北京市密云二中2012届高三12月月考数学(理)试题

十二、圆锥曲线（选修2-1）1.（2012年朝阳二模理3）已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ）A ．6BC ．32D ． 342.（2012年海淀二模理5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r的最小值是（ C ）A ．0 B.1 C.2 D.3.（2012年丰台二模理10）已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．答案：4。

4.（2012年昌平二模理10）已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =. 答案：x y 21±=, 52。

5.（2012年东城二模理7）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为 （ D ）A ．2 2或2 D.26.（2012年西城二模理18）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（Ⅰ）若2AF FB =u u u r u u u r，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：（Ⅰ）依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=． …………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ① ………………4分因为 2AF FB =u u u r u u u r ，所以 122y y =-． ② ………………5分联立①和②，消去12,y y，得m =． ………6分 所以直线AB的斜率是±． ………………7分（Ⅱ）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． ……… 9分 因为 12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅- ………10分== ………12分所以 0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． …………13分 7.（2012年朝阳二模理19）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围.解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y12=-，整理得221(2x y x +=≠. 所以动点E 的轨迹C的方程为221(2x y x +=≠. …5分 （II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ……6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+. 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Qky k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++. ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++. 令0x =解得211212P k y k k k==++. ……10分当0k >时，因为1222k k +≥20422P y <≤=； 当0k <时，因为1222k k +≤-20422P y >≥=-2分 综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22[. ……13分 8.（2012年丰台二模理19）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P(x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5． 因为P(x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P(±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y ym +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l 的方程为 210y x =+． ………14分9.（2012年昌平二模理19）如图，已知椭圆M:)0(12222>>=+b a by a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1). (Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得λ=成立？ 解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = … 2分)11(,B 点Θ在椭圆上11122=+b a 解得：34422==b ,a …… 4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x … 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x-1)+1， y = -k (x-1) +1… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k … 8分 Θ点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ……10分 ∴=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A Θ 31=∴AC k 即：AC PQ k k =∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分10.（2012年东城二模理18）已知抛物线C ：24x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M . 解：（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. …3分设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=． ……5分证明：（Ⅱ）设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ， 所以12MA x k =，22MB xk =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-， 切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-． ……7分 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……9分因为2110(,1)4x MA x x =-+u u u r ，2220(,1)4x MB x x =-+u u u r ， 所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++u u u r u u u r 2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++ 22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=u u u r u u u r.……13分所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ………14分11.（2012年海淀二模理18）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a =……3分所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =?. ………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?.下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî………10分 因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.…13分。

密云区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111] A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3ππ 2． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．64 B ．72 C ．80 D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.3． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣24． △ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．±5． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D ．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 7． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）A ．10米B ．100米C ．30米D ．20米8． 对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D9． 如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（ ）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=110．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：1二、填空题11．已知命题p ：实数m 满足m 2+12a 2＜7am （a ＞0），命题q ：实数m 满足方程+=1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为 ．12．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中 的最大值为_________.13．若函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是 ．14．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值； ⑤M 中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）15．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．16．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．三、解答题17．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n （单位：台，n ∈N ）的函数解析式f （n ）；（单位：元），求X 的分布列及数学期望．18．（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（α为参数），经过伸缩变换32x xy y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C．（1）求曲线2C的参数方程；（2）若点M的在曲线2C上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且24AB BG BH==．（1）求证：平面AGH⊥平面EFG；（2）求二面角D FG E--的大小的余弦值．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为π，图象过点P（0，1）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数 g （x ）=f （x ）+cos2x ﹣1，将函数 g （x ）图象上所有的点向右平行移动个单位长度后，所得的图象在区间（0，m ）内是单调函数，求实数m 的最大值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；（2）设(){}1nn n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．22．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α密云区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】考点：三角形中正余弦定理的运用.2．【答案】C.【解析】3．【答案】A【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．4．【答案】D【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，∴A与B为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，则==±=±．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．5．【答案】A【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．6．【答案】B【解析】7．【答案】C【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BDRt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900∴CD=30米（负值舍去）故选：C【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．8．【答案】B【解析】由题意，可取，所以9．【答案】B【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．【答案】D【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．∴两个圆锥的体积比为：=1：3．故选：D．二、填空题11．【答案】[，]．【解析】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，则，，解得1＜m＜2，若p是q的充分不必要条件，则，解得，故答案为[，]．【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q 的等价条件是解决本题的关键．12．【答案】【解析】考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及1,,,,n na a d n S五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而1,a d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 13．【答案】﹣2【解析】解：函数f（x）=﹣m的导数为f′（x）=mx2+2x，由函数f（x）=﹣m在x=1处取得极值，即有f′（1）=0，即m+2=0，解得m=﹣2，即有f′（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣1）x，可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．故答案为：﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．14．【答案】①③⑤【解析】解：建立直角坐标系如图：则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），∴•=1；•=1；•=1；•=1；∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，∴M中的元素之和为0，故⑤正确．综上所述，正确的序号为：①③⑤，故答案为：①③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．15．【答案】63【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．16．【答案】[，3]．【解析】解：直线AP的斜率K==3，直线BP的斜率K′==由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]，故答案为：[，3]，【点评】本题给出经过定点P 的直线l 与线段AB 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．三、解答题17．【答案】【解析】解：（I ）当n ≥20时，f （n ）=500×20+200×（n ﹣20）=200n+6000， 当n ≤19时，f （n ）=500×n ﹣100×（20﹣n ）=600n ﹣2000，∴．（ II ）由（1）得f （18）=8800，f （19）=9400，f （20）=10000，f （21）=10200，f （22）=10400， ∴P （X=8800）=0.1，P （X=9400）=0.2，P （X=10000）=0.3，P （X=10200）=0.3，P （X=10400）=0.1， X18．【答案】（1）3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）；（2【解析】试题解析： （1）将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），化为221x y +=，由伸缩变换32x x y y '=⎧⎨'=⎩化为1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩， 代入圆的方程211132x y ⎛⎫⎛⎫''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到()()222:194x y C ''+=，可得参数方程为3cos2sinxyαα=⎧⎨=⎩；考点：坐标系与参数方程．19．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．∵GH∈平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．……………………………5分20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为π，∴ω==2，又由函数f （x ）的图象过点P （0，1）， ∴sin φ=0， ∴φ=0，∴函数f （x ）=sin2x+1；（Ⅱ）∵函数 g （x ）=f （x ）+cos2x ﹣1=sin2x+cos2x=sin （2x+），将函数 g （x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度后， 所得函数的解析式是：h （x ）=sin[2（x﹣）+]=sin （2x﹣），∵x ∈（0，m ）， ∴2x﹣∈（﹣，2m﹣），又由h （x ）在区间（0，m ）内是单调函数， ∴2m﹣≤，即m≤， 即实数m的最大值为．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．21．【答案】【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由990S =，15240S =，得119369015105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，(1)22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．故f（x）max=f（a）=alna﹣a．（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．。

高2012级第一次月考数 学 试 题（理科卷）数学试题卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.函数sin 4y x =的周期是 A.2π B.2π C.4πD.4π 2.在α的终边上取一点为()3,4P -，则cos α= A.45 B.35 C.45- D.35- 3.若3cos 2α=，其中(02)απ<<,则角α所有可能的值是A.6π或116π B.6π或76π C.3π或23π D.3π或53π4.已知定义在[1,1]-上的函数()y f x =的值域为[2,0]-,则函数(cos 2)y f x =的值域为 A.[1,1]- B.[3,1]-- C.[2,0]- D.不能确定5.在等差数列{}n a 中,首项14a =-,2d =,则12345a a a a a ++++= A.0 B.10 C.-10 D.126.函数lg(sin )y x =的定义域为 A.2,22k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B.()2,2k k k Z πππ+∈ C.2,22k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D.[]2,2k k k Z πππ+∈7.已知函数()213f x ax ax =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 A. 13a > B.13a ≤ C.120a -<< D.120a -<≤ 8.函数2cos 1y x =-2()33x ππ-≤≤的值域是 A.[]2,0- B.[]3,0- C.[]2,1- D.[]3,1- 9.函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是A.2,263k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B.52,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C.,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D.5,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10.已知1sin cos 5θθ+=，且θ是第二象限的角，则44sin cos θθ-= A ．125 B ．725- C ．725± D ．725第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应位置上） 11.在等比数列{}n a 中，24a =,5256a =，则公比q = ． 12.54sin 28tan 45tan 62tan 36sin 22++= ． 13.若3()log (1)f x x =+的反函数为1()y fx -=，则方程1()8f x -=的解x = ．14.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 15．给出下列命题：○1不等式12x≥的解集是12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ○2若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；○3tan 20tan 403tan 20tan 403++=；○4()()2sin 31f x x =+的图象可由2sin 3y x =的图象向左平移1个单位得到； ○5函数()cos 2cos sin xf x x x=-的值域是()2,2-.其中正确的命题的序号是____________________(要求写出所有正确命题的序号).三．解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分13分）已知()()tan tan sin()cos()2f x x x x x πππ⎛⎫=-++-+⎪⎝⎭. （1）化简()f x ；（2）当tan 2x =时，求()f x 的值.17. （本小题满分13分）已知3sin()5αβ+=，5cos 13β=-；且α为锐角，β为钝角. （1）求cos()αβ+和sin β； （2）求αsin 的值．18. （本小题满分13分）已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R . （1）当0θ=时，求()f x 的单调递减区间； （2）若(0,)θπ∈，当θ为何值时,()f x 为奇函数．19．（本小题满分12分）已知函数()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++其中x R ∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；20．（本小题满分12分）一般地，对于函数()y f x =，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.若函数2()(1)1f x ax b x b =+++-其中0a ≠. （1）当1a =，2b =-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()44(4)f x x x x =-+≥的反函数为1()fx -，数列{}n a 满足：11a =，()11n n a f a -+=，*n N ∈，数列121321,,,,n n b b b b b b b ----是首项为1，公比为13的等比数列.（1）求证：数列{}na 为等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若n n n c b a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .数学试题参考答案2010.4.8一.选择题：ABACD BDCCD二.填空题：11．4； 12．2； 13．2； 14． 2； 15．○3、○5 三.解答题： 文16、理16解：（1）()()()cot tan sin cos f x x x x x =+-- 1sin cos x x =+---------------------6分 （2）()22sin cos 1sin cos x x f x x x =++2tan 1tan 1xx =++2271215=+=+---------------------13分 文17、理17 解：（1）0,22ππαβπ<<<<322παβπ∴<+< 又3sin()5αβ+=，5cos 13β=- 4cos()5αβ∴+=-，12sin 13β=---------------------7分 （2）由（1）可知：()()sin()sinααββ=+-354123351351365⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---------------------13分 文18解：（1）由77S =，1575S =得()17772a a +⨯=，()11515752a a +⨯= 41a =，85a =---------------------6分 （2）由（1）知：8451144a a d --=== ()()441413n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=- 12a ∴=-()()1223152222n n a a n n n S n n +-+-∴===----------------------13分文19、理18解：（1）0θ=时，()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭又由322242k x k πππππ+≤+≤+，得 52244k x k ππππ+≤≤+ ∴()f x 的单调递减区间为52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈---------------------6分 （2）()2sin 4f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又若()f x 为奇函数，则(0)0f =sin 04πθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭又0θπ<<，从而5444ππθπ<+< 4πθπ∴+=即34θπ∴=---------------------12分（理科13分） 文20、理19 解：（1）1cos 21cos 2()sin 2322x xf x x -+=++⨯ sin 2cos 22x x =++2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==---------------------6分 （2）由（1）知：()2sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则 52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 所以 当242x ππ+=，即 8x π=时，()max 22f x =+当5244x ππ+=，即 2x π=时，()min 1f x = 所以，()f x 的值域为1,22⎡⎤+⎣⎦---------------------12分文21、理20解：（1）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--从而00()f x x =可化为20003x x x --=即01x =-或3所以()f x 的不动点为1-或3---------------------4分 （2）由00()f x x =可化为20010ax bx b ++-=函数()f x 恒有两个相异的不动点∴关于0x 的方程20010ax bx b ++-=恒有两不等实根从而0a ≠且()2410b a b ∆=-->对任意实数b 都成立---------------------8分即关于b 的不等式2440b ab a -+>恒成立216160a a ∴∆=-<即01a <<---------------------12分 理21（1）证明：()2()442f x x x x =-+=-由4x ≥，得()0f x ≥ 所以()21()2f x x -=+所以()211()2n n n a f a a -+==+即：12n n a a +=+故数列{}na 是以11a =为首项，2为公差的等差数列---------------------4分（2）由题意知，11b =，1113n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-21111311133323n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n b 的通项公式为31123n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---------------------8分 （3）由（1）得：()12121n a n n =+-=-，即：()221n a n =-由（2）得：31123n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()3121123n n n n c b a n ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭12n n S c c c =+++()233135211352123333nn n ⎡-⎤⎛⎫=++++--++++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦------------------10分 令23135213333n n n T -=++++ 则234111352321333333n n n n n T +--=+++++ 得：23412111112123333333n n n n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 111112113333n n n -+-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ 所以113n nn T +=- 又()213521n n ++++-=所以231123n n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭---------------------12分。

二、函数（必修一）1.（2012年朝阳二模理7）直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ A ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[2,)+∞D ．(,1]-∞-2.（2012年朝阳二模理13） 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每 生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总 收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这 种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工 厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资） 答案： 2**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈=⎨->∈⎩163.（2012年海淀二模理6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（ A ） A ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度4.（2012年昌平二模）3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ． lg y x =B ．tan y x =C ．3x y =D ．13y x=D5.（2012年东城二模）已知函数12()f x x =,给出下列命题：①若1x >，则()1f x >；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()()22f x f x x x f ++<． 其中，所有正确命题的序号是 ．①④6.（2012年怀柔二模）函数x x f )21(1)(-=的定义域是 . ),0[∞7.（2012年西城二模）2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③ （D ）② ④ 8.（2012年西城二模）12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．0，{|12}x x <<；。

2012届高三第三次月考数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0PQ =，则P Q =（ ）A ．{}3,0B ．{}3,0,2C ．{}3,0,1D ．{}3,0,1,22．若(4)a i i b i +=+其中,a b ∈R ，i 是虚数单位，则a b -（ ）A ．3B ．5C ．-3D ．-53．“||2x <”是“260x x --<”成立（ ）条件.A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =( ) A ．1 B ．2 C ．14 D ． 1215.5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )A.ˆ 1.234yx =+ B. ˆ 1.230.08y x =- C. ˆ 1.230.8y x =+ D. ˆ 1.230.08y x =+ 6．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．22C ．34D ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线， 垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心Ｂ．AH 的延长线经过点1C Ｃ．AH 垂直平面11CB D Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ） A ．12()()f x f x = B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x >D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知ABC ∆中，1,2a b ==，45B =，则角A 等于_______10．如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 ．11. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______12．若直线y x m =-与圆22(2)1x y -+=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围为 ．13．已知双曲线2221(0)9x y a a -=>中心在原点，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为___________（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分.是开始12,1i s ==10i ≥?s s i =⨯ 1i i =-输出s 结束否14．（坐标系与参数方程选做题）曲线2sin (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)与直线y a =有两个公共点，则实数a 的取值范围是_______.15．（几何证明选讲选做题）如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为 弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于点C ，且AD DC =，则sin BCO ∠ =_________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数44sin 23sin cos cos y x x x x =+-， （1）求该函数的最小正周期和最小值； （2）若[]0,πx ∈，求该函数的单调递增区间.17．（本小题满分12分）某工厂2011年第一季度生产的A 、B 、C 、D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会： （1）问A 、B 、C 、D 型号的产品各抽取多少件？（2）从A 、C 型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A 种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望.教案某温度、压强下化学教案将一定量的反应物通入密闭容器中进行以上的反应(此条18．（本小题满分14分）在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．（1）求证：BD EG ⊥；（2）求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.A D50100 150 200 OA B C D 产品型号产量（单位件）19．（本小题满分14分）已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和. （1）求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式； （2）如果对于任意*n ∈N ，不等式1227122nkn n T ≥-+-恒成立，求实数k 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知点P 是圆221:(1)8F x y ++=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称.线段2PF 的中垂线m 分别与12PF PF 、交于M N 、两点．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为k 的直线l 与曲线C 交于,P Q 两点,若0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），试求直线l 在y 轴上截距的取值范围．21．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的图象经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++，设函数()()()f x x n g x =-在x a =和x b =处取到极值，其中0m n >>，b a <.（1）求()g x 的二次项系数k 的值；（2）比较,,,a b m n 的大小（要求按从小到大排列）；（3）若22m n +≤，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线()y f x =均相切，求()y f x =.2012届高三第三次月考理科数学参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBAADDDB1．【解析】由{}0PQ =,得2log 0a =，∴1a =，从而=0b ，{}3,0,1P Q =.选C.2．【解析】由(4)4a i i ai b i +=-+=+154a ab b =⎧⇒⇒-=⎨=-⎩，选B ． 3．【解析】由||2x <得到22x -<<，由260x x --<得到2x -<＜3，选A.4．【解析】222467574,4a a a a a ==，572a a =，所以22311, 1.2q a a q ===选A ． 5．【解析】由条件知，4x =，5y =，设回归直线方程为ˆ 1.23yx a =+，则 1.230.08a y x =-=.选D.6．【解析】5(1)ax -的展开式中含3x 的项为232335()(1)10C ax a x -=，由题意得31080a =，所以2a =.选D.7.【解析】因为三棱锥A —1A BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面中心，A 正确；平面1A BD ∥平面11CB D ，而AH 垂直平面1A BD ，所以AH 垂直平面11CB D ，C 正确；根据对称性知B 正确.选D.8．【解析】函数的对称轴为1x =-,设1202x x x +=，由03a <<得到11122a --<<，又12x x <，用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．30︒ 10．4:2:π 11．1320 12．(22,22)-+ 13．477的快乐”“要敢于14．01a <≤ 15．559.【解析】根据正弦定理,,sin sin a bA B = 21sin 12sin .22a B Ab ⨯∴===,30.a b A ︒<∴= 10.【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所 以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为a 则，长方体体积为3a ，三棱柱体积为312a ，四分之一圆柱的体积为31π4a ，所以它们的体积之比为4:2:π．11．【解析】该程序框图的作用是计算121110⨯⨯的值.12.【解析】圆心到直线的距离2122222m d m -=<⇒-<<+.13.【解析】抛物线焦点F （4，0）得4c = 又2916,a +=得7a =，故44777e ==.14．【解析】曲线2sin (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)为抛物线段2(11)y x x =-≤≤，借助图形直观易得01a <≤.15.【解析】由条件不难得ABC ∆为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =，OC =5，15sin 55BCO ∠==. 三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）()44π3sin 2sin cos 3sin 2cos22sin 26x x x x x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭== ………… 4分 所以 min π,2T y ==- ………… 6分（2）πππππ2π22πππ26263k x k k k x k k ≤-≤+∈≤≤+∈Z Z令-,，则-,………… 8分 令0,1k =，得到ππ[,]63x ∈-或5π4π[,]63x ∈， ………… 10分与[0,π]x ∈取交集, 得到π[0,]3x ∈或5π[,π]6x ∈, 所以，当[0,π]x ∈时，函数的π5ππ36⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦递增区间是0，和， .………… 12分17．（本小题满分12分）解：（1）从条表图上可知，共生产产品 50+100+150+200=500（件），样品比为50150010= 所以A 、B 、C 、D 四种型号的产品分别取111110010,20020,505,1501510101010⨯=⨯=⨯=⨯=即样本中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件.……… 4 分 （2）353152(0)91C P C ξ=== ， 1210531520(1)91C C P C ξ⋅=== 2110531545(2)91C C P C ξ⋅=== ， 31031524(3)91C P C ξ=== ……… 8 分所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P291 2091 4591 2491……… 10 分204524232919191E ξ=+⨯+⨯= ………12 分18．（本小题满分14分）（1） 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥， 又,AE EB EB EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ， ∴AE ⊥平面BCFE . …………2分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH EG ⊥. …………4分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ……………6分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………7分∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………8分（2）∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD∴平面AEFD ⊥平面BCFE 由（1）可知GH EF ⊥ ∴GH ⊥平面AEFD ∵DE ⊂平面AEFD∴GH DE ⊥ ……………………9分取DE 的中点M ，连结MH ，MG ∵四边形AEHD 是正方形， ∴M H DE ⊥∵,MH GH H =MH ⊂平面GHM ，GH ⊂平面GHM∴DE ⊥平面GHM ∴DE ⊥MG∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角， ………………………12分 由计算得2,2,6GH MH MG ===∴23cos 36GMH ∠== ………………………13分 ∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33.………………………14分 解法2BCFEDMHGA∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥， 又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………2分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………4分 ∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………6分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………7分 ∴BD EG ⊥. …………………………8分（2）由已知得(2,0,0)EB =是平面DEF 的法向量. ………………………9分设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =， ∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==，∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =-. ……………12分设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ， 则||23cos |cos ,|3||||23n EB n EB n EB θ=<>=== …………………………13分∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33. …………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）对任意*N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为12…………2分所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分（2）因为1113()22n n b -=⨯+所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n nn n n T --=+++++=+=-+-…………7分 xzyADF EB G C因为不等式1227(122)n kn n T ≥-+-，化简得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立 ……………8分 设272n n n c -=，则1112(1)72792222n n n n n n n n c c ++++----=-= 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列 …………11分45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332…………13分 所以, 要使272n n k -≥对任意*N n ∈恒成立，332k ≥…………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题意得，12(1,0),(1,0),F F -圆1F 的半径为22，且2||||MF MP = ……… 1分 从而121112||||||||||22||MF MF MF MP PF F F +=+==> ………… 3分 ∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆, ………… 5分 其中长轴222a =,得到2a =,焦距22c =， 则短半轴1b =椭圆方程为:2212x y += ………… 6分（2）设直线l 的方程为y kx n =+,由2212y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得222(21)4220k x knx n +++-=则2222168(1)(21)0k n n k ∆=--+>,即22210k n -+> ① ………… 8分设1122(,),(,)P x y Q x y ,则2121222422,2121kn n x x x x k k --+==++ 由0OP OQ ⋅=可得12120x x y y +=,即1212()()0x x kx n kx n +++= …………10分 整理可得221212(1)()0k x x kn x x n ++++=…………12分即22222(1)(22)4()02121k n knkn n k k +--+⋅+=++11化简可得22322n k =+,代入①整理可得212n >, 故直线l 在y 轴上截距的取值范围是22(,)(,)22-∞+∞． …………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）由题意可设()(),0g x kx x m k =-≠，又函数图象经过点(1,1)P m m ++，则1(1)(1)m k m m m +=++-，得1k =.……… 2分（2）由（1）可得2()()y g x x x m x mx ==-=-.所以()()()f x x n g x =-32()()()x x m x n x m n x mnx =--=-++，/2()32()f x x m n x mn =-++， ………… 4分函数()f x 在x a =和x b =处取到极值，故//()0,()0f a f b ==， ………… 5分0m n >>，∴/22()32()()0f m m m n m mn m mn m m n =-++=-=-> ………… 7分/22()32()()0f n n m n n mn n mn n n m =-++=-=-<又b a <，故b n a m <<<. …… 8分（3）设切点00(,)Q x y ，则切线的斜率2000'()32()k f x x m n x mn ==-++又320000()y x m n x mnx =-++，所以切线的方程是322000000()[32()]()y x m n x mnx x m n x mn x x -++-=-++- …… 9分又切线过原点，故3232000000()32()x m n x mnx x m n x mnx -++-=-++-所以32002()0x m n x -+=，解得00x =，或02m n x +=. ………… 10分 两条切线的斜率为1'(0)k f mn ==，2'()2m n k f +=， 由22m n +≤，得2()8m n +≤，∴21()24m n -+≥-， ∴2223()1'()2()()22424m n m n m n k f m n mn m n mn mn +++==-+⨯+=-++≥-， ………………………… 12分12 所以2212(2)()2(1)11k k mn mn mn mn mn ≥-=-=--≥-，又两条切线垂直，故121k k =-，所以上式等号成立，有22m n +=，且1mn =. 所以3232()()22f x x m n x mnx x x x =-++=-+. ………… 14 分。

密云二中高三年级12月考数学试题(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2．若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()UC A B = A ．｛x |1-<x 或2>x ｝ B ．｛x |1-<x 或2≥x ｝C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝3. “b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则sin cos αα+=（ ） A ．15- B ．51 C ．75- D ．57 5．在ABC ∆中，90C =，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =⋅则=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，2017S =，则30S =（ ）A ．15B ．20C ．25D ．3011．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．2B ．12-C ．3-D ．13 12．设奇函数()f x 的定义域为Ｒ，最小正周期3T =，若23(1)1,(2)1a f f a -≥=+，则a 的取值范围是 A ．213a a <-≥或 B ．1a <- C ．213a -<≤ D ．23a ≤二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知π3(,π),sin ,25αα∈=则πtan()4α+=__ _． 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 35+ .11. 在ABC ∆中，已知 (23,31)AB k k =++，(3,)AC k =()k ∈R ，则BC =__；若90B ∠=︒，则k =__ _．12. 已知函数12log (),40,()2cos ,0.x x f x x x --≤<⎧⎪=⎨⎪≤≤π⎩若方程()f x a =有解，则实数的取值范围是__ _．13. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是14.设函数()1f x x α=+()α∈Q 的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<．若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在区间[],b a --上的最大值与最小值的和为__ _．填空题答题卡9、 10、 11、 ，12、 13、 14、三、解答题：本大题共6小题，共90分15．（本题满分12分）已知函数21()cos cos ,2f x x x x x R =--∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==， 若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．16. （本小题满分13分）设数列{}n a 的前项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N .（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅲ）求数列{}n n a ⋅的前项和n T .17．（本题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．（Ⅰ）证明：PF FD ⊥；（Ⅱ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；（Ⅲ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F--的余弦值．18. （本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点1)2P ，离心率为2，动点(2,)(0).M t t >（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．19. （本小题满分14分） 设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点(),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数.若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数，不等式211()22k x x ≤+恒成立. （Ⅰ）求函数()k x 的表达式； （Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+()n *∈N .20．（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数()f x 和数列121{},,n a a a a a =≠，当*2n N n ∈≥且时，111(),()()()n n n n n n a f a f a f a k a a ---=-=-且，其中,a k 均为非零常数．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（Ⅱ）令*11(),1n n n b a a n N b +=-∈=若，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数()f x 的解析式．密云二中高三年级12月考数学试题(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．D 3. A 4. B 5. B 6. A 7. D 8．C三、解答题：本大题共6小题，共90分15．（本题满分12分）已知函数21()cos cos ,2f x x x x x R =--∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==， 若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．15． 解：(Ⅰ)211()cos cos 2cos 2122f x x x x x x =--=--sin(2)16x π=-- ……………………………………………………3分 ∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………………………5分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<，∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． ……7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=， 得2,b a = ①…………………………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ②……………………10分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ …………………………………………12分 16. （本小题满分13分）设数列{}n a 的前项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N .（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅲ）求数列{}n n a ⋅的前项和n T .（17）（本小题满分13分）解：（I ）由题意，当1n =时，得1123a a =+，解得13a =.当2n =时，得2122()5a a a =++，解得28a =.当3n =时，得31232()7a a a a =+++，解得318a =.所以13a =，28a =，318a =为所求. ……………3分 (Ⅱ) 因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立.两式相减得：11222n n n a a a ++-=+.所以122n n a a +=+()n *∈N ，即122(2)n n a a ++=+. …………5分 所以数列{}2n a +是以125a +=为首项，公比为的等比数列. ……………7分（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：1252n n a -+=⨯，即1522n n a -=⨯-()n *∈N .则1522n n na n n -=⋅-()n *∈N . ……………8分设数列{}152n n -⋅的前项和为n P ,则01221512522532...5(1)252n n n P n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⋅+⨯⋅，所以12312512522532...5(1)252n n n P n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅，所以1215(122...2)52n n n P n --=++++-⋅，即(55)25n n P n =-⋅+()n *∈N . ……………11分 所以数列{}n n a ⋅的前项和n T =(1)(55)2522n n n n +-⋅+-⨯， 整理得，2(55)25n n T n n n =-⋅--+()n *∈N . ……………13分17．（本题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．（Ⅰ）证明：PF FD ⊥；（Ⅱ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；（Ⅲ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F--的余弦值．17． 解法一：（Ⅰ）∵ PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=，1AB =，2AD =，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0)A B F D ．…………2分不妨令(0,0,)P t ∵(1,1,)PF t =-，(1,1,0)DF =-∴111(1)()00PF DF t =⨯+⨯-+-⨯=，即PF FD ⊥．…………………………4分（Ⅱ）设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，由00n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y tz x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，解得：2t x y ==． ∴,,122t t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………………………………………………………6分 设G 点坐标为(0,0,)m ，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(,0,)2EG m =-， 要使EG ∥平面PFD ，只需0EG n =，即1()0102224t t t m m -⨯+⨯+⨯=-=， 得14m t =，从而满足14AG AP =的点G 即为所求．……………………………8分 （Ⅲ）∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得()1,0,0AB =， …………………………………………………………………………………9分又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，得45PBA ∠=，1PA =，平面PFD 的法向量为11,,122n ⎛⎫= ⎪⎝⎭……10分∴1cos ,1AB nAB n AB n ⋅===⋅ 故所求二面角A PD F --的余弦值为612分 18. （本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点1)22P ，离心率为2，动点(2,)(0).M t t >（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．19. （本小题满分14分）设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点(),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数.若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数，不等式211()22k x x ≤+恒成立. （Ⅰ）求函数()k x 的表达式； （Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+()n *∈N . （19）（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由已知得：2()()k x f x ax bx c '==++. ……………1分由1()()2g x k x x =-为偶函数，得21()2g x ax bx c x =++-为偶函数， 显然有12b =. …………2分 又(1)0k -=，所以0a bc -+=，即12a c +=. …………3分 又因为211()22k x x ≤+对一切实数恒成立， 即对一切实数，不等式2111()0222a x x c -++-≤恒成立. …………4分 显然，当12a =时，不符合题意. …………5分 当12a ≠时，应满足 10,21114()()0.422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩ 注意到12a c += ，解得14a c ==. …………7分 所以2111()424k x x x =++. ……………8分 （Ⅱ）证明：因为2221(1)()44n n n k n +++==，所以214()(1)k n n =+.………9分要证不等式1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+成立, 即证22211123(1)24n n n +++>++. …………10分 因为21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++, …………12分 所以22211111111123(1)233412n n n +++>-+-++-+++ 112224n n n =-=++. 所以1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+成立. ……………14分 20．（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数()f x 和数列121{},,n a a a a a =≠，当*2n N n ∈≥且时，111(),()()()n n n n n n a f a f a f a k a a ---=-=-且，其中,a k 均为非零常数．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（Ⅱ）令*11(),1n n n b a a n N b +=-∈=若，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数()f x 的解析式．。

密云县2012年初三第二次综合检测数学试卷答案参考及评分标准阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）1tan 602-+-12=+-···················································································· 4分12=． ············································································································ 5分14．（本小题满分5分） 解：原方程化为：03122=--x x …………………………………………1分131122+=+-x x ………………………………………………2分()341-2=x ………………………………………………3分∴3321,332121-=+=x x ………………………………………………5分15．（本小题满分5分）证明：∵EF ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADE =90°．∴ ∠1 +∠2=90°．-----------------------------1分 又∵∠C =90°， ∴ ∠1+∠B =90°．∴ ∠B =∠2． -------------------------------2分 在△ABC 和△FEA 中，2,,.B BC AE C FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩-----------------------------------------------------------3分 ∴ △ABC ≌△FEA ． -----------------------------------------------------------4分 ∴ AB =FE ． -------------------------------------------------------------------------5分16．（本小题满分5分） 解：22()(1)()a a b a b a b-+÷-+ ＝ 21()()a b a b a b a ba b+-+⨯⨯+- ---------------------------------------------------3分＝ 2a ＋b ． ------------------------------------------------------------------------------ 4分∵ 2a ＋b －1＝0，∴ 2a ＋b ＝1．∴ 原式＝1 ． ----------------------------------------------------------------------------- 5分 17．（本小题满分5分）解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)m y x x=>的图象上，∴166mxy ==⨯= ．∴反比例函数解析式为6(0)y x x= ．-------------------------------------2分（2）△AOB 的面积是352． --------------------------------------------------------5分18．（本小题满分5分）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ·································· 1分依题意得：1(1)81x x x +++=，························································ 3分 解得 12810x x ==-，（舍去），∴ 8x =． ---------------------------------------------------------------------------4分 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台．············································· 5分 四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分） 19．（本小题满分5分）（1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ P A A B ⊥．∴90BAP ∠=．----------------------------------1分∵ ∠BAC =30 ，∴ 9060PAC BAC ∠=-∠= ． 又∵P A 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ P A P C =．-------------------------------------------------------------------2分 ∴△PAC 是等边三角形．∴ 60P ∠= ． ------------------------------------------------------------------3分( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90 ．---------------------------------------4分 在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30 ，∴cos 6cos 30AC AB BAC =⋅∠==又∵△PAC 是等边三角形，∴ PA AC == ----------------------------------------------------------------5分20．（本小题满分5分）解：如图，在AB 上截取AF AD =，连结CF ． -------------------------------------1分∵ AC 平分∠BAD ，∴12∠=∠． 又AC AC =，∴△ADC ≌△AFC ．∴ AF =AD =9，CF=CD =CB =------------2分∴△CBF 是等腰三角形． 又∵C E A B ⊥于E ， ∴ EF =EB =21BF =21（AB －AF ）=3．--------------------------------------------------3分在Rt △BEC 中，cosBE B BC===． ---------------------------------4分在Rt △BEC （或Rt △FEC ）中，由勾股定理得 CE =5．在Rt △AEC 中，由勾股定理 得AC =13．-------------------------------------------5分∴ B ∠AC 的长为13．21．（本小题满分5分）解：（1）120； ---------------------------------1分 （2）图形正确 -------------------------------2分 （3）Ｃ；--------------------------------------3分 （4）达国家规定体育活动时间的人数约占12060100%60%300+⨯=．------------4分∴ 达国家规定体育活动时间的人约有 430060%2580⨯=（人）．-----------5分22．（本小题满分5分）证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,，∵EP 平分DEC ∠，∴PH PJ =． -----------------------------------------1分同理 PI PG =．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； -------------------------4分 ②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ， ∴ 224420a a a b --+=．整理，得 2a b =．∵ 0a <， ∴2a a <，即a b <． ---------------------------------------------3分（2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-．∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0． ∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +．∵ 22111()2228a a a +=+-，当12a =-时，22a a +有最小值18-．∴ b 的取值范围是b ≤18-． ----------------------------------------------7分24．（本小题满分7分）（1）设0x =，则2y =．∴A （0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：22y ax =+．∵过点M (2-，0)，∴有2()202a ⨯-+=．解得83a =-．∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2823y x =-+．----------2分（2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------------------------------------------3分②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线2x =．∵C 点是对称轴与直线A B 的相交，∴易求得点C 2，32）．由勾股定理，可求得O C =设原点O 到直线AB 的距离为d ，则有 A B d A O B O ⋅=⋅．∵点A 为（0，2），点B 为（0），∴4A B =．42d =⨯∴d O C ==．这说明，圆心O 到直线AB 的距离d 与⊙O 的半径OC 相等．∴以O 为圆心、O C 为半径的圆与直线A B 相切． -------------------------------------5分（3）设P 2，p ）．∵抛物线的对称轴与y 轴互相平行，即AO ∥PC ．∴只需P C A O =2=，即可使以O ，A ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形．由（2）知，点C 的坐标为（2，32），∴322p -=．∴22p -=±．解得 172p =，212p =-．∴ P 点的坐标为1p 2，72）或2p 2，12-）．----------------------------7分25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴A D D CC B ==，A C BD ⊥，D O BO =，且112302A D C ∠=∠=∠= ．∴在Rt △AOD 中，有12A O A D =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122E O C B D C OF ===．∴A O E O F O ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． -------------------------------------------------- 3分 （2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ．则90PQ E PH D ∠=∠= ．∵60ADC ∠= ，∴在四边形QDHP 中，120Q PH ∠=．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠= ，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在A D C ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分A D C ∠，∴ 点P 落在对角线DB 所在的直线上． ----------------------------------- 6分 ②112D MD N+=． ---------------------------------------------------------------- 8分。

北京市密云二中2011-2012 学年高二上学期12 月月考数学（文）试题一、选择题（每题 4 分，满分 40 分）1．已知命题p, q ，若命题“p ”与命题“p q ”都是假命题，则（）A．p为真命题，q 为假命题B．p为假命题，q 为真命题C．p，q均为真命题D．p，q均为假命题2．命题p：x R，x0 的否认是A．p：x R，x0B．C．p：x R，x0D．（）p：x R，x0p：x R，x03.x 3 是 x 5的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件4.x2y21上的P点到点（5，0）的距离为15，则 P 点到（ - 5， 0）的距离为设双曲线169（）(A) 7(B) 23(C) 5或 25(D)7或 235.A 是圆上固定的必定点, 在圆上其余地点任取一点B, 则弦AB的长度不小于半径长度的概率为 ( )A.1B.2C.3D.123246. 一个盒中装有 5 个完整同样的小球，分别标以号码1， 2，3， 4， 5，从中有放回地随机抽取两次，每次只抽一个小球，则两次所抽小球的号码都是偶数的概率是( )A.2B.4C.12 252510D.57．设圆(x 1)2y225 的圆心为C，A（1，0）是圆内必定点，Q为圆周上随意一点，线段 AQ的垂直均分线与CQ的连线交于点M，则 M的轨迹方程是（）A． 4x2 4 y21B． 4x24y21C． 4x2 4 y21D． 4x24y21 21252125252125218. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过 F2作垂直于实轴的直线PQ 交双曲线于 P ，Q 两点，若∠ PF1Q，则双曲线的离心率 e 等于（）2A． 2 1B．2C． 2 1D．229．设k 1，则对于x，y的方程(1k) x2y 2k 2 1所表示的曲线是()A．长轴在x轴上的椭圆B．长轴在y轴上的椭圆C．实轴在x轴上的双曲线D．实轴在y轴上的双曲线10.已知椭圆 E ：x2y 2 1 ，对于随意实数k ，以下直线被椭圆 E 所截弦长与l ：m4y kx 1被椭圆 E 所截得的弦长不行能相等的是（）．．．A．kx y 2 0B．kx y 1 0C．kx y k 0D．kx y k0二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分 .11．命题“ax22ax 3 0 不建立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_______。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（ ）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A .π4B .π22-C . π6D . 4π4-3. 设,a b ∈R .“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 （ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ）A . 2B . 4C . 8D . 165. 如图,90ACB ∠=,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则（ ）A . CE CB AD DB = B . CE CB AD AB =C . 2 AD AB CD =D . 2 CE EB CD =6. 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ）A . 24B . 18C . 12D . 67. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为（ ）A . 5B . 7C . 9D . 11第Ⅱ卷（选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置上.9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为________.10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________； n S =________.11. 在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =________.12. 在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60,则OAF △的面积为________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件：①x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜；②(,4)x ∃∈-∞-,()()0f x g x ＜. 则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.E BDAC34正（主）视图侧（左）视图俯视图姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）16.（本小题共14分）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,3BC =,6AC =.D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1AC CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？请说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值 （结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值； （Ⅱ）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R .（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方）,直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证：A ,G ,N 三点共线.20.（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1)i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1)j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,…,|()|m r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,…,|()|n c A中的最小值.（Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ,对于所有的(2,21)A S t ∈+,求()k A 的最大值.ACDEBA 1MCBE D图1图22012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|AB x x =A B ．2CE CB CD =90,CD ⊥AD DB ，所以CE CB AD DB =．【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲．第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为603=1⎛【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，恒成立3)0+>在综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，，又A ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则,23)，(0B ∴1(0,3,2A B =-，(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩2⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵M ∴(1,0,CM =-cos 2||||1313222CM n CM n θ====++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则(0,A P a =，(2,DP a =设平面A DP 法向量为(,n x y =∴1(,,n x y =垂直，则10n n =， DE ，即证明DE ⊥平面1A CD 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-A DP 法向量为(3n a =-垂直，则10n n =，可求得【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱（Ⅱ）a a∴3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线3(6Mxx k+成立，化简得：从而可得3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．1(1)(1t t++数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

4、背诵课文。

二、能力目标 1、复述课文，掌握作者求学的主要经历，理清行文思路，提高诵读能力。

2、理解本文对比手法的运用，体会其独特的表达效果。

三、情感目标 学习作者克服困难、勤心求学的精神和意志，树立正确的苦乐观，珍惜现有的优越条件，努力学习，早日成才。

四、教学重点 1、翻译课文，背诵课文，理解本文作者执著的求学之志和殷殷劝勉之情。

2、把握寓理于事的写作方法和对比的表现手法，学习形象说理的技巧。

五、教学难点 引导学生运用现代观念重新审视作品，理解文中作者的求学态度。

六、教学方法 诵读法 讨论点拨法 复述法 品读法 延伸拓展法 教学时间：二教时。

第一教时 一、导入新课 方法一：常言道：“自古雄才多磨难，从来纨绔少伟男。

”孟子也说：“夫天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。

” 这些都说明了苦难并非全是坏事。

只要我们善于化苦难为动力，则苦难就会成为成功的垫脚石。

今天我们来学习宋濂的《送东阳马生序》。

(板书课文标题) 方法二：同学们，在五单元前面几篇课文里，我们学习了几种古代不同体裁的文章，如吴均的书信体山水小品文——《与朱元思书》、陶渊明的自传体文章——《五柳先生传》、韩愈的议论性文章——《马说》，今天我们一起来学习一篇体裁为赠序的文章——《送东阳马生序》，看看作者是怎样用自己的切身体会勉励马生勤奋学习的。

二、作者简介： 宋濂，明初文学家。

字景濂，号潜溪，浦江人（现渐江义乌人）。

他年少时受业于元末古文大家吴莱、柳贯、黄等。

元朝至正九年，召他为翰林院编修，因为身老不仕，隐居龙门山著书。

明初，征他作江南儒学提举，让他为太子讲经，修《元史》，官至翰林学士承旨、知制诰，朝廷的重要文书，大都由他参与撰写。

年老辞官，后因长孙宋慎犯罪，被流放到四川，途中病死。

他与刘基、高启为明初诗文三大家。

朱无璋称他为：开国文臣之首。

刘基称赞他为：当今文章第一。

四方学者称他为：太史公。