，即曲线y=f（）关于直线x=-对称，综上，a=，b=-；（3）由函数的解析式可得f′（x）=（-）ln（x+1）+（+a ），由f（x）在区间（0，+∞）存在极值点，则f′（x）在区间（0，+∞）上存在变号零点，令（-）ln（x+1）+（+a ）=0，则-（x+1）ln（x+1）+（x+ax 2）=0，令g（x）=ax 2+x-（x+1）ln（x+1），f（x）在区间（0，+∞）存在极值点，等价于g（x）在区间上存在变号零点，g′（x）=2ax-ln（x+1），g″（x）=2a-，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，此时g（x）＜g（0）=0，g（x）在区间（0，+∞）上无零点，不合题意，当a ≥，2a≥1时，由于＜1，∴g“（x）＞0，g′（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＞g′（0）=0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）=0，∴g（x）在区间（0，+∞）上无零点，不符合题意，当0＜a＜时，由g “（x ）=2a -=0，可得x=-1，当x∈（0，-1）时，g“（x）＜0，g′（x）单调递减，当x∈（-1，+∞）时，g“（x）＞0，g′（x）单调递增，∴g′（x）的最小值为g ′（-1）=1-2a+ln2a,令m（x）=1-x+lnx（0＜x＜1），则m′（x）=＞0，函数m（x）在定义域内单调递增，m（x）＜m（1）=0，∴1-x+lnx＜0恒成立，∴g ′（-1）=1-2a+ln2a＜0，令h（x）=lnx-x 2+x（x＞0），则h′（x）=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x 2-x,当且仅当x=1时，取等号，∴g′（x）=2ax-ln（x+1）＞2ax-[（x+1）2-（x+1）]=2ax-（x 2+x），1212x +1x 12x +1x 121-1-x12x +1x x x +11x 1212121x 21x 1x +11x 21x 1x +11x +1121x +1121x +112a12a12a12a-x +1x12a-2+x +1x 2xg′（2a-1）＞2a（2a-1）-[（2a-1）2+（2a-1）]=0，∵g′（0）=0，∴根据零点存在定理得：g′（x）在区间（0，+∞）上存在唯一零点x 0，当x∈（0，x 0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x 0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x 0）＜g（0）=0，令n（x）=lnx-，则n ′（x ）=-则函数n（x）=lnx-在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减，∴n（x）≤n（4）=ln4-2＜0，∴lnx＜，∴g（）=（+1）[a（+1）-ln（+1）--2a+1]＞（+1）[+a -ln （+1）+a -1-2a +1]=（+1）[-ln （+1）]＞（+1）（-＞（+=（+1）∴函数g（x）在区间（0，+∞）上存在变号零点，符合题意．综上，实数a得取值范围是（0，）．√x 1x 2x√x √x 4a 24a 24a 24a 21-a +14a 24a 24a 4a 24a 24a 4a 24a 24a 4a 2--11644a 2-11212（2023•乙卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（≤θ≤），曲线C 2：（α为参数，＜α＜π）．（1）写出C 1的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、求m的取值范围．π4π2{x =2cosαy =2sinαπ2答案：（1）x 2+（y-1）2=1，（x∈[0，1]，y∈[1，2]）；（2）（-∞，0）∪（2，+∞）．√2解析：（1）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；（2）利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数m的取值范围．解答：解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（≤θ≤），根据转换为直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，因为≤θ≤，≤2θ≤π，x=ρcosθ=2sinθcosθ=sin2θ∈[0，1]，π4π2{x =ρcosθy =ρsinθ+=x 2y 2ρ2π4π2π2y=ρsinθ=2sin 2θ=1-cos2θ∈[1，2]，所以C 1的直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，x∈[0，1]，y∈[1，2]；（2）由于曲线C 1的方程为x 2+（y-1）2=1，（0≤x≤1，1≤y≤2），曲线C 2：（α为参数，＜α＜π），转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，（-2＜x＜0，0＜y＜2）；如图所示：由于y=x与圆C 1相交于点（1，1），即m=0，当m＜0时，直线y=x+m与曲线C 1没有公共点；当曲线C 2与直线y=x+m相切时，圆心C 22，解得m=2（负值舍去），由于直线y=x+m与曲线C 2没有公共点，所以m ＞2，故直线y=x+m既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、实数m的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．{x =2cosαy =2sinαπ2√2√2√2（2023•乙卷）已知f（x）=2|x|+|x-2|．（1）求不等式f（x）≤6-x的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积．{f （x ）≤y x +y -6≤0答案：（1）不等式的解集为[-2，2]．（2）8．解析：（1）根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）当x≥2时，f（x）=2x+x-2=3x-2，当0＜x＜2时，f（x）=2x-x+2=x+2，当x≤0时，f（x）=-2x-x+2=-3x+2，则当x≥2时，由f（x）≤6-x得3x-2≤6-x,得4x≤8，即x≤2，此时x=2．当0＜x＜2时，由f（x）≤6-x得x+2≤6-x,得2x＜4，即x＜2，此时0＜x＜2．当x≤0时，由f（x）≤6-x得-3x+2≤6-x,得2x≥-4，即x≥-2，此时-2≤x≤0．综上-2≤x≤2，即不等式的解集为[-2，2]．（2）不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：则B（0，2），D（0，6），由，得，即C（2，4），由，得，即A（-2，8），则阴影部分的面积S=S△ABD +S△BCD=×（6-2）×2+×（6-2）×2=4+4=8．{f（x）≤y x+y-6≤0{y≥2|x|+|x-2| x+y-6≤0{x+y-6=0 y=x+2{x=2 y=4{x+y-6=0 y=-3x+2{x=-2y=81212。

2023年高考模拟卷（一）理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|230A x x x =∈--≤N ，2023{R |log 0}B x x =∈≤，则A B = （）A ．](0,1B ．[0,1]C ．{1}D ．∅2．a b >的一个充要条件是（）A ．11a b <B ．22ac bc >C ．22log log a b>D ．1.7 1.7a b>3．已知向量()1,a m =，()1,0b =- ，且6-=⋅+ a b a b ，则a =r （）A B ．CD ．4．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点逆时针转过π4后，交单位圆于点3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么cos α的值为（）A ．210B ．25C ．7210D ．92105．中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（）A ．531尺B ．1031尺C ．1516尺D ．516尺6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．807．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，现有椭圆222:116x y C a +=的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为41，则椭圆C 的长轴长为（）A ．5B ．10C ．6D ．128．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．89．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（）A ．328B ．528C ．17D ．31410．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．8511．已知三棱锥-P ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，ABC 是边长为若三棱锥-P ABC 体积的最大值是O 的表面积是（）A ．100πB ．160πC ．200πD ．320π12．若存在[)1,x ∞∈+，使得关于x 的不等式11e x ax +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则实数a 的最小值为（）A ．2B ．1ln2C ．ln21-D ．11ln2-第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．()22051001i 1i 12i i 1i 2⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫+⋅+-=⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦____________14．已知,x y 都是正数，且2x y +=，则4121x y +++的最小值为__________．15．()()321x x +-展开式中2x 的系数为___________.16．已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是__________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，数列{}n S 是公差为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若存在*N n ∈，使得223n T λλ<-成立，求λ的取值范围．18．如图，在三棱台111ABC A B C -中，面11AAC C ABC ⊥面，145ACA ACB ∠=∠=，124AC BC ==(1)证明：111B C A B ⊥；(2)792，72AC =1AC ，求二面角11A BC B --的余弦值．19．安全教育越来越受到社会的关注和重视．为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全知识竞赛，学校设置项目A “地震逃生知识问答”和项目B “火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．(1)求乙班在项目A 中获胜的概率；(2)设乙班获胜的项目个数为X ．求X 的分布列及数学期望．20．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点12A ⎛ ⎝⎭与点()2,0B ，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交直线3x =于E ，F 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)PE QF ⋅是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数2()2(1)2ln f x x m x m x =-++-，()0,x ∈+∞．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)当0m ≥时，试判断函数()f x 的零点个数解：请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．23．已知()3f x x a x =-+-()R a ∈．(1)若1a =，解不等式()9f x ≥；(2)当()0a t t =>时，()f x的最小值为3，若正数m ，n 满足m n t +=，证明：6≤．。

2023全国乙卷高考数学理科试题+答案（完整版）2023全国乙卷高考数学理科试题+答案高考数学必考知识1.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上).终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).终边与终边关于轴对称终边与终边关于轴对称终边与终边关于原点对称一般地：终边与终边关于角的终边对称.与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.2.弧长公式：，扇形面积公式：1弧度(1rad).3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.4.三角函数线的特征是：正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是 )”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’‘纵坐标除以横坐标之商’”;务必记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系为锐角5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”;6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”!角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.8.三角函数性质、图像及其变换：(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性注意：正切函数、余切函数的定义域;绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变;其他不定.如的周期都是,但的周期为，y=|tanx|的周期不变，问函数y=cos|x|,，y=cos|x|是周期函数吗?(2)三角函数图像及其几何性质：(3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.(4)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法.9.三角形中的三角函数：(1)内角和定理：三角形三角和为，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).(3)余弦定理：常选用余弦定理鉴定三角形的类型.高三数学复习要点1、培养良好的学习习惯上课之前预习，是高三学生取得较好成绩的基础，争取自己在上课之前把教材弄明白，上课注意听老师的讲课思路，把握高中数学重点和难点，尽量把高中数学的难题处理在课堂上。

KS5U2023全国乙卷高考压轴卷数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1282x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣，{}1,0,1,2B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1,2-2.设命题:p x ∀∈R ，e 1x x ≥+，则p ⌝是（）A.x ∀∈R ，e 1≤+x x B.x ∀∈R ，e 1x x <+C.x ∃∈R ，e 1≤+x x D.x ∃∈R ，e 1x x <+3.已知复数z 满足()1i 2i z -=-，则复数z 的虚部为（）A.12B.1i 2C.32D.3i 24.已知△ABC 中，D 为BC 边上一点，且13BD BC =，则AD =（）A.1233AC AB +B.2133AC AB +C.1344AC AB +D.3144AC AB +5.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A.6B.3π3C.D.π36.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A.4B.2C.D.7.已知30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则x ＋2y 的最大值为（）A.2B.3C.5D.68.函数()4ee x xf x +-=-（e 是自然对数的底数）的图象关于（）A.直线e x =-对称B.点(e,0)-对称C.直线2x =-对称D.点(2,0)-对称9.已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若()*5,p q p q +=∈N ，则p q a a =（）A.8B.16C.32D.6410.已知点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，则xy （）A.有最大值1B.有最大值4C.有最小值1D.有最小值4-11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（）①MN ∥平面ABCD ；②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒；④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒．A.1B.2C.3D.412.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()()e ln xf x x a x =-为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(],1-∞ D.(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2sin 0,08f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其最小正周期为T ，且322T ππ<<，则ω的值为______．14.已知点()1,0A ，()2,2B ，C 为y 轴上一点，若π4BAC ∠=，则⋅= AB AC ______．15.3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16.在数列{}n a 中，11a =，()()*212nn n a a n ++-=∈N ．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4n S =______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，（1）求证：B C =；（2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长．18.研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（℃）47891412新增就诊人数y（位）1y2y3y4y5y6y参考数据：6213160iiy==∑，()216256iiy y=-=∑．（1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为1724，求1y的值；（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数1516r=，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程ˆˆˆy bx a=+，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，()()ni ix x y yr--=∑．19.如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，//AB EF，12AF EF BE AB===．平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，4CE=．（1）证明：//MN平面ABC；（2）求二面角--M AB N的余弦值．20.已知函数()ln e 2e e xf x a x x a =+-+．（1）当e a =时，求曲线() y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若a 为整数，当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的最小值．21.已知椭圆()2222:10+x y C a b a b=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，M 为椭圆C 上一动点，FAM△面积的最大值为332．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 的直线:1l y kx =+与椭圆C 的另一个交点为N ，P 为线段MN 的中点，射线OP 与椭圆交于点D ．点Q 为直线OP 上一动点，且2OP OQ OD ⋅=，求证：点Q 在定直线上．（二）选考题：共10分．请考生在22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），()2,4为曲线C 上一点的坐标．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ，B ，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程，并化为普通方程．［选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()21f x x a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【KS5U 答案1】C【分析】由指数函数的单调性得{}13A x x =-<<，后由交集定义可得KS5U 答案.【KS5U 解析】13128222132x x x -<<⇔<<⇔<-<<，则{}13A x x =-<<，又{}1,0,1,2B =-，则A B = {}0,1,2.故选：C【KS5U 答案2】D【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【KS5U 解析】x ∀∈R ，e 1x x ≥+的否定是x ∃∈R ，e 1x x <+.故选：D 【KS5U 答案3】A【分析】根据复数的除法运算可求得31i 22z =+，即可求得结果.【KS5U 解析】由()1i 2i z -=-可得()()()()222i 1i 2i 22i i i 31i 1i 1i 1i 1i 22z -+-+--====+--+-，所以复数z 的虚部为12.故选：A 【KS5U 答案4】A【分析】利用向量的线性运算即可求得.【KS5U 解析】在△ABC 中，BC AC AB=-.因为13BD BC =，所以()1133B AC AB D BC ==- .所以()112333AD AB BD AB A A C AB C AB =++-==+.故选：A 【KS5U 答案5】B【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【KS5U 解析】设圆锥母线长为l ，高为h ，底面半径为1r =，则由2π1πl ⨯=得2l =，所以h ==所以2211ππ1π333V r h ==⨯=．故选：B ．【KS5U 答案6】B【分析】由平均数相等求出m ，再求方差.【KS5U 解析】由80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==可得，8m =，即甲同学成绩的方差为()22221211225+++=,故选：B 【KS5U 答案7】C【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【KS5U 解析】作出可行域如图：由2z x y =+可得：122zy x =-+，平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值，由3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A ，max 145z =+=．故选：C【KS5U 答案8】D【分析】根据对称性进行检验．【KS5U 解析】由题意()()2e 2e 42e 42e 2e eee e x x x xf x -----+--++--=-=-，它与()f x 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB 均错，而44(4)4(4)e e e e ()x x x x f x f x --+----+--=-=-=-，所以()f x 的图象关于点(2,0)-对称．故选：D ．【KS5U 答案9】C【分析】当1n =时，由122n n S +=-可得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1a 是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果.【KS5U 解析】解：当1n =时，211222a S ==-=，当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，12a = ，符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =,5222232p q q p q p a a +=⋅===，故选：C.【KS5U 答案10】A【分析】根据题意，求出点P 的轨迹方程，利用三角换元法即可求解.【KS5U 解析】因为点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，所以点P 的轨迹是以()1F ，)2F 为焦点的椭圆，且长轴长24a =，焦距21c b ==，所以点P 的轨迹方程为2214x y +=，设(2cos ,sin ),(02π)P θθθ≤≤，则[]2cos sin sin21,1xy θθθ==∈-，所以xy 有最大值1，故选：A.【KS5U 答案11】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【KS5U 解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =，(0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅= ，所以1D D MN ⊥ ，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z = ，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA = ，所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-= ，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确；因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =-- ，所以11cos ,2MN B D 〈〉=-，因为异面直线所成的角范围为(0,90] ，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确；设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =- ，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-，所以11162sin cos ,32D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅ ，所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误，一共有3个结论正确，故选：C 【KS5U 答案12】B【分析】根据题意列出关于0x 和a 的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【KS5U 解析】由题意得若函数()()e ln xf x x a x =-为不动点函数则满足()()00000e ln x f x x a x x =-=，即00ln 1x ae x =+，即00ln 1x x a e +=设()ln 1xx g x e+=，()()()()()21ln 1ln 1ln 1x x xx x x e e x x g x e e ''--+⋅-+'==设()()2111ln 1,0h x x h x x x x'=--=--<,所以()h x 在()0+∞，单调递减，且()10h =()0,1x ∈，()()0,0h x g x '>>所以()g x 在()01，上单调递增，()()()1,,0,0x h x g x ∞+<'∈<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()1max ln111g x e e+==当()10,,ln 10,0,xx x e e ⎛⎫∈+<> ⎪⎝⎭则()0g x <,当()1,,ln 10,0,xx x e e⎛⎫∈+∞+>> ⎪⎝⎭则()0g x >所以()g x的图像为：要想00ln 1x x a e +=成立，则y a =与()g x 有交点，所以()max1a g x e≤=,故选：B 【KS5U 答案13】54【KS5U 解析】根据题意，()2sin cos 28242A A f x A x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，分析可得22A =，所以4A =()2cos 224f x x πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()2242k k πππωπ⨯+=+∈Z ，所以()14k k ω=+∈Z ，又因为最小正周期为T ，且322T ππ<<，所以可得23222πππω<<，则223ω<<，所以ω的值为1．【KS5U 答案14】5【分析】设(0,)C y ，利用余弦定理求C 点坐标，然后利用数量积的坐标表示求解即可.【KS5U 解析】设(0,)C y，所以AB ==AC ==，BC ==，因为π4BAC ∠=，所以由余弦定理得222π2cos 4BC AB AC AB AC =+-，即224851y y y -+=++3y =，所以(0,3)C ，所以(1,2)AB =，(1,3)AC =- ，所以1(1)235AB AC ⋅=⨯-+⨯= ，故KS5U 答案为：5【KS5U 答案15】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出,a b 之间的关系，由题意底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【KS5U 解析】由已知，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由已知可得，c e a ==，且222c a b =+，所以224a b =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线方程得：()222222914819414m a a m aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以喉部（最细处）的直径为cm.故KS5U答案为：【KS5U 答案16】242n n+【分析】根据当n 为奇数时，22n n a a +-=，当n 为偶数时，22n n a a ++=，分组求和即可.【KS5U 解析】由题知，11a =，2(1)2nn n a a ++-=,当n 为奇数时，22n n a a +-=，所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以2468......2a a a a =++==,所以4135412464(......)(......)n n n S a a a a a a a a -=+++++++++22(21)1222422n n n n n n -=⨯+⨯+⨯=+故KS5U 答案为：242n n+【KS5U 答案17】(1)见证明；(2)4.【分析】（1）由()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得sin()0B C -=，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径52R =，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得2sin 4a R A ==，结合（1），利用余弦定理列方程求得b c ==，从而可得结果.【KS5U 解析】（1）∵sin()2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，∴sin()2sin cos 0B C B C +-=，∴sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，∴cos sin sin cos 0B C B C -=，∴sin()0B C -=.∴在ABC ∆中，B C =，（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，由已知得2254R ππ=，∴52R =，∵3cos 5A =，0A π<<，∴4sin 5A =，∴2sin 4a R A ==，∵BC =，∴b c =，由2222cos a b c bc A =+-⋅得2261625b b =-，解得b =，∴4a b c ++=，∴ABC ∆的周长为4.【KS5U 答案18】（1）110y =,（2）33人【分析】（1）根据题意由1373C 1C y -求解；（2）根据样本相关系数1516r =，求得()()61i i i x x y y =--∑，再利用公式求得ˆˆ,b a 即可.【小问1KS5U 解析】解：∵1373C 171C 24y -=，∴()()11176571224y y y ⨯⨯=--，∴()()111127201098y y y --==⨯⨯，∴110y =．【小问2KS5U 解析】∵6154i i x ==∑，∴9=x ，∴()62164i i x x =-=∑．∵()()()()6611581616iiiii x x y y x x y y r =----==⨯∑∑，∴()()61815i i i x x y y =--=⨯∑，∴()()()12181515ˆ648niii ni i x x y y bx x ==--⨯===-∑∑．又∵()6666222221111266256iii i i i i i y y yy y y y y ====-=-⋅+=-=∑∑∑∑，解得22y =．∴1541ˆˆ22988ay bx =-=-⨯=，∴4115ˆ88yx =+，当15x =时，4115ˆ153388y=+⨯≈，∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人．【KS5U 答案19】【分析】（1）取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，证明平面//MND 平面ABC ，原题即得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．求出122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．利用向量法求解.【小问1KS5U 解析】解：取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴//DM AC ，//DN EF ，又∵DM ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴//DM 平面ABC ．又//EF AB ，∴//DN AB ，同理可得，//DN 平面ABC ．∵DM ⊂平面MND ，DN ⊂平面MND ，DM DN D = ，∴平面//MND 平面ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面ABC．【小问2KS5U 解析】取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．由已知得//,OA EF OA EF =，∴OAFE 是平行四边形，∴//,//OE AF OE AF ．∵△ABC 是正三角形，∴OC AB ⊥，∵平面ABC⊥平面ABEF ，平面ABC ⋂平面ABEF AB =，∴OC ⊥平面ABEF ，又OE ⊂平面ABEF ，∴OC OE ⊥．设12AF EF EB AB a ====，OC =．在Rt COE 中，由222OC OE CE +=，解得2a =，即122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．则()0,2,0A -，(0,0,C，)E，31,22N ⎛ ⎝，()0,2,0OA =-，1,22ON ⎛= ⎝ ，由已知易得，平面ABM的一个法向量为(0,0,OC = ，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,OA n ON n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,310,22y x y z -=⎧+=⎩取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()2,0,1n =-,∴cos ,5OC n OC n OC n ⋅==-，∵二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N 的余弦值为55．【KS5U 答案20】（1）2e e y =-,（2）2【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率及切点即可求解KS5U 答案；（2）根据导函数分子部分的最小值与零比较分类讨论，分别分e a ≥、2a =、1a ≤讨论即可.【小问1KS5U 解析】当e a =时，()2eln e 2e e xf x x =+-+，所以2(1)e e f =-，又因为()ee 2e xf x x=+-，其中0x >，则在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)0k f '==，所以切线方程为2e e y =-【小问2KS5U 解析】由题知(e 2e)()x a x f x x+-'=，其中1x ≥，设()(e 2e)x g x a x =+-，则()(1)e 2e x g x x '=+-，可知()g x '为[1,)+∞上的增函数，则()(1)0g x g ''≥=，所以()g x 为[1,)+∞上的增函数，则min ()(1)e g x g a ==-.①当e 0a -≥，即e a ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 为[1,)+∞上的增函数，则()(1)e e>0f x f a ≥=-，由于a 为整数，可知3a ≥时，()0f x ≥恒成立，符合题意.②当2a =时，()2ln e 2e 2e xf x x x =+-+，()2(e 2e)xg x x =+-，则()g x 的最小值为min ()(1)2e<0g x g ==-，又2(2)22(e 2e)>0g =+-，由于()g x 为[1,)+∞上的增函数，则存在0(1,2)x ∈使得0()0g x =（即02e 2e x x =-），当01x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 为减函数；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 为增函数，则00000001()()2ln e 2e 2e=2(ln e 2e)x f x f x x x x x x ==+-+--+极小值，其中0(1,2)x ∈，令1()ln e 2e(1<<2)u x x x x x =--+，则22211e 1()e=<2)x x u x x x x x-++'=+-，当12x <<时，()0u x '<，()u x 在(1,2)上单调递减，则1()(2)ln 202u x u >=->，即0()()0f x f x =>极小值.所以2a =也符合题意.③当1a ≤时，min ()(1)e<0g x g a ==-，由于()g x 为(1,)+∞上的增函数，则存在实数1m >，且(1,)x m ∈，使得()0g x <，即()0f x '<，故()f x 为(1,)m 上的减函数，则当(1,)x m ∈时，()(1)(1)e 0f x f a <=-≤，故1a ≤不符合题意，舍去.综上所述，a 的最小值为2.【KS5U 答案21】【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将M ，N ，P ，Q ，D 的坐标用斜率k 表示出来，(3)按照向量数量积的运算规则即可.【小问1KS5U 解析】设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的几何性质知，当点M 位于椭圆的短轴端点时，FAM △的面积取得最大值，此时1()2FAMSa cb =+，1()22a cb ∴+=，()a c b ∴+=．由离心率12c a =得2a c =，b ∴=，解得1c =，2a =，b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2KS5U解析】由题意作下图：设()11,M x y ，()22,N x y ．由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234880k x kx ++-=．∵点(0,1)在这个椭圆内部，所以0∆>，122843k x x k +=-+，122843x x k =-+，()212122286224343k y y k x x k k ∴+=++=-+=++，∴点P 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-，将直线OP 的方程代入椭圆方程得22943Dy k =+，2221643D k x k =+，设点4,3k Q y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，由2OP OQ OD ⋅= 得22222443169433434343k kk y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭，化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，化简得3y =，∴点Q 在直线3y =上，当直线l 的斜率0k =时，此时(0,1)P，D ，由2OP OQ OD ⋅=得(0,3)Q ，也满足条件，∴点Q 在直线3y =上；综上，椭圆C 的标准方程为22143x y +=，点Q 在直线3y =上.【KS5U 答案22】（1）2x y =,（2）221x y =-【分析】（1）根据曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 求解；（2）设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k，分别与抛物线方程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1KS5U 解析】解：因为曲线C 的参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4代入可得12p =，所以曲线C 的普通方程为：2x y =；【小问2KS5U 解析】由已知得：OA ，OB 的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k ，联立方程2,,y kx x y =⎧⎨=⎩可得：()2,A k k ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设(),M x y ，所以2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以22214222x k y k=+-=-，所以221x y =-即为点M 轨迹的普通方程．【KS5U 答案23】【分析】（1）分段求解()f x 的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化()21f x x b >-+为233a b x x +>-+，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.【小问1KS5U 解析】当1a =时，()121f x x x =++-，当1x ≤-，()31f x x =-+，()min ()14f x f =-=；当11x -<<，()3f x x =-+，()()2,4f x ∈；当1x ≥，()31f x x =-，()min ()12f x f ==；∴当1a =时，()f x 的最小值为2．【小问2KS5U 解析】0a >，0b >，当12x ≤≤时，2211x a x x b ++->-+可化为233a b x x +>-+，令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()()max 121h x h h ===，∴1a b +>∴22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时取得等号；又当1a b +>时，2()122a b a b ++++2>，故2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

（2023·全国乙卷·理·1·★）设252i1i i z +=++，则z =（ ）（A ）12i − （B ）12i + （C ）2i − （D ）2i + 答案：B解析：由题意，2252222i 2i 2i (2i)ii 2i 12i 1i i 11(i )i i iz ++++=====−−=−++−+，所以12i z =+.（2023·全国乙卷·理·2·★）设全集U =R ，集合{|1}M x x =<，{|12}N x x =−<<，则{|2}x x ≥=（ ） （A ）∁U (M ∪N ) （B ）N ∪∁U M （C ）∁U (M ∩N ) （D ）M ∪∁U N 答案：A解析：正面求解不易，直接验证选项，A 项，由题意，{|2}M N x x =<，所以(){|2}U MN x x =≥ð，故选A.（2023·全国乙卷·理·3·★）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）（A ） 24 （B ）26 （C ） 28 （D ）30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.（2023·全国乙卷·理·4·★★）已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则a =（ ）（A ）2− （B ）1− （C ）1 （D ）2 答案：D解法1：要求a ，可结合偶函数的性质取特值建立方程，由()f x 为偶函数得(1)(1)f f −=，故1e ee 1e 1a a −−−=−− ①， 又111e e e e 11e e 1a a aa −−−−−−==−−−，代入①得1e e e 1e 1a a a −=−−， 所以1e e a −=，从而11a −=，故2a =， 经检验，满足()f x 为偶函数.解法2：也可直接用偶函数的定义来分析，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x −=恒成立，从而e e e 1e 1x x ax ax x x −−−=−−，故e e e 1e 1x x ax ax −−−=−−，所以e e e 1e e 1x ax x axax −−⋅=−−，从而e e e 1e 1ax x xax ax −=−−，故e e ax x x −=， 所以ax x x −=，故(2)0a x −=，此式要对定义域内任意的x 都成立，只能20a −=，所以2a =.（2023·全国乙卷·理·5·★）设O 为平面坐标系的原点，在区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于 π4 的概率为（ ）（ ） （A ）18（B ）16（C ）14（D ）12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·理·6·★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2(,)63ππ单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图象的两条对称轴，则5()12f π−=（ ） （A） （B ）12− （C ）12（D答案：D解析：条件中有两条对称轴，以及它们之间的单调性，据此可画出草图来分析， 如图，2362T T πππ−=⇒=，所以22Tπω==，故2ω=±， 不妨取2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+， 再求ϕ，代一个最值点即可，由图可知，()sin(2)sin()1663f πππϕϕ=⨯+=+=−，所以232k ππϕπ+=−，从而52()6k k πϕπ=−∈Z ， 故55()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=+−=−，所以5555()sin[2()]sin()sin 1212633f πππππ−=⨯−−=−==.（2023·全国乙卷·理·7·★★）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）（A ）30种 （B ）60种 （C ）120种 （D ）240种 答案：C解析：恰有1种课外读物相同，可先把相同的课外读物选出来，再选不同的， 由题意，先从6种课外读物中选1种，作为甲乙两人相同的课外读物，有16C 种选法，再从余下5种课外读物中选2种，分别安排给甲乙两人，有25A 种选法， 由分步乘法计数原理，满足题意的选法共1265C A 120=种.（2023·全国乙卷· 理· 8·★★★）已知圆锥PO O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，o 120AOB ∠=，若PAB ∆，则该圆锥的体积为（ ） （A ）π （B （C ）3π （D ） 答案：B解析：求圆锥的体积只差高，我们先翻译条件中的PAB S ∆，由于P A ，PB 和APB ∠都未知，所以不易通过1sin 2PAB S PA PB APB ∆=⋅⋅∠求P A ，再求PO ，故选择AB 为底边来算PAB S ∆，需作高PQ ，而AB 可在AOB ∆中求得，在AOB ∆中，由余弦定理，222AB OA OB =+−2cos 9OA OB AOB ⋅⋅∠=，所以3AB =，取AB 中点Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ AB ⊥，PQ AB ⊥， 所以1133222PAB S AB PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⨯=，又PAB S ∆=，所以32PQ =PQ =，在AOQ ∆中，o 1602AOQ AOB ∠=∠=，所以cos OQ OA AOQ =⋅∠=，故OP ==所以圆柱PO 的体积213V π=⨯.PO ABQ（2023·全国乙卷·理·9·★★★）已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角C ABD −−为o 150，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）（A ）15（B （C （D ）25答案：C解析：两个等腰三角形有公共的底边，这种情况常取底边中点构造线面垂直， 如图，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，由题意，DA DB =，AC BC =，所以AB DE ⊥，AB CE ⊥，故DEC ∠即为二面角C AB D −−的平面角， 且AB ⊥平面CDE ，所以o 150DEC ∠=， 作DO CE ⊥的延长线于O ，则DO ⊂平面CDE ， 所以DO AB ⊥，故DO ⊥平面ABC ，所以DCO ∠即为直线CD 与平面ABC 所成的角，不妨设2AB =，则1CE =，DE = 因为o 150DEC ∠=，所以o 30DEO ∠=，故3cos 2OE DE DEO =⋅∠=，sin OD DE DEO =⋅∠=，52OC OE CE =+=，所以tan OD DCO OC ∠==. DACBEO【反思】两个等腰三角形有公共底边这类图形，常取底边中点，构造两个线线垂直，进而得出线面垂直.（2023·全国乙卷·理·10·★★★★）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{cos |}n S a n =∈N ，若{,}S a b =，则ab =（ ）（A ）1− （B ）12− （C ）0 （D ）12答案：B解析：由题意，S 中的元素为1cos a ，2cos a ，3cos a ，…，由于cos y x =周期为2π，恰为公差的3倍，所以cos n a 必以3为周期重复出现，故只需考虑前三个值. 但题干却说{,}S a b =，只有两个元素，为什么呢？这说明前三个值中恰有两个相等，若讨论是哪两个相等来求1a ，则较繁琐，我们直接画单位圆，用余弦函数的定义来看，如图，由三角函数定义可知，在终边不重合的前提下，余弦值相等的两个角终边关于x 轴对称，所以要使1cos a ，2cos a ，3cos a 中有两个相等，则1a ，2a ，3a 的终边只能是如图所示的两种情况，至于三个终边哪个是1a ，不影响答案，只要它们逆时针排列即可， 若为图1，则131cos cos 2a a ==，2cos 1a =−，所以S 中的元素是12和1−，故12ab =−；若为图2，则1cos 1a =，231cos cos 2a a ==−，所以S 中的元素是1和12−，故12ab =−.1图2图（2023·全国乙卷·理·11·★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可能为线段AB 中点的是（ ）（A ）(1,1) （B ）(1,2)− （C ）(1,3) （D ）(1,4)−− 答案：D解析：涉及弦中点，考虑中点弦斜率积结论，A 项，记(1,1)M ，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，因为1OM k =，所以9AB k =，又直线AB 过点M ， 所以AB 的方程为19(1)y x −=−，即98y x =− ①，只要该直线与双曲线有2个交点，那么A 项就正确，可将直线的方程代入双曲线方程，算判别式，将①代入2219y x −=整理得：272144730x x −+=， 21(144)47273144(144273)2880∆=−−⨯⨯=⨯−⨯=−<，所以该直线与双曲线没有两个交点，故A 项错误，同理可判断B 、C 也错误，此处不再赘述； D 项，记(1,4)N −−，则4ON k =，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，所以94AB k =， 又直线AB 过点N ，所以AB 的方程为91(1)4y x −=−，整理得：9544y x =− ②， 将②代入2219y x −=整理得：263901690x x +−=， 判别式2290463(169)0∆=−⨯⨯−>，所以该直线与双曲线有两个交点，故D 项正确.（2023·全国乙卷·理·12·★★★★）已知⊙O 半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO PA PD ⋅的最大值为（ ）（A （B （C ）1 （D ）2+答案：A解析：1OA =，1PO PA ===，所以cos cos PA PD PA PD APD PD APD ⋅=⋅∠=∠ ①， 且PAO ∆是等腰直角三角形，所以4APO π∠=，因为D 是BC 的中点，所以OD BC ⊥，求PA PD ⋅要用APD ∠，故可设角为变量，引入CPO ∠为变量，可与直角PDO ∆联系起来，更便于分析， 设CPO θ∠=，则04πθ≤<，有图1和图2两种情况，要讨论吗？观察发现图2的每一种PD ，在图1中都有一个对称的位置，二者PD 相同，但图2的夹角APD ∠更大，所以cos APD ∠更小，数量积也就更小，从而PA PD ⋅的最大值不会在图2取得，故可只考虑图1， 如图1，4APD APO CPO πθ∠=∠−∠=−，代入①得cos()4PA PD PD πθ⋅=− ①，注意到PD 与θ有关，故将它也用θ表示，统一变量， 由图可知，cos PD PO DPC θ=∠=， 代入①得：2cos cos()4PA PDπθθ⋅=−2)cos sin cos θθθθθθ==+ 1)1cos 214sin 2222πθθθ+++=+=，故当8πθ=时，sin(2)14πθ+=，PA PD ⋅取得最大值12+.A PODB C A PODBC1图2图θθ（2023·全国乙卷·理·13·★）已知点A 在抛物线2:2C y px=上，则点A 到C 的准线的距离为_____. 答案：94解析：点A 在抛物线上25212p p ⇒=⋅⇒=， 所以抛物线的准线为54x =−， 故A 到该准线的距离591()44d =−−=.（2023·全国乙卷·理·14·★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ，联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8（2023·全国乙卷·理·15·★★）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =−，则7a =_____. 答案：2−解析：已知和要求的都容易用通项公式翻译，故直接翻译它们，34252453611111a a a a a a qa q a q a q a q =⇒=，化简得：11a q = ①， 8921791011188a a a q a q a q =−⇒==− ②，由①可得11a q=，代入②得：158q =−，所以52q =− ③， 结合①③可得6557112a a q a q q q ==⋅==−.（2023·全国乙卷·理·16·★★★★）设(0,1)a ∈若函数()(1)x x f x a a =++在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____.答案： 解析：直接分析()f x 的单调性不易，可求导来看， 由题意，()ln (1)ln(1)x x f x a a a a '=+++，因为()f x 在(0,)+∞上，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即ln (1)ln(1)0x x a a a a +++≥，参数a 较多，没法集中，但x 只有两处，且观察发现可同除以x a 把含x 的部分集中起来，所以(1)ln ln(1)0x xa a a a+++≥，故1ln (1)ln(1)0x a a a +++≥ ①， 想让式①恒成立，只需左侧最小值0≥，故分析其单调性， 因为111a+>，11a +>，所以ln(1)0a +>，从而1ln (1)ln(1)x y a a a=+++在(0,)+∞上，故011ln (1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ln(1)x a a a a a a a a+++>+++=++，所以①恒成立ln ln(1)0a a ⇔++≥，从而ln[(1)]0a a +≥，故(1)1a a +≥，结合01a <<1a ≤<.（2023·全国乙卷·理·17·★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验，选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，(1,2,,10)i y i =⋅⋅⋅，试验结果如下：记(1,2,,10)i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s . （1）求z ，2s ，（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 解：（1）由题意，i z 的数据依次为9，6，8，8−，15，11，19，18，20，12， 所以10111()(9688151119182012)111010i i i z x y ==−=++−++++++=∑，10222222222111()[(911)(611)(811)(811)(1511)(1111)(1911)1010i i s z z ==−=−+−+−+−−+−+−+−+∑222(1811)(2011)(1211)]61−+−+−=.（2）由（1）可得z <，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·理·18·★★★）在ABC ∆中，已知o 120BAC ∠=，2AB =，1AC =. （1）求sin ABC ∠；（2）若D为BC 上一点，且o 90BAD ∠=，求ADC ∆的面积.解：（1）（已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角）由余弦定理，22222o 2cos 21221cos1207BC AB AC AB AC BAC =+−⋅⋅∠=+−⨯⨯⨯=，所以BC =，由正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，所以o sinsin AC BAC ABC BC ⋅∠∠===（2）如图，因为o 120BAC ∠=，o 90BAD ∠=，所以o 30CAD ∠=，（求ADC S ∆还差AD ，只要求出ABC ∠，就能在ABD ∆中求AD ，ABC ∠可放到ABC ∆中来求）由余弦定理推论，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +−∠===⋅，所以cos AB BD ABC ==∠，AD ==，故o 11sin 1sin 3022ADC S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠=⨯=.（2023·全国乙卷·理·19·★★★★）在三棱锥P ABC −中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥. （1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ； （3）求二面角D AO C −−的大小.PDBAFCOE解：（1）证法1：（由图可猜想DEFO 是平行四边形，故尝试证DE 平行且等于OF . 注意到D ，E ，O 都是所在棱的中点，故若能证出F 是中点，则DE ，OF 都平行且等于AB 的一半，问题就解决了. 那F 的位置由哪个条件决定呢？显然是BF AO ⊥，我们可以设AF AC λ=，利用向量来翻译BF AO ⊥，求出λ） 设AF AC λ=，则()(1)BF BA AF BA AC BA BC BA BA BC λλλλ=+=+=+−=−+， 12AO AB BO BA BC =+=−+，因为BF AO ⊥，所以1((1))()2BF AO BA BC BA BC λλ⋅=−+⋅−+ 22(1)4(1)402BA BC λλλλ=−+=−+=，解得：12λ=，所以F 是AC 的中点， 又D ，E ，O 分别是BP ，AP ，BC 的中点，所以DE 和OF 都平行且等于AB 的一半，故DE 平行且等于OF ， 所以四边形DOFE 是平行四边形，故EF ∥OD ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO . 证法2：（分析方法同解法1，证明F 为AC 中点的过程，也可用平面几何的方法）如图1，在ABC ∆中，因为BF AO ⊥，所以o 2190AOB AOB ∠+∠=∠+∠=，故12∠=∠①， 又2AB =，BC =O 为BC 中点，所以BO =tan 1BO AB∠==，tan 3AB BC ∠==所以tan 1tan 3∠=∠，故13∠=∠，结合①可得23∠=∠，所以BF CF =， 连接OF ，因为O 是BC 中点，所以OF BC ⊥，又AB BC ⊥，所以OF ∥AB ， 结合O 为BC 中点可得F 为AC 的中点，接下来同证法1.（2）（要证面面垂直，先找线面垂直，条件中有AO BF ⊥，于是不外乎考虑证AO ⊥面BEF 或证BF ⊥面AOD，怎样选择呢？此时我们再看其他条件，还没用过的条件就是一些长度，长度类条件用于证垂直，想到勾股定理，我们先分析有关线段的长度） 由题意，12DO PC ==，AD ==，AO ，所以222152AO DO AD +==，故AO OD ⊥，（此时结合OD ∥EF 我们发现可以证明AO ⊥面BEF ） 由（1）可得EF ∥OD ，所以AO EF ⊥，又AO BF ⊥，且BF ，EF 是平面BEF 内的相交直线， 所以AO ⊥平面BEF ，因为AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .（3）解法1：（此图让我们感觉面PBC ⊥面ABC ，若这一感觉正确，那建系处理就很方便. 我们先分析看是不是这样的. 假设面PBC ⊥面ABC ，由于AB BC ⊥，于是AB ⊥面PBC ，故AB BD ⊥，但我们只要稍加计算，就会发现222AB BD AD +≠，矛盾，所以我们的感觉是不对的，也就不方便建系. 怎么办呢？那就在两个半平面内找与棱垂直的射线，它们的夹角等于二面角的大小. 事实上，这样的射线已经有了）由题意，AO BF ⊥，由前面的过程可知AO OD ⊥，所以射线OD 与BF 的夹角与所求二面角相等， （OD 与BF 异面，直接求射线OD 和BF 的夹角不易，故考虑通过平移使其共面，到三角形中分析） 因为OD ∥EF ，所以EFB ∠的补角等于射线OD 和BF 的夹角，由题意，AC ==12BF AC ==，12EF PC ==（只要求出BE ，问题就解决了，BE 是ABP ∆的中线，可用向量来算，先到ABD ∆中求cos ABP ∠） 在ABD ∆中，222cos 2AB BD AD ABP AB BD +−∠==⋅，因为1()2BE BA BP =+，所以222113(2)[4622(442BE BA BP BA BP =++⋅=⨯++⨯=，故BE =，在BEF ∆中，222cos 2BF EF BE BFE BF EF +−∠==⋅，所以o 45BFE ∠=，故二面角D AO C −−的大小为o 135.解法2：（得出所求二面角等于射线OD 与BF 夹角的过程同解法1. 要计算此夹角，也可用向量法. 观察图形可发现OA ，OB ，OD 的长度都已知或易求，两两夹角也好求，故选它们为基底，用基底法算OD 和BF 的夹角） 1113122()2()22222BF BC CF OB CA OB CB BA OB OB OA OB OB OA =+=−+=−++=−++−=−+，所以31313()cos 22222OD BF OD OB OA OD OB OD OA DOB BOD ⋅=⋅−+=−⋅+⋅=−∠=∠，又222cos 2OB OD BD BOD OB OD +−∠==⋅，所以3322OD BF ⋅=−=−，从而3cos ,6OD BF OD BF OD BF−⋅<>===⋅，故o ,135OD BF <>=，所以二面角D AO C −−为o 135. 解法3：（本题之所以不便建系，是因为点P 在面ABC 的射影不好找，不易写坐标.那有没有办法突破这一难点呢？有的，我们可以设P 的坐标，用已知条件来建立方程组，直接求解P 的坐标）以B 为原点建立如图2所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，C ，O ，设(,,)(0)P x yz z >，则(,,)222x y z D，由PB PC ⎧⎪⎨=⎪⎩2222226(6x y z x y z ⎧++=⎪⎨+−+=⎪⎩，解得：y =， 代回两方程中的任意一个可得224x z += ②，（此时发现还有AD =这个条件没用，故翻译它）又AD =，所以222222(2)5[(]244424x y z x y z −++=+−+，将y =代入整理得：22220xz x ++−= ③，联立②③结合0z >解得：1x =−，z =，（到此本题的主要难点就攻克了，接下来是流程化的计算）所以1(2D −，故1(2DO =−，(AO =−， 设平面AOD 的法向量为(,,)xy z =m ，则1022220DO x y z AO x ⎧⋅=+−=⎪⎨⎪⋅=−=⎩m m ，令1x =，则y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩=m 是平面AOD 的一个法向量，由图可知(0,0,1)=n 是平面AOC的一个法向量，所以cos ,⋅<>==⋅m n m n m n ， 由图可知二面角D AO C −−为钝角，故其大小为o 135.BAFC1图2图123O【反思】当建系后有点的坐标不好找时，直接设其坐标，结合已知条件建立方程组，求解坐标，这也是一种好的处理思路.（2023·全国乙卷·理·20·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是3，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x+= （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c ea ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++，因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++ ()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.（2023·全国乙卷·理·21·★★★★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1()y f x=关于直线x b =对称？若存在，求a ，b 的值；弱不存在，说明理由；（3）若()f x 在(0,)+∞上存在极值，求a 的取值范围.解：（1）当1a =−时，1()(1)ln(1)f x x x =−+，2111()ln(1)(1)1f x x x x x'=−++−⋅+，所以(1)0f =，(1)ln 2f '=−，故所求切线方程为0ln 2(1)y x −=−−，整理得：(ln 2)ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,−∞−⋃+∞， 定义域关于直线12x =−对称，由题意可得12b =−，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =−， 即()()11ln 22ln 2a a +=−，则12a a +=−，解得12a =，经检验11,22a b ==−满足题意，故11,22a b ==−.即存在11,22a b ==−满足题意.（3）由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=−+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点; 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++=， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=−+−+ 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意; 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=， 所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意； 当102a <<时，由()''1201g x a x =−=+可得1=12x a−， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减， 当11,2x a ⎛⎫∈−+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫−=−+⎪⎝⎭'， 令()()1ln 01m x x x x =−+<<，则()10x m x x−+'=>， 函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=， 据此可得1ln 0x x −+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫−=−+<⎪'⎝⎭， 令()()2ln 0h x x x x x =−+>，则()221x x h x x−++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤−(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=−+>−+−+=−+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤−>−−−+−=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x . 当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x−−⎛⎫=−+=≤ ⎪⎝⎭'， 则()n x 单调递减，注意到()10n =， 故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫−−< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<− ⎪⎝⎭， 所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+−+⨯+−⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭得2x =0g >， 所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围． 答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=， 整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >0m <， 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x=+−（1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]− （2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A −，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABCC A S BD x x =⨯−=−⨯−−=.。

2023年高考数学真题完全解读（全国乙卷理科）适用省份江西、甘肃、河南、山西、内蒙古、青海、宁夏、新疆2023年高考数学全国卷乙卷理科数学与2022年相比试题平和,模式相对稳定,难度稍降,没有开放题,没有不良结构题,对新教材删除的三视图、古典概型、线性规划都进行了考查,但难度不大.总的来说试卷能反映新时代基础教育课程理念,落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求,全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养,体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求,突出理性思维,发挥数学科在人才选拔中的重要作用.具体来说,该试卷有以下特点：一、充分发挥基础学科的作用,突出素养和能力考查,甄别思维品质、展现思维过程,给考生搭就了展示的舞台、发挥的空间,致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔.首先是重点考查逻辑推理素养,如第10题的数列题,又如第21题要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论,考查了思维的条理性、严谨性.深入考查直观想象素养,如第3题的直观图、第5题的几何概型、第8题圆锥体积的计算、又如第19题以几何体为依托,考查空间线面关系.扎实考查数学运算素养,要求考生理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.如第3题的表面积的计算,第12题的数量积最大值的计算都有一定的运算量,有如17题平.二、试卷在命制情境化试题过程中,在剪裁素材时,控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题时,设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题时,设置合适的运算过程和运算量,力求使情境化试题达到试题要求层次和考生认知水平的契合与贴切.首先是现实生活情境,数学试题情境取材于学生生活中的真实问题,贴近学生实际,具有现实意义,具备研究价值.如第7题以学生选择课外读物的情境考查排列组合内容,引导学生全面发展.其次是科学研究情境与劳动生产情境,如第17题取材于橡胶生产的实际情境,比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,借助假设检验的基本思想,利用样本平均数和方差作为工具进行统计推断,考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.三、在反套路,反机械刷题上下功夫,突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力,落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求.同时,合理控制试题难度,科学引导中学教学,力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接,促进考教衔接,引导学生提高在校学习效率,避免机械、无效的学习.突出基础性要求,试卷在选择题和填空题部分均设置了多个知识点,全面考查了集合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容,实现了对基础知识的全方位覆盖.同时在解答题部分深入考查基础,考查考生对基础知识和基本方法的深刻理解和融会贯通的应用.如第17题考查统计抽样中样本的基本数字特征,考查考生对样本平均数、样本方差等概念的理解和掌握,不仅注重试题的基础性,而且使基础知识的考查和能力的考查有机结合.彰显综合性要求,如第10题是集合、数列、三角函数的综合题,对集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查,可以通过三角函数的周期性求解,也可以用数形结合的方法求解.体现创新性要求,通过命题创新,创设新颖的试题情境、新颖的题目条件、新颖的设问方式,考查考生思维的灵活性与创造性.第10题的知识交汇1712分解答题用样本估计总体概率统计（共3题）1812分解答题解三角形三角函数与解三角形（共3题）1912分解答题线面位置关系的证明及二面角立体几何（共4题）2012分解答题椭圆、定点解析几何（共4题）2112分解答题导数几何意义、对称问题、极值函数与导数（共3题）2210分解答题极坐标与参数方程选修4-4（共1题）2310分解答题不等式解法及不等式组表示的区域选修4-5（共1题）1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见的基本技能和方法.2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求4. 第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.5. 对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.2023年全国卷乙卷理科数学试题及解读1．设252i1i i z +=++,则z =（ ）A ．12i-B ．12i +C ．2i -D ．2i+【命题意图】本题考查复数的运算与共轭复数,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.【答案】A 【解析】因为2522212111i i iz i i i i i+++====-++-+,所以1+2z i =,故选B.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合复数的几何意义解答．2．设集合U =R ,集合{}1M x x =<,{}12N x x =-<<,则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N⋃ð【命题意图】本题考查集合的交并补集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易【答案】A【解析】由题意可得{}|2M N x x =< ,则(){}|2U M N x x =≥ ð,A 正确；{}|1U M x x =≥ð,则{}|1U N M x x =>- ð,B 错误；{}|11M N x x =-<< ,则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥,C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥,则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥,D 错误；故选A.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).3.如图,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为（ ）A ．24B ．26C ．28D ．30【命题意图】本题考查三视图及组合体的表面积,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：较易【答案】D【解析】如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,13AA =,点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点,,,,O L M N 为所在棱的中点,则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体,该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形,其表面积为()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选D.【点评】有关三视图的试题,大多与几何体的体积、表面积交汇考查,难度一般不大,属于送分题.【知识链接】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．2. 多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积要注意衔接部分的处理．4．已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数,则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：较易【答案】D解法一：因为()f x 是偶函数,所以()()()11111a xx x x ax ax ax ax xe xe xe xe f x f x e e e e ------=-=+----=()101a xx ax xe xe e --==-,所以11,2a a -==,故选D.解法二：因为()f x 是偶函数,且()()11111a a e e f f e e -----=-=--101a a e e e --=-,所以11,2a a -==,故选D.【点评】函数的奇偶性是高考考查的热点,若单独考查,一般为基础题,若与函数的单调性、周期性交汇考查,常作为客观题的压轴题.【知识链接】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．(4)f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．(5)若奇函数在x ＝0处有意义,则f (0)＝0.2.常见的奇函数与偶函数()()1log 0,1,0,0,11x a xx m a y a a m y a a x m a --⎛⎫=>≠≠=>≠ ⎪++⎝⎭,)()log 0,1ay x a a =->≠,()110,112xy a a a =+>≠-是奇函数,()()()20,1,log 10,1x x x a y a a a a y a x a a -=+>≠=+->≠是偶函数5.设O 为平面坐标系的坐标原点,在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点,记该点为A ,则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．12【命题意图】本题考查以面积为测度的几何概型,体现了直观想象与逻辑推理等核心素养.难度：较易【答案】C【解析】如图所示,点A 位于阴影区域内,其中阴影区域面积是圆环面积的14,所以所求概率为14,故选C.【点评】老教材中有些知识点在新教材中被删除,有些原来是高考每年热点题,如程序框图、线性规划、三视图、几何概型等,受新教材的影响,这些内容的考查热点有所降低,但不要认为新教材删除的内容都不考,如本卷中考查了三视图、几何概型及线性规划.【知识链接】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解．6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴,则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12D 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等【答案】D【解析】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,所以2πππ2362T =-=,且0ω>,则πT =,2π2w T ==,当π6x =时,()f x 取得最小值,则ππ22π62k ϕ⋅+=-,Z k ∈,则5π2π6k ϕ=-,Z k ∈,不妨取0k =,则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选D.【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题具有综合性,把三角函数的图象、单调性、对称性及三角函数求值交汇考查.【知识链接】1.根据y ＝A sin(ωx ＋φ),x ∈R 的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π； 谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．2.f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0)的图象关于直线x m =对称,则()f m A =±,关于点(),0n 对称,则()0f n =.7．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【命题意图】本题考查分步计数原理与排列组合,考查数学建模与数学运算的核心素养.难度：中等【答案】C【解析】先从6种读物中选1种作为两人所选相同的读物,再从另外5本中选2本分别为甲乙,所以不同的选法种数为1265120C A =,故选C.【点评】注意分步用乘法.【知识链接】1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立,互不干扰；二是步与步确保连续,逐步完成．2.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理．8．已知圆锥POO 为底面圆心,PA ,PB 为圆锥的母线,120AOB ∠=︒,若PAB V则该圆锥的体积为（ ）A ．πB C ．3πD ．【命题意图】本题考查圆锥体积的计算,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.难度：中等【答案】B【详解】在AOB V 中,120AOB ∠=o ,而OA OB ==取AC 中点C ,连接,OC PC ,有,OC AB PC AB ⊥⊥,如图,30ABO = ∠,23OC AB BC ===,由PAB V 得132PC ⨯⨯解得PC =,于是PO ===所以圆锥的体积2211ππ33V OA PO =⨯⨯=⨯=.故选B.【点评】高考数学老高考全国卷中立体几何客观题一般有两道,一般分别涉及多面体与旋转体,本卷客观题中出现了3道客观题（3题、8题、9题）,这与新高考考查趋势吻合.【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.9．已知ABC V 为等腰直角三角形,AB 为斜边,ABD △为等边三角形,若二面角C AB D --为150︒,则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B C D ．25【命题意图】本题考查线面角与二面角的计算,考查直观想象与逻辑推理等核心素养.难度：较难【答案】C【解析】解法一：如图所示,取AB 中点E,连接CE,DE,由题意得,CE AB DE AB ⊥⊥,所以150CED ∠= ,设2AB a =,且,CE a DE ==,由余弦定理得CD =,由,CE AB DE AB ⊥⊥,可得平面CDE ⊥平面ABC,所以点D 在平面ABC 上的射影G 在直线CE 上,所以sin 30DG CD == ,52CG ==,直线CD 与平面ABC 所成角为DCG ∠,tan DG DCG CG∠=,故选C.解法二：取AB 的中点E ,连接,CE DE ,因为ABC V 是等腰直角三角形,且AB 为斜边,则有CE AB ⊥,又ABD △是等边三角形,则DE AB ⊥,从而CED ∠为二面角C AB D --的平面角,即150CED ∠= ,显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ,于是AB ⊥平面CDE ,又AB ⊂平面ABC ,因此平面CDE ⊥平面ABC ,显然平面CDE ⋂平面ABC CE =,直线CD ⊂平面CDE ,则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ,从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角,令2AB =,则1,CE DE ==,在CDE V 中,由余弦定理得：CD ===由正弦定理得sin sin DE CD DCE CED =∠∠,即sin DCE ∠==,显然DCE ∠是锐角,cos DCE ∠===所以直线CD 与平面ABC 故选C.【点评】在客观题中考查线面角与二面角是近两年高考的热点,请考生注意这种变化趋势.【知识链接】利用线面角定义求线面角,关键是确定斜线上某一点在平面上的射影,以便求出该点到平面的距离,有时可把问题转化棱锥的高来求.根据线面角的定义或二面角的平面角的定义求线面角,通常是先作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．10.已知等差数列{}n a 的公差为23π,集合{}*cos N n S a n =∈,若{},S a b =,则ab =（ ）A ．－1B ．12-C ．0D ．12【命题意图】本题考查等差数列、三角函数的周期性及集合中元素的互异性,考查数学抽象、逻辑推理等核心素养.难度：较难.【答案】B【解析】解法一：因为{}n a 是公差为2π3的等差数列,所以32πn n a a +==,()3cos cos 2πn n a a +=+=cos n a ,所以数列{}cos n a 是周期为3的数列,前3项依次为1112π4πcos ,cos ,cos 33a a a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为集合S 中只有2个元素,不妨取1π3a =-,此时1,12S ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,所以12ab =-,故选B.解法二：等差数列{}n a 中,112π2π2π(1)()333n a a n n a =+-⋅=+-,函数12π2πcos[()]33y n a =+-的周期为3,而N n *∈,即cos n a 最多3个不同取值,又{cos |N }{,}n a n a b *∈=,则在123cos ,cos ,cos a a a 中,123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=,于是有2πcos cos()3θθ=+,即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈,解得ππ,Z 3k k θ=-∈,所以Z k ∈,2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-.故选B【点评】本题是集合、数列、三角函数的综合题,对等差数列、集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查,在知识点交汇处命题,活而不难,背景新颖,是一道考查能力的好题.【知识链接】求解通项中含有以n 为变量的三角函数的数列问题,如含有2sin π,cos π23n nn 等形式的数列,通常通常先利用三角函数的周期性,研究数列一个周期内的项的规律.11. 已知点,A B 是双曲线C ：2219y x -=上的两点,则可以作为,A B 中点的是（）A. ()1,1 B. ()1,2- C. ()1,3 D.()1,4--【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：较难【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ,则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+,因为,A B 在双曲线上,则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得()2222121209y y x x ---=,所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ： 可得1,9AB k k ==,则:98AB y x =-,联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y 得272272730x x -⨯+=,此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<,所以直线AB 与双曲线没有交点,故A 错误；对于选项B ：可得92,2ABk k =-=-,则95:22AB y x =--,联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去y 得245245610x x +⨯+=,此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<,所以直线AB 与双曲线没有交点,故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==,则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==,则:3AB y x =为双曲线的渐近线,所以直线AB 与双曲线没有交点,故C 错误；对于选项D ：94,4ABk k ==,则97:44AB y x =-,联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去y 得2631261930x x +-=,此时21264631930∆=+⨯⨯>,故直线AB 与双曲线有交两个交点,故D 正确；故选D.解法二：同解法一,先求得9AB k k ⋅=,结合双曲线图形及直线与双曲线渐近线斜率的大小进行判断.【点评】本题可以利用点差法,也可以利用中点坐标公式,方法容易想到,但运算量较大.【知识链接】1.与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标()()1122,,,P x y Q x y 代入圆锥曲线方程作差,得到关于12121212,+,y y x x y y x x -+-的关系式,再结合题中条件求解.2.求双曲线的以某点为中点的弦所在直线方程,求出方程以后一定要检验该直线与双曲线是否有2个公共点.12．已知O e 的半径为1,直线PA 与O e 相切于点A ,直线PB 与O e 交于B ,C 两点,D 为BC 的中点,则PA PD ⋅的最大值为（ ）ABC ．1D ．2【命题意图】本题考查平面向量的数量积,考查数学运算、直观想象等核心素养.试题难度：难.【答案】A,则由题意可知45APO ∠= ,由勾股定理可得1PA ==当点,A D 位于直线PO 异侧时,设=,04OPC παα∠≤≤,则PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭1cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ααα⎫=⎪⎪⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-1224πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,04πα≤≤,则2444πππα-≤-≤∴当ππ244α-=-时,PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时,设=,04OPC παα∠≤≤,则PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ααα⎫=⎪⎪⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+1224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭04πα≤≤,则2442πππα≤+≤∴当242ππα+=时,PA PD ⋅综上可得,PA PD ⋅故选A.【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.【知识链接】求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知点(A 在抛物线C ：22y px =上,则A 到C 的准线的距离为______.【命题意图】本题考查抛物线的方程及几何性质,考查数学运算的核心素养.难度：容易.【答案】94【解析】由题意可得221p =⨯,则25p =,抛物线的方程为25y x =,准线方程为54x =-,点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.【点评】本题属于送分题,解析几何在高考中一般有3到4道试题,若有3道试题,则这3道试题分别涉及椭圆、双曲线、抛物线；若有4道试题,则这4道试题分别涉及圆、椭圆、双曲线、抛物线.【知识链接】1.客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力,特别是求解有关线段长度时要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用.2. 抛物线y 2＝2px (p >0)焦点到顶点距离为2p,到准线距离为p.3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则①x 1x 2＝p 24,y 1y 2＝－p 2.②12pAF x =+,|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．14．若x ,y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =-的最大值为______.【命题意图】本题考查线性规划,考查直观想象与数学运算的核心素养,难度：容易【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-,移项得2y x z =-,联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩,解得52x y =⎧⎨=⎩,设()5,2A ,显然平移直线2y x =使其经过点A ,此时截距z -最小,则z 最大,代入得8z =,【点评】线性规划在前些年一直是高考热点,随着新教材的推进,热度与难度有所降低,前2年都没有考查线性回归,今年虽然考查了线性规划题,但试题为常规题,且数据设置简单,为送分题.【知识链接】如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是哪个顶点为最优解,有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时,其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数ZP i ＝mx ＋ny ,比较各个ZP i ,得最大值或最小值.15.已知{}n a 为等比数列,24536a a a a a =,9108a a =-,则7a =______.【命题意图】本题考查等比数列基本量的计算,难度：较易.【答案】2-【解析】设{}n a 的公比为()0q q ≠,则3252456a q a a q a a a a ==⋅,显然0n a ≠,则24a q =,即321a q q =,则11a q =,因为9108a a =-,则89118a q a q ⋅=-,则()()3315582q q ==-=-,则32q =-,则55712a a q q q =⋅==-.【点评】本题利用方程思想求基本量,属于常规题型,课本有类似习题,且本题难度不超过课本习题.在高考试卷中若解答题中有数列题,在客观题中一般没有数列题,若解答题中没有数列题,客观题中一般有两道数列题,一道考查等差数列,一道考查等比数列.【知识链接】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量。

绝密★启用前2023年高考押题预测卷01（全国乙卷）理科数学（考试时间：150分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

评卷人 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ） A. 0B. 1C.2D. 22.设集合A={x|x 2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4B. –2C. 2D. 43.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.存在函数f(x)满足：对任意x ∈R 都有( )A.f(sin 2x)＝sin xB.f(sin 2x)＝x 2＋xC.f(x 2＋1)＝|x ＋1|D.f(x 2＋2x)＝|x ＋1|5.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 326.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112 B ．114 C ．115 D ．1187.将函数y =sin(2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间[3π4,5π4]上单调递增 B ．在区间[3π4,π]上单调递减 C ．在区间[5π4,3π2]上单调递增 D ．在区间[3π2,2π]上单调递减8.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个9.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<10.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点；②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增；④ω的取值范围是[1229510，)，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④11.已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．1412．已知a =log 2e ，b =ln2，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 评卷人 得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则m 、n 、e 1，e 2应满足____________关系。

2023高考全国乙卷理科数学试卷（带答案）2023高考全国乙卷理科数学试卷（带答案）小编整理了2023高考全国乙卷理科数学试卷，数学与我们的生活有着密切的联系，现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用。

下面是小编为大家整理的了2023高考全国乙卷理科数学试卷，希望能帮助到大家!2023高考全国乙卷理科数学试卷2023年高考试卷类型2023年除了浙江省高考试卷有所调整外，其余各省市采用的试卷基本与2022保持一致，浙江省语数外三科由原来的自主命题变为采用新高考一卷。

这样新高考一卷就增加到了8个省份，试卷类型也由去年的八套试卷，变成了今年的七套试卷，详情如下：一、全国甲卷(5省区)：云南、四川、广西、贵州、西藏二、全国乙卷(12省区)：内蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安徽、江西、河南三、新高考全国一卷(8省)：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江四、新高考全国二卷(3省市)：辽宁、重庆、海南五、天津卷：天津市六、上海卷：上海市七、北京卷：北京市注：2023年实行新高考的14省市的物理、化学、生物、政治、历史、地理6科由本省市单独命卷。

其中，浙江还另有技术科(含通用技术和信息技术)。

具体以各省市发布官方信息为准。

祝高考上岸的句子1、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

挥洒的汗水，成就你的豪迈;高考的舞台，见证你的精彩。

愿考试顺利，金榜题名，人生路上永不败。

2、厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

3、即使身在生活，也要做你理想的卧底。

4、路就在你脚下，只要走，就能到达远方。

5、一百天，给自己一个目标，让生命为它燃烧。

6、高考是人生的一次特殊洗礼，是人生的一次宝贵经历，衷心祝福你们，即将走进考场的每一位学子高考顺利，前程似锦!7、心存感激,永不放弃!即使是在最猛烈的风雨中,我们也要有抬起头,直面前方的勇气。

因为请相信：任何一次苦难的经历,只要不是毁灭,就是财富!8、不要让安逸盗取我们的生命力。

全国乙卷2023数学真题(理科)_全国乙卷理科数学全国乙卷2023数学真题(理科)_全国乙卷理科数学全国乙卷试题难度较高，需要学生掌握扎实的基本知识和基本能力，能帮助学生通过高考考核并且有助于提高学生的科学素养和科学思维能力。

以下是关于全国乙卷2023数学真题(理科)的相关内容，供大家参考!全国乙卷2023数学真题(理科)2023高考数学答题固定题型1.解三角形。

这个只考核正弦定理，余弦定理，有的时候，候结合和差角公式，辅助角公式，向量。

2.数列。

题型较为固定，大多数情况下都是求通项，求和。

3.统计可能性。

这部分经常容易考到的点为独立事件可能性计算公式，二项分布，超几何分布，条件可能性，古典概型，分布列希望，线性回归，独立性检验，有的时候，候试题很难，可能会有决策题，需你按照试题背景自己选择适合的重要内容及核心考点，计算决策。

4.立体几何。

考法基本固定，第一问证平行垂直，第二问除了文科数学考体积和距离，其他的都是空间角计算。

5.圆锥曲线。

第一问求圆锥曲线方程，第二问用韦达定理处理，难度很大。

6.导数。

压轴题最经常容易考到，试题很综合，大多数情况下可以转化为枯燥乏味性，极值，最值，恒成立。

方程根，极值点偏移等类型问题在进一步处理，这个题能拿多少步骤分就拿多少。

三角函数或数列，导数题，圆锥曲线题，图形题，可能性问题。

2023高考数学的答题技巧提高解选择题的速度、填空题的准确度。

高考数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。

因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法尽显威力。

12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。

由于选择题的特殊性，由此提出解高考数学选择题要求快、准、巧，忌讳小题大做。

填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求完整、严密。

做高考数学题时审题要慢，做题要快，下手要准。

题目本身就是解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。

2023高考全国乙卷理科数学试卷真题（图片版）2023高考全国乙卷理科数学试卷真题（图片版）提升数学高考时的能力，要限时强化训练，全真模拟训练。

除了强化知识，还要学会非智力因素在考试中的应用，适当的懂得放弃。

下面是小编为大家整理的2023高考全国乙卷理科数学试卷真题，希望对您有所帮助!2023高考全国乙卷理科数学试卷真题高考数学有效的复习方法数形结合法：“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在数学这一学科特点的基础上发展而来的。

在解答数学选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。

用这种方法，既方便解题又容易让人明白。

直接对照法：从数学题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照数学题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支。

筛选法：去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论，筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于数学错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论。

高考数学复习技巧1、训练想像力。

有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。

同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。

现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。

所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。

2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。

为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。

3、审题。

有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z=2+i，则z−=( )1+i2+i5A. 1−2iB. 1+2iC. 2−iD. 2+i2.设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1<x<2}，则{x|x≥2}=( )A. ∁U(M∪N)B. N∪∁U MC. ∁U(M∩N)D. M∪∁U N3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为( )A. 24B. 26C. 28D. 304.已知f(x)=xe x是偶函数，则a=( )e ax−1A. −2B. −1C. 1D. 25.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的的概率为( )倾斜角不大于π4A. 18B. 16C. 14D. 126.已知函数f(x)=sin(ωx +φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f(x)的图像的两条对称轴，则f(−5π12)=( )A. −√ 32B. −12C. 12D. √ 327.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( ) A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种8.已知圆锥PO 的底面半径为√ 3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于9√ 34，则该圆锥的体积为( ) A. πB. √ 6πC. 3πD. 3√ 6π9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C −AB −D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为( ) A. 15B. √ 25C. √ 35D. 2510.已知等差数列{a n }的公差为2π3，集合S ={cosa n |n ∈N ∗}，若S ={a,b}，则ab =( ) A. −1B. −12C. 0D. 1211.设A ，B 为双曲线x 2−y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是( )A. (1,1)B. (−1,2)C. (1,3)D. (−1,−4)12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO|=√ 2，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 1+√ 22B. 1+2√ 22C. 1+√ 2D. 2+√ 2第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。